m K = 0,04π seg 300 b) Cuando el bloque está en la posición x=0,1m, su energía potencial será: 1 Kx

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1 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE E4A.S00 Un bloque de 0, kg, siuado sobre una superficie horizonal lisa y unido al exremo de un resore, oscila con una ampliud de 0,0 m. a) Si la energía mecánica del bloque es de 6 J, deermine razonadamene la consane elásica del resore y el periodo de las oscilaciones. b) Calcule los valores de la energía cinéica y de la energía poencial cuando el bloque se encuenra a 0,0 m de la posición de equilibrio. a) Pueso que la fuerza recuperadora es conservaiva y como consecuencia se conserva la energía mecánica, y cuando la Ec=0 la energía mecánica será igual a la poencial máxima, podemos poner que: E = = Ec + Ep = Ep máx KA 6 = K 0, K = 300 N/m Teniendo en cuena que la fuerza recuperadora del resore, responsable del MAS, obedece la ley de Hooke, y que la condición para que enga lugar un MAS es que la aceleración se oponga a la deformación de la forma a = ω x. igualando y despejando T F = K x = ma = m ( ω π x) = m x T T = π m K = π 0, = 0,04π seg 300 b) Cuando el bloque esá en la posición x=0,m, su energía poencial será: Y eniendo en cuena que: Ep Kx = x= o, = 300 0, =,5J E = Ec + Ep Ec = E Ep = 6,5 = 4,5 J Ora forma sería calculando direcamene la energía cinéica, para ello debemos obener la velocidad en función de la posición de la forma: v = A ω cos ϕ = A ω ( sen ϕ) = ω (A A sen ϕ) = ω (A x ) Ec = mv = m ω (A x ) x= o, π = 0, 0,04π (0, 0, ) = 4,5J

2 E4B.S009 Un cuerpo de Kg se encuenra sobre una mesa plana y horizonal sujeo a un muelle, de consane elásica k=5 N.m. Se desplaza el cuerpo cm de la posición de equilibrio y se libera. a) Explique cómo varían las energías cinéica y poencial del cuerpo e indique a qué disancia de su posición de equilibrio ambas energías ienen igual valor. b) Calcule la velocidad máxima que adquiere el cuerpo. r r a) Para deformar un resore, que sigue la ley de Hooke, hemos de aplicar una fuerza F nosoros = kx i. De acuerdo con la definición de energía poencial, el rabajo que realizamos para deformarlo queda almacenado en forma de energía poencial. El rabajo para llevarlo desde la posición de equilibrio (x=0) hasa el puno x=a será: W = Ep = ka x= 0 x= A,nos Cuando el resore esá en el puno x=a (a donde lo hemos llevado) iene una energía poencial igual al rabajo que hemos hecho para llevarlo Ep x= A = ka y una Ec x = A = 0 mienras lo manenemos sujeo. Al solarlo, la fuerza recuperadora elásica del resore ( r F rre cup = kxi que como vemos "por el signo" siempre apuna hacia x=0) iende a llevarlo a la posición de equilibrio. Su energía poencial ( Ep = kx ) va disminuyendo hasa hacerse nula en x=0. Como se raa de un sisema conservaivo debe cumplirse que Ec+ Ep=0, por ano, es evidene que su energía cinéica irá aumenando hasa llegar a ser máxima en x=0. Por ora pare es lógico que a medida que disminuye x aumene su velocidad, ya que durane odo ese cuaro de periodo la fuerza recuperadora y la velocidad ienen la misma dirección y el mismo senido. Debido a la inercia rebasará la posición de equilibrio, pero inmediaamene la fuerza recuperadora cambiará de senido (porque siempre apuna hacia x=0) así que empezará a perder velocidad (porque ahora la fuerza iene senido conario a la velocidad) y, consecuenemene, la energía cinéica disminuirá hasa pararse en x= A. La conservación de la energía mecánica exige que la disminución de energía cinéica se compense con un incremeno de energía poencial que volverá a ser máxima en x= A. Una vez parado en x= A, la fuerza recuperadora (responsable de haberlo frenado) como maniene el senido hacia la posición de equilibrio comienza a acelerarlo conforme disminuye su disancia a x=0, o lo que es igual: su energía poencial va disminuyendo a cosa de aumenar la cinéica.

3 El puno donde ambas energías ienen el mismo valor es aquel en el que la energía poencial máxima vale la miad, porque la ora miad será cinéica, por ano: Ec + Ep = ce = Ep Si Ec = Ep max Ep ka Ep = max = = kx de donde A 0,0m x = = = 0,04m Al mismo resulado llegaríamos igualando la energía poencial a la energía cinéica: Ep = kx Ec = mv = m ω (A x ) = k(a x ) igualando A 0,0m kx = k(a x ) x = = = 0,04m b) La velocidad máxima es la que adquiere cuando pasa por la posición de equilibrio, donde la Ep se hace cero conviriéndose en cinéica. Aplicando la conservación de la energía mecánica, enemos que: Ec + Ep = ce = Ep max = Ec max

4 ka ka 5 0,0 = mv máx v máx = = = 0,055m / s m E5A.S00 Un bloque de 8 kg desliza por una superficie horizonal sin rozamieno con una velocidad de 0 m s e incide sobre el exremo libre de un resore, de masa despreciable y consane elásica k = 400 N m, colocado horizonalmene. a) Analice las ransformaciones de energía que ienen lugar desde un insane anerior al conaco del bloque con el resore hasa que ése, ras comprimirse, recupera la longiud inicial. b) Calcule la compresión máxima del resore. Qué efeco endría la exisencia de rozamieno enre el bloque y la superficie? a) Si no hay rozamieno se conservará la energía a lo largo de odo el proceso, pueso que la fuerza elásica es conservaiva. Como el bloque se mueve sobre una mesa horizonal podemos omar nivel cero de Ep graviaoria en la superficie de la mesa, de esa forma la energía mecánica inicialmene es igual a la cinéica que enga. en el puno A, como hemos dicho, E = Ec + Epgrav = Ec máx = 8 0 = 400J en el puno B, como aun el muelle no se ha deformado oda la energía sigue siendo cinéica en el puno C, aplicando la conservación de la energía enemos E = Ec + Ep grav + Ep La energía mecánica permanece consane, e igual a 400J, pero la energía cinéica irá disminuyendo a la vez que va aumenando la poencial elásica. en el puno D el bloque se deiene, haciéndose cero su Ec, y ahora oda la energía se habrá acumulado en el resore en forma de energía poencial elásica. elásica E = Ec + Ep grav + Ep elásica = K A La fuerza recuperadora del resore, como se opone a la deformación (F= Kx) hará que el resore vuelva a la posición inicial y de esa forma la elongación del muelle irá disminuyendo y con ello la energía poencial elásica (Ep elásica = ½Kx ), hasa llegar a la posición inicial (x=0) donde de nuevo oda la energía será cinéica. Por la inercia, el bloque rebasará la posición de equilibrio y empezará a deformarse hasa llegar a la posición x= A, donde nuevamene la energía cinéica será nula habiéndose converido en poencial elásica

5 b) Como hemos razonado, y pueso que se conserva la energía, si hacemos un balance enre el puno A y el puno D de la figura, enemos que: m v = K A 8 0 = 400 A A = x = máx m Si hubiera rozamieno ya no se conservaría la energía mecánica. El bloque en cada vaivén iría perdiendo energía por el rozamieno W Rozam = mgµ s por ano ejecuaría un movimieno oscilaorio cada vez con menor ampliud hasa pararse. Al haber ahora una fuerza no conservaiva la conservación de la energía sería Ec + Ep + W = Ec + Ep y susiuyendo endremos que: A A m v o A D F.NoConserva mgµ s = D K A D Como vemos, en cada vaivén (con forme aumena el espacio recorrido s) la ampliud se hace menor. E5B.S009 Un bloque de Kg apoyado sobre una mesa horizonal y unido a un resore, realiza un movimieno armónico simple de 0,m de ampliud. En el insane inicial su energía cinéica es máxima y su valor es 0,5J. a) Calcule la consane elásica del resore y el periodo del movimieno. b) Escriba la ecuación del movimieno del bloque, razonando cómo obiene el valor de cada una de las variables que inervienen en ella. a) Como el resore es un sisema conservaivo, la energía cinéica máxima que iene en la posición de equilibrio debe ser igual a la poencial máxima que iene en el puno de máxima deformación: de donde: Teniendo en cuena que k 0,5 Ec = Ep = max máx ka = k 0, k = 00 N / m π m π = mω = m T = π = π = = 0,68seg b) La ecuación del MAS correspondiene al resore es: T k 00 x = Asen( ω + ϕo ) = 0,sen(0 + 0) donde hemos enido en cuena que en el momeno inicial x=0 porque es el puno donde la energía cinéica es máxima y que a x=0 le corresponde ϕo=0 0

6 E3B.S008 a) Describa el movimieno armónico simple y comene sus caracerísicas cinemáicas y dinámicas. b) Una masa oscila vericalmene suspendida de un muelle. Describa los ipos de energía que inervienen y sus respecivas ransformaciones. Teoría. La ecuación de una masa que ejecua un MAS vericalmene debería escribirse como y = Asen( ω + ϕ ) o E6A.S008 Un bloque de 0,5 kg se encuenra sobre una superficie horizonal sin rozamieno, sujeo al exremo de un resore de consane elásica k = 00 N m. Se ira del bloque hasa alargar el resore 0 cm y se suela. a) Escriba la ecuación de movimieno del bloque y calcule su energía mecánica. b) Explique cualiaivamene las ransformaciones energéicas durane el movimieno del bloque si exisiera rozamieno con la superficie. a) Una vez que solemos el resore ejecuará un MAS de ecuación x = Asem( ω + ϕo ) Conocemos la ampliud, pero para escribir la ecuación necesiamos calcular el valor de la frecuencia angular (ω) y la fase inicial (φ o ). Teniendo en cuena ahora que la fuerza recuperadora del resore, responsable del MAS, obedece la ley de Hooke, y que la condición para que enga lugar un MAS es que la aceleración se oponga a la deformación de la forma a = ω x. F = K x = ma = m ( ω x) de donde ω = K = 00 = m 0,5 0rad / seg Así que la ecuación del MAS será x = 0,sem(0 + ϕo ). Para calcular la fase inicial no hay más que ener en cuena que inicialmene, es decir para =0, el resore esá en la posición x= 0,m, ya que lo hemos esirado (suponemos hacia la izquierda), por ano: para =0, = 0,sem(0 0 + ϕ ) φ o = arcsen( ) =,57 rad = π/ rad 0 o π la ecuación complea del MAS será: = 0,sem(0 ) (x en m, en seg) x La energía mecánica, es la suma de la cinéica y de la poencial elásica, e igual a la máxima de cualquiera de ellas, por ejemplo: E = Ec + Ep = Ep máx = KA = 00 0, = J b) igual a E5A.S00 y E4B.S009

7 E6A.S007 Un cuerpo realiza un movimieno vibraorio armónico simple. a) Escriba la ecuación de movimieno si la aceleración máxima es 5π cm.s, el periodo de las oscilaciones s y la elongación del cuerpo al iniciarse el movimieno,5 cm. b) Represene gráficamene la elongación y la velocidad en función del iempo y comene la gráfica. a) Teniendo en cuena que la aceleración se obiene derivando dos veces la elongación, legaremos a que a = Aω sen( ω + ϕ0 ) La aceleración máxima es a máx = Aω. Conociendo la aceleración máxima y el periodo podemos poner: a máx = Aω 5π = Aω ω = π / T ω = π / de donde ω= π rad/s y A = 5 cm La ecuación del MAS es x = Asem( ω + ϕ ) = 5sen( π + ϕ ). Como para =0, x=,5 cm para =0,5 = 5 sen( ϕ ) φ o = arcsen(0,5) = 0,5 rad = π/6 rad o π la ecuación complea del MAS será: = 5sen( π + ) (x en cm, en seg) o x 6 dx π b) La velocidad se obiene derivando la elongación: v = = 5π cos( π + 6) d Normalmene damos valores al iempo de cuaro en cuaro de periodo, es decir cada 0,5seg, pero al haber una fase inicial, primero debemos calcular el primer valor del iempo que hace que el argumeno sea π/. Para eso: (π+π/6)=π/ =/3 seg. (seg) 0 /3 /3+0,5 /3+ /3+,5 /3+ /3+,5 π = 5 sen( π + ),50 5,00 0,00-5,00 0,00 5,00 0,00 π = 5π cos( π + ) 3,60 0,00-5,7 0,00 5,7 0,00-5,7 x 6 v 6 o Las gráficas de la elongación y de la velocidad esán desfasadas un cuaro de periodo, al igual que la aceleración esá desfasada oro cuaro. Por ano cuando la elongación oma los valores máximos, la velocidad oma los valores nulos.

8 ONDAS EB.S00 En una cuerda ensa se genera una onda viajera de 0 cm de ampliud mediane un oscilador de 0 Hz. La onda se propaga a m s. a) Escriba la ecuación de la onda suponiendo que se propaga de derecha a izquierda y que en el insane inicial la elongación del foco es nula. b) Deermine la velocidad de una parícula de la cuerda siuada a m del foco emisor en el insane 3 s. a) Como la frecuencia de la onda es la misma que la del oscilador y conocemos su velocidad podemos calcular su longiud de onda: v v = λ ν λ = = = 0,m ν 0 el reso de los parámeros de la onda son ambién muy fáciles de obener: y max = 0, meros T = = = 0,05 seg ν 0 La ecuación de una onda armónica que se propaga hacia la izquierda es: y x senπ + + ϕ λ T = y max o Efecivamene esa es la ecuación de una onda que se propaga hacia la izquierda, pueso que a medida que aumena disminuye x (porque va hacia la izquierda) y para que la fase se manenga consane el érmino (x+v) debe esar sumando. Susiuyendo: y x 0,sen π + + ϕ 0, 0,05 = o Solamene nos queda calcular la fase inicial ϕ o, para eso de los daos se deduce que en el momeno =0 el foco, x=0 ienen elongación nula, y=0. Por ano: = 0,sen π + + ϕo sen o 0 0, 0,05 πϕ = ϕ = 0 rad o b) La velocidad de las parículas de la cuerda en función del iempo (ya sabemos que las ondas son doblemene periódicas) se obiene derivando la ecuación de la elongación respeco al iempo:

9 v = dy d π = 0, cos π 0,05 x 0, + 0,05 = 4πcosπ x 0, + 0,05 y un puno siuado a una disancia x= m en el momeno =3 seg, endrá una velocidad v x=, = 3 = 4πcosπ 0, + 3 = 4πm / s 0,05 Que resula ser igual a la velocidad máxima. (es posible que u calculadora no sea capaz de resolver ese coseno, pero debes dare cuena que se raa de cos π 70 así que como se raa de un número enero de veces π pues su coseno vale ) E3A.S00 La perurbación, Ψ, asociada a una noa musical iene por ecuación: Ψ ( x, ) = 5,5 0 3 sen ( 764,6 8,59 x ) ( S I ) a) Explique las caracerísicas de la onda y deermine su frecuencia, longiud de onda, período y velocidad de propagación. b) Razona la relación que guarda la velocidad con que vibran de dos punos que disan del foco 40,475m y 38,550m. a) Se raa de una onda armónica pueso que es una función seno. Además, si se raa de una onda de sonido debe ser una onda longiudinal. Viaja hacia la derecha porque para manener la fase al aumenar debe aumenar x. Comparando la ecuación de esa onda con la ecuación general, podemos deducir: y máx =5,5 0 3 m 3 T =,7.0 seg y la frecuencia que es su inversa: ν = = 440Hz T λ = 0,77m y el número de ondas: ~ ν = =,30m λ λ v = = λν = 339,m / s T b) Las ondas (al ser funciones seno o coseno) son doblemene periódicas respeco a las dos variables de que dependen: el iempo y la posición. En el caso concreo de la posición el seno omará los mismos valores (y por ano la ecuación de la onda será la misma) para valores de x que disen un múliplo enero de λ, o bién vibrarán en oposición de fase si disan media λ o múliplos impares. La disancia enre los dos punos alcanzados por la onda es 40,475 38,550 =,95m Esa disancia corresponde a dos λ y media, por ano esos dos punos ejecuan MAS en oposición de fase, es decir, que cuando uno alcance sus valores cinemáicos máximos el oro endrá los mínimos.

10 EA.S009 La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda ensa es: y(x,) = 0,03 sen ( 3x) (S.I.) a) Explique de qué ipo de onda se raa, en qué senido se propaga y calcule el valor de la elongación en x=0,m para =0,s. b) Deermine la velocidad máxima de las parículas de la cuerda y la velocidad de propagación de la onda. a) Se raa de una onda armónica porque las dos variables de las que depende, el iempo y la posición, son argumeno de una función seno. Además, pueso que la vibración de los punos iene lugar sobre el eje Y y los punos esán sobre el eje X, indicando que esa es la dirección en que se mueve, se raa de una onda ransversal. La onda se propaga hacia la derecha porque para que se manenga el argumeno de la función seno consane, como puede verse, al aumenar el valor de debe aumenar el valor de x con valores posiivos, es decir hacia la derecha. El valor de la elongación del puno que disa del foco x=0,m en el momeno =0,s es: y = 0,03sen( 3x) = 0,03sen( 0, 3 0,) = 0,003m b) Escribiendo la ecuación de la onda como la ecuación general y comparando enemos: y = y max senπ T x λ y max = 0,03m T = π seg λ = 0,66 π m y = 0,03senπ π x 0,66 π λ 0,66π La velocidad de propagación de la onda: v = = = 0,66m / s T π La velocidad con que vibran los punos de la cuerda se obiene derivando la ecuación de la elongación respeco al iempo, así que: v = dy d = 0,03 cos( 3x) y la velocidad máxima con que vibran los punos, como puede verse, corresponderá a 0,06 m/s

11 E3B.S009 Una onda armónica se propaga de derecha a izquierda por una cuerda con una velocidad de 8 m/s. Su periodo es de 0,5 s y su ampliud es de 0,3 m. a) Escriba la ecuación de la onda, razonando cómo obiene el valor de cada una de las variables que inervienen en ella. b) Calcule la velocidad de una parícula de la cuerda siuada en x=m, en el insane =s a) Si la onda armónica se propaga hacia la izquierda y para que se manenga el argumeno de la función seno consane, al aumenar el valor de debe disminuir el valor de x, por ano: x y = y max senπ + λ La ampliud es la máxima desviación de la posición de equilibrio que experimenan los punos del medo cuando vibran, que como sabemos ejecuan un MAS, y por ano y max = 0,3m El periodo, que coincide con el periodo del MAS, es el iempo que arda la onda en recorrer una longiud de onda, es decir el iempo que arda en pasar una longiud de onda por delane de un observador esacionario, por ano la velocidad, longiud de onda y periodo esán relacionados: λ v = λ = v T = 8 0,5 = 4m T Supondremos que la fase inicial es cero, al no saber donde esá el foco en el momeno =0. Las dos variables de las que depende una onda son: x es la disancia al foco de los punos del medio y es el valor del iempo La ecuación de la onda que se propaga hacia la izquierda es: T x y = 0,3senπ + (S.I.) 4 0,5 b) La velocidad con que vibran los punos de la cuerda, que ejecuan un MAS es: v = dy d π = 0,3 cos π 0,5 x 4 + 0,5 x = 3,77cos π + 4 y paricularizando para un puno de la cuerda que dise x=m del foco en el insane =s, enemos: π v x=,= = 0,3 cos π + = 3,77m / s 0,5 4 0,5 La velocidad del puno x=m en el insane =s, coincide con máximo negaivo que puede ener. 0,5

12 Si la fase inicial es cero enonces en el momeno =0 el foco (x=0) esá en la posición de equilibrio, es decir y=0. Al cabo de =s ambién endrá una elongación y=0 y el mismo valor para odas las variables cinemáicas, después de haber ejecuado dos movimienos compleos, pueso que seg es el doble del periodo, que vale 0,5s. Si la elongación del foco en el momeno = vale y=0, su velocidad será máxima y lo mismo para odos aquellos punos que en ese momeno disen un múliplo enero de la longiud de onda (4, 8,..). Por el conrario odos los punos que disen media longiud de onda del foco (, 6, 0,...) la velocidad será mínima. Por ano era de esperar que un puno siuado a x=m del foco en el el momeno =s posea una velocidad mínima (o máxima negaiva), al como se ha obenido maemáicamene. E4B.S008 La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda es: y(x, ) = 0,0senπ(00 40x) (S.I.) a) Razone si es ransversal o longiudinal y calcule la ampliud, la longiud de onda y el periodo. b) Calcule la velocidad de propagación de la onda. Es ésa la velocidad con la que se mueven los punos de la cuerda? Qué implicaría que el signo negaivo del parénesis fuera posiivo? Razone las respuesas. a) La ecuación de la onda indica la forma en que cada uno de los punos del medio vibran en función del iempo, y ano si vibran en la dirección de propagación (onda longiudinal) o perpendicularmene a la dirección de propagación (onda ransversal) responden a una misma ecuación, salvo por las leras que uilicemos. Si nos fijamos en las leras uilizadas, podemos ver que los punos del medio los hemos definido con la variable (x) lo que quiere decir que esán sobre el eje X, mienras que el desplazamieno de esos punos de la posición de equilibrio se mide con (y), es decir, vibran en el eje Y. En consecuencia la ecuación y = 0,0senπ(00 40x) corresponde a una onda ransversal. Los parámeros de la onda, comparándola con la ecuación general: y m = 0,0m λ = / 0 = 0,05m y(x, ) y(x, ) = 0,0senπ(50 0x) x = y msenπ( ) T λ T = / 50 = 0,0seg ν = = 50Hz T b) la velocidad de propagación de la onda es una consane que viene dada por:

13 λ 0,05 v = = = T 0,0,5m / s no iene nada que ver con la velocidad con que vibran los punos que lo hacen con una velocidad que varía con el iempo y viene dada por: v = dy d = 0,0 00πcos π(00 40x) La ecuación de la onda propuesa es una onda que viaja hacia la derecha, ya que al aumenar el iempo aumena x (por ir hacia la derecha) y para que se manenga la fase habría que resar como así aparece. Sin embargo, si se cambiara el signo: y (x, ) = 0,0senπ( x) esa sería la ecuación de una onda que viaja hacia la izquierda, ya que al aumenar el iempo disminuiría x (por ir hacia la izquierda), por ano para manener la fase habría que sumar. E3B.S00 La ecuación de una onda es: π y(x, ) = 0sen x sen(00π) (S.I.) a) Explique de qué ipo de onda se raa y describa sus caracerísicas. b) Deermine la ampliud y la velocidad de propagación de las ondas cuya superposición daría lugar a dicha onda. Qué disancia hay enre res nodos consecuivos? a) Se raa de una onda esacionaria, pueso que solo depende del iempo, y la ampliud de cada uno de los punos no es consane (0senπx/λ), sino que depende de la posición de los punos, habiendo unos para los que el argumeno del seno hace que sea nulo y no vibran nunca (nodos) y oros para los que el argumeno hace que valga y vibran con una ampliud máxima igual a 0 m. Comparando esa ecuación con la ecuación general de una onda esacionaria enemos que: x x y = 0sen π sen π Ampliud de la OE A = 0sen π 4 0,0 4 Ampliud ondas de la generan y m = 5 m x y = y msenπ cos π λ = 4 m; T = 0,0 seg λ T Aunque en la ecuación de la onda problema la función del iempo es de ipo seno, es equivalene a la ecuación con la que la hemos comparado, donde la función del iempo es de ipo coseno, ya que senα = cos( α π π ) = cos( α) y cos α = sen( α + π π ) sen( ) = α.por ano siempre podemos escribir la misma función armónica, aunque desfasada π/, y consecuenemene obendríamos los mismos resulados para odos los parámeros. En ese caso:

14 x y = y m senπ sen π λ T π + b) La velocidad de propagación de la ondas que al inerferir generan la OE es: λ 4m v = = = T 0,0s 00m / s Los nodos son los punos que no vibran porque su elongación siempre es nula, por ano serán aquellos punos para los que sen(πx/) = 0. Los ángulos que hacen que un seno sea nulo son aquellos en los que el argumeno sea 0; π; π; 3 π; Es decir, aquellos para los que x = 0; ; 4; 6; o en general se cumpla que x sea un número impar de media longiud de onda. De acuerdo con eso al disancia enre res nodos consecuivos sería (λ/) = 4 cm, (una longiud de onda) como se aprecia en la figura: Las ondas armónicas que por superposición dan lugar a esa OE son las siguienes: πx π π y = 5sen( + ) Avanza hacia la izquierda. 4 0,0 πx π π y = 5sen( + ) Avanza hacia la derecha (Desfase π) 4 0,0 A + B A B Efecivamene, si sumamos, eniendo en cuena que sena + senb = sen cos obendremos la ecuación de arriba. Hemos enido que dividir el desfase enre las ondas (que siempre que una se refleja es de π rad) para al final obener dos funciones seno. E3A.S009 a) Razone qué caracerísicas deben ener las ondas, que se propagan por una cuerda ensa con sus exremos fijos, para que su superposición origine una onda esacionaria. b) Explique qué valores de la longiud de onda pueden darse si la longiud de la cuerda es L a) Para que se genere una OE en una cuerda (independienemene de que sus exremos esén fijos o no) es preciso: () que por la cuerda viajen dos ondas iguales en senidos opuesos (la que va y la que se refleja). () que la frecuencia de las ondas sea igual a la frecuencia fundamenal de vibración de la cuerda o múliplo de ella.

15 Además, si la cuerda iene los dos exremos fijos, ambos exremos deben ser necesariamene nodos y para ello es necesario (3) que la longiud de la cuerda sea múliplo enero de λ/, es λ decir que L = n. Para valores eneros de n obendremos: L b) Del razonamieno anerior se deduce que λ =. La primera onda, que se obiene para n=, n iene una λ=l se llama primer armónico o fundamenal y a los siguienes, para n=, segundo armónico (λ=l), para n=3, ercer armónico (λ=,5l), ec. E6B.S009 Por una cuerda ensa se propaga la onda: y(x,) = 8. 0 cos(0,5x)sen(50) (S.I.) a) Indique las caracerísicas de la onda y calcule la disancia enre el º y el 5º nodo b) Explique las caracerísicas delas ondas cuya superposición daría lugar a esa onda, escriba sus ecuaciones y calcule su velocidad de propagación. a) Comparando la ecuación de la onda con la ecuación general de una onda esacionaria: Ampliud de la OE: y = 8 0 cos 0,5x sen50 x y = y msenπ cos π λ T A = 8 0 cos 0,5x (es disina para cada puno x) y = 8 0 m Ampliud de las ondas que generan la OE: y max 4 0 = meros 5 T = 0, 04π seg y la frecuencia que es su inversa: ν = = Hz T π λ = 4 π meros máx.oe La disancia enre dos nodos (o aninodos) consecuivos es λ/ = π m y la disancia enre el y el 5 nodo, como puede verse en la figura es 3 veces λ/, por ano 6π meros.

16 Observa el dibujo de la onda esacionaria. La ampliud máxima es 8. 0 m. En el puno x=0 hay un vienre ya A = 8 0 cos 0,5x = 8 0 m. El primer nodo esá en el puno x=π, ya que A x = π = 8 0 cos 0,5x = 0 x= 0 b) Las ecuaciones de las ondas que por superposición dan lugar a esa onda esacionaria deben ser dos ondas iguales, de ampliud 4.0 m y de la misma longiud de onda y periodo, solo que deben viajar en senidos opuesos. Además, esa onda se ha obenido superponiendo dos ondas armónicas desfasada π radianes respeco de las que nosoros hemos considerado en la eoría, por ano: x y = 0,0senπ( ) Avanza hacia la derecha 4π 0,04π x y = 0,0senπ( + + 0,5) Avanza hacia la izquierda desfasada π 4π 0,04π la velocidad de propagación de las ondas que generan esa onda esacionaria es: λ 4π v = = = 00m / s T 0,04π EB.S008 En una cuerda ensa de 6 m de longiud, con sus exremos fijos, se ha generado una onda de ecuación: y(x, ) π = 0,0sen x cos(8π) (S.I.) 4 a) Explique de qué ipo de onda se raa y cómo podría producirse. Calcule su longiud de onda y su frecuencia. b) Calcule la velocidad en función del iempo de los punos de la cuerda que se encuenran a 4 m y 6 m, respecivamene, de uno de los exremos y comene los resulados. a) Evidenemene si la cuerda esá sujea por ambos exremos la onda que endrá lugar será esacionaria pueso que al llegar a los exremos se reflejará, de manera que endremos una onda que va y ora que vuelve iguales y el resulado de su suma es una onda esacionaria: x y = y msenπ( + ) λ T Avanza hacia la izquierda x y = y msenπ( ) λ T Avanza hacia la derecha La superposición y = y + y y recordando que A + B A B sena + senb = sen cos

17 x y = y msenπ cos π Ec. onda esacionaria λ T comparando la ecuación general de una onda esacionaria con la ecuación concrea: y(x, ) x = 0,0senπ cos π( 8 λ = 8m (Como la cuerda iene sus dos exremos fijos, por ano son nodos, la longiud de la cuerda debe ser un múliplo enero de media λ, es decir L=nλ/. En ese caso n=4 y se raa del cuaro amónico.) T = 0,5seg ν = = 4Hz T b) Una cosa es la velocidad de la onda, que es una consane ( v = λ = 8 = 3m / s ) y ora T 0,5 cosa es la velocidad con que vibran los punos del medio, que como sabemos ejecuan un MAS y por ano sus valores cinemáicos varían con el iempo ene un valor máximo y uno mínimo. La velocidad de un puno se obiene derivando la ecuación de su elongación, así que: dy x v = = 0,0 8π senπ senπ( ) d 8 0,5 La velocidad en función del iempo de los punos x=4 y x=6 son, sin más que susiuir: 4 v x = 4 = 0,0 8π senπ senπ( ) = 0,0 8π senπ senπ( ) = 0 8 0,5 0,5 6 3π v x= 6 = 0,0 8π senπ senπ( ) = 0,0 8π sen senπ( ) = 0,6 π senπ( 8 0,5 0,5 0,5 Como puede verse, el puno que disa x=4 iene una velocidad nula en odo momeno porque se raa de un nodo y no vibra (senπ=0), mienras que el puno que disa x=6 puede llegar a ener una velocidad máxima igual a la mayor posible (porque sen3π/= ). Ese resulado era de esperar, ya que como la longiud de onda es λ = 8m, el puno que disa x=4 esá a λ/ y es un nodo, mienras que el que disa x=6 esá a 3λ/4 y es un vienre o aninodo. 0,5 ) )

18 E5B.S008 En una cuerda ensa, sujea por sus exremos, se iene una onda de ecuación: y(x, ) ( 4πx) cos(00π) = 0,0sen (S.I.) a) Indique el ipo de onda de que se raa. Explique las caracerísicas de las ondas que dan lugar a la indicada y escriba sus respecivas ecuaciones. b) Calcule razonadamene la longiud mínima de la cuerda que puede conener esa onda. Podría exisir esa onda en una cuerda más larga? Razone la respuesa. a) x y = y msenπ cos π Ec. onda esacionaria λ T comparando la ecuación general de una onda esacionaria con la ecuación concrea: λ = 0,5m y(x, ) = 0,0senπ x cos π( ) 0,5 0,0 T = 0,0seg ν = = 00Hz T Y la ampliud de las ondas que generan esa onda esacionaria es y m = 0,0/ = 0,0 m. Por ano, las ecuaciones de las ondas armónicas que por superposición generan la onda esacionaria serían: x y = 0,0sen π( + ) 0,5 0,0 Avanza hacia la izquierda x y = 0,0sen π( ) 0,5 0,0 Avanza hacia la derecha b) Al esar sujea la cuerda por los exremos, en ambos debe haber un nodo, de manera que la longiud de la cuerda para que se propague una onda debe ser un múliplo enero de λ/, es decir que la longiud de la cuerda debe ser L=nλ/, donde n=,, 3,... La longiud mínima de la cuerda es aquella para la que n=, es decir L = 0,5m y corresponde a su frecuencia fundamenal o primer armónico. Sí podría exisir esa onda en una cuerda más larga, pero siempre su longiud cumpla con la relación L=nλ/, es decir en cuerdas de longiud 0,5λ (long.mínima), λ,,5λ, λ,...

19 EA.S04 Se hace vibrar una cuerda de 0,5m, de longiud, sujea por los dos exremos, observando que presena 3 nodos. La ampliud en los vienres es de cm y la velocidad de propagación de las ondas por la cuerda es de 00 m.s. a) Escriba la ecuación de la onda, suponiendo que la cuerda se encuenra en el eje X y la deformación de la misma es en el eje Y. b) Deermine la frecuencia fundamenal de vibración. a) Si la cuerda esá sujea por los dos exremos (nodos) y la onda coniene 3 nodos la longiud de onda debe coincidir con la longiud de la cuerda λ=l=0,5 m. v onda =λ/t T=0,005 s; x x y = y msenπ cos π = 0,0sen π cos π λ T 0,5 0,005 Ten en cuena que la ampliud de un vienre es ymáx = cm = 0,0m. En efeco, ya que la x ampliud de la onda esacionaria es A = y m senπ. Disina para cada puno. Los punos que λ vibran con ampliud máxima (vienres) son aquellos para los que ese seno vale (x=λ/4 y x=3λ/4) por ano Amáx=ymáx.) No e confundas con ymáx que represena la ampliud de las ondas que por superposición generan la onda esacionaria. b) La frecuencia fundamenal (del primer armónico) es la menor frecuencia naural a la que puede oscilar la cuerda, y por ano le corresponde la mayor longiud de onda λ=m. A la misma conclusión se llega eniendo en cuena que la longiud de onda y la longiud de la cuerda sujea por ambos exremos guardan la relación λ=l/n, donde n=,,3,. Para el primer armónico n= λ =m v onda =λ. ν ν =00Hz

20 EJERCICIOS SEMIRESUELTOS Y CON SOLUCIONES E6B.S04 a) Escriba la ecuación de una onda armónica que se propaga a lo largo del eje X e indique el significado de las magniudes que aparecen en ella. b) Escriba la ecuación de ora onda que se propague en senido opueso y que enga doble ampliud y frecuencia miad que la anerior. Razone si las velocidades de propagación de ambas ondas es la misma. b) La velocidad de propagación de la nueva onda es la miad, ya que vonda=λ. ν Sin embargo la velocidad máxima con la que vibran los punos del medio en cada caso es la misma, ya que vmáx,punos=ymáx. ω= ymáx. πν E4A.S04 La ecuación de una onda que se propaga en una cuerda es: y(x,) = 0,04 sen (6 x + 6 π ) S.I. a) Explique las caracerísicas de la onda y deermine su ampliud, longiud de onda, período y frecuencia. b) Calcule la velocidad de propagación de la onda y la velocidad de un puno de la cuerda siuado en x = 3 m en el insane = s. a) Onda ransversal que se mueve hacia la izquierda. ymáx=0,04 m; λ=π m; T=π/3 seg; ν=3/π Hz.; ϕo=π/6 b) vonda=λ. ν=3 m/s ; vpunos=dy/d=0,4cos(6 x+π/6)= =,x=3=0,08 m/s E5B.S04 En una cuerda ensa, sujea por sus exremos, se ha generado una onda de ecuación: y(x,) = 0,0 sen (πx) cos(8π) S.I a) Indique de qué ipo de onda se raa y explique sus caracerísicas. b) Deermine la disancia enre dos punos consecuivos de ampliud cero. a) Onda esacionaria de ampliud A=0,0. senπx; λ= m; T=0,5 seg; ν=4 Hz b) Dos punos de ampliud cero son dos nodos. La disancia enre nodos consecuivos = λ/ = m. E4B.S009 a) Explique qué magniudes describen las periodicidades espacial y emporal de una onda e indique si esán relacionadas enre sí. b) Razona qué ipo de movimieno efecúan los punos de una cuerda por la que se propaga una onda armónica. Teoría E4B.S00 a) Explique qué son ondas longiudinales y ransversales. b) Qué diferencias señalaría enre las caracerísicas de las ondas luminosas y sonoras? Teoría

21 E4A.S004 Una parícula de 50 g vibra a lo largo del eje X, alejándose como máximo 0 cm a un lado y a oro de la posición de equilibrio (x = 0). El esudio de su movimieno ha revelado que exise una relación sencilla enre la aceleración y la posición que ocupa en cada insane: a = 6 π x. a) Escriba las expresiones de la posición y de la velocidad de la parícula en función del iempo, sabiendo que ese úlimo se comenzó a medir cuando la parícula pasaba por la posición x = 0 cm. b) Calcule las energías cinéica y poencial de la parícula cuando se encuenra a 5 cm de la posición de equilibrio. Sol. a) a = 6 π x = ω x; x=asen(ω+φ o )=0, sen(4π+φ o ); x =0 =0,=0,sen(φ o ) φ o =π/ x=0, sen(4π+ π/); v=dx/d=0,4π cos (4π+ π/) b) Ep=½Kx =½ mω x =½ 0,050 6π 0,05 =0,00987 J Ec=½ mω (A x )=0,096 J E5A.S008 a) Explique los fenómenos de reflexión y refracción de una onda en la superficie que separa dos medios. b) Razone qué magniudes de una onda cambian cuando pasa de un medio a oro. Teoría EA.S008 a) Explique qué son ondas esacionarias y describa sus caracerísicas. b) En una cuerda se ha generado una onda esacionaria. Explique por qué no se propaga energía a ravés de la cuerda. Teoría EB.S00 La ecuación de una onda armónica es: y(x,) = A sen (b cx) a) Indique las caracerísicas de dicha onda y lo que represena cada uno de los parámeros A, b y c. b) Cómo cambiarían las caracerísicas de la onda si el signo negaivo fuera posiivo? Teoría E6A.S00 a) Escriba la ecuación de una onda esacionaria en una cuerda con sus dos exremos fijos, y explique el significado físico de cada una de los parámeros que aparecen en ella. b) Explique qué punos de la cuerda del aparado anerior permanecen en reposo. Qué punos oscilan con ampliud máxima? Teoría E4B.S04 a) Escriba la ecuación de una onda esacionaria y comene sus caracerísicas. b) Explique las diferencias enre una onda esacionaria y una onda viajera. Teoría

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