Sistemas lineales con parámetros

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1 4 Sistemas lineales con parámetros. Teorema de Rouché Piensa y calcula Dado el siguiente sistema en forma matricial, escribe sus ecuaciones: 3 0 y = 0 z + y 3z = 0 y = Aplica la teoría. Escribe los siguientes sistemas en forma matricial: a y = + y + z = 0 y + z = a 0 b 0 5 y z. Escribe en forma ordinaria el siguiente sistema: 0 3 y = 3 0 y z 3. Discute los siguientes sistemas: a 3 y + z = + 4y + z = 0 5y = = 0 = 5 3 z = 3 + y + z = 3 y + z = 0 b + y z = + y + z = 5 + 5z = 3 z b 3 + y + z = 5 3 y z = + 3y + 3z = 3 a Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes: 3 C = 4 = Como el determinante de C es distinto de cero, el RC = 3 y se tiene: RC = RA = 3 = número de incógnitas ò Sistema compatible determinado. b Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes: 3 C = 3 = Como el determinante de C es igual a cero, se halla el rango de A y C por Gauss: 3 5 R 3 = = R 3 ª + 3 ª = 3 5 3ª ª = R = ª : 4 40 SOLUCIONARIO

2 3 3 3 = R = ª ª = R RC = < RA = 3 ò Sistema incompatible. 4. Discute los siguientes sistemas: a + y z = 0 + y = + z = b + y + z = + 3y + z = 0 + y + z = 3 a Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes: C = 0 = 0 0 Como el determinante de C es igual a cero, se halla el rango de A y C por Gauss: 0 R 0 = 0 0 = R 0 ª ª = 0 ª + 3ª 0 0 = R 0 = R 0 0 RC = RA = < número de incógnitas ò Sistema compatible indeterminado. b Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes: C = 3 = Como el determinante de C es distinto de cero, el RC = 3 y se tiene: RC = RA = 3 = número de incógnitas ò Sistema compatible determinado.. Regla de Cramer y forma matricial Piensa y calcula Dado el siguiente sistema, resuélvelo matricialmente: 3 = y 4 3 = = y 4 Aplica la teoría 5. Resuelve por Cramer: a + y = 5 + 3z = 6 5y z = 0 b + y z = 6 + 3y 7z = y + z = 6 a Determinante de los coeficientes: 0 C = 0 3 = La solución es: = = = y = = = z = = = b Determinante de los coeficientes: C = 3 7 = 5 TEMA 4. SISTEMAS LINEALES CON PARÁMETROS 4

3 La solución es: = = = y = = = z = = = 6. Resuelve por Cramer en función del parámetro a: Determinante de los coeficientes: 0 C = 0 = La solución es: a a = = = a a 0 0 y = = = a 0 0 a z = = = a 7. Resuelve por Cramer: + y = a + z = 0 + y + z = 4 + 4y + 5z + 5t = 0 + 3z t = 0 + y 5z = 0 3y + z = Determinante de los coeficientes: C = = La solución es: = = = y = = = z = = = t = = = Resuelve matricialmente el sistema: 3 + y + z = 5 y + z = 6 + 5y = y = 6 = z 3 7 =, y =, z = 3 9. Resuelve matricialmente el sistema: y = y = = 07 z 7 34 = 3, y =, z = 5 0. Resuelve matricialmente el sistema: 3y + z = 7 + 4y + z = 4y = y = 3 = z 8 5 La solución es: =, y =, z = 5 z 3 4 SOLUCIONARIO

4 Piensa y calcula Resuelve mentalmente el siguiente sistema: Se elimina la 3ª ecuación porque es: ª + ª + y = 0 + y = ò = ò y = ª ª 3. Resolución de sistemas de cuatro ecuaciones + y = 0 + y = 3 + y = Aplica la teoría. Resuelve el siguiente sistema: + y + t = 3 3 y+ z t = 5 3y + z 4t = + y+ z + t = Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes: 0 3 ª 3 ª C = = ª 5 ª 4ª ª = = = ª 0 3 El sistema no es de Cramer porque C = 0. Se resuelve por Gauss ª ª R = ª 3ª ª 4ª = R = ª = R = ª 4 3ª 0 3 = R RC = 3 = RA < número de incógnitas ò Sistema compatible indeterminado. El sistema es equivalente a: + y + t = 3 4y z + 7t = 8 3z 5t = 8 + y = 3 t 5t 8 4y = 8 7t 3 5t 8 z = 3 4 4t + = 3 t 3 y = ò 5 l = l y = l z = 3 t = l 4 4t y = 3 5t 8 z = 3 lé 5 t = 3. Resuelve el siguiente sistema: + y = 3 t 4y z = 8 7t 3z = 8 + 5t 4 4t 3 + z + t = y + z t = y + z t = z t = 0 Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes: 0 0 C = = 0 3ª ª 0 0 TEMA 4. SISTEMAS LINEALES CON PARÁMETROS 43

5 0 0 0 = = 0 0 = = El sistema es de Cramer porque C 0. Se puede resolver por Cramer, pero es más sencillo por Gauss. La solución es: = 3; y = ; z = ; t = 3. Resuelve el siguiente sistema: + y + z = 4 y + z = 3 y z = 6 y + z = 6 El sistema no es de Cramer porque no tiene el mismo número de incógnitas que de ecuaciones. Se resuelve por Gauss. 4 R = = ª + ª + 3ª = R 4 ª ª = 3 3ª 3 ª = R 0 3 = 0 4 ª 3 3ª = R 0 3 = R ª : RC = RA = 3 = número de incógnitas ò El sistema es compatible determinado. El sistema es equivalente a: y + z = 3y z = z = y + = ò 3y = z = = 0 ò y = z = La solución es: =, y =, z = 4. Resuelve el siguiente sistema: = y + z = 5 + y 4z = + y z = y z = 0 y = ò El sistema no es de Cramer porque no tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. Se resuelve por Gauss. 5 4 ª ª R = 3ª ª 0 4ª ª ª : 3 = R = ª : = R = 0 3 3ª ª = R = R ª 3ª RC = 3 < RA = 4 ò El sistema es incompatible. 4. Discusión de sistemas con parámetros Piensa y calcula Discute, según los valores de k, el siguiente sistema: + y = 3 + y = 3 ò + y = k 0 = k 6 Para todo valor k? 6 el sistema es incompatible. Para k = 6 el sistema se reduce a + y = 3 ò Compatible indeterminado. + y = 3 + y = k 44 SOLUCIONARIO

6 Aplica la teoría 5. Discute, según los valores del parámetro a, los siguientes sistemas: a a + y + z = + ay + z = a + y + az = a b a + + y + z = 0 + a + y + z = 0 + y + a + z = 0 a a Se calcula C = a = a 3 3a + a a 3 3a + = 0 ò a =, a = Para todo valor de a? y a? se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, Se estudian los valores que son raíces de C Para a = se tiene: R = 4 4 = R ª ª = ª + 3ª 4 = R ª : 3 = ª : = R 0 = R ª ª Se tiene que RC = < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. Para a = se tiene: R = Se tiene que RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. a + b Se calcula C = a + = a 3 + 3a a + a 3 + 3a = 0 ò a a + 3 = 0 ò a = 3, a = 0 Para todo valor de a? 3 y a? 0 se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, Se estudian los valores que son raíces de C Para a = 3 se tiene: R = R ª ª = ª + 3ª = R ª : 3 = R = ª Se tiene que RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. Para a = 0 se tiene: R = Se tiene que RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. 6. Discute, según los valores del parámetro k, los siguientes sistemas: a k + y + z = 4 + y + z = k y + kz = b + y + z = 0 k + z = 0 y + kz = 0 k a Se calcula C = = k k k = 0 ò k =, k = Para todo valor de k? y k? se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, Se estudian los valores que son raíces de C Para k = se tiene: 4 4 R ª + ª = R 0 3 ª + 3ª Se tiene que RC = < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. Para k = se tiene: 4 R ª ª = ª 3ª 4 4 = R = R ª : Se tiene que RC = < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. TEMA 4. SISTEMAS LINEALES CON PARÁMETROS 45

7 b Se calcula C = k 0 = k k + 6 k k + k 6 = 0 ò k = 3, k = Para todo valor de k? 3 y k? se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, Se estudian los valores que son raíces de C Para k = 3 se tiene: R 3 0 ª + 3 ª = 3 ª 3ª = R = R = ª Se tiene que RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. Para k = se tiene: R 0 ª ª = ª 3ª = R 0 0 = R Se tiene que RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. 7. Discute, según los valores del parámetro a, el siguiente sistema: Como hay más ecuaciones que incógnitas, se calcula el determinante de la matriz ampliada: Se calcula A = a y = 4 a + y = + 3y = = a a = 0 ò a = Para todo valor de a? se verifica que: RC < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. Para a = se tiene: R = R 3 ª ª = ª 3 ª = R 0 ª : = R 0 = ª : 7 0 = ª = R 0 Se tiene que RC = RA = = número de incógnitas y, por lo tanto, 8. Discute, según los valores del parámetro m, los siguientes sistemas: a + y = m + z = my + mz = m + b m + + my + z = m + my = 0 m + + m + z = m 0 a Se calcula C = m 0 = m m + m m m + m = mm + = 0 ò m =, m = 0 Para todo valor de m? y m? 0 se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, Se estudian los valores que son raíces de C Para m = se tiene: 0 0 R 0 0 ª + ª = 0 = 0 0 ª + 3ª = R 0 Se tiene que RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. Para m = 0 se tiene: 0 0 R = R = ª Se tiene que RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. m + m b Se calcula el C = m 0 = m + 0 m + = mm + m 46 SOLUCIONARIO

8 mm + m = 0 ò m = 0, m =, m = Para todo valor de m? 0, m? y m? se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, Se estudian los valores que son raíces de C Para m = 0 se tiene: 0 = 3ª R 0 0 ª : = = R = R 0 ª ª 0 Se tiene que RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. Para m = se tiene: R = R Se tiene que RC = < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. Para m = se tiene: 4 4 R 0 = R 0 = 0 3ª : = R 4 ª 4 ª = R 0 = 0 3ª ª 0 = ª 0 = R 0 Se tiene que RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. TEMA 4. SISTEMAS LINEALES CON PARÁMETROS 47

9 Ejercicios y problemas PAU Preguntas tipo test Contesta en tu cuaderno: 3 4 Un sistema lineal heterogéneo es compatible determinado si C, matriz de los coeficientes, y A, matriz ampliada con los términos independientes: RC < RA RC = RA = Nº de incógnitas RC > RA RC? RA Si tenemos el sistema lineal matricial CX = B tal que eiste C, la solución es: X = BC X = BC X = CB X = C B Un sistema lineal homogéneo: siempre es compatible. siempre es incompatible. unas veces es compatible y otras incompatible. ninguna de las anteriores es cierta. Un sistema lineal de tres ecuaciones con dos incógnitas: si RC = RA =, es compatible. si RA = 3, es compatible. si RC = 3, es compatible. si RC = RA = 3, es compatible. 8 Para a = 0 no tiene solución, y para a =, compatible indeterminado. Si a? 0 incompatible, y si a = 0, compatible indeterminado. Si a = 0 incompatible, y si a? 0, compatible indeterminado. Si a? incompatible, y si a =, compatible indeterminado. Se considera el sistema: y + z = y + z = a + z = a donde a es un parámetro real. Resuelve el sistema para a = 0 Resuelve el sistema para a = Para a = 0 no tiene solución; para a =, = z +, y = z + Para a = 0, = y = z = 0; para a = no tiene solución. Para a = 0, =, y = 3, z = 5; para a =, =, y =, z = 3 Para a = 0, =, y =, z = 3; para a =, = 3, y =, z = Un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas: si RC = RA =, es compatible determinado. si RC? RA, es compatible determinado. si RC = RA = 3, es compatible determinado. si RC < RA, es compatible determinado. Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro k k + ky z = 3 ky = ky = 0 + z = Es siempre incompatible. Para k? 0, compatible determinado. Para k = 0, compatible determinado. Para k = 0, compatible indeterminado. Se considera el sistema: y + z = y + z = a + z = a donde a es un parámetro real. Discutir el sistema en función del valor de a 9 0 Dado el sistema: estudia su compatibilidad según los valores de a Si a? 0, a?, compatible determinado; si a =, incompatible; si a = incompatible. Si a?, compatible determinado; si a =, compatible indeterminado. Si a? 0, compatible determinado; si a = 0, compatible indeterminado. Si a?, a? 3, compatible determinado; si a =, incompatible; si a = 3, incompatible. Dado el sistema: a + y + z = + ay + z = + y = a + y + z = + ay + z = + y = resuélvelo cuando sea posible. Si a?, =, y =, z = a Si a =, = /, y = /, z = a/ = /, y = /, z = a/ para a? y = l, y = l, z = 0; lé para a = No se puede resolver porque RC? RA 48 SOLUCIONARIO

10 Ejercicios y problemas. Teorema de Rouché 9. Discute los siguientes sistemas: a 3 y + z = + 4y + z = 3 5y + z = a Como C = 0, se halla el rango de C y de A por Gauss y se obtiene: RC = = RA < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. b Como C = 0, el RC = RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es compatible determinado. b 5 + 4y + 5z = 9 y = 5 + 3y + 5z = 5 Como hay más incógnitas que ecuaciones, se pasa t al º miembro y se resuelve por Gauss, obteniéndose la solución: 3t 9 7t 4t + 3 =, y =, z = La solución en ecuaciones parámetricas es: 3l = 3 9 7l y = 3 4l + 3 z = 3 t = l lé 0. Discute los siguientes sistemas: a + y + 4z = 0 4 y + z = 4 3 y + z =. Discute los siguientes sistemas: a y + z = + y + 3z = 3y z = 3 a Como C = 0, se halla el rango de C y de A por Gauss y se obtiene: RC = < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. b Como C = 0, se halla el rango de C y de A por Gauss y se obtiene: RC = = RA < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. b + y 4z = + y 5z = y z = b 8 + y + 4z = 9 5 y + 4z = 6 + y =. Regla de Cramer y forma matricial 3. Resuelve por Cramer: a 7 + y + 3z = 5 5 3y + z = 5 0 y + 5z = 36 b 3 + y + 4z = + y + z = 0 + y + 3z = a Como C= 36, el sistema es de Cramer. La solución es: =, y =, z = b Como C = 5, el sistema es de Cramer. La solución es: =, y = 0, z = 5 5 a Como C = 0, se halla el rango de C y de A por Gauss y se obtiene: RC = < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. b Como C = 0, se halla el rango de C y de A por Gauss y se obtiene: RC = = RA < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado.. Discute y resuelve, si es posible, el siguiente sistema: + 4y z + t = 0 + y + z = 3 5 y 4z t = 4. Resuelve por Cramer: a + y + z = 3 4y = 5 7 y 3z = 8 b + y + 3z = 0 + y + z = 0 + 3y + 4z = a Como C = 46, el sistema es de Cramer. La solución es: =, y =,z = b Como C =, el sistema es de Cramer. La solución es: = 4, y =, z = 0 TEMA 4. SISTEMAS LINEALES CON PARÁMETROS 49

11 Ejercicios y problemas 5. Resuelve matricialmente: C= 5. Calculando la matriz inversa de los coeficientes se tiene: y = ò y = z 3 z 4 3 = 0 = La solución es: =, y = 0, z = 6. Resuelve matricialmente: C=. Calculando la matriz inversa de los coeficientes se tiene: 0 y = 0 ò y = z 0 0 z 0 = = 0 La solución es: = 0, y =, z = 3. Resolución de sistemas de cuatro ecuaciones 7. Resuelve el siguiente sistema: Como C = 0, el sistema no es de Cramer. Se resuelve por Gauss: La solución es: = + t, y = t, z = t = + l y = l z = l t = l y z y z = = + y z + t = y + z 4t = + y + z = 3 + z t = lé Resuelve el siguiente sistema: El sistema no es de Cramer porque tiene más ecuaciones que incógnitas. Se resuelve por Gauss: =, y =, z = 9. Resuelve el siguiente sistema: 3y z = + 5y + 3z = 3 + y + z = 3 + 7y + 5z = 5 El sistema no es de Cramer porque tiene más ecuaciones que incógnitas. Se resuelve por Gauss: z z =, y = l = l y = z = l con l é 30. Resuelve el siguiente sistema: + y 3z + t = y z 3t = 7 y 6z 8t = y 7z t = 4 Como C = 0, no se puede resolver por Cramer. Se resuelve por Gauss: = z + t +, y = z t = l + µ + y = l µ z = l t = µ + y + z = + y 3z = 8 y z = y + z = 4. Discusión de sistemas con parámetros con l é, µé 3. Discute, según los valores del parámetro m, los siguientes sistemas: a m + my = 6 + m y = 3 50 SOLUCIONARIO

12 b m + + y + z = 3 + y + mz = 4 + my + z = m m a Se calcula C = = m m m m m = 0 ï mm = 0 ò m =, m = 0 Para todo valor de m? y m? 0 se verifica que: RC = RA = = número de incógnitas y, por lo tanto, Se estudian los valores que son raíces de C Para m = se tiene: RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. Para m = 0 se tiene: RC = < RA = y, por lo tanto, el sistema es incompatible. m + b C = m = m 3 m + 6m m m 3 + m 6m = 0 ï m = 0, m = 3, m = Para todo valor de m? 0, m? 3 y m? se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, Se estudian los valores que son raíces de C Para m = 0 se tiene: RC = = RA < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. Para m = 3 se tiene: RC = < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. Para m = se tiene: RC = < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. 3. Discute, según los valores del parámetro a, los siguientes sistemas: b + y + z = 3 y + az = 9 y 6z = 5 b + y + z = y + 3z = 5 y + az = 6 a Se calcula C = a = a a + 6 = 0 ò a = 8 Para todo valor de a? 8 se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, Se estudian los valores que son raíces de C Para a = 8 se tiene: RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. b C = 3 = 3a a 3a 4 = 0 ò a 8 = 0 ò a = 8 Para todo valor de a? 8 se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, Se estudian los valores que son raíces de C = 0 Para a = 8 se tiene: RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. 33. Discute, según los valores del parámetro k, los siguientes sistemas: a 3 5y = 6 + y = k + y = b + y = 3 + y z = 3 k + 3y z = 0 4z = 3 a Como hay una ecuación más que incógnitas, se estudia el determinante de la matriz ampliada A = k = k + k = 0 ò k = 0 ò k = Para todo valor de k? se verifica que: RC < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. Se estudian los valores que son raíces de A Para k = se tiene: RC = RA = = número de incógnitas y, por lo tanto, b Como hay una ecuación más que incógnitas se estudia el determinante de la matriz ampliada A = = k + 0 k k + 0 = 0 ò k = 0 Para todo valor de k? 0 se verifica que: RC < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. Se estudian los valores que son raíces de A Para k = 0 se tiene: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, TEMA 4. SISTEMAS LINEALES CON PARÁMETROS 5

13 Ejercicios y problemas 34. Resuelve y clasifica los siguientes sistemas: a Se resuelve por Gauss y se obtiene que el sistema es incompatible. b Se resuelve por Gauss y se obtiene: = y + 3t, z = 9t = l + 3µ y = l z = 9µ t = µ con l é, µé 35. Para cada valor del parámetro real k, se considera el sistema lineal de ecuaciones: y = 3 3y = k 3 5y = k Se pide: a discutir el sistema según los valores de k b resolverlo en los casos en que sea compatible. a Como hay una ecuación más que incógnitas, se estudia el determinante de la matriz ampliada. A = k + 4k 3 k 4k + 3 = 0 ò k =, k = 3 Para todo valor de k? y k? 3 se verifica que: RC < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. Se estudian los valores que son raíces de A Para k = se tiene: RC = RA = = número de incógnitas y, por lo tanto, Para k = 3 se tiene: RC = RA = = número de incógnitas y, por lo tanto, b Para k = la solución es: = 7, y = 4 Para k = 3 la solución es: = 3, y = 0 Para ampliar a 3 + y z = 4 + y + z = 3 3z = 4 + 5z = 6 b y + 3z + 4t = 0 y + 3z + t = 0 3 3y + 5z + 6t = Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro m: + y z = + y + z = 5 + m + z = 3 a Discute el sistema para los distintos valores de m b Resuelve el sistema para m = 3 a C = m m = 0 ò m = Para todo valor de m? se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, Se estudian los valores que son raíces de C Para m = se tiene: RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. b Para m = 3 la solución del sistema es: = 3, y = 8, z = Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a: y = a + y + z = 0 y +az = a Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro a b Resuelve el sistema para a = c Resuelve el sistema para a = a C = a + a = aa + a + a = 0 ò aa + = 0 ò a = 0, a = Para todo valor de a? y a? 0 se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, Se estudian los valores que son raíces de C Para a = se tiene: RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. Para a = 0 se tiene: RC = < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. b Para a = la solución del sistema es: = + y, z = 5 SOLUCIONARIO

14 La solución en ecuaciones paramétricas es: con l é c Para a = la solución es: =, y =, z = / 38. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real l: a Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro l b Resuelve cuando sea indeterminado. a C = l + l l + l = 0 òl=, l = Para todo valor de l? y l? se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, Se estudian los valores que son raíces de C Para l = se tiene: RC = < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. Para l = se tiene: RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. b Para l = la solución del sistema es: = z, y = z + = l y = l + z = l con l é 39. Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: a + y z = 0 + ay = + z = a Discute el sistema según los valores del parámetro a b Resuelve el sistema cuando tenga más de una solución. a C = a a a a = 0 ò a =, a = Para todo valor de a? y a? se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, = + l y = l z = + y + lz = l y z = l + ly + z = l Se estudian los valores que son raíces de C Para a = se tiene: RC = < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. Para a = se tiene: RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. b Para a = la solución del sistema es: = z, y = z = l y = l z = l 40. Sea el siguiente sistema: con l é + ky + z = k + ky z = k y + z = k a Discute la compatibilidad del sistema según los valores del parámetro k b Resuelve el sistema para k = c Resuelve el sistema para k = a C = 3k 6k 3 3k + 6k + 3 = 0 ò k + k + = 0 ò k = Para todo valor de k? se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, Se estudian los valores que son raíces de C Para k = se tiene: RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. b Para k = la solución del sistema es: = z +, y = z = l + y = l z = l con l é c Para k = la solución del sistema es: = /3, y = /3, z = /3 4. Siendo a un número real cualquiera, se define el sistema: + y az = y + z = 0 a + z = a a Discute el sistema en función del valor de a b Encuentra todas sus soluciones para a = TEMA 4. SISTEMAS LINEALES CON PARÁMETROS 53

15 Ejercicios y problemas a C = a + a a a + = 0 ò a = Para todo valor de a? se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, Se estudian los valores que son raíces de C Para a = se tiene: RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. b Para a = la solución del sistema es: = z, y = z = l y = l z = l con l é 4. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real l: donde l es un número real. a Discute el sistema según los valores del parámetro l b Resuelve el sistema para l = 0 c Resuelve el sistema para l = 3 a C = l l l l = 0 òll = 0 òl= 0, l = Para todo valor de l?0 y l? se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, Se estudian los valores que son raíces de C Para l = 0 se tiene: RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. Para l = se tiene: RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. b Para l = 0 la solución del sistema es: =, y = z = y = l z = l con l é c Para l = 3 la solución del sistema es: =, y = 0, z = y + z = l + y + z = l + l y z = Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real l: + y + 5z = 0 ly = 0 y + z = 0 Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro l y resuélvelo. a C = 4l 4l = 0 òl= 3 Para todo valor de l?3 se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, Se estudian los valores que son raíces de C Para l = 3 se tiene: RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. b Para l = 3 la solución del sistema es: = 3z, y = z = 3t y = t z = t con t é Para l?3 la solución del sistema es la solución trivial: = 0, y = 0, z = Considera el sistema de ecuaciones: + y + z = l + 3y + z = 7 + y + l + z = 5 a Clasifica el sistema según los valores del parámetro l b Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. a C = l + 3l + l + 3l + = 0 òl=, l = Para todo valor de l? y l? se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, Se estudian los valores que son raíces de C Para l = se tiene: RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. Para l = se tiene: RC =? RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. 54 SOLUCIONARIO

16 45. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones: a Discute el sistema en función del parámetro a b Resuélvelo para a = a C = a 8 a 4 = 0 ò a =, a = Para todo valor de a? y a? se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, Se estudian los valores que son raíces de C Para a = se tiene: RC = < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. Para a = se tiene: RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. b Para a = la solución del sistema es: = 3 y, z = = 3 l y = l z = con l é 46. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones: y + z = 6 y + a 4z = 7 + y + z = a Discute el sistema en función del parámetro real a b Resuélvelo para a = 4 a C = a + 4 a 4 = 0 ò a = 0 ò a = Para todo valor de a? se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, Se estudian los valores que son raíces de C Para a = se tiene: RC = < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. b Para l =, la solución del sistema es: = z +, y = z 3 = t y = 3 + t con t é z = t a + y + 6z = 0 + ay + 4z = + ay + 6z = a b Para a = 4 la solución del sistema es: = 5, y =, z = Sea el sistema de ecuaciones: a Discute el sistema en función del parámetro real a b Resuelve el sistema en los casos en que resulte compatible determinado. a C = a + a + = 0 ò a = Para todo valor de a? se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, Se estudian los valores que son raíces de C Para a = se tiene: RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. b Para a? la solución del sistema es: =, y = 0, z = 48. Se considera el sistema: a + + y + z = a + 3 a + y = a a + 3y + z = a + + my = 0 + mz = m + y + 3z = a Discute el sistema según los valores de m b Resuelve el sistema para m = 6 a C = m 5m m 5m = 0 ò mm 5 = 0 ò m = 0, m = 5 Para todo valor de m? 0 y m? 5 se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, Se estudian los valores que son raíces de C Para m = 0 se tiene: RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. Para m = 5 se tiene: RC = < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. b Para m = 6 la solución del sistema es: =, y = 4, z = Sea el sistema homogéneo: + z = 0 + my + mz = 0 + my + m + 3z = 0 TEMA 4. SISTEMAS LINEALES CON PARÁMETROS 55

17 Ejercicios y problemas a Calcula el valor de m para el que el sistema tenga soluciones distintas de la trivial. b Halla las soluciones. a C = m m = 0 ò m = 0 Para todo valor de m? 0, la solución es la trivial. b Para m = 0 se tiene: RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. La solución es: = 0, z = 0 = 0 y = l z = 0 con l é Problemas 50. Dado el sistema de ecuaciones: a estudia su compatibilidad. b añade al sistema una ecuación de tal forma que el sistema resultante tenga solución única. Justifica la respuesta y encuentra dicha solución. c añade al sistema dado una ecuación de tal forma que el sistema resultante sea incompatible. Justifica la respuesta. a RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. b + y + z = y + z = z = 0 El sistema tiene como solución: =, y =, z = 0 c Se añade una ecuación contradictoria con las otras dos; por ejemplo, sumando y cambiando el término independiente: 3 + z = 0 5. Se considera el siguiente sistema: y = a + a z = a + y + aa z = a a Discute el sistema según los valores del parámetro real a b Resuelve el sistema para a = 3 + y + z = y + z = Se estudian los valores que son raíces de C Para a = 0 se tiene: RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. Para a = se tiene: RC = < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. b Para a = 3 la solución del sistema es: = 5/, y = /, z = / 5. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones en las incógnitas, y, z, t: + y + z = 0 y + z + t = 0 + ky t = 0 a Encuentra los valores de k para los que el rango de la matriz de los coeficientes del sistema es b Resuelve el sistema anterior para k = 0 a Estudiando la matriz de los coeficientes por Gauss se obtiene que si k = 3/, el RC = b Para k = 0, la solución es: = t/, y = 0, z = t/ La solución en ecuaciones paramétricas es: l = y = 0 l = t = l con l é a C = a a a a = 0 ò aa = 0 ò a = 0, a = Para todo valor de a? 0 y a? se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, 53. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones: l + y = 3 + lz = 3 y 7z = l + a Halla todos los valores del parámetro l para los que el sistema correspondiente tiene infinitas soluciones. 56 SOLUCIONARIO

18 b Resuelve el sistema para los valores de l obtenidos en el apartado anterior. c Discute el sistema para los restantes valores de l a C = l + l 4 l + l 4 = 0 òl + 6l 7 = 0 òl= 7, l = Se estudian los valores que son raíces de C Para l = 7 se tiene: RC = < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. Para l = se tiene: RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. b Para l = la solución del sistema es: = + z, y = z = + l y = l z = l con l é c Para todo valor de l? 7 y l? se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, 54. Discute el sistema, según el valor del parámetro m, y resuelve en los casos de compatibilidad. + 3y + z = y + mz = 6 0y z = m 4 a C = 4m 4 4m 4 = 0 ò m = 0 ò m = Para todo valor de m? se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, Se estudian los valores que son raíces de C Para m = se tiene: RC = < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. b Para m? la solución del sistema es: 3m = + 7m 8 mm 3 m, y =, z = 4m 4m m a C = a + 3a a 3a + = 0 ï a =, a = Para todo valor de a? y a? se verifica que: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, Se estudian los valores que son raíces de C Para a = se tiene: RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. Para a = se tiene: RC = < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. b Para a = la solución es: = z, y = 0 = l y = 0 z = l con l é Para a? y a?, la solución es: a a =, y =, z = a a 56. Discute, según los valores del parámetro k, el siguiente sistema: y z = k 3 z = y + z = 6 + y 4z = k Como hay una ecuación más que incógnitas, se estudia el determinante de la matriz ampliada. A = k k = 0 ò k 6 = 0 ò k = 6 Para todo valor de k? 6 se verifica que: RC < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. Se estudian los valores que son raíces de A Para k = 6 se tiene: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, a 55. Dado el siguiente sistema: + z = y + a z = 0 + a y + az = a a discute el sistema según el valor del parámetro a b resuelve el sistema en todos los casos de compatibilidad. 57. Discute, según los valores del parámetro k, el siguiente sistema: + y z = k + y + z = y + 3z = y = k TEMA 4. SISTEMAS LINEALES CON PARÁMETROS 57

19 Ejercicios y problemas Como hay una ecuación más que incógnitas, se estudia el determinante de la matriz ampliada. A = k + k 8 k k + 8 = 0 ò k 6k + 9 = 0 ò k = 3 Para todo valor de k? 3 se verifica que: RC < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. Se estudian los valores que son raíces de A Para k = 3 se tiene: RC = RA = < número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado. 58. Discute, según los valores del parámetro k, el siguiente sistema: + y + 5z = 0 3y = 0 y + z = 0 + y + kz = k 60. Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro a: a + z + t = ay + z t = ay + z t = az t = 0 C = a 3 a 3 = 0 ò a = 0 Para todo valor de a? 0 se verifica que: RC = RA = 4 = número de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible determinado. Se estudian los valores que son raíces de C Para a = 0 se tiene: RC = < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. Como hay una ecuación más que incógnitas, se estudia el determinante de la matriz ampliada. A = 0 para cualquier valor de k Se estudia el sistema por Gauss y se obtiene que para k = 7/, el RC = < RA = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. Para k? 7/, el RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, 59. Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro m y resuélvelo cuando sea posible: + z 3 = y + z + = 0 y z + = 0 y + mz + 5 = 0 Como hay una ecuación más que incógnitas, se estudia el determinante de la matriz ampliada. A = 8m 36 8m + 36 = 0 ò m + = 0 ò m = Para todo valor de m? se verifica que: RC < RA = 4 y, por lo tanto, el sistema es incompatible. Se estudian los valores que son raíces de A Para m = se tiene: RC = RA = 3 = número de incógnitas y, por lo tanto, Para profundizar 6. Discute y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los valores de los parámetros a y b: 3 y + z = + 4y + z = b 5y + az = C = 3a 3 ò C = 0 ò a = Para a?, C? 0 y se cumple que RA = RC = 3 = nº de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible determinado para cualquier valor de b Estudio para a = Permutando la columna de las y con la de las y pasando la ª ecuación a la 3ª 3 RA = R 5 5 ª ª = 4 b 4 ª + 3ª 3 = R = b 3ª ª 3 = R b 3 Cuando b? 3 RC = < RA = 3 ò El sistema es incompatible. Cuando b = 3 RC = RA = < nº de incógnitas ò El sistema es compatible indeterminado. La solución es: = 7 9z/3, y = 8 z/3 58 SOLUCIONARIO

20 lé Para los valores de a?, la solución es: 7 9b b + 4 = + 3a 3 3 b 3b y = + 3a 3 z = 6. Discute, según los valores de los parámetros l y µ, el sistema de ecuaciones lineales: C = l ò C = 0 òl= Para l?, C? 0 ò RC = RA = nº de incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible determinado para cualquier valor de µ Estudio para l = Permutando la columna de las z con la de las µ RA = R ª ª = µ 3ª ª µ = R µ = = R b 3 a 7 9l = 3 8 l y = 3 z = l µ µ l + y + z = µ + y + lz = + y + lz = µ Cuando µ?, RC = < RA = 3 ò El sistema es incompatible. Cuando µ =, RC = RA < nº incógnitas ò El sistema es compatible indeterminado. 63. Discute, según los valores de los parámetros a y b, el sistema de ecuaciones lineales: 5y + az = 3 y + z = + 4y + z = b C = 3a 3 ò C = 0 ï a = Para a?, C? 0, RC = RA = nº incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible determinado para cualquier valor de b Estudiando por Gauss el rango de la matriz ampliada, se obtiene: Si a = y b = 3 ò RC = RA = ò El sistema es compatible indeterminado. Si a = y b? 3 ò RC = < RA ò El sistema es incompatible. 64. Calcula el valor de a y b para que el sistema siguiente sea compatible indeterminado: y + z = 3 y + z = 3 y az = b C = a + ò C = 0 ï a = Para a = el RC = Se estudia por Gauss la matriz ampliada y se obtiene: Para b = 4 el RA = Por lo tanto, para a = y b = 4, RC = RA = ò El sistema es compatible indeterminado. 65. Estudia, según los diferentes valores de a y b, la compatibilidad del sistema: y z = b + y + z = 5 4 5y + az = 0 C = 3a + 4 ò C = 0 ï a = 8 Para a? 8,C? 0, RC = RA = nº incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible determinado para cualquier valor de b Estudiando por Gauss el rango de la matriz ampliada, se obtiene: Si a = 8 y b = 0 ò El sistema es compatible indeterminado. TEMA 4. SISTEMAS LINEALES CON PARÁMETROS 59

21 Ejercicios y problemas 66. Dado el sistema de ecuaciones lineales: a + y + z = + ay + z = b + y + az = a discute el sistema en función de a y b b resuelve el sistema para a = b = C = a 3 3a + = a a + ò C = 0 ï a =, a= Para a? y a?,c? 0, RC = RA = nº incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible determinado para cualquier valor de b Estudiando por Gauss el rango de la matriz ampliada, se obtiene: Si a = y b =, RC = RA = < nº de incógnitas ò El sistema es compatible indeterminado. Si a = y b?, RC = < RA = ò El sistema es incompatible. Si a = y b =, RC = RA = < nº de incógnitas ò El sistema es compatible indeterminado. Si a = y b?, RC = < RA = 3 ò El sistema es incompatible. 67. Dado el sistema de ecuaciones lineales: y + z = 3 y + z = 3 y az = b a halla los valores de a y b para los que el sistema sea compatible indeterminado y su solución sea una recta. b halla la solución para los valores obtenidos en el apartado anterior. a C = a + ò C = 0 ï a = Para a? C? 0, RC = RA = nº incógnitas y, por lo tanto, el sistema es compatible determinado para cualquier valor de b Estudiando por Gauss el rango de la matriz ampliada, se obtiene: Si a = y b = 4, RC = RA = < nº de incógnitas ò El sistema es compatible indeterminado. Si a = y b? 4, RC = < RA = 3 ò El sistema es incompatible. b La solución para el caso a = y b = 4 es: =, y z = en paramétricas: = y = + l z = l con l é 60 SOLUCIONARIO

22 Windows Derive 7. Discute el siguiente sistema: 73. Resuelve matricialmente el siguiente sistema: + y z = 0 + 5y = 4 + 3y + z = 5 Paso a paso 68. Discute, según los valores de k, el siguiente sistema: 69. Resuelve el sistema cuando sea posible, según los k + y + z = 0 valores de a, y clasifícalo. + ky + z = k a + y + z = + y + kz = k + ay + z = + y + az = + y + z = a Resuelto en el libro del alumnado. Resuelto en el libro del alumnado. 70. Internet. Abre: y elige Matemáticas, curso y tema. Practica + y + z = 3 + y + 4z = 5 y + 3z = 4 7. Resuelve el sistema: y + z = 8 + 3y z = 5 + y + 3z = Resuelve el siguiente sistema: + y + z 3t = + 5y + 3z 8t = 4 + y + z 4t = y + 5z t = 8 TEMA 4. SISTEMAS LINEALES CON PARÁMETROS 6

23 Linu/Windows 75. Considera el siguiente sistema de ecuaciones: a Resuélvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado. b Resuelve el sistema que se obtiene para a = a + y + z = 4 ay + z = + y + z = a Resuelve el siguiente sistema: + y = y + z = z = 3 y + z = Discute, según los valores del parámetro k, el siguiente sistema: k + y = + k + y = + ky = 6 SOLUCIONARIO

24 Windows Derive 78. Clasifica el sistema siguiente según los valores del parámetro k k + y z = 0 y + kz = + y + z = k 79. Dado el sistema homogéneo: + ky z = 0 k y + z = 0 k + + y = 0 averigua para qué valores de k tienen soluciones distintas de = y = z = 0. Resuélvelo en tales casos. 80. Dado el sistema de ecuaciones lineales determina para qué valor o valores de a el sistema tiene una solución en la que y = ay = a y = a + TEMA 4. SISTEMAS LINEALES CON PARÁMETROS 63

25 Problemas propuestos. Sea A una matriz 3 Ò 3 de columnas C,C y C 3 en ese orden. Sea B la matriz de columnas C + C,C + 3C 3 y C en ese orden. Calcula el determinante de B en función del de A C + C C + 3C 3 C = C C + 3C 3 C + C C + 3C 3 C = C C + 3C 3 C = C C C + C 3C 3 C =. Considera el siguiente sistema de ecuaciones: + y + z = a + y + az = a + ay + z = Si una columna está formada por dos sumandos, el determinante se descompone en la suma de dos determinantes, cada uno con uno de los sumandos y el resto de columnas iguales. La ª y 3ª columna son iguales. El determinante vale cero. C 3C 3 C = 3C C 3 C = 3C C C 3 = 3A a Discútelo según los valores del parámetro a b Resuélvelo en el caso a = a Sea la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada: a C = a ; A = a a a a C = a + 3a ò a + 3a = 0 ò a =, a = Para todo valor a?, a? ò RC = RA = 3 = número de incógnitas ò Sistema compatible determinado. Para a = 0 0 R ª ª = R 0 3ª ª RC =? RA = 3 ò Sistema incompatible. Para a = R ª ª = R = 3ª ª = R RC = = RA = ò Sistema compatible indeterminado. b Para a =, pasamos de la última matriz en la que hemos calculado el rango a forma de sistema: + y + z = ò = z, y = 0 y = 0 En paramétricas: = l; y = 0; z = l, lé 3. Dado el sistema de ecuaciones lineales a discútelo según los valores del parámetro k b resuélvelo cuando tenga infinitas soluciones. a Sean las matrices de los coeficientes y la ampliada: k + C = k k A = C = k 5k + ò k 5k + = 0 ò k =, k = / Para todo valor k?, k? / ò RC = RA = 3 = = número de incógnitas ò Sistema compatible determinado. Para k = 3 3 R ª ª = R = 3ª 3ª = R RC = RA = ò Sistema compatible indeterminado. Para k = / 3/ ª R / / ª = / 3/ 3ª 3 4 = R ª ª = 4 3 ª + 3ª = R = R ª + 3ª RC =? RA = 3 ò Sistema incompatible. k + k k k k + b Nos queda el sistema: + 3y + z = 5y + 3z = 4 + k + y + z = k + k + y + z = k k y z = k + y = 4 3z 5 ò = 7 z 5 7 l 4 3l En paramétricas: =, y =, z = l, lé SOLUCIONARIO

26 4. Considera la matriz A = m m m m m m a Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3 b Estudia si el sistema A y = tiene solución para z cada uno de los valores de m obtenidos en el apartado anterior. a El rango de A será menor que 3 cuando A = 0 m m m = m 4 m 3 + m m m m m 4 m 3 + m = 0 ò m m m + = = m m = 0 ò m = 0, m = El rango de A será menor que 3 para: m = 0 y m = b Para m = 0 + y + z = y = ò 0 = ò z 0 = ò Sistema incompatible. Para m = + y + z = y = ò + y + z = ò z + y + z = ò + y + z = Sistema compatible indeterminado, con solución: = l µ; y = l; z = µ 5. Se consideran las matrices 3 A = ; B = l 0 l 0 donde l es un número real. a Encuentra los valores de l para los que la matriz AB tiene inversa. b Dados a y b números reales cualesquiera, puede ser el sistema a A y = b z compatible determinado con A, la matriz del enunciado? a Se calcula el producto AB 3 l + l 3 + l AB = l 0 = l 0 Para que eista inversa, AB? 0 + l 3 + l = l + 3l l l + 3l = 0 òl= ; l = La matriz AB tiene inversa para todos los valores l? ;l? b Se escribe el sistema: l a + y + lz = a y = ò b y z = b z Para que el sistema sea compatible determinado, el rango de la matriz de los coeficientes debe ser igual al de la ampliada y al número de incógnitas. Como el RA < 3 = nº de incógnita, se sigue que el sistema no puede ser compatible determinado. l a l a R = R = b ª ª 0 3 l + a b El rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada, igual a. Luego el sistema es compatible indeterminado para cualquier valor de a y b 6. Dadas las matrices: 0 A = y B =, se pide: 4 a resolver la ecuación matricial AX + X = B, donde X es una matriz Ò X + Y = A b resolver el sistema:, siendo X e Y dos 4X + 3Y = B matrices de orden Ò a AX + X = B ò A + IX = B ò A + I A + IX = = A + I B ò X = A + I B [] Se calcula la matriz inversa de A + I 0 0 A + I = + = A + I = A + I = 5 Sustituyendo en la igualdad [] X = 5 = PAU Álgebra BLOQUE I. ÁLGEBRA 65

27 Problemas propuestos b X + Y = A 4X + 3Y = B Multiplicando por la ª ecuación y restando la ª menos la ª: Y = A B 0 Y = = 4 Multiplicando la ª por 3, la ª por y restando la ª menos la ª: X = B 3A X = 3 = 4 7. Dada la matriz [ M = 0 ] 5 7 a a a 4 5 a determina el rango de M según los valores del parámetro a b determina para qué valores de a eiste la matriz inversa de M. Calcula dicha matriz inversa para a = a M = a 3 + a ò a 3 + a = 0 ò a =, a = 0 y a = Para todo valor a?,a? 0 y a?, el rango de M es 3 Para a = R ª + ª = R 0 0 = ª 3ª 0 0 Para a = 0 0 R 0 = R 0 = 0 ª 3ª 0 Para a = R = R = 0 0 ª 3ª b Para que eista inversa, M? 0. Luego eiste inversa para a?,a? 0 y a? Para a = M = 4 ; M = A = = 3 A = = 5 A 3 = = 4 A = = 6 A = = 6 A 3 = = A 3 = = 6 A 3 = = A 33 = = A = = Dado el sistema de ecuaciones con un parámetro real l e incógnitas, y, z se pide: a calcular para qué valores de l el sistema solo admite la solución, y, z = 0, 0, 0 b para cada valor de l que hace indeterminado el sistema, obtener todas sus soluciones. c eplicar la posición relativa de los tres planos definidos por cada una de las ecuaciones del sistema cuando l = 3 a Sea C la matriz de los coeficientes y A la matriz ampliada. C = A = l + y + z = l + 6y 3z = y + l z = 0 l + 3 l l l l l 0 C = l 3 + 6l + 9l = 0 òl= 0, l = 3 Para todo valor l?0, l? 3, RC = RA = 3 = nº de incógnitas ò Sistema es homogéneo compatible determinado con la solución, y, z = 0, 0, 0 b Se estudian las dos valores de l Para l = 0, se tiene: 0 0 R ª ª = R = ª 3ª RC = RA = < nº de incógnitas ò Sistema compatible indeterminado. Queda el sistema: 66 SOLUCIONARIO

28 PAU Álgebra y + z = 0 3 ò = z; y = z 5y + 3z = La solución en paramétricas es: 3 = µ;y = µ;z = µ; µé 5 5 Para l = 3, se tiene: 0 R = RC = RA = < nº de incógnitas ò Sistema compatible indeterminado. Queda la ecuación: y + z = 0 ò = y + z La solución: = b + µ;y = b;z = µ; b, µé c Para l = 3, las tres ecuaciones son equivalentes. Corresponden a un solo plano. 9. A es una matriz 3 Ò 3 tal que 0 0 A = 0 y A 3 = 0 3 Se pide: a calcular el determinante de la matriz A 3 y la matriz inversa de A 3 b calcular la matriz fila X =, y, z, que es solución de la ecuación matricial X A 3 = B A, donde B es la matriz fila B =,, 3 c calcular la matriz inversa de A a A 3 = Los adjuntos de los términos de la matriz A 3 son: A 3 = = 3 A3 = = 4 A 3 3 = 0 0 = A 3 = = 6 A3 = = 7 A 3 3 = 0 = 4 A 3 3 = = A3 3 = 0 = A 3 33 = 0 = A 3 = = b X A 3 = BA ò X A 3 A 3 = BA A 3 ò ò X = BA A X = = 5 6 c A 3 = A A ò A 3 A 3 = A 3 A A ò ò I = A 3 A A ò A = A 3 A A = = 0 BLOQUE I. ÁLGEBRA 67

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