2 Contents. 8. Formas normales Autómatas de Pila 118. Chapter 3. Máquinas de Turing Definición y termininología

Transcripción

1 Contents Chpter 1. Autómt finito 5 1. Alfbetos y lengujes 5 2. Operciones 7 3. Operciones con lengujes 9 4. Numerbilidd Lengujes Regulres y Expresiones Regulres Autómts finitos determinists Automts finitos no determinists Equivlenci entre AFD y AFN ǫ-trnsiciones Autómts finitos y expresiones regulres Lem de Arden Propieddes de los lengujes regulres Otr versión del lem del bombeo 74 Chpter 2. Lengujes Independientes del Contexto Grmátics regulres Grmátics regulres y lengujes regulres Grmátics independientes del contexto Árboles de derivción ó nálisis Simplificción de ls GIC Eliminción de ls producciones ǫ Eliminción de producciones unitris 109 1

2 2 Contents 8. Forms normles Autómts de Pil 118 Chpter 3. Máquins de Turing Definición y termininologí Aceptción 125

3 Nots de Lengujes Formles y Autómts Césr Butist Rmos Fc. Ciencis de l Computción, BUAP

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5 Chpter 1 Autómt finito Estudiremos lengujes formles, esto es mtemáticos ; no confundirlos con los lengujes nturles, que son los que hbl l gente. 1. Alfbetos y lengujes Los lengujes se formn de plbrs y ls plbrs se formn de símbolos de un lfbeto. Definición 1. Un lfbeto Σ es un conjunto no vcío y finito de símbolos. Ejemplo 1. El conjunto Σ = {,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k, l,m,n,o, p,q,r, s,t,u, v,w,x, y,z} es un lfbeto llmdo lfbeto inglés. Ejemplo 2. El conjunto Σ = {α, β, δ} es un lfbeto. Ejemplo 3. El conjunto Σ = {0,1,2,3,4,5,6, 7, 8, 9} es un lfbeto. Definición 2. Un plbr ó cden sobre el lfbeto Σ es un sucesión finit de símbolos de Σ. Ejemplo 4. L secuenci progrm es un plbr sobre el lfbeto inglés. Tmbién digit, hd y quetzl son plbrs sobre el lfbeto inglés, sí como bxweh. En ls sucesiones el orden es importnte. Esto es, ls plbrs b y b se formn de los mismos símbolos: dos y un b, pero su orden de prición es diferente, por lo que Este es un hecho generl. b b. 5

6 6 1. Autómt finito Así como en l teorí de conjuntos hy que ceptr l colección vcí como un conjunto (el conjunto vcío ), en l teorí de lengujes formles hy que ceptr l plbr vcí como un plbr genuin. Definición 3. Si Σ es un lfbeto, l cden vcí ǫ es un plbr sobre Σ. Enseguid definimos nuestro principl objeto de estudio. Definición 4. Un lenguje A sobre un lfbeto Σ es un conjunto de plbrs sobre Σ. Ejemplo 5. Se A = {1,12,123,1234,123456, 0}. El conjunto A es un lenguje sobre el lfbeto Σ = {0,1,2,3,4,5,6,7, 8, 9}. El conjunto B = {1,11,111,1111,...} es tmbién un lenguje (infinito) sobre Σ. Result que tmbién es un lenguje sobre Σ. No debemos confundir l plbr vcí ǫ con el lenguje vcío: ǫ. Est no iguldd será evidente cundo estudiemos ls operciones sobre lengujes. Result que l plbr vcí ǫ tiene propieddes muy diferentes ls del lenguje vcío. Ejemplo 6. El conjunto A = {,b,b,b,...} es un lenguje (infinito) sobre el lfbeto inglés Σ = {,b,...,z}. Tmbién B = {ǫ} es un lengujes sobre Σ sí como tmbién es un lenguje sobre el lfbeto inglés. Ddo un lfbeto Σ uno puede considerr tods ls posibles plbrs formds por tl lfbeto. Se obtiene entonces un lenguje universl. Definición 5. Si Σ es un lfbeto, l cerrdur de Σ ó lenguje universl sobre Σ se denot con Σ y este es el conjunto de tods ls plbrs sobre Σ: Σ = {w w es un plbr sobre Σ}. Nótese que Σ lfbeto, ǫ Σ. Ejemplo 7. Si Σ = {1}, entonces Σ = {ǫ,1,11,111,1111,...}

7 2. Operciones 7 2. Operciones Definición 6. Si w es un cden sobre el lfbeto Σ, su longitud se denot con w. Ejemplo 8. Se Σ = {0,1,...,9} y w = 121. Entonces w = 3. Además ǫ = 0. Definición 7. L conctención de plbrs es un operción : : Σ Σ Σ (w,z) w z = wz Ejemplo 9. Si w = b y z = bd entonces w z = bbd. Es común omitir el símbolo de l operción de conctención. Por ejemplo, en el nterior, wz = bbd Notemos ls siguientes propieddes generles (1) Si w, z son plbrs entonces wz = w + z. (2) Si w Σ, entonces () ǫw = w (b) wǫ = w (3) En generl wz zw. Definición 8 (potenci). Si n N y w Σ, se define { w n ǫ si n = 0 = ww n 1 si n > 0 llmd l n-ésim potenci de w. Ejemplo 10. Si w = 122 entonces w 0 = ǫ w 1 = ww 0 = 122ǫ = 122 w 2 = ww 1 = w 3 = ww 2 = L iguldd entre plbrs se podrí definir como: si w,z Σ, se pone w = z en cso de que w = z y de que tengn los mismos símbolos en l mism posición. Definición 9. Sen w,x Σ.

8 8 1. Autómt finito (1) Se dice que x es prefijo de w si y Σ tl que w = xy (2) Se dice que x es prefijo propio de w si x es prefijo de w, pero w x. Ejemplo 11. Se w = 121. Entonces (1) x = 1 es prefijo (propio) de w; (2) u = 12 es prefijo (propio) de w; (3) w = 121 es prefijo de w, pues w = wǫ, pero no es propio. Definición 10. Un cden w Σ es subplbr de z Σ si x,y Σ tles que z = xwy Ejemplo 12. (1) Si w Σ entonces w es subplbr de l mism w, pues w = ǫwǫ (2) w = 2 es subplbr de z = 121; su vez y = 12 es subplbr de z, pues z = ǫy1. El siguiente concepto será útil pr definir nuevos lengujes. Definición 11. Si w Σ, l invers o trnspuest de w es l imgen reflejd de w que se denot w I. Esto es: { w I w si w = ǫ = y I si w = x con Σ y y Σ Ejemplo 13. Si w = ecos, entonces w I = (cos) I e = (os) I ce = s I oce = (sǫ) I oce = ǫ I soce = ǫsoce = soce Propiedd 1. Si w,y Σ, entonces (wy) I = y I w I

9 3. Operciones con lengujes 9 Proof. Por inducción sobre n = w. Si n = 0, entonces w = ǫ, luego mientrs que w I y I = ǫy I, = y I por lo tnto (wy) I = w I y I. (wy) I = (ǫy) I = y I por definición, Supongmos cierto el resultdo pr plbrs w 0 de longitud n: esto es (w 0 y) I = y I w I 0 (1) Ahor tomemos un plbr w de longitud w = n + 1. Entonces w = z con Σ y z Σ con z = n. Luego (wy) I = (zy) I = (zy) I, por definición de invers, = y I z I, por hipótesis de inducción (1), = y I (z) I, por definición de invers = y I w I. 3. Operciones con lengujes Así como ls plbrs se pueden conctenr, tmbién se puede hcer un operción similr sobre lengujes. Definición 12. Si A es lenguje sobre el lfbeto Σ 1 y B es lenguje sobre el lfbeto Σ 2, se define el lenguje conctención de A con B como sobre el lfbeto Σ 1 Σ 2. A B = {w w w A y x B} Esto es, el lenguje A B está formdo por tods ls posibles conctenciones de ls cdens de A con ls de B. Tmbién, como en l conctención de cdens, el símbolo de conctención se costumbr omitir y se pone AB = A B. Ejemplo 14. Si A = {cs}, B = {pjro,perro}, entonces AB = {cspjro, csperro} Entre los lengujes, el lenguje {ǫ} se comport como 1 con respecto l operción de conctención.

10 10 1. Autómt finito Propiedd 2. Si A es un lenguje rbitrrio, entonces Proof. A{ǫ} = A = {ǫ}a. A{ǫ} = {wǫ w A}, = {w w A} = A; por definición de conctención, similrmente se prueb {ǫ}a = A. Tmbién se puede hblr de potenci de un lenguje: Definición 13. (potenci) Se n N: { A n {ǫ}, si n = 0 = A A n 1, si n 1 Ejemplo 15. (1) 0 = {ǫ} (2) Se A = {b} lenguje formdo por sólo un plbr. Entonces etcéter. A 0 = {ǫ} A 1 = A A 0 = A{ǫ} = A = b A 2 = A A 1 = A{b} = bb A 3 = A A 2 = A{bb} = bbb Definición 14. Sen A, B lengujes. Entonces (1) El lenguje unión es: A B = {x x A x B} (2) El lenguje intersección es (3) El lenguje diferenci es A B = {x x A x B} A B = {x x A x B}

11 3. Operciones con lengujes 11 Ejemplo 16. Se Σ = {0,1} y lengujes A = {ǫ,0,10,11}, B = {ǫ,1,0110,11010}. Luego, A B = {ǫ,0,1,10,11,0110,11010} A B = {ǫ,1} A B = {0,10,11} B A = {0110,11010} En generl, como los lengujes son conjuntos, los lengujes heredn tods ls propieddes y terminologí de los conjuntos. Definición 15. Sen A,B lengujes sobre un lfbeto Σ. Si A B, entonces se dice que A es sublenguje de B. Ejemplo 17. Se A = {,,,,} y B = { n n N}, entonces A es sublenguje de B. En generl, si L es un lenguje sobre un lfbeto Σ entonces L es un sublenguje de Σ. Tmbién, recordemos que de l definición de l iguldd de conjuntos podemos obtener que dos lengujes A,B son igules: A = B si y sólo si (1) A B (2) B A Est observción nos yudrá demostrr el siguiente teorem. Teorem 1. Sen A,B,C lengujes sobre un lfbeto Σ. Se cumple que Proof. (1) A (B C) = (A B) (A C) (2) (B C) A = (B A) (C A) (1) Por contenciones, esto probremos que () A (B C) (A B) (A C) (b) (A B) (A C) A (B C) (): Si x A (B C) entonces x = w y con w A y y B C; luego y B ó y C. Si y B entonces x = wy A B; y si y C, entonces x = w y A C, sí, x (A B) (A C) (b): Si x (A B) (A C) entonces x A B ó x A C. Si x A B entonces x = wy con w A y y B B C, luego x = wy con w A y y B C. Si x A C entonces x = wy con w A y y C B C, entonces x = wy con w A y y B C, luego x A (B C).

12 12 1. Autómt finito En culquier cso x A (B C). (2) Tre. Notemos que en generl, no es cierto que A (B C) = (A B) (A C) por l culp del contrjemeplo siguiente: A = {,ǫ}, B = {ǫ}, C = {}, entonces B C = y sí A (B C) = mientrs que A B = A =,ǫ y A C = {,}, por lo que (A B) (A C) = {} A (B C) Uno de los concepto fundmentles de l teorí es el de cerrdur. Definición 16. Se A lenguje sobre el lfbeto Σ. (1) L cerrdur de Kleene o cerrdur estrell de A es A = n=0a n (2) L cerrdur positiv de A es A + = n=1 An L cerrdur de Kleene se obtiene l hcer cero o más concteneciones de ls plbrs de A, mientrs que l cerrdur positiv se obtiene l hcer un o más conctenciones. Ejemplo 18. A = {}. Entonces A 0 = {ǫ}, A 1 =, A 2 =, A 3 =,... entonces A = {ǫ,, 2, 3,...} mientrs que A + = {, 2, 3,...} Ejemplo 19. Se Σ un lfbeto. En prticulr el propio Σ es un lfbeto formdo por ls plbrs de longitud 1. Luego l cerrdur de Kleene de Σ es n=0σ n que es ǫ junto con tods ls conctenciones de plbrs sobre Σ que es precismente el lenguje universl Σ. Este rzonmiento muestr que nuestr

13 3. Operciones con lengujes 13 notción pr el lenguje universl es consistente con l notción de l cerrdur de Kleene: Σ }{{} lenguje universl = Σ }{{} cerrdur de Kleene Propiedd 3. Si A es un lenguje sobre Σ, entonces Proof. (1) A Σ (2) A + A (1) n 0, A n Σ, entonces A = n=0 Σ (2) forllk 1, A k ] n=0 An = A, entonces A + = k=1 A Ejemplo 20. Tenemos que es un lenguje. Entonces 0 = {ǫ}, 1 =, 2 =,... por lo que = {ǫ}, + = Uno podrí pensr que l diferenci entre l cerrdur de Kleene y l cerrdur positiv es l plbr vcí ǫ. Esto no siempre es cierto, como puede notrse en el siguiente ejemplo. Ejemplo 21. Se Σ = {0,1,...,9}, y consideremos el lenguje A = {w Σ w no contiene ninguno de los dígitos 0,1,...,9} Luego, ǫ A, 0 A, 1 A, A. Nos proponemos demostrr que A = A +. Si k 1 y x A k, entonces x = w 1 w k con cd w i A cden conteniendo sólo 0 s y 1 s. Luego x contiene sólo 0 s y 1 s. Por lo tnto, k 1,A k A. Además, si k 1 y x A, entonces x = ǫ k 1 x A k, esto es A A k : k 1,A k = A Por lo que A + = n=1 Ak = A.

14 14 1. Autómt finito Pero tmbién, como A 0 = {ǫ} A, se sigue A = A 0 A + = A 0 A = A por lo tnto A = A = A + Como puede notrse del ejemplo nterior en lgunos csos A + = A. Lem 1. Sen A,A 0,A 1,... un colección infinit de lengujes sobre Σ. Entonces (1) A n=0 A n = n=0 A A n (2) ( n=0 A n) A = n=1 A n A Proof. (1) Por demostrr () A n=0 A n n=0 A A n (b) n=0 A A n A n=1 A n (): Si x A n=0 A n, entoces x = w y con w A y y n=0 A n, luego existe k 0 tl que y A k0, sí x = wy A A k0, lo que implic que x n=0 A A n. (b): Si x n=0 A A n entonces existe k 0 tl que x A A k0, por lo que x = wy con w A y y A k0, es decir y n=0 A n. Así x A n=0a n Por lo tnto A n=0 A n = n=0 A A n. (2) Tre. Teorem 2. A + = A A = A A

15 3. Operciones con lengujes 15 Proof. A A = A n=0a n = n=0a A n = n=0 An+1 = k=1 Ak = A +. y similrmente A A = A +. Ejemplo 22. Se {A} = {b} lenguje sobre el lfbeto inglés. Tenemos que A + = {b,bb,bbb,...} = {(b) i i 1} el cul es su vez un lenguje. Podemos considerr sus potencis (A + ) 2 = A + A + = {b b,b bb,b bbb,..., bb b,bb bb,bb,bbb,..., } el cul es un sublenguje de A + : (A + ) 2 A +. De form similr (A + ) 3 A +, (A + ) 4 A +,... Este es un hecho generl. Lem 2. Se A un lenguje. Entonces (A + ) k A +, k 1 Proof. Por inducción sobre k. Si k = 1: (A + ) k = (A + ) 1 = A + A +. Tmbién el resultdo es cierto pr k = 2: Supongmos cierto que (A + ) 2 = A + A + = A + n=1 An = n=1 A+ A n = ( n=1 j=1 A j) A n n=1 j=1 Aj A n = n=1 j=1 A j+n m=1a m = A + (A + ) k A +.

16 16 1. Autómt finito Por demostrr que (A + ) k+1 A +. Tenemos que (A + ) k+1 = A + (A + ) k A + A + = (A + ) 2 A + Tre 1. Se x Σ. Demostrr que (x I ) I = x. Definición 17. Si A es un lenguje, su inverso es A I = {w I w A} Propiedd 4. Si A,B son lengujes, entonces (A B) I = B I A I Proof. Por contenciones, demostrremos que (1) (A B) I B I A I (2) B I A I (A B) I (1) Se z (A B) I, entonces z = x I con x A B, por lo que x = yw con y A y w B. Luego z = (yw) I = w I y I B I A I Por lo tnto (A B) I B I A I. (2) Se z B I A I, entonces z = w I y I con w B y y A. Por lo que z = w I y I = (yw) I (A B) I. Por lo tnto B I A I (A B) I. 4. Numerbilidd Nos proponemos estudir lo siguientes problems: (1) Ddo un lenguje A y x Σ, x A (2) Ddo un lenguje A, especificr qué plbrs lo componen. Ejemplo 23. Se Σ = {, b}. (1) Cuánts plbrs de longitud 0 hy?: ǫ. Sólo un.

17 4. Numerbilidd 17 (2) Cuánts plbrs de longitud 1 hy?:,b. Dos. (3) Cuánts plbrs de longitud 2 hy?:, b, b, bb. 4 (4) Cuánts plbrs de longitud 3 hy?: 8 (5) Cuánts plbrs de longitud n hy?: 2 n. Podemos numerr ls plbrs de Σ según el siguiente orden < b, < b, b Podemos enumerr ls plbrs según este orden ǫ 0 1 b 2 3 b 4 b 5 bb 6 7. Sin embrgo, por comodidd (pr el cso generl) tmbién podemos enumerr usndo números en bse 3 ǫ 0 1 b = 4 b 12 3 = 5 b 21 3 = 7 bb 22 3 = = 13.

18 18 1. Autómt finito Supongmos que Σ = 1, 2,..., n. Podemos enumerr ls plbrs de Σ con números en bse n + 1 como es decir, tenemos un función ǫ n n n n+1. f : Σ N l cul es inyectiv, pues cd numero nturl tiene un únic representción en bse. De donde se sigue que Σ es enumerble. Teorem 3. Si Σ es un lfbeto entonces Σ es infinito numerble. En contrste todos los lengujes que se pueden formr con Σ no es numerble. Es decir, hy mucho más lengujes que plbrs. Se puede demostrr esto, usndo lo que se llm l técnic de digonlizción. Teorem 4. Se Σ un lfbeto. El conjunto de los lengujes sobre Σ no es numerble. Proof. Se L = {A A es lenguje sobre Σ}. Procedemos por contrdicción. Supongmos que L es numerble. Entonces L = {A 0,A 1,A 2,...}. Sbemos que Σ es numerble, entonces podemos poner Σ = {w 0,w 1,w 2,...} definimos entonces el conjunto digonl, D = {w i Σ w i A i } Σ D es un lenguje sobre Σ, entonces D L, por lo que debe de existir k N tl que D = A k. Tenemos dos csos w k D o w k D. (1) Si w k D entonces w k A k = D, i.e., w k D: bsurdo.

19 5. Lengujes Regulres y Expresiones Regulres 19 (2) Si w k D = A k entonces w k D: bsurdo de nuevo En culquier cso obtenemos un bsurdo. Por lo tnto L no es numerble. 5. Lengujes Regulres y Expresiones Regulres Definición 18. Se Σ un lfbeto. El conjunto de los lengujes regulres se define como: (1) es un lenguje regulr; (2) {ǫ} es un lenguje regulr; (3) Σ, {} es un lenguje regulr; (4) Si A, B son lengujes regulres entonces son lengujes regulres. A B, A B, A Esto es, el conjunto de los lengujes regulres sobre Σ está formdo por el lengujes vcío, los lengujes unitrios incluidos {ǫ} y todos quellos obtenidos de estos por conctención, unión y l cerrdur de Kleene de éstos. Ejemplo 24. Se Σ = {, b}. Entonces, {ǫ} son lengujes regulres {}, {b} son lengujes regulres {, b} es lenguje regulr pues {.b} = {} {b} {b} es regulr pues {b} = {b} {,,b,b} = {,b} {b} }{{}}{{} regulr regulr es regulr { i i 0} = {} es regulr { i b j i 0 y j 0} = {} {b} }{{}}{{} regulr regulr {(b) i i 0} = {b} es regulr. es regulr Ejemplo 25. Se Σ = {,b,c} y A el lenguje sobre Σ: Es A regulr? Sol. Notemos que A = {w Σ w no tiene c como subcden} {b}{c} A y {} A

20 20 1. Autómt finito luego ls plbrs formds por conctenciones de potencis i y bc j están en A; i.e., ({} {b}{c} ) A luego {c} ({} {b}{c} ) A. Probremos que A = {c} ({} {b}{c} ) y sí resultrá que A es regulr. Sólo flt comprobr que A {c} ({} {b}{c} ). (2) Se w A, entonces w = c i w pr lgún i 0 y w plbr que no tiene c como prefijo. Así, w está formd por s, b s y c s donde culquier bloque de c s no puede seguir s, en consecuenci, culquier bloque de c s sigue b s, de donde w ({} b{c} ) entonces w = c i w {c} ({} {b}{c} ), por lo tnto A = {c} ({} {b}{c} ) que es un lenguje regulr. Ls expresiones regulres se definen como sigue Definición 19. Se Σ un lfbeto. (1) y ǫ son expresiones regulres; (2) Si Σ entonces es un expresión regulr; (3) Si r y s son expresiones regulres entonces son expresiones regulres. r s, r s, r Como en ls conctenciones, veces escribiremos rs = r s Ejemplo 26. Se Σ = {, b, c}. Entonces es un expresión regulr. c ( bc ) Proof. Tenemos que b es un expresión regulr, sí como c, entonces c es un expresión regulr por lo que bc tmbién. Lo es tmbién, luego bc es expresión regulr y en consecuenci ( bc ) es regulr. Finlmente c ( bc ) es expresión regulr.

21 5. Lengujes Regulres y Expresiones Regulres 21 s expresiones regulres son nombres pr los lengujes regulres. Definición 20. Se Σ un lenguje. El lenguje L de un expresión regulr sobre Σ se define como: (1) L( ) =, L(ǫ) = {ǫ}; (2) Si Σ, L() = {}; (3) Si r,s son expresiones regulres entonces () L(r s) = L(r) L(s) (b) L(rs) = L(r)L(s) (c) L(r ) = L(r) Pr clculr los lengujes de expresiones regulres se hce uso del orden de precedenci: (1) cerrdurs de Kleene: (2) conctenciones : (3) uniones: Ejemplo 27. L( b ) = L() (L() L(b) ) Definición 21. Si r es un expresión regulr entonces r + = rr Propiedd 5. L(r + ) = L(r) + Proof. Por definición L(r + ) = L(rr ) = L(r)L(r ) = L(r)L(r) = L(r) + Definición 22. Sen r,s expresiones regulres sobre Σ. Se dice que r y s son equivlentes si y sólo si L(r) = L(s) en tl cso se escribe r = s. Es decir, r = s L(r) = L(s) Notemos que r = s (1) L(r) L(s) (2) L(s) L(r)

22 22 1. Autómt finito Tmbién es fácil ver que si r es un expresión regulr entonces L(r) es un lenguje regulr. Ejemplo 28. ( b) = ǫ ( b) b Proof. El lfbeto bjo considerción es Σ = {,b}. Por definición L(( b) ) = ({} {b}) que es el lenguje formdo por 0 o más conctenciones de plbrs de {} b esto es, plbrs del tipo ǫ j 1 b j k b esto es, l plbr vcí junto con plbrs que terminn en b. Este lenguje es l descripción exctmente del lenguje regulr siguiente de donde por lo tnto {ǫ} ({,b} {b}) = L(ǫ ( b) b) L(( b) ) == L(ǫ ( b) b) ( b) = ǫ ( b) b Ejemplo 29. Se r en expresión regulr, entonces r + = r r Proof. Por l propiedd 5 L(r + ) = L(r) + = L(r) L(r) = L(r r) lo que implic que r + = r r. El álgebr de ls expresiones regulres viene descrit en el siguiente teorem. Teorem 5. Sen r,s,t expresiones regulres sobre Σ. Entonces (1) r s = s r (2) r = r = r (3) r r = r (4) (r s) t = r (s t) (5) rǫ = ǫr = r (6) r = = r

23 5. Lengujes Regulres y Expresiones Regulres 23 (7) r(st) = (rs)t (8) r(s t) = rs rt y (r s)t = rs st (9) r = r = r r = (ǫ r) = r (r ǫ) = (r ǫ)r = ǫ rr (10) (r s) = (r s ) = (r s ) = (r s) r = r (sr ) (11) r(sr) = (rs) r (12) (r s) = ǫ (r s) s (13) (rs ) = ǫ r(r s) (14) s(r ǫ) (r ǫ) s = sr (15) rr = r r Proof. Sólo hremos l demostrción de un de ests equivlencis. L demás son similres. (11) Por demostrr que L(r(sr) ) = L((rs) r) (3) Se w L(r(sr) ) = L(r)(L(s)L(r)) entonces w = r 0 s 1 r 1 s 2 r 2 s n r n con r 0 L(r) y cd s i L(s), r i L(r). Podemos escribir Por lo tnto, w = (r 0 s 1 ) (r 1 s 2 ) (r n 1 s n 1 )r n (L(r) L(s)) L(r) = L((rs) r) L(r(sr) ) L((rs) r). Similrmente se prueb que L((rs) r) L(r(sr) ). Se sigue entonces que l ecución (3) es ciert. Se concluye entonces que r(sr) = (rs) r Como un ejemplo del uso de ést álgebr es l siguiente propiedd. Propiedd 6. Si r = s t entonces r = sr t Proof. r = s t = (ǫs + ) pues L(s ) = L(ǫ) L(s + ) = (ǫ ss )t por definición de s + = ǫt ss t por (5) e hipótesis = sr t por (1)

24 24 1. Autómt finito Tre 2. Tre 3. (1) De que conjunto de símbolos se derivn ls frses ingless? (2) Por qué el lenguje vcío no es el mismo que {ǫ}? (3) Se Σ = {1}. Se puede decir que pr todo número nturl n hy lgun plbr w Σ pr l cul w = n? es únic? Qué ocurrirí si Σ = {1,2}? (4) Pr un plbr w, se puede decir que w i+j = w i + w j? Encontrr un expresión pr w i+j en términos de i,j y w. (5) L cden vcí es un prefijo de sí mism? (6) Definir ls nociones de sufijo y sufijo propio de un cden sobre un lfbeto. Dr ejemplos. (7) Obtener todos los prefijos, sufijos y subplbrs de l plbr w = br sobre el lfbeto inglés. (1) Se x Σ. Probr que (x I ) I = x. (2) Pr un lenguje rbitrrio A, qué es A? (3) Sen A = {el, mi} y B = {cbllo, cs, herrdur} lengujes sobre el lfbeto ingés. Obtener A B, A A y A B B. (4) Suponer que A = {ǫ,}. Obtener A n pr n = 0,1,2,3 Cuántos elementos tiene A n pr n rbitrrio? Cuáles son ls cdens de A n pr n rbitrrio? (5) Se A = {ǫ}. Obtener A n pr n rbitrrio. (6) Sen A = {ǫ,b} y B = {cd} Cuánts cdens hy en A n B pr n rbitrrio? (7) Sen A = {}, B = {b}. Obtener A n B, AB n y (AB) n. (8) Sen A = {ǫ}, B = {,b,bb}, C = {ǫ,,b} y D = el lenguje vcío. Obtener A B, A C, A D y A B, B C, C D, A D. Suponer que F es un lenguje culquier. Obtener F D y F D. (9) Bjo qué condiciones A = A +? (10) Obsérvese que pr todo lenguje A se tiene que ǫ A cuándo ǫ A +? (11) Probr que {ǫ} = {ǫ} = {ǫ} +.

25 5. Lengujes Regulres y Expresiones Regulres 25 (12) Antes se obtuvo que A = A 0 A + = {ǫ} A +. Cbrí esperr que A + = A {ǫ}. Probr que, en generl, ést expresión no es ciert. Cuándo se cumplirá que A + = A {ǫ}. (13) Obtener lengujes A,B,C tles que A (B C) A B A C. (14) Probr que () (A ) = A (b) (A ) + = A (c) (A + ) = A (15) Demostrr que se cumplen ls siguientes igulddes pr los lengujes A y B sobre el lfbeto Σ: () (A B) I = A I B I (b) (A B) I = A I B I (c) (A + ) I = (A I ) + (d) (A ) I = (A I ) Tre 4. Tre 5. (1) Se Σ = {,b}. Lo siguiente es un definición recursiv del lenguje A: () ǫ A. (b) Si x A, entonces xb y bx pertenecen A. (c) Si x e y pertencen A, entonces xy pertenece A. (d) No hy nd más en A. Probr que () A = {w Σ w tiene el mismo número de es que de bes} (b) Si b y ǫ están en A qué más plbrs hy en A? (c) Dr un definición recursiv pr que A {,b} conteng tods ls plbrs que tienen el doble de es que bes (2) Un plíndromo es un cden que se lee igul hci delnte que hci trás. Por ejemplo, l plbr es un píndromo, l igul que l cden rdr. Dr un definición recursiv de un plíndromo (obsérvese que ǫ es un plíndromo). (3) Probr que pr los lengujes A y B, (A B) = (A B ). (1) Verificr, plicndo l definición de lenguje regulr, que los siguientes son lengujes regulres sobre Σ = {,b}: () { i i > 0}. (b) { i i > n} pr n 0 fijo. (c) {w Σ w termin con }.

26 26 1. Autómt finito (2) Verificr que el lenguje de tods ls cdens de ceros y unos que tienen l menos dos ceros consecutivos, es un lenguje regulr. (3) Los identificdores de Pscl son cdens de longitud rbitrri compuests por crcteres lfbéticos y por dígitos. Los identificdores de Pscl deben empezr con un crácter lfbético. Es este un lenguje regulr? (4) Obtener un expresión regulr que represente el lenguje de los identificdores de Pscl. (5) () Probr que (r ǫ) = r. (b) Probr que (b b) (b b)( b b) ( b b) y b( b b) son equivlentes. (c) Sobre Σ = {,b,c} son equivlentes ls prejs de expresiones regulres de cd prtdo? (d) ( b) y (( b)). (e) y ǫ. (f) (( b)c) y (c bc). (g) b(b c) y (b b)(b c). (6) Simplificr: () b ( b). (b) (( b ) (b ) ). (c) ( b) (b ). (d) ( b) ( b). (7) Probr que () = (). (8) Simplificr ls siguientes expresiones regulres: () (ǫ ). (b) (ǫ )(ǫ ). (c) (ǫ ) ǫ. (d) (ǫ ) (ǫ ). (e) ( ǫ) b. (f) (ǫ ) (ǫ ). (g) (ǫ )(ǫ ) (ǫ ) (ǫ ). (h) (ǫ )(ǫ ) (b b) (b b). (i) ( b)(ǫ) (ǫ ) ( b). (j) () (). (k) b(( b) b) b. (l) b(( b) b) ( b)() () b(( b) b). 6. Autómts finitos determinists Nuestro problem principl es determinr si un plbr pertenece ó no un lenguje. Por ejemplo, si A es el lenguje de l expresión regulr c ( bc )

27 6. Autómts finitos determinists 27 entonces bc 5 c 3 b A, cbc 3 bc A, el nálisis se puede hcer letr por letr según sus posiciones. Pr yudr tl násisis se hce uso de grfos dirigidos llmdos digrms de trnsición. Los nodos de tles grfos se llmn estdos, ls flechs se llmn trnsiciones y se etiquetn ésts flechs con símbolos del lfbeto. Hy símbolos especiles: estdo inicil que se mrc con y estdos finles ó de ceptción que se mrcn con un círculo: Por ejemplo: Figure 1. Un utómt finito determinist Tles grfos se llmn utómts finitos determinists (AFD). Un plbr se dice ceptd ó legl con respecto un AFD si prtiendo del estdo mrcdo como inicil, se lleg un estdo de ceptción medinte el siguiente procedimiento: l cden b es ceptd por el AFD de l figur 6? comenzndo del nodo mrcdo como estd inicil seguimos el cmino indicdo por ls flechs con etiquets ls letrs de l plbr en cuestión: se rrib entonces un estdo que no es de ceptción, por lo que l plbr b se rechz. 3 b es ceptd? vemos el digrm:

28 28 1. Autómt finito como se puede notr, tl plbr nos hce llegr l estdo de ceptción, por lo que l plbr 3 b es ceptd. De donde es clro que el utómt finito determinist de l figur 6 cept ls plbrs del lenguje de b. Ejemplo 30. Se Σ = {, b}. Consideremos el lenguje A = {(b) i i 1}. Construir un AFD que cepte únicmente ls plbrs de A. Sol. Recordemos que A = {b,bb,bbb,...} de donde l menos l plbr b debe, en el utómt que construymos, conducir un estdo de ceptción. Lo que sugiere que consideremos el digrm éste ún no es un AFD, puesto que se requiere que el utómt, en cd estdo, sep qué estdo nuevo se trnsit nte l prición de culquier letr del lfbeto, en nuestro cso y b. Notemos que en nuetro primer digrm el utómt, en el estdo inicil no sbrá que hcer si prece un b. Ningun plbr de A tiene prefijo b, luego ls plbrs que comiencen con b, sin importr lo que sig, deben de ser rechzds. Esto sugiere: Otrs plbrs rechzr son quells que después de, en lugr de continur con b, continuen con, lo que sugiere

29 6. Autómts finitos determinists 29 Otrs plbrs que deben de ser ceptds son por ejemplo bb, bbb. L mner de crer repeticiones es introducir ciclos en el grfo: con lo cul ceptmos ls plbrs del tipo (b) +. Pero ún debemos rechzr ls plbrs que l tener prefijo b continuen con b: lo que complet nuestro utómt finito determinist que cept solmente ls plbrs del lenguje de (b) +. Ejemplo 31. Lo mismo que el nterior pr A = (b). Sol. Ahor l plbr vcí tmbién tiene que ser ceptd. L técnic pr ceptr ǫ es hcer l estdo inicil, finl tmbién: Por lo que el utómt pedido es

30 30 1. Autómt finito Nótese que hor tenemos dos estdos finles. En generl cundo en un AFD se hce del estdo inicil un estdo finl, no sólo se v h ceptr l plbr vcí, puede que se cepten otrs indesebles. Por ejemplo, en el AFD, se cept sólo l lenguje (b) y no l plbr vcí. Si ponemos l estdo inicil como finl obtenemos que cept no sólo l plbr vcí ǫ, sino que se cuel todo el lenguje (b). Es decir, el nuevo utómt cept (b) (b). Ejemplo 32. A veces, el útil etiquetr los estdos. Por ejemplo

31 6. Autómts finitos determinists 31 Entonces se puede representr l dinámic de los estdos medinte un tbl δ b q 0 q 1 q 2 q 1 q 2 q 0 q 2 q 2 q 2 Tble 1. Tbl de trnsiciones que es un form de representr un función δ : Q Σ Q, donde Q = {q 0,q 1,q 2 } el el conjunto de estdos. Formlmente, un AFD es: Definición 23 (AFD). Un utómt finito determinist M es un 5- upl: M = (Q,Σ,s,F,δ) donde (1) Q = {q 0,q 1,...,q n } es un conjunto finito de elementos llmdos estdos. (2) Σ es un lfbeto. (3) s Q un elemento llmdo estdo finl. (4) F Q un subconjunto de estdos llmdos estdos finles. (5) Un función δ : Q Σ Q, donde δ(q i,σ) es el estdo siguiente q i. Ejemplo 33. En el ejemplo inmedito nterior, el utómt finito determinist es: (1) Q = {q 0,q 1,q 2 } (2) Σ = {,b} (3) s = q 0

32 32 1. Autómt finito (4) F = {q 0 } y δ es l función definid por l tbl 1. Recíprocmente, ddo M un AFD, M = (Q, Σ, s, F, δ), se puede construir su digrm de trnsiciones como: (1) nodos: q Q (2) flechs: si q Q y σ Σ, entonces se pone Ejemplo 34. Pr el utómt M = (Q,Σ,s,F,δ) con Q = {,b}, Σ = {,b}, s = q 0, F = {q 0 } y δ definid por δ b q 0 q 0 q 1 q 1 q 1 q 0 le corresponde digrm de trnsición Ejemplo 35. Se M = (Q,Σ,s,F,δ) con Q = {q 0,q 1,q 2,q 3 }, Σ = {,b}, s = q 0, F = {q 0,q 1,q 2 } y tbl de trnsiones luego el digrm de trnsición es: δ b q 0 q 0 q 1 q 1 q 0 q 2 q 2 q 0 q 3 q 3 q 3 q 3

33 6. Autómts finitos determinists 33 Definición 24. Se M un AFD. El lenguje ceptdo por M es L(M) = {w Σ w es ceptd por M} Ejemplo 36. Consideremos M como en el ejemplo inmedito nterior. Puede notrse que todos los estdos son de ceptción excepto uno; luego tods ls plbrs son ceptds excepto cundo se lleg q 3. Y l únic form de llegr q 3 es con tres b s consecutivs: b q 0 q 1 b q 3 q 2 b, b esto es L(M) = {w Σ w no tiene b 3 como subplbr} Si σ 1,σ 2,σ 3 Σ y q 0 es estdo inicil, el estdo resultnte de nlizr l cden es, formlmente, est plicción se brevirá como más generlmente: δ(δ(δ(q 0,σ 1 ),σ 2 ),σ 3 ) δ(q 0,σ 1 σ 2 σ 3 ) Definición 25. Se q i un estdo. Se definen (1) δ(q i,ǫ) = q i (2) Si w Σ y w = w con Σ y w Σ, entonces δ(q, w ) = δ(δ(q i,),w ) Definición 26. Sen M 1,M 2 dos AFD. Se dice que M 1 es equivlente M 2 si L(M 1 ) = L(M 2 ) Ejemplo 37. Pongmos Σ = {}. Se M 1 el utómt finito determinist ddo por

34 34 1. Autómt finito y M 2 el ddo por Es fácil ver que L(M 1 ) =. Tmbién L(M 2 ) =. Luego L(M 1 ) = L(M 2 ) y sí M 1 es equivlente M 2 Tre 6. (1) Obtener l expresión regulr que represent el lenguje formdo por tods ls cdens sobe {,b} que tienen un número pr de bes. Construir el digrm de trnsición pr este lenguje. (2) Construir el digrm de trnsición pr el lenguje ddo por c ( bc ). Convertir el digrm en un tbl, etiquetndo los estdos q 0,q 1,... (3) Se M = (Q,Σ,s,F,δ) ddo por Q = {q 0,q 1,q 2,q 3 } Σ = {0,1} F = {q 0 } s = q 0 y δ dd por l tbl δ 0 1 q 0 q 2 q 1 q 1 q 3 q 0 q 2 q 0 q 3 q 3 q 1 q 2 Construir el digrm de trnsición. Obtener l secuenci de estdos por lo que se ps pr ceptr l cden (el crácter del extremo izquierdo es el primero en ser nlizdo). (4) L siguiente figur es un digrm de trnsición correspondiente un AFD? Por qué o por qué no?

35 7. Automts finitos no determinists Automts finitos no determinists Ejemplo 38. Diseñemos un AFD que sólo cepte b b. Notemos que el lenguje b b está formdo por ls plbrs w que tienen sufijo b o prefijo. Ls plbrs y b deben de ser ceptds, lo que sugiere q 0 b q 1 q 2 tmbién ls plbrs que después de le siguen lgun potenci de b deben de ser ceptds. Por lo que ñdimos q 0 b q 1 q 2 b b Tmbién ls plbrs del tipo n b con n 2 deben de ser ceptds; se ñde q 0 b q 1 q 2 b b b

36 36 1. Autómt finito Culesquier otrs plbrs diferentes ls de los modelos nteriores deben de ser rechzds, b q 0 b q1, b q 2 b, b b b Nótese que no es clro que el lenguje b b se exctmente el ceptdo por éste utómt. Serí más fácil si se permitier: q 0 b q 3 b q 4 q 1 b q 2 pero éste no en un AFD sino un utómt finito no determinist. Definición 27. Un utómt finito no determinist (AFN) es M = (Q,Σ,s,F, ) donde (1) Q = {q 0,...,q n } es conjunto finito de estdos. (2) Sigm un lfbeto. (3) s Q estdo inicil. (4) F Q estdos finles. (5) es un relción de Q Σ en Q, es decir, (Q Σ) Q Lo nterior signific que no es un función, pero csi lo es; queremos decir, que si q Q y σ Σ, entonces (q,σ) no es un sólo elemento, sino todo un conjunto: (q,σ) Q.

37 7. Automts finitos no determinists 37 Ejemplo 39. En el utómt finito no determinist nterior (ejemplo 38) tenemos que Q = {q 0,q 1,q 2,q 3,q 4 } Σ = {,b} s = q 0 F = {q 2,q 3,q 4 } y está descrit por lo siguiente tbl: b q 0 {q 1,q 4 } {q 3 } q 1 {q 2 } q 2 q 2 q 3 q 4 {q 4 } Ejemplo 40. Se M = (Q, Σ, s, F, ) un AFN ddo por Q = {q 0,q 1,q 2 }, y relción de trnsición dd por Σ = {,b} s = q 0, F = {q 0 } b q 0 {q 1 } q 1 {q 0,q 2 } q 2 {q 0 } Con estos dtos se puede dibujr el digrm de trnsición: de donde se puede ver que M cept (b) y tmbién (b). Aún más, cept ((b) (b) ) = (b b). Se puede mostrr que L(M) = ((b) (b) ) Después, bsdos en el lem de Arden, dremos un lgoritmo pr comprobr igulddes de este tipo.

38 38 1. Autómt finito L definición forml de ls plbrs ceptds es: Definición 28. w Σ es ceptd si (s,w) contiene l menos un estdo de ceptción, i.e., si (s,w) F. Definición 29. Se M un AFN. El lenguje ceptdo por M es L(M) = {w Σ w es ceptd por M} Ls trnsiciones de estdos pueden describirse de form similr los AFD con δ. Definición 30. Se M = (Q,Σ,s,F, ) un AFN. (1) Si X Q y σ Q se define {, si X = (X,σ) = q X (q,σ), si X (2) Si w Σ con w = σw con σ Σ y w > 0 entonces Ejemplo 41. Si Σ = {,b}; (q,w) = ( (q,σ),w ) (q 0,bb) = ( (q 0,),bb) = ( ( ( ( (q 0,),b),),),b) Ejemplo 42. Consideremos M el AFN con lfbeto Σ = {,b} y digrm de trnsición entonces b q 0 {q 2 } q 1 {q 2 } {q 2 } q 2 {q 4 } q 3 {q 4 } {q 4 }

39 7. Automts finitos no determinists 39 y sí, (q 0,b) = ( (q 0,),b) = ({q 0,q 3 },b) = (q 0,b) (q 3,b) = {q 0,q 3 } = {q 0,q 3 } que son los posibles estdos que se obtienen prtir de q 0 con trnsición b. Exminemos l plbr bb: b q 0 q 1 rechzo por lo que bb ún no se cept. Pero b b q 3 q 0 q 4 ceptd lo que nos llev un estdo de ceptción. De quí que bb se cept, i.e., bb L(M)

40 40 1. Autómt finito Estos digrms relmente corresponden ls siguientes ecuciones (q 0,bb) = ( (q 0,),bb) = ({q 0,q 3 },bb) = (q 0,bb) (q 3,bb) = ( (q 0,b),b) ( (q 3,b),b) = ({q 0,q 1 },b) (,b) }{{} = (q 0,b) (q 1,b) = ( (q 0,),b) ( (q 1,),b) = ({q 0,q 3 },b) (,b) = (q 0,b) (q 3,b) = ( (q 0,),b) ( (q 3,),b) = ({q 0,q 3 },b) (q 4,b) = {q 0,q 1 } {q 4 } = {q 0,q 1,q 4 } que contiene l estdo de ceptción q 4 F, por lo que, como ntes observmos, bb L(M). 8. Equivlenci entre AFD y AFN Lo que relmente import de los utómts no es su digrm de trnsición, sino el lenguje que ceptn. Definición 31. Se M un AFD ó AFN, se M un AFD ó AFN. Se dice que M es equivlente M si L(M) = L(M ) Ejemplo 43. Se Σ = {,b}. Se M el utómt finito no determinist es fácl ver que L(M) = ( b). Ahor considermos M el siguiente utómt finito determinist

41 8. Equivlenci entre AFD y AFN 41 Tmbién tenemos que L(M ) = ( b). Por lo tnto M es equivlente M. En generl, si M es un AFD, entonces es un AFN, pues δ función es en prticulr un relción. Queremos probr lo recíproco; esto es, si M es un AFN entonces existe M un AFD equivlente M. L ide es l siguiente: como es un relción, entonces (q,σ) = {q i1,...,q is } esto es, induce un función, no de estdos estdos, sino de conjuntos de estdos conjuntos de estdos: : E Σ E, E 2 Q Ejemplo 44. Se M el AFN Tenemos que L(M) = (b) +. Construiremos un AFD M tl que L(M ) = (b) +. Result que L primer fil de est tbl sugiere b q 0 {q 1,q 2 } q 1 q 2 {q 3 } q 3 {q 2 }

42 42 1. Autómt finito donde hy nuevos estdos mrcdos por {q 0 }, {q 1,q 2 } y. Necesitmos clculr ls trnsiciones de estos nuevos estdos. Ls del estdo {q 1,q 2 } son ({q 1,q 2 },) = (q 1,) (q 2,b) = = ({q 1,q 2 },b) = (q 1,b) (q 2,b) = {q 3 } = {q 3 } Agregmos tl informción en el nuevo digrm de trnsición: Ls trnsiciones desde son hci : (,) =, (,b) =. De nuevo, ctulizmos el digrm de trnsición: Ahor necesitmos clculr ls trnsiciones del nuevo estdo {q 3 }: qued hor el digrm ({q, 3},) = {q 2 }, (q 3,b) = {q 3 }

43 8. Equivlenci entre AFD y AFN 43 Finlmente, necesitmos ls trnsiciones del nuevo estdo {q 2 }: ({q 2 },) =, ({q 2 },b) = {q 3 } lo que complet l construcción de M que es un AFD: el cul cept el lenguje L(M ) = b (b) +. Nótese que los nuevos estdos iniciles on quellos que contienen estdos inicles del utómt originl. Hemos construido un nuevo AFD M = (Q,Σ,s,F,δ ) donde y l función de trnsición es Donde M es equivlente M. Q = {{q 0 },, {q 1,q 2 }, {q 3 }, {q 2 }} Σ = Σ el lfbeto inicil s = {s}f = {{q 1,q 2 }, {q 3 }} δ b {q 0 } {q 1,q 2 } {q 1,q 2 } {q 3 } {q 3 } {q 2 } {q 2 } {q 3 } Teorem 6. Se M = (Q,Σ,s,F, ) un AFN. Entonces existe M = (Q,Σ,s,F,δ ) un AFD equivlente M.

44 44 1. Autómt finito Proof. Se 2 Q el conjunto potenci de Q, esto es 2 Q es l colección de todos los subconjuntos de Q. Se define M como sigue: Q = 2 Q Σ = Σ s = {s} F = {S Q S F } δ : Q Σ Σ, δ (S,σ) = (S,σ) Por demostrr que L(M ) = L(M). Probremos que w Σ es ceptd por M w es ceptd por M Un cden w Σ es ceptd por M δ (s,w) es un estdo de ceptción de M δ(s,w) F (s,w) F w L(M). Tre 7. El ls siguientes tbls, los estdos iniciles están mrcdos con un flech y los estdos finles con un sterisco: Tre 8. (1) Convertir el siguiente AFN AFD: Σ = {0,1} 0 1 p {p,q} {p} q {r} {r} r {s} s {s} {s} (2) Convertir el siguiente AFN AFD: Σ = {0,1} 0 1 p {q,s} {q} q {r} {q,r} r {s} {p} s {p} (3) Convertir el siguiente AFN AFD y describir informlmente el lenguje que cept: Σ = {0, 1}: 0 1 p {p,q} {p} q {r,s} {t} r {p,r} {t} s t

45 9. ǫ-trnsiciones 45 (1) Clcule tods ls trnsiciones (desde el estdo inicil) dds por ls cdens bbb y bb pr determinr si son ceptds por el utómt,b b q 0 q 1 q 3 q 4 b q 2,b (2) Se M el AFN ddo por Q = {q 0,q 1 }, Σ = {,b}, s = q 0, F = {q 1 } y dd por b q 0 {q 0,q 1 } {q 1 } q 1 {q 0,q 1 } determinr si 2 b, b y b 2 están en L(M). Dibujr el digrm de trnsición pr M.,b (3) Construir el AFD correspondiente l AFN ddo por,b b b qué lenguje cept dicho utómt? (4) Supongmos que M es un AFN que y es determinist. Qué se obtendrá si trtmos de convertirlo en un AFD, según el lgoritmo expuesto? 9. ǫ-trnsiciones Se puede extender l definición de los AFN pr incluir trnsiciones que no dependn de ningun entrd y sin consumir ningún símbolo. Tles se llmn ǫ-trnsiciones. Ejemplo 45. Se M el utómt

46 46 1. Autómt finito entonces 2 L(M) pues Hemos usdo que 2 = 2 ǫ. Pero tmbién 2 = ǫ; sí (q 0, 2 ) = ( (q 0,),) = ({q 0 },) = ({q 0 },ǫ) = ( ({q 0 },),ǫ) = ({q 0 },ǫ) = {q 1 } (q 0, 2 ) = (q 0,ǫ) = ( (q, 0,),ǫ) = ( (q 0,),ǫ) = ({q 0 },ǫ) = ( ({q 0 },ǫ),) = ({q 1 },) = Tmbién 2 = ǫǫ ó 2 = ǫ, etcéter. Así, siempre en culquier plbr w se puede introducir ǫ y en su nálisis de ceptción w puede no consumir, por ǫ, ningún símbolo del lfbeto. El precio pgr por permitir tles ǫ-trnsiciones es l indefinición de los estdos siguientes. Por ejemplo, en los cáculos nteriores obtuvimos que (q 0, 2 ) = {q 1 } y tmbién que (q 0, 2 ) =. Cuáles son entonces los estdos siguientes? Se puede resolver tl indefinición si se definen los estdos siguientes de mner más cuiddos. Definición 32. Un AFN con ǫ-trnsiciones M es M = (Q,Σ,s,F, ) donde (1) Q es un conjunto finito (de estdos). (2) s Q estdo inicil (3) F Q estdos de ceptción (4) es un relción de Q (Σ {ǫ}) en Q.e Ejemplo 46. Se el utómt

47 9. ǫ-trnsiciones 47 M es un AFN con ǫ-trnsiciones. Nótese que se puede trnsitr del estdo q 2 q 0 sin consumir ningun letr del lfbeto, por lo que b es ceptd por M. Aún más, los estdos siguientes q 0 con entrd b deben de ser {q 0,q 2 }. Se puede poner en un tbl: b ǫ q 0 {q 1 } q 1 {q 2 } q 2 {q 2 } {q 0 } Pr obtener los estdos siguientes un estdo ddo se deben de tener en cuent los estdos siguientes de ls ǫ-trnsiciones. Por ejemplo Los estdos siguientes q 0 con entrd son {q 1,q 4 } mientrs que los estdos siguentes q 1 con entrd b son {q 2,q 0,q 5 }

48 48 1. Autómt finito En generl, se pueden clculr los estdos siguientes con lo siguiente: Definición 33. Se q un estdo. L ǫ-cerrdur de q es (ǫ c)(q) = {p p es ccesible desde q sin consumir ningún símbolo de Σ en l entrd} Si q i1,... q in son estdos se define (ǫ c){q i1,...q in } = n (ǫ c)(q ik ) Por definición, todo estdo es ccesible desde sí mismo sin consumir ningún símbolo de entrd. Esto es, Ejemplo 47. En el utómt k=1 q Q,q (ǫ c)(q) entonces (ǫ c)(q 3 ) = {q 3 } (ǫ c)(q 0 ) = {q, q 1,q 2 }, (ǫ c)(q 4 ) = {q 4,q 1,q 2 } Definición 34. Se q un estdo y σ Σ. Se definen los estdos que siguen directmente q psndo por σ como el conjunto d(q,σ) = {p Q un trnsciión de q p etiquetd por σ} y si q i1,...,q ik son vrios estdos, se define k d({q i1,...,q ik },σ) = d(q ij,σ) j=1

49 9. ǫ-trnsiciones 49 Ejemplo 48. En el AFN del ejemplo nterior?? tenemos que d(q 0,) = {q 3 }, d({q 3,q 4 },b) = d(q 3,b) d(q 4,b) = {q 4,q 0 } Notemos que d(q 0,b) = (ǫ c)(d(q,σ)) son los estdos ccesibles desde q tomndo primero un trnsición sobre σ y luego tomndo un o más ǫ-trnsiciones. d((ǫ c)(q),σ) son los estdos ccesibles desde q tomndo un o más ǫ-trnsiciones y luego un trnsición sobre σ. (ǫ c)(d((ǫ c)(q),σ)) son los estdos ccesibles desde q primero tmndo un o más ǫ-trnsiciones luego siguiendo con un trnsción σ y luego tomndo un o más ǫ-trnsiciones. Así: (ǫ c)(d((ǫ c)(q), σ)) son los estdos siguientes q con entrd σ. Ejemplo 49. Pr clculr los estdos siguientes q 0 con entrd, primero clculmos su ǫ-cerrdur: (ǫ c)(q 0 ) = {q 0,q 1 } ensieguid los estdos que siguen directmente psndo por d((ǫ c)(q 0 ),) = d(q 0,) d(q 1,) = {q 3,q 4 } y finlmente l ǫ-cerrdur de éstos: (ǫ c)(d((ǫ c)(q 0 ),)) = (ǫ c)(q 3 ) (ǫ c)(q 4 ) = {q 3,q 1 } {q 4,q 4 } = {q 1,q 3,q 4,q 5 } A prtir de un AFN M con ǫ-trnsiciones se puede definir un AFN M sin ǫ-trnsiciones tl que L(M ) = L(M). Ejemplo 50. Se M el siguiente

50 50 1. Autómt finito se su relción de trnsición. Vmos definir un M con relción de trnsición : los estdos siguientes: (q 0,) = {q 1,q 3,q 4,q 5 } (q 0,b) = (ǫ c)(d(ǫ c)(q 1,b)); donde (ǫ c)(q 1 ) = {q 1 }, d({q 1 },b) = {q 2 }, (ǫ c)(q 2 ) = {q 2 } por lo que (q 1,): (q 0,b) = {q 2 } (ǫ c)(q 1 ) = {q 1 } d(q 1,) = {q 4 } (ǫ c)(q 4 ) = {q 4,q 5 } (q 1,b): (q 1,) = {q 4,q 5 } (ǫ c)(q 1 ) = {q 1 } d(q 1,b) = {q 2 } (ǫ c){q 2 } = {q 2 } (q 2,): (q 1,b) = {q 2 } (ǫ c)(q 2 ) = {q 2 } d(q 2,) = (ǫ c) = (q 2,b) =. (q 2,) =.

51 9. ǫ-trnsiciones 51 (q 3,): (ǫ c)(q 3 ) = {q 3,q 1 } d({q 3,q 1 },) = d(q 3,) d(q 1,) = {q 4 } = {q 4 } (q 3,b): (ǫ c)(q 4 ) = {q 4,q 5 } (q 3,) = {q 4,q 5 } (ǫ c)(q 3 ) = {q 3,q 1 } d({q 3,q 1 },b) = d(q 3,b) d(q 1,b) = {q 4 } {q 2 } = {q 4,q 2 } (q 4,): (q 4,b): (ǫ c){q 4,q 2 } = (ǫ c)(q 4 ) (ǫ c)(q 2 ) = {q }{{} 4,q 5 } (q 5,b) = (q 5,) =. Obtenemos que M es (q 3,b) = {q 4,q 5 } (ǫ c)(q 4 ) = {q 4,q 5 } d(q 4,) d(q 5,) = (q 4,) =. (ǫ c)(q 4 ) = {q 4,q 5 } d(q 4,b) d(q 5,b) = (q 4,b) = Nótese que L(M) = {b,b} = L(M ).

52 52 1. Autómt finito Teorem 7. Se M = (Q,Σ,s,F, ) un AFN con ǫ-trnsiciones. Entonces existe un AFN sin ǫ-trnsiciones tl que Proof. Se definen y si q Q y σ Σ entonces Tenemos que demostrr que M = (Q,Σ,s,F, ) Q = Q, L(M ) = L(M). Σ = Σ,s = s F = {q Q (ǫ c)(q) F } (q,σ) = (ǫ c) ( d((ǫ c)(q),σ) ) w L(M ) w L(M). Si w L(M ) entonces (s,w) F, esto es por lo que existe q i Q tl que (s,w) {q (ǫ c)(q) F } q i (s,w) y (ǫ c)(q i ) F lo segundo indic que q i F o q i le sigue un estdo finl después de un o más ǫ-trnsiciones: Lo que implic que w L(M). Recíprocmente es similr. Ejemplo 51. Se

53 9. ǫ-trnsiciones 53 podemos encontrr M un AFN sin ǫ-trnsiciones equivlente M: por construcción, los estdos de M son los mismos que los de M: los estdos finles de M son F = {q (ǫ c)(q) F }: q (ǫ c)(q) (ǫ c)(q) F q 0 {q 0,q 1,q 2 } {q 2 } q 1 {q 1,q 2 } {q 2 } q 2 {q 2 } {q 2 } q 3 {q 3 } q 4 {q 4,q 1,q 2 } {q 2 } de donde F = {q 0,q 1,q 2,q 4 }. Actulizmos nuestro digrm de trnsición: Ahor, recordemos que (q,σ) = (ǫ c)(d((ǫ c)(q),σ))

54 54 1. Autómt finito (q 0,): (ǫ c)(q) = {q 0,q 1,q 2 } d({q 0,q 1,q 2 },) = d(q 0,) d(q 1,) d(q 2,) = {q 3 } = {q 3 } (ǫ c)(q 3 ) = {q 3 } (q 0,b): (q 0,) = {q 3 } (ǫ c)(q 0 ) = {q 0,q 1,q 2 } d({q 0,q 1,q 2 },b) = =, (q 0,b) =. (q 1,): (ǫ c)(q 1 ) = {q 1,q 2 } d({q 1,q 2 },) = d(q 1,) d(q 2,) = =, (q 1,b) =. (q 2,) =. (q 2,b) =. (q 3,) : (q 3,b): (q 1,) =. (ǫ c)(q 3 ) = {q 3 } d(q 3,) = (q 3,) =. d(q 3,b) = {q 4 } (ǫ c)(q 4 ) = {q 4,q 1,q 2 } (q 3,b) = {q 4,q 1,q 2 }. (q 4,): (ǫ c)(q 4 ) = {q 4,q 1,q 2 } d({q 4,q 1,q 2 },) = d(q 4,) d(q 1,) d(q 2,) = (q 4,) =. (q 4,b): d({q 4,q 1,q 2 },b) = d(q 4,b) d(q 1,b) d(q 2,b) = {q 0 } (ǫ c)(q 0 ) = {q 0,q 1,q 2 } (q 4,b) = {q 0,q 1,q 2 }.

55 9. ǫ-trnsiciones 55 Hemos obtenido M : Tre 9. (1) Clculr (q 0,bb) y (q 0,b 2 b) pr el AFN siguiente q 0 q 1 b ǫ b b q 5 b q 4 (2) Obtener (ǫ c)({q 1,q 4 }) y (ǫ c)(d(q 3,b)) pr el AFN siguiente q 0 ǫ q 1 ǫ q 2 b ǫ q 3 b q 4 (3) Usr l técnic estudid pr clculr (q 3,b) en q 0 ǫ q 2 ǫ q 2 ǫ ǫ b q 3 q 1 (4) Pr el AFN ddo en l figur siguiente () obtener l tbl de trnsición pr (b) obtener l ǫ-cerrdur de q i pr i = 0,1,2 (c) clculr (q 0,), (q 0,b) y (q 0,c). q 4 b ǫ ǫ q 0 q 1 q 3 c q 2

56 56 1. Autómt finito (5) Pr el AFN del ejercicio inmedito nterior, obtener el AFN que se obtiene l eliminr ls ǫ-trnsiciones. Dr l tbl pr. 10. Autómts finitos y expresiones regulres Se demostrrá que (teorem de Kleene): (1) Si M es un utómt, entonces L(M) es regulr. (2) Si L es regulr, entonces existe un AF M tl que L(M) = L. Es decir, que los lengujes ceptdos por lo utómts finitos son exctmente los lengujes regulres. Ejemplo 52. Se Σ = {, b}. (1) Construir M 1 un AFN tl que L(M) = {}. (2) Construir M 2 un AFN tl que cepte sólo l lenguje vcío. (3) Construir un M 3 un AFB tl que L(M 3 ) = {ǫ}. (4) Construir M 4 un AFD tl que { 4 }. Sol. (1) (2) (3) (4) es decir

57 10. Autómts finitos y expresiones regulres 57 En el siguiente ejemplo se ilustr un procedimiento pr construir un utómt que cepte l unión de lengujes. Ejemplo 53. Sen y Construir M un AFN tl que L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ). Sol. Tenemos que L(M 1 ) = b, L(M 2 ) = (b). El M pedido es donde clrmente L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ) = b (b). Teorem 8. Sen M 1 = (Q 1,Σ 1,s 1,F 1, 1 ), M 2 = (Q 2,Σ 2,s 2,F 2, 2 ) dos AFN. Entonces existe M un AFN tl que L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ).

58 58 1. Autómt finito Proof. Se construirá M como un AFN con ǫ-trnsiciones. Se donde M = (Q,Σ,s,F, ) Q = Q 1 Q 2 {s}, con s Q 1 Q 2 Σ = Σ Σ 1 s F 0 = F 1 F 2 es decir, se define como: si σ Σ, = 1 2 {(s,ǫ,s 1 ),(s 0,ǫ,s 2 )} (q,σ) = { 1 (q,σ), si q Q 1 2 (q,σ), si q Q 2 (s,σ) =, (s,ǫ) = {s 1,s 2 }. Tenemos que probr que L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ). Se w Σ tl que w L(M), entonces (s,w) F lo que implic que (s,w) F 1 ó (s,w) F 2. Si (s,w) F 1 entonces lo que implic que w L(M 1 ). (s,w) F 1 = (s,ǫw) F 1 = ( (s,ǫ),w) F 1 = (s 1,w) F 1 = 1 (s 1,w) F 1 Similrmente, si (s,w) F 2 entonces w L(M 2 ). En culquier cso: w L(M 1 ) L(M 2 ).

59 10. Autómts finitos y expresiones regulres 59 Recíprocmente, L(M 1 ) L(M) pues si w L(M 1 ) entonces 1 (s 1,w) F 1 = (s 1,w) F 1 = ( (s,ǫ),w) F 1 = (s,ǫw) F 1 = (s,w) F 1 (s,w) F sí, (s,w) F, lo que implic w L(M). Similrmente L(M 2 ) L(M); y por tnto L(M 1 ) L(M 2 ) L(M). Un operción que prece pr l construcción de lengujes regulres es l unión. Pr l cul existe un lgoritmo correspondiente utómts. L siguiente operción que perece con los lengujes regulres es l conctención. Tmbién existe un lgoritmo correspondiente en utómts. Ejemplo 54. Sen tenemos que L(M 1 ) = {} y L(M 2 ) = {b}. Encontrr M un AFN tl que L(M) = L(M 1 )L(M 2 ). Sol. L(M) = {b} = {}{b}. Teorem 9. Si M i = (Q i,σ i,s i,f i, i ), i = 1,2 son dos AFN, entonces existe un M AFN tl que L(M) = L(M 1 )L(M 2 )

60 60 1. Autómt finito Proof. Se define M = (Q,Σ,s,F, ) donde Q = Q 1 Q 2 Σ = Σ 1 Σ 2 s = s 1 F = F 2 = 1 2 (F 1 {ǫ} {s 1 }) es decir, si σ Σ 1 Σ 2, q Q 1 Q 2, 1 (q,σ) si q Q 1 y σ Σ 1 (q,σ) = 2 (q,σ) si q Q 2 y σ Σ 2 otro cso. { {s 2 } si q F 1 (q,ǫ) = si q F 2. Por demostrr que es decir, que pr w Σ, L(M) = L(M 1 )L(M 2 ) w L(M) w L(M 1 )L(M 2 ). ( ) Si w L(M 1 )L(M 2 ) entonces w = xy con x L(M 1 ) y y L(M 2 ); en prticulr x Σ 1 y y Σ 2. Podemos escribir luego Como x Σ 1, entonces w = xǫy (s,w) = ( ( (s,x),ǫ),y). (4) (s,x) = (s 1,x) = 1 (s 1,x) y como x L(M 1 ) entonces (s 1,x) F 1, por lo que y 1 (s 1,x) = {..., q }{{} F 1,...} ( (s,x),ǫ) = ({...,q,...},ǫ) Usndo l ecución (4), = ( q,ǫ) }{{} F 1 = {s 2 }

61 10. Autómts finitos y expresiones regulres 61 Figure 2. M (s,w) = (s 2,y) = (s 2,y) pues y Σ 2. Pero 2(s 2,y) F 2, luego lo que implic que (s,w) F = (s,w) F 2 w L(M). ( ) Supongmos que w L(M) entonces (s, w) F }{{} (s 1,w) es decir, ls trnsiciones indicds por w deben de psr del estdo s 1 en M 1 un estdo de ceptción en M 2 : l únic form de psr de M 1 M 2 es usndo ls ǫ-trnsiciones que lign los estdos finles de M 1 con el inicil de M 1 (ver figur 2). Por lo que w debe primero de trnsitr hci los estdos de F 1 y luego hci F 2. Esto es w = xy con 1 (s 1,x) F 1 y 2 (s 2,y) F 2. Es decir x L(M 1 ) y y L(M 2 ). Por lo tnto w = xy L(M 1 )L(M 2 ) L siguiente operción que se us pr l construcción de los lengujes regulres es l cerrdure de Kleene. Tmbién existe un construcción similr pr utómts. Ejemplo 55. En cd inciso considere L(M) y construy M 1 un AFN tl que L(M 1 ) = L(M). (1)

62 62 1. Autómt finito (2) Sol. (1) Tenemos que L(M) = {}. Por lo que tenemos que construir M 1 tl que L(M 1 ) =. Tl M 1 es: (2) Tenemos que L(M) = {b,c}. Queremos M 1 un AFN tl que L(M 1 ) = (b c). Tl es El ejemplo nterior ilustr el lgoritmo subycente en l demostrción del siguiente teorem. Teorem 10. Si M = (Q,Σ,s,F, ) es un AFN, entonces existe M 1 = (Q 1,Σ 1,s 1,F 1, 1 ) tl que L(M 1 ) = L(M).

63 10. Autómts finitos y expresiones regulres 63 Proof. Se le ñde un nuevo estdo M: Q 1 = Q {s 1 } con s 1 Q 1 Σ 1 = Σ s 1 F 1 = {s 1 } se le ñden ǫ-trnsiciones de los estdos finles s 0 : Si σ Σ 1, q Q 1 : 1 (q,σ) = Tenemos que demostrr que { (q,σ) si q Q otro cso. {s 1 } si q F (q,ǫ) = {s} si q = s 1 otro cso. w L(M 1 ) w L(M). Hemos demostrdo: Teorem 11. Los lengujes ceptdos por los utomts finitos contienen (1), {ǫ}, los lengujes unitrios {}, Σ. (2) Además tles elngujes son cerrdos con respecto l unión, conctención y cerrdur de Kleene. Corolrio 1. Si r es un expresión regulr entonces existe M un utómt finito tl que r = L(M). Proof. Ls expresiones regulres se contruyen prtir de, {ǫ} y los lengujes unitrios {σ}, σ Σ con cerrurs uniones y conctenciones; y pr tles construcciones existen utómts que ls ceptn. Tre 10. (1) Obtener un AFN que cepte ǫ. (2) Obtener un AFN que cepte {}. Obtener otro AFN que cepte {b}. Usr ls técnics vists pr unir éstos AFN en uno que cepte el lenguje {,b}. (3) Obtener un AFN que cepte ( b) (b) +.

64 64 1. Autómt finito (4) Obtener un AFN que cepte tods ls cdens de l form bow, bowwowwow, bowwowwowwowwow,... Conseguir un AFN que cepte tods ls cdens de l form ohmy, ohmyohmy, ohmyohmyohmy,... Unir los dos AFN pr que se cepte l uninión de los dos lengujes. Téngse en cuent que los símbolos de un lfbeto no tiene por qué ser crcteres de longitud uno. (5) Se M 1 ddo por y M 2 ddo por q 1 b b q3 q 4 b q 2 p 1 p 2 p 3 Obtener un AFN que cepte L(M 1 )L(M 2 ). Obtener un AFN que cepte L(M 2 )L(M 1 ). b (6) Sen M 1 = ( ) {q 1,q 2,q 3 },,b,q 1, {q 1 }, 1 y M2 = ( ) {p 1,p 2,p 3,p 4 }, {0,1},p 1, {p 1,p 2 }, 2, donde 1 y 2 viene ddos por ls tbls siguientes: 1 b p q 1 {q 2,q 3 } 1 {p 2 } {p 3,p 4 } p q 2 {q 1 } 2 {p 3,p 4 } p q 3 {q 3 } {q 3 } 3 {p 2 } p 4 {p 3 } Obtener un AFN que cepte L(M 1 )L(M 2 ). Obtener un AFN que cepte L(M 2 )L(M 1 )L(M 1 ). Obtener finlmente, un AFN que cepte L(M 1 ) 2 L(M 1 ). (7) Obtener un AFN pr (b) prtir de los AFN que ceptn {} y {b}. (8) Obtener un AFN pr ( b) (bb ) prtir de los AFN que ceptn {} y {b}. (9) Obtener un AFN pr (( b)( b)) (( b)( b)( b)) prtir de los AFN pr {} y {b}. (10) Si M = (Q, Σ, s, F, δ) es un utómt finito determinist, entonces el complemento de L(M) [es decir Σ L(M)] es ceptdo por el utómt M = (Q,Σ,s,Q F,δ). Es M un AFD o un AFN?