Estadística Teórica II

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1 tervalos de cofiaza Estadística Teórica NTERVALOS DE CONFANZA Satiago de la Fuete Ferádez 77

2 tervalos de cofiaza CÁLCULO DE NTERVALOS DE CONFANZA PARA LA MEDA CON DESVACÓN TÍPCA POBLACONAL CONOCDA Y DESCONOCDA. CÁLCULO DEL TAMAÑO MUESTRAL PARA UN NTERVALO DE CONFANZA DADA LA AMPLTUD Y EL NVEL DE SGNFCACÓN..- El peso (e gramos) de las cajas de cereales de ua determiada marca sigue ua distribució N( μ, 5). Se ha tomado los pesos de 6 cajas seleccioadas aleatoriamete, y los resultados obteidos ha sido: 506, 508, 499, 503, 504, 50, 497, 5, 54, 505, 493, 496, 506, 50, 509, 496. a) Obteer los itervalos de cofiaza del 90%, 95% y 99% para la media poblacioal. b) Determiar cuál sería el tamaño muestral ecesario para coseguir, co u 95% de cofiaza, u itervalo de logitud igual a gramos. c) Supoiedo ahora que es descoocida, calcular los itervalos de cofiaza para la media al 90%, 95% y 99%. Solució.- a) Estamos situados e el caso de costruir u itervalo de cofiaza para la media poblacioal μ de variaza coocida 5. Sabemos que el itervalo de cofiaza de ivel α, viee dado por: α( μ) 6 i 6 [ media muestral } ± i 503,75 Error muestral L α z α a z α ] Error muestral z α α 0,90 α 0,95 α 0,99 α 0,0 α 0,05 α 0,0 Los itervalos de cofiaza solicitados será: z α logitud α 0,05 α 0,05 α 0,005 z α z α z α,645,96,575 L logitud o amplitud 0,90 ( μ) 0,90 ( μ) 503,75 ±, ,75,645 5, 503,75 6 +,645 [ 50,69 ; 505,8 ] P [ 50,69 μ 505,8 ] 0,90 α 5 6 0,95 ( μ) 0,95 ( μ) 503,75 ±, ,75,96 5, 503,75 6 +, [ 50,30 ; 506, 0 ] P [ 50,30 μ 506,0 ] 0,95 α 0,99 ( μ) 0,99 ( μ) 503,75 ±, ,75,575 5, 503,75 6 +,575 [ 500,53 ; 506,97 ] P [ 500,53 μ 506,97 ] 0,99 α 5 6 Satiago de la Fuete Ferádez 78

3 tervalos de cofiaza Si calculamos la logitud de cada uo de los itervalos de cofiaza teemos: L 0,90 ( μ) 505,8 50,69 4, L 0,95 ( μ) 506,0 50,30 4,9 L 0,99 ( μ) 506,97 500,53 6,44 El primer itervalo de cofiaza es de meor y, por tato, podría parecer de más preciso, pero o olvidemos que su ivel de cofiaza logitud, tambié es meor. b) La amplitud o logitud vedrá dado por la fórmula: amplitud o z logitud + α z α z α ( μ) ± z α α a z α amplitud siedo, (,96)5 96 cajas de cereales c) Nos ecotramos e el caso de costruir u itervalo de cofiaza para la media poblacioal μ de variaza poblacioal descoocida, co muestras pequeñas ( 30). El itervalo de cofiaza de ivel α, viee dado por: α 0,90 s α( μ) ± t ( α ), α 0,95 α 0,99 6 α 0,0 α 0,05 α 0,0 t0,05;5,753 t0,05;5,3 t0,005;5,947 ( i ) cuasivariaza muestral s i 36,037 s 6 cuasidesviació típica 5 Los itervalos de cofiaza solicitados será: 0,90 ( μ) 0,90 ( μ) 503,75 ±, ,75,753, 503,75 +,753 [ 50, ; 506,38 ] P [ 50, μ 506,38 ] 0,90 α ,95 ( μ) 0,95 ( μ) 503,75 ±, ,75,3, 503,75 +,3 [ 500,55 ; 506, 95 ] P [ 500,55 μ 506, 95 ] 0,95 α ,99 ( μ) 0,99 ( μ) 503,75 ±, ,75,947, 503,75 +,947 [ 499,33 ; 508,7 ] P [ 499,33 μ 508,7 ] 0,99 α Señalar que a mayor ivel de cofiaza ( α) mayor es la amplitud del itervalo, y, e cosecuecia, los itervalos de cofiaza so mayores. Satiago de la Fuete Ferádez 79

4 tervalos de cofiaza CÁLCULO DE NTERVALOS DE CONFANZA PARA LA MEDA CON DESVACÓN TÍPCA POBLACONAL CONOCDA Y DESCONOCDA..- Ua muestra aleatoria etraída de ua població ormal de variaza 00, preseta ua media muestral 60. Co ua muestra de tamaño 44, se pide: a) Calcular u itervalo de cofiaza del 95 por cieto para la media poblacioal. b) Calcular u itervalo de cofiaza del 90 por cieto para la media poblacioal. c) Comparar ambos itervalos, desde el puto de vista de la iformació que geera. d) Si se quiere teer ua cofiaza del 95 por cieto de que su estimació se ecuetra a ua distacia de, cm más o meos de la verdadera media poblacioal, cuátas observacioes adicioales debe tomarse? Solució: a) Estamos situados e el caso de costruir u itervalo de cofiaza para la media poblacioal μ de variaza coocida 00. Sabemos que el itervalo de cofiaza de ivel α, viee dado por: α ( μ) [ media muestral } teemos que: ± Error muestral L α z α a z α ] Error muestral z α z α logitud L logitud o amplitud α 0,95 α 0,05 α 0,05 z, α El itervalo de cofiaza es: 0 0, 95 ( μ) 60,96 ; 60 +,96 0 [ 58,37 ; 6,63] b) Es aálogo su costrucció; la úica variació es el ivel de cofiaza: α 0,90 α 0,0 α 0,05 z α, co lo cual, 90 ( μ) 60,645 ; 60 +,645 [ 58,63 ; 6,37 ] 0, c) Si calculamos la logitud de cada uo de los dos itervalos de cofiaza: L 90 0,95 6,63 58,37 3,6 L0, 6,37 58,63,74 Satiago de la Fuete Ferádez 80

5 tervalos de cofiaza El segudo itervalo de cofiaza es de logitud meor, y, por tato, podría parecer más preciso, pero o olvidemos que su ivel de cofiaza es tambié meor (el 90 por 00 frete al 95 por cieto del primer itervalo). d) El error absoluto que se quiere cometer es de,, aplicado la fórmula para la determiació de la muestra a u ivel de cofiaza del 95 por 00, se tiee: α ( μ) [ media muestral } Error muestral ± z α ] a z α z, E cosecuecia, se debería tomar ua muestra adicioal de 3, elemetos ( ). α Satiago de la Fuete Ferádez 8

6 tervalos de cofiaza CÁLCULO DE NTERVALOS DE CONFANZA PARA LA MEDA Y LA VARANZA CON PARÁMETROS POBLACONALES DESCONOCDOS. 3.- La afluecia de visitates al parque de Mofragüe durate u mes, medida a través de ua muestra aleatoria durate 0 días elegidos aleatoriamete, ha sido los siguietes: 68, 553, 555, 666, 657, 649, 5, 568, 700, 55 Supoiedo que los iveles de afluecia sigue ua distribució ormal, y que la desviació típica muestral es de 56,99. a) Se podría afirmar, co u 95 por cieto de cofiaza, que la afluecia media al parque es de 600 persoas al mes. b) Los adjudicatarios de la eplotació al parque, e egociacioes co la Juta de Etremadura, afirmaro que la afluecia media era costate y que la dispersió sería de uas 5 persoas. Queda esta afirmació probada co los datos dispoibles co u 95% de cofiaza? Solució: a) Nos ecotramos ate u itervalo de cofiaza para la media μ de ua distribució ormal de variaza poblacioal descoocida N( μ, ), siedo la muestra pequeña 30 ( μ) ± t ( )s s ( ) s 0. 56,99 α s 3608,73 s 9 α 0,95 α 0,05 α 0,05 t α α ( α ), a 0 i 0 i 60,04 s 60, ,73 60,07 ;( ) t 0,05 ;9,6 0,95 ( μ) 60, 04 ±,6 60, ,07 60, 04,6, 60, 04 +,6 0 60,07 0 0,95 ( μ) [ 567, 07 ; 653, 0 ] P[ 567, 07 μ 653, 0 ] 0,95 α Como 567, , 0 podemos afirmar que co u 95 por cieto de cofiaza la afluecia media es de 600 persoas al mes. b) tervalo de cofiaza para la variaza de ua distribució ormal: α ( ) s ( ) χ α ; ( ) ; ( ) s χ α ; ( ) s 3608,73 α 0,95 α 0,05 χ χ χ α ; ( ) 0,975 ;9,70 α ; ( ) χ 0,05 ;9 9, 03 Satiago de la Fuete Ferádez 8

7 0,95 0,95 9.(3608, 73) ( ) 9, 03 ( ) ; 9.(3608, 73),70 [ 707,33 ; 09, ] [ 707,33 ; 09, ] P[ 707,33 09, ] 0,95 α tervalos de cofiaza 0,95 0,95 ( ) ( ) 9.(3608, 73) 9, 03 ; 9.(3608, 73),70 [ 707,33 ; 09, ] [ 4,3 ; 09, 68] [ 4,3 ; 09, 68 ] P[ 4,3 09, 68 ] 0,95 α 5 [ 4,3 ; 09, 68 ]. El itervalo de la desviació típica o cotiee el valor 5, co lo cual o se puede afirmar co ua cofiaza del 95% que la dispersió de afluecia sea de 5 persoas. Satiago de la Fuete Ferádez 83

8 tervalos de cofiaza CÁLCULO DE UN NTERVALO DE CONFANZA PARA LA DFERENCA DE MEDAS CON DESVACONES TÍPCAS POBLACONALES CONOCDAS. 4.- El gasto diario e llamadas telefóicas de dos departametos X e Y de ua misma empresa sigue ua distribució ormal, co gasto medio descoocido e ambos. Si embargo, se cooce las desviacioes típicas, que so 00 y 0 cétimos de euro para X e Y, respectivamete. La direcció ha observado que ua muestra aleatoria de 0 días, el gasto medio diario e llamadas realizadas por el departameto X ha sido de 00 cétimos, y de 400 e el departameto Y. Obteer u itervalo de cofiaza para la diferecia de gastos medios etre ambos departametos. Solució: La variables aleatorias sigue, respectivamete, las distribucioes ormales ( μ, 00) y N(, 0) N μ. El itervalo de cofiaza para la diferecia de medias μ ) co variazas poblacioales coocidas viee dado por la epresió: ( μ α ( μ μ ) ( y) ± z α y α 0,90 α 0, z α 0, ,90 ( μ μ ) (00 400) ± (,645) [ 354,68 ; 45,3] El itervalo de cofiaza o cubre el 0 por 00, lo que idica que eiste diferecia sigificativa e el gasto de llamadas telefóicas. Como el itervalo de cofiaza es egativo, se deduce que el gasto medio e llamadas telefóicas del departameto Y es superior al del departameto X, co ua cofiaza del 90 por cieto. CASUÍSTCA α (μ μ ) [ dato A< 0 ; dato B < 0] P[ (dato A< 0) μ μ (dato B< 0) ] α El itervalo o cubre el cero y por tato eiste diferecia sigificativa etre las medias poblacioales. Por otra parte, la característica e estudio de la variable aleatoria Y toma valores superiores que e la variable aleatoria X, co ua fiabilidad ( α). α (μ μ ) [ dato A< 0 ; dato B > 0] P[ (dato A< 0) μ μ (dato B > 0) ] α El itervalo cubre el cero y por tato o eiste diferecia sigificativa etre las medias poblacioales, co ua fiabilidad ( α). α (μ μ ) [ dato A> 0 ; dato B < 0] P[ (dato A> 0) μ μ (dato B< 0) ] α El itervalo o cubre el cero y por tato eiste diferecia sigificativa etre las medias poblacioales. Por otra parte, la característica e estudio de la variable aleatoria X toma valores superiores que e la variable aleatoria Y, co ua fiabilidad ( α). Satiago de la Fuete Ferádez 84

9 tervalos de cofiaza CÁLCULO DE UN NTERVALO DE CONFANZA PARA LA PROPORCÓN CON APROXMACÓN A UNA NORMAL, AL SER LA MUESTRA SUFCENTEMENTE GRANDE. 5.- Se seleccioa ua muestra aleatoria de 600 familias, a las que se preguta si tiee o o ordeador e casa. Cotestaro afirmativamete 40 familias. Obteer u itervalo de cofiaza al ivel del 95% para la proporció real de familias que posee ordeador e casa. Solució: La característica e estudio es dicotómica, teemos que costruir u itervalo de cofiaza para el parámetro p (proporció) de la variable aleatoria biomial asociada al estudio de la característica. Como el tamaño de la muestra es suficietemete grade, 600, se puede utilizar la aproimació ormal. α(p) pˆ ± z ( α ) pˆ ( pˆ ) pˆ α 0,95 0, 4 α 0,05 qˆ pˆ 0, 6 α 0,05 z α 600 z 0,05, 96 0,95 0,95 (p) 0, 4 ± (, 96) (p) 0, 4. 0,6 600 [ 0,36 ; 0, 44 ] [ 0,36 ; 0, 44 ] P[ 0,36 p 0, 44 ] 0,95 α Co ua cofiaza del 95% se puede afirmar que las familias posee ordeador etre el 36% y el 44%. Satiago de la Fuete Ferádez 85

10 tervalos de cofiaza CÁLCULO DE UN NTERVALO DE CONFANZA PARA LA PROPORCÓN Y PARA LA DFERENCA DE PROPORCONES. CÁLCULO DE LA AMPLTUD Y ANÁLSS DEL ERROR DE ESTMACÓN. 6.- Segú los dirigetes del partido A, la iteció de voto del partido rival B, e Adalucía, es la misma que la que tiee e Madrid. Se realiza ua ecuesta a 00 persoas e Adalucía de los que 5 mostraro su apoyo al partido B, y a otras 00 persoas e Madrid de las que 30 se icliaro por el partido B. a) Costruir u itervalo de cofiaza del 90% para la proporció de persoas que votaría al partido B e Adalucía b) A cuátas persoas habría que ecuestar para obteer u marge de error o error de estimació ± %, al ivel de cofiaza aterior?. c) Costruir u itervalo de cofiaza al 90% para la diferecia de proporcioes e la estimació del voto del partido B e las dos comuidades. Podemos afirmar que los dirigetes del partido A tiee razó?. Solució: a) La característica e estudio e ambas comuidades es dicotómica, teemos que costruir u itervalo de cofiaza para el parámetro p (proporció) de la variable aleatoria biomial asociada al estudio de la característica e la comuidad de Adalucía. Como el tamaño de la muestra es suficietemete grade, 00, se puede utilizar la aproimació ormal. α (p) pˆ ± z ( α ) pˆ ( pˆ) pˆ ,5 α 0,90 α 0,0 qˆ pˆ α 0,05 0,75 z α z 0,05 00,645 0,90 0,90 (p) 0,5 ± (, 645) (p ) 0,5. 0,75 00 [ 0,79 ; 0,3 ] [ 0,79 ; 0,3 ] P[ 0,79 p 0,3 ] 0, 90 α E Adalucía la iteció de voto del partido B se ecuetra etre el 7,9% y 3,%, co u ivel de cofiaza del 90%. b) La amplitud o logitud vedrá dado por la fórmula: proporció muestral error muestral ± pˆ + z ( α ) a z α pˆ.qˆ pˆ.qˆ de dode, (z α ) ) (pˆ.qˆ El caso más desfavorable será cuado pˆ qˆ 0, 5. Satiago de la Fuete Ferádez 86

11 (, 645) (0,5.0,5) 0,0004 Siedo ± a 69 ( 0,0) 0,0004 tervalos de cofiaza c) Nos ecotramos ate u itervalo de cofiaza para la diferecia de parámetros poblacioales p p ) de dos distribucioes biomiales, co el tamaño de las muestras ( suficietemete grades, 00, para utilizar la aproimació ormal. α (p p ) (pˆ pˆ ) ± z ( α ) pˆ ( pˆ ) + pˆ ( pˆ ) pˆ ,5 pˆ ,3 α 0,90 α 0,0 qˆ qˆ pˆ pˆ 0,75 0, α 0,05 z α z 0,05, 645,90(p p) (0,5 0,3) ± (, 645) 0,5. 0, ,3. 0, [ 0,53 ; 0,053] El itervalo de cofiaza cubre el cero, lo que idica que o eiste diferecia sigificativa etre la iteció de voto del partido B e ambas comuidades, co lo cual los dirigetes del partido A tiee razó co ua fiabilidad del 90%. Satiago de la Fuete Ferádez 87

12 tervalos de cofiaza CÁLCULO DE UN NTERVALO DE CONFANZA PARA LA DFERENCA DE MEDAS POBLACONALES CON DESVACONES TÍPCAS POBLACONALES CONOCDAS O NO. 7.- U fabricate de televisores está desarrollado u uevo modelo de televisor e color, y para este fi se puede utilizar dos tipos de esquemas trasistorizados. El fabricate seleccioa ua muestra de esquemas trasistorizados del primer tipo de tamaño 6, y otra del segudo tipo de tamaño 3. Los datos muestrales respecto a la vida media de cada esquema so los siguietes: horas horas s s 30 7 horas horas 6 3 Costruir u itervalo de cofiaza del 90% para la diferecia de vida media de cada tipo de esquema. Solució: Sea la variable aleatoria X 'vida media del primer esquema', que sigue ua distribució ormal N( μ, ). Aálogamete, la variable aleatoria X 'vida media del segudo esquema', sigue ua distribució ormal N( μ, ). Deseamos costruir u itervalo de cofiaza para la diferecia de medias poblacioales ( μ μ ) co variazas poblacioales descoocidas, y o sabemos si distitas o o, siedo las muestras pequeñas < Para dilucidar si las variazas poblacioales descoocidas so o o distitas, costruimos primero u itervalo de cofiaza para el cociete de variazas ( ) de modo que si el itervalo cubre al puto podremos partir de que las variazas so descoocidas pero iguales., Para costruir u itervalo de cofiaza para el cociete de variazas se emplea la fórmula: s s s s α( ) ; siedo F α ;( ),( ) F α ;( ),( ) F α ;( ),( ) F α ;( ),( ) s s s α 0,90 α 0,0 α 0,05 F 0,05; 5,, 669 F 0,95; 5, F 0,05;,5, , 404 s ,4 de dode, 0,90 ( 0,90 ( ) ) 3,4, 669 3,4 ; 0, 404 [,9 ; 7,7 ] [,9 ; 7,7 ] P,9 7,7 0, 90 α Satiago de la Fuete Ferádez 88

13 tervalos de cofiaza El itervalo o cubre el puto uo, y cocluimos que las variazas poblacioales so descoocidas y distitas, co ua fiabilidad del 90%. Nos situamos ate u itervalo de cofiaza para la diferecia de medias poblacioales ( μ ) co variazas poblacioales descoocidas y distitas o o, co muestras μ pequeñas < t α, f dode f es la aproimació de Welch + s s (s μ μ ± + s ) α ( ) ( y) t α, f f (s ) (s ) siedo, s s s ,5 s 89 3,3 (s ) 364, 06 (s ) 494,7 (s ) (s + s ) 659, 7 86, (s ) 4 3, 94 f (s + s ) 659, 8,89 (s ) (s ) 86, + 3, α 0,90 α 0,0 α 0,05 t α, f t 0,05 ; 9, horas 500 horas ,90 ( μ μ ) ( ) ± (, 699) [ 5,05 ; 84,95] El itervalo o cubre el cero, cocluyedo que eiste diferecia sigificativa etre la vida media de cada esquema, siedo mayor la vida media del segudo esquema co ua fiabilidad del 90%. Satiago de la Fuete Ferádez 89

14 tervalos de cofiaza CÁLCULO DE UN NTERVALO DE CONFANZA PARA LA DFERENCA DE MEDAS POBLACONALES CON DESVACONES TÍPCAS POBLACONALES CONOCDAS O NO. 8.- U istituto de ivestigacioes agroómicas siembra, e cico parcelas diferetes, dos tipos de maíz híbrido. Las produccioes e quitales métricos por hectárea so: Híbrido Híbrido a) Costruir u itervalo de cofiaza para el cociete de variazas co u error de sigificació de 0,0. b) Costruir u itervalo de cofiaza del 90% para la diferecia etre las produccioes medias. Solució: a) Sea la variable aleatoria X 'producció de maíz del híbrido ', que sigue ua distribució ormal ( μ, ). Aálogamete, la variable aleatoria X 'producció de N maíz del híbrido ', sigue ua distribució ormal (, ) N μ. Al costruir u itervalo de cofiaza para el cociete de variazas podremos cocluir si las variazas poblacioales descoocidas so o o distitas. De modo que, si el itervalo de cofiaza para el cociete de variazas ( ) cubre al puto podremos partir de que las variazas so descoocidas pero iguales. s s s s α( ) ; dode F α ;( ),( ) F α ;( ),( ) F α ;( ),( ) F α ;( ),( ) E uestro caso, 85,0 s 57,7 5 88,6 s 9,8 5 s s 57,7 9,8 5,89 α 0,90 α 0,0 α 0,05 F 0,05; 4, 4 6, 3883 F 0,95; 4, 4 F 0,05; 4, 4 6,3883 0,565 0,90 ( 0,90 ( ) ) 5,89 6,3883 ; 5,89 0,565 [ 0,9 ; 37,64 ] [ 0,9 ; 37,64 ] P 0,9 37,64 0,90 α El itervalo cubre el uo, y cocluimos que las variazas poblacioales so descoocidas e iguales, co ua fiabilidad del 90%. Satiago de la Fuete Ferádez 90

15 tervalos de cofiaza b) Nos situamos ate u itervalo de cofiaza para la diferecia de medias poblacioales ( μ μ ) co variazas poblacioales descoocidas pero iguales, co muestras pequeñas + 0 < 30. α ( μ μ ) ( y) ± t α,( + ) p + s dode, s p media poderada de las cuasivariazas muestrales: ( )s + ( )s 4 (57, 7) + 4 (9,8) s p a s p 33,75 s p 5, ,0 α 0,90 88,6 α 0,0 5 α 0,05 t α,( + ) t 0,05 ; 8,860 0,90 ( μ μ ) (85, 0 88,6) 0,90 ( μ μ ) ± (,860) (5,8) + 5 [ 0,3 ; 3, 43 ] [ 0,3 ; 3, 43 ] a P [ 0,3 μ μ 3, 43] 0, 90 5 El itervalo de cofiaza cubre el cero, por lo que o eiste diferecia sigificativa etre las produccioes medias, co ua fiabilidad del 90%. Satiago de la Fuete Ferádez 9

16 tervalos de cofiaza CÁLCULO DE UN NTERVALO DE CONFANZA PARA LA DFERENCA DE DATOS APAREADOS. 9.- U equipo de ivestigació biológica está iteresado e ver si ua ueva droga reduce el colesterol e la sagre. Co tal fi toma ua muestra de diez pacietes y determia el coteido de colesterol e la sagre ates y después del tratamieto. Los datos muestrales epresados e miligramos por 00 mililitros so los siguietes: Paciete Ates Después Costruir u itervalo de cofiaza del 95 por 00 para la diferecia del coteido medio de colesterol e la sagre ates y después del tratamieto. Solució.- Se trata de datos apareados, e los que o eiste idepedecia etre las muestras. E este caso, como la muestra es pequeña ( 0 < 30) el itervalo de cofiaza es: d (d i d) s d i i ( ) d t i α μ μ ± α,( ) d y d s d i i i dode d es la media de las diferecias y s d la desviació estádar de estas diferecias. X Ates Y Después d i i y i d 7, 40 s d,48 0,59 α 0,95 α 0,05 α 0,05 s d t 0 α ;( ) t 0,05; 9,6 0,59 0,95( μ μ ) 7, 40 ± (,6) 0 [ 0,7 ; 4,97] El itervalo abarca el cero, por lo que o eiste diferecia sigificativa e la diferecia del coteido medio del colesterol ates y después del tratamieto, co ua fiabilidad del 95%. Satiago de la Fuete Ferádez 9