ESTUDIO COMPLETO Y REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN

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1 ESTUDIO COMPLETO Y REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN Teoría Práctica Los pasos a seguir para el estudio completo y representación de una Función son los siguientes: ) Hallar el Dominio de la función. En dicho dominio sabemos que es continua. Par o respecto eje OX Se ha de verificar: f() f( ) ) Simetrías Impar o respecto (, ) Se ha de verificar: f() f( ) Con el eje OX y, es decir, f ( ) 3) Puntos de corte con los ejes Con el eje OY, es decir, y f Periodicidad: Diremos que una función es periódica de período si se cumple que. Signo de la función: Para saber si está por encima o por debajo del eje OX. Se estudia el signo de la función eactamente igual que cuando resolvemos una inecuación. 4) Asíntotas, primero las verticales y después se pasa al estudio de las no verticales Asíntotas Verticales Asíntotas Horizontales Asíntotas Oblicuas Si lim f ( ) ± k es AV k Generalmente la asíntota vertical, será aquel valor que no está en el dominio o aquél que nos quiten de la definición de la función Si lim f ( ) c y c es AH ± Generalmente saldrá sólo un valor para c, pero habrá algunos casos en los que haya que estudiar el límite en y en por separado, porque podrán salir valores distintos. lim f ± f Eiste la A. O. y m + n si m lim n lim f m Puede no eistir la A. O., pero si eiste es porque los límites, de la celdilla anterior, los hemos podido calcular. Posición Relativa A. V. Posición Relativa A. H. Posición Relativa A. O. lim lim lim lim lim lim Se trata de saber por dónde queda la gráfica de la función a la izquierda y a gráfica encima de la asíntota. la gráfica está por encima de la asíntota. la derecha de la recta imaginaria (AV) gráfica debajo de la asíntota. la gráfica está por debajo de la asíntota. Nota: Las AH y AO pueden ser diferentes en el y +.Así, se recomienda asegurarse de que los límites necesarios para el cálculo de dichas asíntotas se realicen en el y +. 5) Monotonía. Máimos y Mínimos. f'() > ( a,b) Creciente en ( a,b) f'() < ( a,b) Decreciente en ( a,b) f '( ) f ''( ) > Mínimo en Et Rel, P Crítico en f ''( ) < Máimo en 6) Curvatura. Puntos de Infleión. f ''( ) > a,b Convea en a,b f ''( ) < a,b Cóncava en a,b f ''( ) Punto de Infleión Página

2 Ejemplo. Realiza el estudio completo de la función ln + f() y esboza su gráfica. ) Dominio ) Simetrías 3) Puntos de Corte, Periodicidad, Signo de la Función 4) Asíntotas 5) Monotonía. Máimos y mínimos 6) Curvatura. Puntos de Infleión Se trata de un función que tiene un valor absoluto, por lo tanto vamos a descomponerla y luego la estudiamos. ln + ln + si < f ( ) si < ln + f() A partir de ahora llamaré ln + ln si + f ( ) si ) Dominio Para calcular el dominio estudiamos el dominio de cada trozo y en particular para cada función sus elementos que nos puedan dar problemas, en este caso, por ejemplo, el hecho de que lleve un logaritmo y sea racional. Por ser racional ln + Dom {} ; Por llevar un logaritmo Dom( ln( )) (,) ; Y por estar definida en < ( ). Nos sale que haciendo la intersección de todo eso: Dom( f ) { } (, ) (, ) (, ), Por ser racional ln + Dom {} ; Por llevar un logaritmo Dom( ln( )) (, ). + ; Y por estar definida en [, + ). Nos sale que haciendo la intersección de todo eso: Dom( f ) { } (, + ) [, + ) (, + ) Luego el Dom( f ) Dom( f ) Dom( f ) (, ) (, + ) { }. ) Simetrías En una función valor absoluto podemos estudiar la simetría en la función descompuesta o en la no descompuesta. Hagámoslo en la no descompuesta que es mucho más rápido. Al terminar también tenéis la simetría estudiada en la descompuesta. ln f() + ln + ln + ln f( ) Tenemos f() f( ) luego hay simetría respecto del origen ln ln ln + f( ) ***** Fijaos que para estudiar la simetría no hace falta estudiarla en la función descompuesta, así que ya sabéis. Para estudiar la simetría cuando aparezcan valores absolutos no hay por qué estudiarla en la descompuesta. Tan sólo tener en cuenta que un menos dentro de un valor absoluto no sirve para nada. Ahora bien si alguien quiere ver como también sale con la función descompuesta que lea estas líneas si no, pues que pase al punto siguiente ln + si < ln + f() ln + si Página

3 ln + ln ln si < si > si ln + f( ) ln( ) + ln ln si si si > f( ) ln( ) si < ln + ln + ln f( ) ln si ln + ln + ln + si < si > si ln + f( ) ln( ) + ln ln si + si + si > f( ) ln( ) + si < ln + ln + f( ) ln + si 3) Puntos de Corte, Periodicidad, Signo de la Función ln + f () y f() ln( ) + ln( ) e e OX ln + f() y f() ln + ln e e f() y f( ) No Eiste porque recordar que está en el otro trozo OY ln + f() y f( ) y No se puede hacer porque recordar que el Dom(f) Luego los puntos de corte con los ejes son: ( e, ),( e, ) Periodicidad: no hay funciones trigonométricas, luego no tiene. Signo de la función: Los puntos de corte con el eje de abscisas son dos los tenemos ahí arriba así que hacemos la tablita de los signos poniendo los puntos de corte y los valores que no están en el dominio y vemos que signo tiene la función. Ojo, que los valores que utilicemos en la tabla deberán sustituirse en el trozo adecuado. e 36. e 36. 4) Asíntotas Asíntotas Verticales: El valor que no pertenece al dominio es nuestro candidato, así que vamos a estudiar el límite correspondiente para calcular la asíntota vertical y su posición relativa a la gráfica de la función. ln + + Si lim es AV ln + + lim + A la izquierda de la función sube hacia arriba Posición Relativa: ln + + lim A la derecha de la función baja hacia abajo + + {} Página 3

4 Asíntotas No Verticales: Veamos el límite en más infinito y en menos infinito, para ver si hay asíntotas horizontales u oblicuas. ln( ) + ln + + lim lim I L`H lim lim y es AH ln + ln + lim lim I L`H lim lim Posición relativa ln( ) + ln + + A la izquierda, la gráfica está lim lim I L`H lim lim por debajo de la asíntota ln + ln + A lim lim I L`H lim + la derecha, la gráfica está lim por encima de la asíntota Observación este límite se podría haber calculado directamente por la escala de infinitos. Conclusión: L H no va a fallar nunca, pero algunos límites se pueden ver mucho más rápidos y directos, con las técnicas que aprendimos en su día. 5) Monotonía. Máimos y mínimos Calculemos f'() : ln( ) + ( ln( ) + ) ln ln si < si < f() f'() ln + si ( ln + ) ln ln( ) si > Ahora faltaría por hallar f'( ) pero resulta que como la función no eite en cero, su derivada va a eistir aun menos. Ahora vamos a hacer f'(), para hallar los puntos críticos o etremos relativos. Esto al ser una función a trozos hay que hacerlo con todos y cada uno de los trozos que tenga la derivada. ln ( ) ln ln ln e ln ln e Ahora hacemos nuestra tablita de monotonía, en la que colocamos los puntos críticos y los valores que no están en el dominio: f '( ) f () Mín Má Entonces se nos queda la función de la siguiente manera: Decreciente en Creciente en (, ) (, + ) (, ) (, ) "Recordar que el cero no se incluye por que no está en el dominio" Podemos asegurar la eistencia de un máimo y un mínimo según la tabla puesto que la función eiste en Así pues quedarían: (,f ) (, ) (,f ) (, ) Mínimo Máimo ± Página 4

5 6) Curvatura. Puntos de Infleión Calculemos f ''( ): ln( ) ( ln( ) ) ln ln si + + < si < f '( ) f ''( ) ln si ( ln ) > + ln + ln( ) si > Ahora faltaría por hallar f''( ) pero resulta que como la función no eite en cero, igual que antes. Ahora vamos a hacer f ''( ), para hallar los puntos de infleión. Esto al ser una función a trozos hay que hacerlo con todos y cada uno de los trozos que tenga la segunda derivada. ( ) + ln 5 ' + ln 3 ( ) ln( ) e e + ln 5 ' + ln 3 ln e e Ahora hacemos nuestra tablita de curvatura, en la que colocamos los puntos críticos y los valores que no están en el dominio: 5 ' 5 ' e 64 ' e 64 ' f ''( ) f () P I Entonces se nos queda la función de la siguiente manera: 5 ' 5 ' Convea en e, e, + Concava en 5 ' 5 ' (, e ) (,e ) Podemos asegurar la eistencia de los puntos de infleión según la tabla puesto que la función eiste en Así pues quedarían: 5 ' 5 ' 5 ' 3 ( e,f( e )) e, e Puntos de infleión 5 ' 5 ' 5 ' 3 ( e,f(e )) e, e 3 PI 5 ' ± ± e e Página 5

6 Ejemplo. Realiza el estudio completo de la función sen f() y esboza su gráfica. + sen ) Dominio ) Simetrías 3) Puntos de Corte, Periodicidad, Signo de la Función 4) Asíntotas 5) Monotonía. Máimos y mínimos 6) Curvatura. Puntos de Infleión ) Dominio Para calcular el dominio de esta función, como no nos aparece ningún valor absoluto, no es función a trozos y el seno es una función continua en todo, tan sólo hemos de tener en cuenta que se trata de una función racional. Dom( f ) { /+ sen } 7º + 36º k, k ( La solución al principio podemos sacarla en grados) + sen sen + π k, k ( Pero la solución hay que darla en radianes que si son números reales) π Luego el dominio finalmente sería: Dom( f ) + π k, k ( 4k + 3 ), k ) Simetrías En una función valor absoluto podemos estudiar la simetría en la función descompuesta o en la no descompuesta. Hagámoslo en la no descompuesta que es mucho más rápido. Al terminar también tenéis la simetría estudiada en la descompuesta. sen f() + sen sen ( ) sen f( ) luego NO hay SIMETRÍA de ningún tipo. + sen ( ) sen sen f( ) sen El cambio que he hecho con sen( ) sen es porque para el seno de un ángulo y su negativo se tiene que son números iguales y de distinto signo 3) Puntos de Corte, Periodicidad, Signo de la Función sen sen f ( ) y f ( ) sen arcsen arcsen + sen + sen OX º, 8º y sus equvalentes dando más vueltas k π, k, π, π, 3 π,..., es decir, k π, k Luego sus respectivos puntos de corte, que en este caso son infinitos, son: k π,, k Esos serán los puntos de corte siempre y cuando se encuentren en el dominio. Veamos esto con más detalle: Página 6

7 π π Los PC son:...,,,,,,, (, ),,,,,,,... Sin embargo resulta que según el dominio 4π π π 4π serían...,,,,,,, (, ),,,,,,,... Pero claro, cómo epresamos esto de forma que esté bien, pues es complicado pero una forma es a los puntos de corte quitarles los que no están en el dominio, veámoslo: kπ π ( 4k 3) π ( k ( 4k 3) ) π ( 3k 3) los puntos de corte son π + + ( 3k 3),, k sen sen OY f() y f y y y + sen + sen + Luego el único punto de corte con el eje de ordenadas es: Luego los puntos de corte con los ejes son: (, ) π ( 3k 3),, k..., π,, π,, π,,(, ), π,, π,, π,,... Periodicidad: De todas las razones trigonométricas que hay, como todas son seno, y sabemos que el seno repite gráfica y propiedades cada π, vamos a quedarnos con la RT que más grande tenga la epresión que la acompaña. En este caso sería: El periodo positivo más pequeño es π. Hemos de comprobar que f( + π ) f() sen ( + π) sen ( + π) sen f( + π ) f() + sen + π + sen + π + sen El truco para sacar el período es ir de menos a más. Primero sacamos el período más pequeño con esta π técnica: Si sen es π periódica sen ( n) es periódica n Si no nos sale con ese período probamos con π. Signo de la función: Como se trata de una función trigonométrica ésta repite periódicamente su gráfica y propiedades así que para estudiarla a partir de ahora vamos a restringirnos al intervalo donde tenga sentido la función y que esté centrado en. Esto lo vamos a hacer para signo, monotonía, curvatura y casi asíntotas. Veamos esto antes de pasar a hacer lo restante. π 9π 5π 7π π 5π Dom( f ) + π k, k ( 4k + 3 ), k...,,,,,,,,... Ese conjunto de valores que no están en el dominio salen dándole valores enteros a k. Bien, por tanto a partir de ahora vamos a considerar sólo la función en el intervalo,, puesto que todas las propiedades se van a repetir a lo largo de la recta real. En, se encuentran los siguientes puntos de corte, para ello miremos arriba (en amarillo). π π Los puntos de corte con el eje de abscisas son (, ),,,,, así que hacemos la tablita de los signos 3 poniendo los puntos de corte en, π. π π Hay que tener claro que esta tabla de signos se va a repetir en los distintos intervalos restantes de longitud π Página 7

8 4) Asíntotas Asíntotas Verticales: El valor que no pertenece al dominio es nuestro candidato, así que vamos a estudiar el límite correspondiente para calcular la asíntota vertical y su posición relativa a la gráfica de la función en, nuestros límites en los cuales hemos dejado de estudiar por que la función al ser periódica se repite en intervalos de longitud π. sen cos Si lim I L' H lim es AV sen + cos ( ) ( ) sen cos Si lim I L' H lim es AV + sen cos P R: ( ) ( ) sen cos lim I L' H lim + A la izquierda de la función sube hacia arriba + sen cos ( ) ( ) sen cos lim I L' H lim A la derecha de + sen la función baja hacia abajo + cos + + Y sale eactamente igual para la AV Asíntotas No Verticales: Veamos el límite en más infinito y en menos infinito, para ver si hay asíntotas horizontales u oblicuas. sen lim No eiste por ser periódica y no estabilizarse y es AH ± + sen 5) Monotonía. Máimos y mínimos Calculemos f'() : sen cos ( + sen ) sen cos f() f'() + sen + sen Ahora vamos a hacer f'(), para hallar los puntos críticos o etremos relativos. Esto al ser una función a trozos hay que hacerlo con todos y cada uno de los trozos que tenga la derivada. ( + sen ) cos + sen sen cos cos + sen sen cos ( sen ) ( sen ) sen cos ( sen ) ( sen ) sen ( sen ) cos sen + sen sen cos cos sen + sen sen cos + + t sen + sen sen sen + sen sen sen [ t sen ] t t t 5 t Página 8

9 No vale por que nos da lugar a valores de que no t están en el dominio de la función t. 68 t. 68 sen 5 t 68. { No vale su seno es menor que + 5 arcsen [ Calculando la solución en radianes nos da] radianes π rad rad rad α rad Con estas soluciones, en radianes, es un coñazo trabajar, así que las voy a llamar β rad Ahora hacemos nuestra tablita de monotonía en,, en la que colocamos los puntos críticos. No hacemos la tablita en más intervalos por que todos son lo mismo. Les pasa como a la gráfica de la función tangente. α β f '( ) f () 5 Má Mín Entonces se nos queda la función de la siguiente manera: Restringiéndonos al, Decreciente en, α β, Creciente en ( αβ, ) Podemos asegurar la eistencia de un máimo y un mínimo según la tabla puesto que la función eiste en α y β Mínimo ( β,f( β )) (. 475,. 65) Así pues quedarían: Máimo ( α,f( α )) (. 666,. 65) 6) Curvatura. Puntos de Infleión Calculemos f ''( ), para ello simplifiquemos previamente la función derivada: cos ( + sen ) sen cos ( cos sen ) ( + sen ) ( sen cos ) cos f'() ( + sen ) ( + sen ) ( sen ) ( + sen ) sen cos ( sen ) ( sen ) sen ( sen ) + ( + sen ) ( + sen ) ( sen ) ( + sen ) sen ( sen)( + sen) ( + sen) ( sen ) sen ( sen) ( + sen ) ( + sen ) ( sen ) sen ( sen) ( sen ) sen sen + sen sen sen sen + sen ( + ) ( + ) Página 9

10 f ''( ) ( cos sen cos ) ( + sen ) ( sen sen ) cos ( + sen ) ( + sen ) ( + sen ) cos sen cos sen cos sen cos ( cos sen cos sen cos ) cos sen sen sen ( sen sen ) cos cos sen sen sen sen f ''( ) ( sen ) + ( + sen ) Ahora vamos a hacer f ''( ), para hallar los puntos de infleión. π cos sen sen cos 3 π ( + sen ) Esta no vale porque no está en el dominio sen sen t t No tiene soluciones reales. π Luego el único punto de infleión que nos sale en, es Ahora hacemos nuestra tablita de curvatura, en la que colocamos los puntos críticos y los valores que no están en el 3 dominio, pero como en nuestro caso estamos restringido a, : π f ''( ) f () Entonces se nos queda la función de la siguiente manera: π π Convea en, ; Concava en,. Podemos asegurar la eistencia del punto de infleión, según la tabla, π π π π puesto que la función eiste en, Así pues quedaría: Punto de infleión,f, 6 P I Página

11 Ejercicios Propuestos Realiza un estudio completo de al menos 4 de las funciones y haz un esbozo de sus gráficas, siguiendo este esquema: ) Dominio ) Simetrías 3) Puntos de Corte, Periodicidad, Signo de la Función 4) Asíntotas 5) Monotonía. Máimos y mínimos 6) Curvatura. Puntos de Infleión 7) Representación Gráfica en Papel milimetrado. Toda representación que no esté perfecta o casi perfecta tendrá una disminución drástica de la nota Para las siguientes Funciones: a) f() ln ( + ) + b) f () ( 3) e c) f () 5 d) f() e) f () e f) sen f() sen + cos Observación la a), d) y f) obligatorias. Página

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