CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE ESTÁTICA

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1 CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE ESTÁTICA Índice 1. CONCEPTOS ÚTILES Configuración geométrica de un sistema Ligaduras Coordenadas generalizadas Clasificación de fuerzas OBJETO DE LA ESTÁTICA Definición de Equilibrio de un sistema La Estática Ciencias relacionadas con la Estática Clasificación de Problemas relacionados con el equilibrio EQUILIBRIO DE LA PARTÍCULA LIBRE Caso de fuerza general F = F( r, v, t) Caso de fuerza potencial HIPÓTESIS DE COULOMB Y MORIN SOBRE EL ROZAMIENTO Caso aplicable en Estática EQUILIBRIO DE LA PARTÍCULA SOBRE UNA SUPERFICIE Equilibrio sin rozamiento Procedimiento Teórico Procedimiento Práctico Equilibrio con rozamiento EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA SOBRE UNA CURVA Equilibrio sin rozamiento Procedimiento Teórico Procedimiento práctico Equilibrio con rozamiento

2 2 1. CONCEPTOS ÚTILES 1.1. Configuración geométrica de un sistema Configuración geométrica de un sistema en un instante son las posiciones que ocupan todas las partículas del mismo en dicho instante: r i (i = 1,...,N) Ligaduras Ligadura es una restricción al movimiento de un sistema, ya sea limitando las posiciones que pueden ocupar las partículas del mismo y/o las velocidades que pueden tener. Están impuestas a través de acciones incógnitas. Se formulan matemáticamente mediante expresiones del tipo: f( r i, v i, t) = 0 (i = 1,...,N) 1.3. Coordenadas generalizadas Coordenadas generalizadas son el conjunto mínimo de datos {q 1, q 2,..., q n } necesario para definir completamente la configuración geométrica de un sistema material: r i = r i (q 1, q 2,...,q n, t) (i = 1,...,N) f( r i, v i, t) = 0 (i = 1,...,N) Coord. gener. φ(q j, q j, t) = 0 (j = 1,...,n) 1.4. Clasificación de fuerzas Atendiendo al origen de las interacciones respecto al sistema mecánico elegido en el estudio podemos clasificar las fuerzas en: Fuerzas Interiores: acciones de contacto o a distancia entre las partículas del sistema. Fuerzas Exteriores: acciones de contacto o a distancia de partículas ajenas al sistema sobre las partículas del mismo. Atendiendo al conocimiento previo a la resolución del problema (a priori) en función de otras incógnitas del mismo podemos clasificar las fuerzas en: Fuerzas Dadas o Directamente Aplicadas: Se conocen a priori en cada instante en función de la posición y de la velocidad de las partículas y del tiempo. Fuerzas de Ligadura: Se desconocen a priori y son incógnitas del problema mecánico 2. OBJETO DE LA ESTÁTICA 2.1. Definición de Equilibrio de un sistema Un sistema material sometido a ligaduras sobre el que actúa un sistema de fuerzas directamente aplicadas se encuentra en equilibrio respecto a un sistema de referencia S cuando abandonado en reposo respecto a S en una configuración dada, sus partículas permanecen indefinidamente en reposo. El concepto de equilibrio afecta tanto a la configuración geométrica del sistema de partículas como al sistema de fuerzas aplicadas sobre el mismo.

3 2.2. La Estática La Estática es la rama de la Mecánica encargada del calculo de las configuraciones de equilibrio de los sistemas Ciencias relacionadas con la Estática La Estática es una parte de la Mecánica útil y fecunda. Es la herramienta básica de ciencias como: Resistencia de Materiales Elasticidad Cálculo de estructuras Diseño mecánico 2.4. Clasificación de Problemas relacionados con el equilibrio Nombre (Ciencia) Datos Incógnitas Problema directo (Estática) Fuerzas aplicadas Configuraciones de equilibrio Ligaduras Fuerzas de ligadura Problema inverso (Estática) Configuración de equilibrio Fuerzas aplicadas Problema de la estabilidad Configuración de equilibrio Carácter de la estabilidad (Dinámica) del Equilibrio 3. EQUILIBRIO DE LA PARTÍCULA LIBRE Sea F la resultante de las fuerzas directamente aplicadas que actúan sobre una partícula libre M. La condición necesaria y suficiente de equilibrio de M es: F = 0 Demostración a partir de la segunda ley de Newton F = m γ: F = 0 γ = 0 v = v 0 = 0 r(t) = r 0 r(t) = r 0 γ = d2 r dt = 0 F = Caso de fuerza general F = F( r, v, t) Las coordenadas generalizadas para la partícula son en este caso las propias coordenadas espaciales de la partícula (q 1, q 2, q 3 ) (cartesianas, cilíndricas, esféricas, etc): r = r(q 1, q 2, q 3 ) h j = r (j = 1,..., 3) factores de escala q j u j = r q j h j (j = 1,..., 3) versores de la base Imponiendo la condición necesaria y suficiente de equilibrio se tiene: F u 1 = F 1 (q 1, q 2, q 3, t) = 0 F = F 1 u 1 + F 2 u 2 + F 3 u 3 = 0 F u 2 = F 2 (q 1, q 2, q 3, t) = 0 F u 3 = F 3 (q 1, q 2, q 3, t) = 0 3

4 Para determinar las posiciones de equilibrio anulamos cada una de las tres componentes del vector F es la base de las coordenadas elegidas y con velocidades generalizadas nulas. Obtenemos un sistema algebraico de tres ecuaciones con tres incógnitas (q 1, q 2, q 3 ). Este sistema algebraico puede ser incompatible (sin solución) o compatible. Si es compatible puede ser determinado (solución única) o indeterminado (solución múltiple). Cuando el campo no es estacionario las ecuaciones deben satisfacerse en todo instante para que haya equilibrio Caso de fuerza potencial Si F deriva de una función de fuerzas U (resp. potencial V = U) ordinaria y estacionaria: U(q 1, q 2, q 3 ) F(q1, q 2, q 3 ) = U(q 1, q 2, q 3 ) Imponiendo la condición necesaria y suficiente de equilibrio se tiene: U (q 1, q 2, q 3 ) = 0 q 1 F = U = 0 du = U d r = 0 U q 2 (q 1, q 2, q 3 ) = 0 U (q 1, q 2, q 3 ) = 0 q 3 que constituye un sistema algebraico de tres ecuaciones con tres incógnitas. La estabilidad de las posiciones de equilibrio se analiza con la matriz Hessiana de la función de fuerzas (resp. potencial) en cada posición de equilibrio (q1, q 2, q 3 ): H[U(q 1, q 2, q 3 )] = [ 2 U ] = H[V ((q1, q 2, q 3 )] q i q j 1. Si H[U(q1, q 2, q 3 )] es definida negativa (resp. H[V (q 1, q 2, q 3 )] definida positiva) hay un máximo de U (resp. mínimo de V): equilibrio estable 2. Si H[U(q1, q 2, q 3 )] no es definida negativa (resp. H[V (q 1, q 2, q 3 )] no es definida positiva): equilibrio inestable 4. HIPÓTESIS DE COULOMB Y MORIN SOBRE EL ROZAMIENTO Entre los modelos de acciones de contacto entre sólidos el más conocido es el que plantearon los franceses Coulomb y Morin. Su sencillez y su buena concordancia con los resultados experimentales le hacen muy útil en la formulación de problemas mecánicos académicos donde están involucrados contactos con rozamiento Caso aplicable en Estática En Estática la velocidad de deslizamiento entre sólidos es siempre nula, luego es caso aplicable sera: F R es siempre un vector desconocido del plano tangente de contacto entre sólidos y cuyo módulo deberá ser igual o inferior a f N para que no se produzca deslizamiento, donde N es la componente normal de la fuerza de contacto y f el coeficiente de rozamiento. Se tiene, por tanto, que F R tiene dos componentes incógnita en caso general. En el caso de problemas planos solo hay una componente incógnita, puesto que F R tiene obligatoriamente la dirección de la tangente contenida en el plano del problema. 4

5 5 5. EQUILIBRIO DE LA PARTÍCULA SOBRE UNA SUPERFICIE Sea S la superficie de ecuación φ(q 1, q 2, q 3 ) = 0 referida a un triedro cartesiano rectangular inercial z Oxyz. Sea F la resultante de las fuerzas aplicadas que actúan sobre la partícula M. Se pretende encontrar F las posiciones de equilibrio de la partícula M sobre S. r M S M está sometida tanto al campo F como a la reacción incógnita R de S. Podemos plantear las O y ecuaciones de equilibrio de M considerándola como libre y estando sometida a ambas fuerzas: F + R = 0 x siendo R = F R + N Aparecen 6 incógnitas: 3 de posición, 2 de la reacción tangencial y 1 de la reacción normal Equilibrio sin rozamiento Si S es una superficie lisa la componente tangencial de la reacción es nula, lo que proporciona dos ecuaciones adicionales: FR = Procedimiento Teórico Las ecuaciones de equilibrio de M resultan: F + N = 0 donde la reacción tiene la dirección de la normal: N = λ φ siendo λ incógnita. Esto significa que las ecuaciones de equilibrio quedan: F + λ φ = 0 tres ecuaciones escalares Además M debe estar sobre S, luego se satisface la ecuación de la superficie: φ(q 1, q 2, q 3 ) = 0 una ecuación escalar Tenemos un sistema algebraico de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: (q 1, q 2, q 3, λ); las tres primeras proporcionan las posiciones de equilibrio (primer tipo de incógnitas del problema directo) mientras que la última proporciona la reacción de la superficie (segundo tipo de incógnitas del problema directo). Consideraciones sobre el tipo de ligadura La superficie φ = 0 divide al espacio en dos zonas: la φ < 0 y la φ > 0. El vector φ apunta hacia la segunda, por ser el gradiente de un campo escalar. Ligadura bilateral La superficie puede reaccionar en ambos sentidos y son posibles ambos signos de λ en las soluciones del sistema anterior. Ligadura unilateral La superficie solo puede reaccionar en un único sentido y solo son posiciones de equilibrio las soluciones con el signo adecuado de λ. R

6 Procedimiento Práctico En las posiciones de equilibrio el campo de fuerzas es normal a la superficie lisa. Vamos a buscar dichas posiciones forzando a que se cumpla esta condición. Representación paramétrica de la superficie: r = r(u, v) ( r C 1 (R 2, R 3 )) Vectores del plano tangente (en un punto regular): O y ( r u, r v ) Forzando a que las componentes tangentes del campo de fuerzas sean nulas se obtienen las ecuaciones de equilibrio: x r(u, v) F(u, v) = 0 u r(u, v) F(u, v) = 0 v que constituyen un sistema algebraico de dos ecuaciones con dos incógnitas: (u, v). La reacción normal (segundo tipo de incógnitas del problema directo) se obtiene para cada posición de equilibrio (u, v ) despejando de la ecuación de la Estática: N(u, v ) = F(u, v ) z r R M N r u r v F S 6 Caso potencial A) Aunque el campo no derive de una función de fuerzas U puede ocurrir que la expresión r(u, v) F(u, v) du + u F(u, r(u, v) v) dv v sea la diferencial exacta de una función U(u, v) definida sobre la superficie, en cuyo caso las ecuaciones de equilibrio son: U u = 0 U v = 0 B) Si la fuerza directamente aplicada es potencial ( F = U) las ecuaciones equivalen: r(u, v) r(u, v) F(u, v) = U = U u u u = 0 r(u, v) r(u, v) F(u, v) = U = U v v v = 0 Esto significa que las posiciones de equilibrio de la superficie son aquellas en las que U toma valores estacionarios Equilibrio con rozamiento Cuando la superficie es rugosa (no lisa) es capaz de ejercer además una reacción tangencial que puede alcanzar hasta un valor f N. En las posiciones de equilibrio la superficie tiene que oponer unas reacciones F R y N que equilibren a las componentes tangencial Ft y normal Fn de las fuerzas directamente aplicadas: F t = ( N F) N = F R F n = ( N F) N = N

7 La condición que impone la hipótesis de Coulomb/Morin es: F t f F n Las soluciones de esta inecuación serán zonas de puntos no aislados de la superficie. Sigue todavía teniendo sentido considerar si la ligadura es bi o unilateral, razonando (como anteriormente) con la componente normal de la reacción. 6. EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA SOBRE UNA CURVA Sea la curva C, de ecuaciones implícitas en una referencia cartesiana rectangular: } S 1 : φ 1 (q 1, q 2, q 3 ) = 0 φ S 2 : φ 2 (q 1, q 2, q 3 ) = 0 1, φ 2 C 1 (R 3, R) Sea F la resultante de las fuerzas aplicadas que actúan sobre la partícula M. Se pretende encontrar r M t S 1 las posiciones de equilibrio de la partícula M sobre C C. O y M está sometida tanto al campo F como a la reacción incógnita R de S. Podemos plantear las ecuaciones de equilibrio de M considerándola como libre y estando sometida a ambas fuerzas: x S 2 F + R = 0 siendo R = F R + N Aparecen 6 incógnitas: 3 de posición, 2 de las componentes de la reacción normal y 1 de la reacción tangencial Equilibrio sin rozamiento Si la curva es lisa la componente tangencial de la reacción es nula, lo que proporciona una ecuación escalar adicional: FR = Procedimiento Teórico La ecuación de equilibrio para este caso queda: F + N = 0 El plano normal a la curva C en un punto está determinado por los vectores normales a las superficies que la definen. La reacción normal puede expresarse en función de los gradientes como: N = λ φ 1 + µ φ 2 y las ecuaciones de equilibrio serán: F + λ φ 1 + µ φ 2 = 0 tres ecuaciones escalares Además M debe estar sobre C, luego se satisfacen las ecuaciones de la curva: φ 1 (q 1, q 2, q 3 ) = 0 una ecuación escalar φ 2 (q 1, q 2, q 3 ) = 0 una ecuación escalar z R F 7

8 Tenemos un sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas: (q 1, q 2, q 3, λ, µ); las tres primeras proporcionan las posiciones de equilibrio (primer tipo de incógnitas del problema directo) y las dos últimas el valor de la reacción (segundo tipo de incógnitas del problema directo). En caso de problema plano tendría de nuevo sentido hablar sobre ligadura bi o unilateral Procedimiento práctico En las posiciones de equilibrio el campo de fuerzas es normal a la curva lisa. Vamos a buscar dichas posiciones forzando a que se cumpla esta condición. Representación paramétrica de la curva: r = r(u) ( r C 1 (R, R 3 )) vector tangente: r = d r du forzando a que la componente tangente del campo de fuerzas sea nula obtendremos la ecuación de equilibrio: F(u) d r(u) du = 0 que constituye un sistema de una única ecuación algebraica con una incógnita: u; en este caso solo se obtienen las posiciones de equilibrio (primer tipo de incógnitas del problema directo). La reacción normal (segundo tipo de incógnitas del problema directo) se obtiene para cada posición de equilibrio (u ) despejando de la ecuación de la Estática: N(u ) = F(u ) Caso potencial A) Aunque el campo no derive de una función de fuerzas U puede ocurrir que la expresión F(u) d r(u) du du sea la diferencial exacta de una función U(u) definida sobre la curva, en cuyo caso la ecuación de equilibrio es: du du = 0 B) Si la fuerza directamente aplicada es potencial ( F = U) la ecuación equivale a: F(u) d r(u) d r(u) = U du du = du du = 0 Esto significa que las posiciones de equilibrio de la curva son aquellas en las que U toma valores estacionarios Equilibrio con rozamiento Cuando la curva es rugosa (no lisa) es capaz de ejercer además una reacción tangencial que puede alcanzar hasta un valor f N. En las posiciones de equilibrio la curva tiene que oponer unas reacciones F R y N que equilibren a las componentes tangencial Ft y normal Fn del campo de fuerzas: F t = ( t F) t = F R F n = ( n F) n + ( b F) b = N La condición que impone la hipótesis de Coulomb/Morin es: F t f F n Las soluciones de esta inecuación serán generalmente zonas de puntos no aislados de la curva. 8