Sistemas de ecuaciones

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1 Eje temático: Álgebra y funciones Contenidos: Sistemas de ecuaciones Nivel: 2 Medio Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas de ecuaciones lineales En distintos problemas de matemáticas nos vemos enfrentados a cálculos con ecuaciones que tienen dos incógnitas que dependen una de la otra. Para poder resolverlas, debemos considerar 2 ecuaciones que relacionen estas incógnitas. (Siempre se necesitará el mismo número de ecuaciones que de incógnitas por resolver). Dos ecuaciones que relacionen dos incógnitas conforman un sistema de ecuaciones. Existen distintos métodos de resolución para calcularlas, ya sean gráficos, algebraicos o mecánicos. 1.1 Interpretación gráfica Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma: Donde a, b, c, d, e, f suponen valores positivos, mientras que los valores de x e y son las incógnitas. Cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta. Determinar el valor de las incógnitas y, por tanto, la solución del sistema es hallar un punto común que satisfaga ambas ecuaciones, esto es, encontrar el punto donde se intersectan ambas rectas. Gráficamente, la situación es la siguiente: En el ejemplo anterior, la gráfica de las ecuaciones y = 1/4 x + 4, y = ¾ x tiene como solución: x = 4, y = 3

2 Existen otros métodos, llamados algebraicos para resolver un sistema de ecuaciones. Estos son: reducción, igualación, sustitución. 1.2 Métodos algebraicos 1. Método de reducción Consiste en igualar los coeficientes pero con diferente signo de una de las incógnitas en ambas ecuaciones. El objetivo es que al reducirlas miembro a miembro, se elimine esa incógnita, quedando una sola ecuación con una incógnita, la cual es posible resolver. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: Multiplicando la segunda ecuación por 2, obtenemos: Reduciendo ambas ecuaciones se eliminará una de las variables, y se obtiene: 7x = 21, por lo tanto x = 3 Reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales podemos obtener el valor de la segunda incógnita. Por ejemplo en la segunda: y = 16 Despejando y obtenemos que y = 2 Por lo tanto, la solución del sistema es el punto (3,2). 2. Método de igualación Consiste en despejar una misma incógnita en ambas ecuaciones, obteniendo dos expresiones diferentes, las cuales se igualan, resultando una ecuación con una incógnita que se puede resolver. Para calcular la segunda incógnita se puede reemplazar el valor la primera en cualquiera de las ecuaciones iniciales. Resuelve el siguiente problema: Si se compran 2 lápices y 5 carpetas, se deberá pagar $ 4.290, y si se compran 3 lápices y 2 carpetas, se paga $ Cúanto vale cada lápiz y cada carpeta?

3 Para resolver este problema se debe plantear un sistema de ecuaciones: 2l + 5c = l + 2c = 2310 Donde l, es el valor de cada lápiz y c, el valor de cada carpeta. Resolviendo por igualación despejaremos la incógnita en ambas ecuaciones. Así, 1)l = c 2 y 2)l = c 3 Imagen c c Igualando las expresiones tenemos: = 2 3 igualando productos cruzados: 3( c) = 2( c) c = c = 15c 4c = 11 c, entonces c = : 11 c = 750 cada carpeta cuesta $ c Reemplazamos en 2)l = l = ( ) : 3 3 Entonces: l = 270 cada lápiz cuesta $ Método de sustitución Consiste en despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones, luego se sustituye la expresión en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita. Se calcula ésta y luego se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular la segunda incógnita. Resuelve el siguiente problema: A un cine asiste un grupo de 5 niños y 2 adultos. Pagan $ en total. Otro grupo, compuesto de un adulto y 3 niños paga $ Cuánto vale la entrada de un adulto? Y la de un niño? 5n + 2a = Formamos un sistema de ecuaciones 3n + a = Donde n es el valor de la entrada de un niño y a es el valor de la entrada de cada adulto. De la segunda ecuación despejaremos a a = ( n) Reemplazamos en la otra ecuación: 5n + 2 ( n) = resolviendo esta ecuación obtenemos que n = $1.200 Reemplazando este valor en a = ( n) obtenemos que a = 2.000

4 Para ejercitar con problemas cotidianos que se resuelven utilizando sistemas de ecuaciones (59 ejercicios propuestos) consulta el sitio: SisEcuProblemas.html 2. Análisis de las soluciones de un sistema de ecuaciones En un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, cada ecuación corresponde a una recta, y la solución del problema es el punto de intersección. Podemos tener cualquiera de las siguientes situaciones: 2.1. Infinitas soluciones Si las ecuaciones representan la misma recta, habrá infinitos puntos comunes, lo que se produce cuando los coeficientes de x e y de los términos libres son proporcionales: No hay solución Si las ecuaciones representan rectas paralelas, no habrá puntos comunes. Esto se produce si el sistema de ecuaciones tiene los coeficientes de x y de y proporcionales entre sí, pero no proporcionales a los términos libres: 2.3. Solución única Si las ecuaciones presentan rectas secantes, habrá un solo punto de intersección. Esto se produce si los coeficientes de x y de y en el sistema no son proporcionales:

5 Observa que: La proporcionalidad entre los coeficientes de x y de y equivale a que las pendientes de las rectas sean iguales. Por lo tanto, es posible que si las tres razones son iguales, entonces son la misma recta, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. Y si solamente las razones de los coeficientes de x y de y son iguales, entonces las rectas son paralelas no coincidentes y el sistema no tiene soluciones. Hallar el valor de p de modo que el sistema no tenga soluciones: Como no tiene soluciones, debe acontecer que: Claramente,, por lo tanto el valor de p lo obtenemos de la proporción:. Multiplicando cruzado, obtenemos: 4p 4 = 2p + 4. Entonces p = 4

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