(infinito) indica una sucesión indefinida de números. Al número asociado a cada punto lo llamaremos COORDENADA.

Transcripción

1 CLASIFICACION DE LOS NUMEROS EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES El conjunto de los números naturales es el más antiguo y se usa primordialmente para contar. Los números naturales forman una colección infinita, en sus elementos. El conjunto de los números naturales se representan con la letra N. N::{O, 1,,,,, 6, 7, 8, 9,... } El símbolo (infinito) indica una sucesión indefinida de números. UBICACIÓN DE LA RECTA NUMÉRICA Los números naturales se pueden representar en una recta, a la cuál llamaremos RECTA NUMERICA O EJE NUMERICO. Para construirla se elige un punto llamado origen, para representar el O (cero). A la derecha del cero se hacen divisiones consecutivas de la misma distancia y determinan los puntos que corresponden al 1,,,,, 6, 7,... (no tienen fin). Al número asociado a cada punto lo llamaremos COORDENADA. Los cuatro postulados de PEANO que caracterizan las propiedades del conjunto de los números N son: 1.- Su primer elemento es el cero..- A cada número natural le sigue otro, llamado su sucesor.- El cero no es sucesor de ningún número natural.- Si dos números tienen el mismo sucesor, son iguales Todo número natural tiene un sucesor, por ejemplo: S ( 0 ) = 1, S ( 1 ) =, S ( ) =, S ( ) =, ETC. Todo número natural tiene un antecesor, a excepción del cero. Así como decimos que es sucesor de, podemos también decir que es antecesor de. Que denotamos a (,) = RELACION DE ORDEN Si se tienen dos números naturales a y b entonces una y sólo una de las siguientes relaciones puede ocurrir. a > b a mayor que b a = b a igual que b

2 a < b a menor que b Sea K un cuerpo abellano y consideremos una relación de orden total en el conjunto de los elementos de K que representaremos mediante la notación. Se dice que K es un cuerpo ordenado con esta relación cuando se cumplen las siguientes condiciones: a) Si x y entonces x + z y + z para cualquier z de K. b) Si 0 x y 0 y entonces 0 xy. Si K es un cuerpo ordenado mediante una relación y P es el conjunto de los elementos positivos de K se cumplen las siguientes propiedades: a) Si x < y se cumple que - x > - y. b) Si x < y y z es positivo se cumple que xz < yz. Si es negativo entonces se cumple que xz > yz. c) P es un grupo multiplicativo. d) K es un cuerpo de característica cero. Se dice que un cuerpo ordenado K es arquimediano cuando se verifica la siguiente propiedad: si x, y son elementos positivos de K existe un número natural n tal que y < nx. Esta condición equivale a la siguiente: si z K entonces z < n para algún entero n. Si K es arquimediano todo elemento de K está comprendido entre dos enteros. Aplicando reiteradamente la definición anterior se demuestra que entre dos elementos de K siempre existe un elemento racional. Para efectuar la demostración basta con hacerlo cuando x < y siendo x, y positivos o nulos. Para ello denominaremos h a la diferencia y - x, que siempre es positiva. Evidentemente siempre se puede encontrar un número natural n tal que 1 n h y un número natural m tal que y m n El cuerpo Q de los números racionales es un cuerpo arquimediano. Se define el supremo de un subconjunto acotado A de un subconjunto ordenado E como la menor de las cotas superiores de A. Con las definiciones anteriores diremos que el cuerpo real R es un cuerpo ordenado, arquimediano y tal que todo subconjunto acotado superiormente tiene supremo. El cuerpo Q de los números racionales no cumple la condición de existencia de supremo, lo que demuestra que Q y R son diferentes. Consideremos dos números reales a, b siendo a < b. El conjunto { x a < x < b } recibe el nombre de intervalo abierto de extremos a, b y se denota por (a, b). Análogamente, el conjunto [x a x b] se denomina intervalo cerrado de extremos a, b y se denota por la [a, b]. de modo similar se emplea la notación (a, b y [a,b para intervalos semiabiertos o semicerrados. El principio de encaje establece que toda sucesión decreciente de intervalos cerrados de R tiene una intersección que no es vacía. En efecto, consideremos una sucesión decreciente de intervalos cerrados.

3 a b a b 1, 1,... Es evidente que se verifica que a 1 a a..., b b b 1..., El conjunto { a 1 a a... } está acotado superiormente por lo que tiene un supremo al que llamaremos s. Ahora bien, por definición se cumple que a 1 s para cada i N. Como además cada b, es cota superior del conjunto anterior debe ser s > b, para todo i N. Ahora bien esto quiere decir que s [ a 1, b1 ] para todo i N, con lo que queda demostrado el enunciado. Se define la longitud de un intervalo cerrado, abierto o semiabierto de extremos a, b siendo a < b como la diferencia b -a. Se dice que un conjunto A de números reales es acotado y sólo si está contenido en un intervalo. Si x es un número real se llama valor absoluto de x y se denota por x, al elemento positivo del conjunto {x, - x} si x 0. Si x = 0 el valor absoluto es 0. Los números reales cumplen las propiedades x + y x + y, xy = x y igual que los números enteros y racionales. De la primera de las propiedades anteriores deduce que x - y x - y. Si x, y son elementos de R, la distancia de x a y se define como x - y. Si A es un conjunto acotado de números reales el conjunto de las distancias entre dos puntos cualesquiera de A es acotado de modo que tiene un supremo. Este supremo se denomina diámetro de A. Una aplicación i x, de N en R se denomina una sucesión de elementos de R y se designa por ( x i ) i N Los elementos ( x i ) i N reciben el nombre de términos de la sucesión. Consideramos una sucesión de números reales ( x i ) i N diremos que el número real x es el límite de dicha sucesión cuando se cumple la siguiente propiedad: para cada número real positivo, existe un número natural n tal que siempre que i > n se verifica que x - x <. El límite de una sucesión, si existe, es único. En efecto, consideramos una sucesión ( x i ) i N y sean x y x 1 dos límites de la misma. Se cumplirá que xx 1 x - x 1 + x x Si es un número real positivo, x - x es inferior a / siempre que i sea mayor que un cierto número natural n. Análogamente, x-x 1 es menor que / para todo i mayor que n 1 N. Así pues, tomando i mayor que n y que n 1 resulta que x -x 1 < Se dice que una sucesión de números reales es convergente cuanto tiene límite. El conjunto de elementos de una sucesión convergente de números reales es un conjunto acotado. La suma de dos sucesiones convergentes es otra sucesión convergente cuyo límite es la suma de los límites de las sucesiones iniciales. El producto de dos sucesiones convergentes es otra sucesión convergente cuyo límite es el producto de los límites de las sucesiones iniciales. El conjunto de los números racionales Q La división entre números enteros obliga a la introducción de una nueva clase de números: Los números fraccionarios. Los números fraccionarios son, positivo o negativos, compuestos por un par de números enteros, dados en cierto orden: l numerador y el denominador (este último distinto de cero).

4 Así: a b numerador denomin ador Donde b Ejemplos:,,,,,, etc. Obsérvese que las fracciones: ,, son números enteros por que: , 0 1 0, 0 7 Las fracciones positivas y las fracciones negativas forman con el conjunto de los números enteros EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REACIONALES. Los números racionales se pueden expresar el cociente de dos números enteros y se denotan con la letra Q: Q x x b a Dondea Z,b Z con b 0 Así, son números racionales: Q, 1.7, 11, 0.,0,0.,,1 1,1.7, Para todo racional existe un simétrico, inverso u opuesto: su inverso es 1 1 su inverso es 1 1 LOS NÚMEROS IRRACIONALES Q Los números irracionales son los reales que no son racionales, y que por lo tanto no pueden expresarse como cociente de enteros, este conjunto es el complemento de los números

5 racionales. Los números irracionales se clasifican en algebraicos y trascendentes, según que sean o no raíces de una ecuación algebraica de coeficientes racionales. Todos los números irracionales expresados por raíces o combinación de raíces son algebraicos;, 11,,, etc. 7 Los números = y e = son irracionales trascendentes. DIAGRAMAS DE VENN - EULER Los diagramas de Venn Euler se usan para representar gráficamente un conjunto o más. La siguiente ilustración es un diagrama del conjunto de los números reales. Diagrama de Venn - Euler CONCLUSIÓN: Los números reales se clasifican en racionales Q e irracionales Q. Números Racionales e Irracionales. Sumas, ejemplos: a) a+a+a= a b) ++6= 1 c) +(+)+6+(+) = = d) (6+) (+10)= 7 Resta, ejemplos: a) --1 = 0 b) -6-(-)= - c) 6-= d) -+7-(+)-9-(--6)= - Multiplicación: a) (+6)+(-)-8(-6)= 6 b) {6(-)+(+)-6(-+)}= 68 División: a) 9 = b) 7+(1) -6= 9.6 Quebrados: Suma

6 a) b) Resta: a) b) Multiplicación: a) 6 x b) 6 x x División: 6 0 a) b) 7 1 Simplificación de una fracción compleja.

7 Se efectúan las operaciones del numerador y el denominador hasta convertirlos en un solo quebrado, y se efectúa la división de estos dos quebrados, ejemplo: ( )x 7 6 ( )x x x x( 1 1 ) Efectuando numerador: Efectuando denominador: Efectuando paréntesis: 1176 x Tendremos: x x Raíz cuadrada: 1.- Exacta: De un número es el número que elevado al cuadrado reproduce exactamente el número dado..- Inexacta: o entera: De un número es el mayor número cuyo cuadrado esta contenido en el número dado o el número cuto cuadrado excede en menos al número. Ejemplo:

8 a) b) LEYES DE LOS EXPONENTES

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10 CONCEPTOS ALGEBRAICOS Signos de: operación: +, -, x,... relación: < >,, =... agrupación: ( ), { }, [ ] Monomio: 1 término a Binomio: términos a+c Trinomio: términos a+c+b Polinomio: A partir de términos a+b-6c+9x+y= z LOS NÚMEROS NATURALES La sucesión de los números naturales 0, 1,,,,, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1..., es una sucesión con infinitos términos. La suma de números naturales es la operación mediante la cual se reúnen en un solo número las unidades que forman ambos números. Los números que se suman se llaman sumandos y el resultado de la operación es la suma. La operación suma se representa con el signo más (+). La suma de números naturales cumple las propiedades uniforme, asociativa, conmutativa y tiene elemento cero. Propiedad uniforme. La suma de dos números naturales es siempre un número natural. Propiedad asociativa. La suma de números naturales cumple que a+(b+c)=(a+b)+c Propiedad conmutativa. La suma de números naturales cumple que a+b= b+a. Elemento neutro. La suma de números naturales a se verifica que a+0 =0+a= a. Por este motivo se dice que el número cero es el elemento neutro respecto de la suma de números naturales. Con la suma de números naturales no existe elemento simétrico, ya que existe elemento simétrico cuando al operar cualquier elemento con su elemento simétrico se obtiene el elemento neutro. Obviamente la suma de números naturales no cumple esta propiedad. Así, por ejemplo, el elemento simétrico del número debería cumplir que +s= s+ = 0. Para ello, debería se s = -, pero - no es un número natural. Así pues, la suma de números naturales no posee elemento simétrico. por todo lo expuesto, el conjunto N de los números naturales con la operación suma posee estructura de semigrupo abellano con elemento neutro. La resta es la operación opuesta a la suma y consiste en hallar uno de los sumandos, que se denomina resta, conocida la suma, que se llama minuendo y el otro sumando, que recibe el nombre de sustraendo. El signo menos (-) colocado entre el minuendo y el sustraendo indica que ambos deben restarse. Una restricción muy importante de la sustracción de números naturales consiste en que la resta sólo puede efectuarse cuando el minuendo es mayor que el sustraendo. Multiplicación o producto.

11 Esta operación que consiste en hallar un número denominado producto a partir de dos enteros llamados multiplicando y multiplicador, que indican respectivamente el número que hay que multiplicar y el número de veces que hay que multiplicarlo. Los signos por (x) o (*) encontrados entre el multiplicando y el multiplicador indican que los números deben multiplicarse. El multiplicando y el multiplicador se denominan también factores. La multiplicación de números naturales debe considerarse como una suma de tantos sumandos iguales al multiplicando como indique el multiplicador. La multiplicación de números naturales verifica las propiedades uniforme, asociativa, conmutativa, distributiva respecto de la suma y posee elemento neutro. Propiedad uniforme. El producto de dos números naturales es siempre un número natural. Propiedad asociativa. El producto de números naturales verifica que a x (b x c) = (a x b) x c Propiedad conmutativa. La multiplicación de números naturales cumple que: a x b= b x a Elemento neutro. El producto de números naturales verifica que para todo número natural a se cumple que: a x 1 = 1 x = a Por este motivo se dice que el número 1 es el elemento neutro del producto de números naturales. El producto números naturales no posee, en general, elemento simétrico. En efecto, si consideramos, por ejemplo, el número, su elemento simétrico debería ser 1/, pero 1/ no es un número natural. Propiedad distributiva. La multiplicación de números naturales verifica que: a x (b+c) = (a x b) + (a x c) Así, pues el conjunto N de los números naturales con la operación producto tiene estructura de semigrupo abeliano con elemento neutro. La división es la operación inversa de la multiplicación y consiste en hallar uno de los factores, llamado cociente, conocidos otro de los factores llamado divisor y el producto, que se denomina dividendo. El signo (:) colocado entre el dividendo y el divisor indica que ambos números deben dividirse. Ejemplos de términos semejantes: Regla Se suma los coeficientes poniendo delante de esta suma el mismo signo que tienen todos... CASO 1.- Reducción de o más términos. a) a+b = 8a b) -b-7b = 1b c) -a-9a = 10 a d) a x- +a x- = 8a x- e) -a m+1-7a m-1 = 11a m+1 Regla Se restan los coeficientes poniendo delante de esta la diferencia el signo del mayor. CASO.- Reducción de términos con signo distinto. a) a-a = -a b) 18x-11x = 7x

12 c) -0ab+11ab = -9ab d) -18a x +1a x = a x e) a x+1 -a x+1 = -9a x+1 Regla: Hacer la suma o resta algebraica de cada uno respetando los signos anteponiendo el signo de la sumatoria mayor de expresión y después la parte literal. CASO.- Reducción de o más términos semejantes con signo distinto. a) a-a+6a = -7a b) 18x-11x-x = -x c) -0ab+11ab-6ab =-ab d) a x+1 -a x+1 +1a x+1 +a+1 = -a x+1 EL BINOMIO DE NEWTON El binomio de Newton es una expresión que permite determinar el desarrollo de (a+b) n en función de las potencias de a y de b siendo n un número natural cualquiera. Las potencias sucesivas de (a+b) son las que se representan en la tabla 1. Resulta inmediato comprobar que en cada sumando la suma de los exponentes de a y b coinciden con el exponente de (a+b) n en la expresión correspondiente. Por lo que respecta a los coeficientes se tiene la siguiente regularidad (ver tabla ). Es decir, los coeficientes que se obtienen coinciden con los correspondientes al desarrollo del triángulo de Tartaglia. Generalizando el caso (a+b) n se demuestra sin dificultad como podemos ver en la tabla. El desarrollo precedente se conoce como binomio de Newton y en él se observan las siguientes regularidades. El número de términos del desarrollo es una unidad mayor que el exponente del binomio. El exponente de a en el primer término del desarrollo es igual al exponente del binomio y en cada término posterior va aumentando en una unidad. El exponente de b en el segundo término del desarrollo es 1 y en cada término posterior va aumentando también en una unidad. El coeficiente del primer término del desarrollo es y el coeficiente del segundo término es igual al exponente de a en el primer término del desarrollo. El coeficiente de cualquier término se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el exponente de a en dicho término anterior y dividiendo este producto por el exponente de b en ese mismo término aumentado en una unidad. El último término del desarrollo es b elevado al exponente del binomio. Ejemplo. Desarrollar (x+) Solución: Tendremos los resultados que se observan en la tabla.

13 Usando el segundo término del binomio es negativo, los signos que aparecen son alternativamente positivos y negativos. A veces interesa calcular directamente un término cualquiera del desarrollo d eun binomio sin tener que calcular todos los términos anteriores. Para ello se usan los siguientes resultados: El numerador del coeficiente de un término cualquiera del desarrollo es un producto que empieza por el exponente del binomio. Cada factor posterior es una unidad menor que el anterior y aparecen tantos factores como térmios preceden al térmio de que se trate. El denominador del coeficiente de un término cualquiera es una expresión factorial de igual número de factores que el numerador. El exponente de a en un término cualquiera es el exponente del binomio disminuido en el número de términos que preceden a dicho término. El exponente de b en un término cualquiera es igual al número de térmios que lo preceden. Ejemplo: Calcular el cuarto término de (x-) Solución: Tendremos: POLINOMIOS Se dice que una función real de variable real f es una función polinómica cuando existen uno números reales a 0, a 1,...,a n tales que f(x) Se dice que una función real de variable real f es una función pollnómlca cuando existen unos números reales a 0,a... a tal es que f(x) a 0 +a 1 x+a x a n x n Los números reales se denominan coeficientes de la función pollnómica. Por consiguiente, una función polinómica sobre el cuerpo R de los números reales es una sucesión infinita de números reales que son todos ellos iguales a cero salvo un número finito. Si n es el mayor entero tal que a n 0 se dice que el grado de la función polinómica es n, o sea, que grad f = n. Así, la función polinómica

14 f(x) = x x es de cuarto grado. Cada uno de los sumandos que aparecen en la expresión de una función polinómica es un monomio o término El conjunto de las funciones polinómicas reales con las operaciones suma y producto posee estructura de anillo conmutativo con elemento neutro. Como además no hay divisores de cero, se dice que tiene estructura de dominio de integridad. Si y g son funciones polinómicas reales diferentes de cero, se verifica que grad (f. g) = grad f grad g. Cuando se emplea el símbolo x como indeterminada, el anillo de las funciones polinómicas sobre R se denota por R (x) y una función polinómica cualquiera f se denota por f(x). El cuerpo R de los números reales puede también considerarse como un subconjunto de R (x) como consecuencia de la identificación anterior. Esto es correcto puesto que las operaciones suma y multiplicación de números reales se conservan mediante dicha Identificación. En efecto, se tiene: (...,0,a 0 )+(...,0, b0)= =(..., 0, a 0 +b 0 ) y (...,0, a 0 )...(..., 0, b 0 )= = (..., 0, a 0 b 0 ) Tal como puede observarse, los números reales distintos de cero son las unidades del anillo R (x). Hay que resaltar asimismo que cualquier función polinómica diferente de cero está asociada a un polinomio mónico único. Por consiguiente, si d y d son polinomios mónicos tales que d divide a d y d divide a entonces d = d. puesto que cualquier función polinómica g divide a otra función polinómica f si existe otra fundón polinómica h tal que f = h. g. Sean 1 y g dos funciones polinómicas sobre el conjunto R de los números y supongamos que g 0.1 En este supuesto, existirán polinómicas k y s tales que f = kg + s, siendo s = 0 o bien grads<gradg. En efecto, si f = 0, o bien si grad 1< g tendremos que f = 0. g + f. Supongamos que grad 1< g, como por ejemplo, f = a n x n+...+a 1x+a 0 y g = b m x m+...+b 1x+b 0 siendo a n b m 0 y h m. ADICIÓN DE MONOMIOS. La adición de monomios es una redacción de términos semejantes en un sólo término. Sumar los siguientes monomios: 6x, -x, +x, -x 6x-x+x-x= (6-+-)x = x Se suman sus coeficientes numéricos Se saca factor común. Este procedimiento es aceptable pues trata del uso de la propiedad distributiva, ejemplos: a) a b -1a b + a b -6 a b +0 a b = ( ) a b = a b 1 b) x - x + x = ( )x = x 8 8

15 Se reduce a un sólo término sumando ADICIÓN DE POLINOMIOS Para sumar dos o más polinomios agrupamos los términos semejantes de tal forma que se coloquen juntos: c) a+9b-6 sumarle -a-b+7 (a+9b-6)+(-a-b+7) = (a-a)+(9b-b)+(-6+7) = a+b+1 Se colocan juntos los términos semejantes. SUMA DE POLINOMIOS EN COLUMNAS SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS El inverso aditivo de un número se obtiene anteponiéndose al número el signo -. El inverso aditivo de x es -x El inverso aditivo de +x es -x El inverso aditivo de -y es +y El inverso aditivo de un término se obtiene cambiando el signo a su coeficiente. La sustracción es una operación inversa de la suma y podemos restar sumando el inverso del sustraendo.

16 (+7ax)-(-ax)=(+7ax) = 10ax INVERSO ADITIVO DEL SUSTRAENDO Ejemplos: (+9m)-(+m) = (9)+(-m) = 7m (-11xy )-(+ xy ) = (-11 xy )+(- xy )= -1 xy SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS Para restar polinomios se suma al minuendo el inverso aditivo del sustraendo. Ejemplos: MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Recuerda que una de las leyes de los exponentes para la multiplicación es: (a m )(a n ) 0 a m+n se suman los exponentes Ejemplos:

17 MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO Al multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad distributiva. Ejemplos: MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Para multiplicar un polinomio por otro polinomio hacemos uso repetido de la propiedad distributiva. Ejemplos: MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS EN COLUMNAS DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN POLINOMIO

18 1) Dividir x -x+x +1 entre x- 1.- El dividendo y el divisor se ordenan en forma descendente con respecto a x..- Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor..- Se multiplica el primer término del cociente por cada uno de los términos del divisor. Estos productos se restan al dividendo (recuerda se les cambia el signo).- Dividimos el primer término del nuevo dividendo entre el primer término del divisor. 7x = 7x segundo término del cociente x Se multiplica 7x por cada uno de los términos del divisor. (7x)(x) = 7x para restar -7x (7x)(-) = -1x para restar +1x Por último, dividimos -x entre x x = - tercer término del cociente x y multiplicamos - por cada término del divisor (-)(x) 0 -x para restar +x (-)(-) = +1 para restar -1 Llegamos al final del proceso PRODUCTOS NOTABLES Cuadrado de la diferencia de cantidades. ejemplos: a) (a-b) = a -ab+b b) (x-) = x -10x+ c) (a -b ) = 16a -a b +9b 6 d) (a-b) = a -1ab +ab Producto de la suma por las diferencias de cantidades.

19 ejemplos: a) (a+b) (a-b) = a -9b b) (a+b) (a-b) = a-9b c) (x a -y m ) (y m +x a ) = 9x a -y m d) (x+y) (x-y) = x- EL CUBO DE UN BINOMIO Si elevamos x + y al cubo, tendremos: Si se expresa esta fórmula por medio de palabras se tiene: REGLA 1 El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término. Si elevamos x - y al cubo, tendremos: Si se expresa está fórmula por medio de palabras se tiene: REGLA

20 El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo del primer término, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término. Ejemplos: BINOMIO AL CUBO (SUMA) El primer término al cubo más el triple producto del primer término al cuadrado por el segundo más el triple producto del primero por el segundo más el segundo al cubo. Ejemplos: a) (a+b) = a +a b+ab +b b) (x+) = (x) +(x) ()+(x)() + Resultado: 6x +10x +00x1 BINOMIO AL CUBO (RESTA) El primero al cubo menos el triple producto del primero al cuadrado por el segundo más el triple producto del primero por el segundo al cuadrado menos el segundo al cuadrado. a) (a-b) = a -a b+a b-b b) (x-y) = x -(x) +y+(x)(y) -y 7x -1x y+xy -1y+ PRODUCTOS NOTABLES

21 La transformación de productos notables en expresiones algebraicas, se resumen en la siguiente tabla. Cuadrado de una suma Cuadrado de una diferencia Binomios Conjugados Producto de dos binomios que tienen un término común Producto de dos binomios con un término semejante y el otro no común Cubo de la suma de un binomio Cubo de la diferencia de un binomio Factores cuyo producto da una suma de cubos Factores cuyo producto da una diferencia de cubos Producto de dos binomios que no tienen un término común SUMAS, RESTAS, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN DE POLINOMIOS Y MONOMIOS x +xy +y, -x y+x -y, x -xy -y -xy + x - y + x + y + xy + x - y + x -xy + x + 7y + xy

22 -7m n + n, m 6mn -n, -m +7m n+n -m + 7m n + n + m - n + 6mn - 7m n + n m - m n + 8n + 6mn x--x +x, x -x +, 7x -x+6 7x - x + 6 -x + + x -x + x + x x - x x + x a +a 6 +6, a -a +8, a -a -1 a - a a a a + a 6 a - a a + a + a 6 x +x-9, x -7a +6, -x -x+ x - 7a x + x + + x - x x - 7a x - x - x * a +a, a +, 7a +a, -8a -6-8a - 6-7a + a +a + + a +

23 x -x y, -x 8 y+6xy, -xy +y, -x y -6 -x y - 6 -x y - x - x 8 y + 6xy - xy + y x y x - x 8 y - xy + y xy+x, -7y +xy-x, y -x +6+y, -6x -xy+y 6x - xy + y -x + 6xy + y x + xy - 7y x + xy - y a -8ax +x, a -6ax -x, a -a x-a x-x, a +1ax -x a x - 6ax - - 8ax + a + x -a x + a - x - 1ax + a - x a x - ax - + a - x - x -8a m+6am -m, a -am +m, -a +a m-am, 7a m-am -6 -a + a m - am - 8a m + 6am - m a - am + m - am - 6 a + 11a m - am - m - 6

24 -m -n +6m m, -m n+mn +n, m -n +6mn, -m -m n+n -m n + mn + n + 6mn - n + m -m n + n - m -6m n - n + m -8m n - mn - n + m x -x y -xy, x y+x y -y, x y -xy -y, x +xy +y x - x y - xy - x y - xy + x y + x y - y x + xy - y + y x - x y - 10xy + x y + x y - y a +a 6 +a, a +a +6, a +a-8, -a -a -a+6 a + a 6 + a + a + a + a a -a - a a + 6 -a + a 6 + 8a + a + a a a -b, -a b+a b -ab, -a +a b-a b, -a b+a b -b a b + a b - b -a b + a b - b + a a b - a b - a - ab 9a b + 8a a b + b - a - ab

25 ax-a x-, a x-1 +6 x-, 7a x- +a x-, a x-1, 1a x- a x-1 + a x- a x-1 + 7a x- - 1a x- 6a x-1 + a x- - a x- + a x- + a - a x- + a x- + a a x+ -a x +a x+1, -a x+ -a x-1 +a x-, -a x +a x+ -a x+, a x-1 -a x- +a x+ a x+ - a x + a x+1 - a x - a x+ - a x-1 + a x- -a x+ + a x+ + a x-1 - a x- + a x+ + a x-1 - a x- a x+ + a x + a x a x+ + a x-1 - a x- x +x y + 7 y - 6 x + 8 x y - 61 xy - 11 y, - 6 x y- 1 x y + 71 x - 6 x + 8 x y - 61 xy - 1 y x + x y + 7 y x + 1 x y - 6 x y + 71 y 1 x y - 61 xy y - 6 x y 9 a + 6 ax - 1 x, 7 a x- 87 ax - 91 x, - a + 1 a x- 1 a 9 a + 6 ax ax - 1 x x 7 a x

26 - a + 1 a x a - 1 ax + x + a x - 1 a 1 a a 6 -a +a, a - 8 a - 1 a, - 7 a - 8 a +6, - 8 a-6 a 6 - a + a + a - 8 a - 1 a - 7 a - a + 6 a 6-7 a a - 8 a a + a - 86 a - 17 a 0 RESTAS x+x -18x -11x -b de x -6x +8x -9+1x x - 6x + 8x x -x - 18x x - 11x -x - 6x + 6x x + 11x 8a b+a b -1a b -ab -8 de a -6a b +8ab -b +6 a - 6a b + 8ab - b a b - ab a b - 1a b a - 6a b - 7ab - b - + 8a b - 1a b y +8y -1y -8y- de y 6 +y +y +9 y 6 + y + y y - + 8y - 1y - 8y y 6 + y + y - + 8y - 1y - 8y

27 7x 7 +x -x +1x+6 de x 8 -x 6 +x -x -9 x 8 - x 6 + x - x x 7 + x - x + 1x x 8 - x 6 + x - x x 7 + x - x + 1x y 7-60x y +90x y -0xy 6 -x y de x 7 -x y +x 9 y -8x y +6 x 7 - x y + x y - 8x y x y - x y + y x y - 0xy 6 x 7 - x y - xy + 7x y y x y - 0xy a x+ -a x+1-6a x de a x+ -8a x+1 - a x+ - 8a x a x+1 + a x+ - 6a x a x+ + a a a a+ - 6a x 8a n-1 +a n- +7a n +a n- de 8a n +16a n- +1a n- +1a n- a - 8a n + 16a n- + 1a n- + a n- 7a n + a n- + a n- + 8an -1 an n + 16a n- + 10a n- + a n- - 8a n-1 1x a+1 -ax a+ -x a+ -x a+ -18x a-1 de 1x a+ +x a+ -6x a +1x a-1 1x a+ + x a+ - 6x a + 7x a-1-9x a+ - 18x a-1 - x a+ - 7x a+1 1x a+ - x a+ + 6x a + 1x a-1 - x a+ - 7x a+1

28 1a m- -a m-1 -a m -8a m- de 9a m-1-1a m- +6a m- +1a m- 9a m-1-1a m- + 6a m- + 1a m+ -a m-1 + 1a m- - a m - 8a m- -a m-1-9a m- + 6a m- + 1 m- - a m - 8a m- -m x+ -6m x+1 -m x+ -m x-1 de 1 x+ +0m x+1-1m x -6m x-1 +8m x- -1m x+ + 0m x+1-1m x - 6m x-1 + 8m x- - 6m x+1 - m x-1 - m x+ - m x+ -1m x+ - m x+1-1m x + m x-1 + 8m x- - m x+ - m x+ 11 m + n + 1 n + 1 m n m n + mn 9 + m 11 m + n m n + 9 m n m MULTIPLICACIÓN a n b-a n- b +a n- b -a n- b x a n b -a n- b a n b - a n-1 b + a n- b - a n- b a n b - a n- b -a n b + a n- b 6 - a n- b 7 + a n - b 8 - a n- b 6 + a n- b - a n-1 b + a b -a n b - a n- b 7 + a n- b 8 + an b - a n-1 b + a n b a x b x x a m +b m x a x a m + b x + b m a m + a m+1 + a x b m + b mx a mx + a m b x ba x b m + b m+x

29 a x-1 -b n-1 x a-b x a x-1 - b n-1 a - b a x-1 - ab n-1 - a x+1 b + b x-1 - ab n-1 + a x-1 b + b a m+1 -a m+ +a m x a m- +6a m-1-8a m- x a m+ + a m+1 + a m a m- - 8a m m -a m + a m - a m- -8am-1 - a m- + 0a -m +18a m-1 + 6am - 0a m+1 am-1 - a m- - a m- + 6a m - 0a m ax- 1 x + 8 a x 8 x -a x + 8 a 8 1 ax - 1 x + 8 a x 8 x - a x + 8 a 9 a x - x + 7 ax - 1 a x - 1 ax - ax - 6 a x - 9 ax + 66 a a x - x + ax - 18 a x + a 7 x xy - 1 x y x 1 x - xy + 6 y 7 x xy - 1 x y x 1 x - x y + 6 y x y x y - 1 x y 8 1 x y + 11 x - 01 x y 1 x y - 1 x y - 1 x y 19 0 x y x y - 1 x y + 11 x x y x - 1 x+ 1 x x x x

30 1 + 1 x - 1 x + 1 x x x x 0 1 x + 01 x x x + x - 1 x + 8 x + 01 x + 01 x x x x x x x + 8 x 0 1 x m - 1 m n+ mn - 1 n x m + n - mn m - x m + 7 m m - 1 m n + mn - n - mn 1 n 1 m n + 1 m n - 61 m n m n - m n + mn - 8 n 6 m n + 1 m n - 1 m n + 61 mn 6 m n m n m n + 67 mn - 8 n a x +a m+1 entre a a m - a m+ + 6a m+ -a -a -a Igual a: a m- + a m-1 + a m+ a m b n +a m-1 b n +-a m- b n+ entre a b a m b n + a m-1 b m- - a m- b n+ a b a b a b Igual a: a m- b n- +a m- b n-1 -a m- b n+1 x m+ -x m 6x m+1 +1-x m-1 entre a b -x m + 6x m+1 + x m+ - x m-1 -m - x m- x m- x m- Igual a: -x +6x +x -x

31 a x+ b m-1-6a x +b m- +8a x+ b m- entre -a x+ b a x+ b m-1-6 x+1 b m- + 8a x+ b m- -a x+ b m+ +a x+ b m -a x+ b m- Igual : -a b +ab -b a-b+6c x 10 a x a - b + 6c x - 10 a x 10 ax - a bx + cx 9 x -x y + 1 y 9 x - x y + 1 y x 78 x y - 16 a m + a b m - a mx + 81 a my m + 1 m n- 6 mn - 91 n x m n m + 1 m n - 6 mn - 91 n x m n 1 m n + 8 m n - 8 m n - 6 m n 6 x 6-1 x y + x y y 6 x - 7 a x y x 6-1 x y + x y y 6 x - 7 a x y - 7 a x 10 y + 1 a x y - 7 a x y + 11 a x y 9 1 a- b x a

32 1 a - b x a 1 b - 7 a a- b x - a b a - x a b b - 9 a b + a b a- 61 b+ c x - ac a b + c x - ac a + 1 ab = ac a + 1 ab- b x a x a + 1 ab - 9 b x a x 8x + a bx - a b 1 x - xy- 1 y x y 1 x - xy - x y 1 x y - xy - 1 y 1-88 y