Los Beneficios. Microeconomía Douglas C. Ramírez V. La producción y la oferta

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1 Los Benefcos Mcroeconomía Douglas C. Ramírez V. La produccón la oferta La esenca de la actvdad productva es obtener benes servcos (mercancías) con destno fnal al consumo por medo de los recursos de la economía. Esto, mplca decsones acerca de que benes producr ( cuales no) como combnar los dversos factores de produccón con técncas se transforman los servcos productvos de los factores en flujos de benes servcos. Por ello se estuda las propedades de las tecnologías exstentes que se asocan al análss de las funcones de produccón. En economía nteresa las mplcacones económcas más que las propedades técncas son estas las que se examnan desde la perspectva de su ncdenca en las decsones económcas

2 La produccón la oferta En la eleccón de la combnacón productva óptma para obtener un determnado nvel de produccón, dado los precos de los nsumos la tecnología, derva en un conjunto de resultados o combnacones de actvdades efcentes que proveen una frontera de produccón para un nvel de producto tal que se logra el mínmo costo a través de la funcón de costos. Al ser la produccón un flujo, el horzonte temporal es un elemento relevante en las decsones de la empresa; la dstncón entre el corto plazo el largo plazo asocado a la exstenca de o no de costos fjos, afecta el comportamento de la empresa, al varar las restrccones sobre su margen de eleccón Maxmzacón de los Benefcos Al maxmzar los benefco se ntroduce en la decsón de la empresa no sólo los costos, sno los ngresos que se obtene por la demanda de su mercancía. Para ello se requere nformacón acerca de la venta que puede realzar la empresa es decr de su funcón de demanda. Al asumr un mercado compettvo la empresa es preco aceptante puede vender toda su produccón al preco de mercado vgente, los benes son homogéneos, la nformacón es smétrca no exsten benes específcos. 2

3 Curva de demanda compettva P P=IMg=IMe Q La curva de demanda que enfrenta la empresa compettva es horzontal al preco de mercado. Cuando cobra un preco más alto, no vende nada cuando cobra un preco más bajo, se enfrenta a toda la curva de demanda de mercado Maxmzacón Los economstas llaman mercado compettvo, a aquel, en el que cada productor consdera los precos como dados o que están fuera de su control. Estudaremos el problema de maxmzacón de benefcos de una empresa cuos factores de produccón producto se venden en mercados compettvos. Lo anteror mplca que la frma percbe su demanda como nfntamente elástca al preco del mercado; la frma es preco aceptante, a que, carece de nfluenca sobre el mercado por tanto, su ngreso margnal es el preco del mercado. 3

4 Maxmzacón de benefcos Supongamos que las empresas producen n benes (, 2,..., n ) utlzando m factores (x, x 2,...x m ), Sea al vector de precos de los productos (p,p 2,...,p n ) dado, sea el vector de precos de los factores (w,w 2,...,w n ), entonces la funcón de benefcos se puede formular como: π n m = p j w x Nos aseguramos que debe nclurse todos los factores benes posbles en la funcón de benefcos. En térmnos vectorales π = p wx El preco los costos Debemos asegurarnos que nclumos todos los factores benes posbles en la funcón de benefco. Sí un ndvduo trabaja en la Empresa de la cual es dueño la drge, es posble que olvde valorar su trabajo el cual es un factor tene un costo, por lo tanto, debe nclurse en los costos totales. Su salaro es smplemente el preco de mercado de trabajo, es decr, lo que recbría s vendera su trabajo en el mercado (en su mejor uso alternatvo o costo de oportundad). Sí un agrcultor posee una terra la utlza para su produccón el costo económco es el valor de la terra (en su mejor uso alternatvo) s la hubera alqulado a otro productor. 4

5 La organzacón de la Empresa. Los contadores utlzan los costos hstórcos (costos hstórcos) los economstas los costos económcos (lo que costará s se comprará ho en su mejor uso alternatvo). En una economía captalsta las empresas pertenecen a los hogares, sólo son entdades jurídcas; en últma nstanca, son sus propetaros los responsables de su conducta recben sus frutos o pagan sus deudas. En térmnos generales, exsten tres tpos báscos de organzacón: Las Empresas de propedad ndvdual (pertenece a un ndvduo). Las Empresas de propedad colectva (pertenecen a más de uno). Las socedades anónmas (pertenecen a varas personas). La organzacón de Desde el punto de vsta jurídco, las socedades anónmas, tenen una exstenca ndependente de sus propetaros. Como se señalo anterormente, las Empresas de propedad ndvdual, son aquellas que pertenecen a una únca persona. La socedad colectva; es aquella que pertenece a varas personas, pero que desde el punto de vsta jurídco, tene una exstenca ndependente de sus propetaros, por lo tanto, puede durar más que la vda de cualquera de sus propetaros. 5

6 La organzacón En las socedades colectvas en las empresas ndvduales los propetaros tenen nfluenca drecta en la gestón de la empresa normalmente sus objetvos son obtener el máxmo benefco posble que le permta permanecer en el mercado crecer a lo menos con el mercado. Al postular que el objetvo de las frmas es maxmzar benefcos esto no sgnfca que sea un prncpo ndscutble. En las teorías de la organzacón, se nsste en las posbles dvergencas entre los objetvos de los acconstas (propetaros de la frma) los drectvos (quenes realmente toman las decsones) La organzacón de la Empresa. En una socedad anónma la propedad la gestón se encuentran separadas eso puede generar un problema prncpal-agente. Como se señalo anterormente, las empresas de propedad ndvdual, son aquellas que pertenecen a una únca persona. La socedad colectva; es aquella que pertenece a varas personas, pero que desde el punto de vsta jurídco, tene una exstenca ndependente de sus propetaros, por lo tanto, puede durar más que la vda de cualquera de sus propetaros. En las socedades colectvas en las empresas ndvduales los propetaros tenen nfluenca drecta en la gestón de la empresa normalmente sus objetvos son obtener el máxmo benefco posble que le permta permanecer en el mercado crecer a lo menos con el mercado. 6

7 Los Benefcos el valor en bolsa En una socedad anónma la propedad la gestón se encuentran separadas eso puede generar un problema prncpal-agente. La maoría de las empresas son socedades anónmas emten accones que representan la propedad de una de sus partes. Peródcamente reparten sus dvdendos generados por estas accones, que representan una parte de los benefcos de la empresa. Las accones de las socedades anónmas se compran se venden en la bolsa de valores. Su cotzacón representa el valor actual de la corrente de dvdendos que esperan recbr los acconstas por cada accón. Los Benefcos el valor en bolsa El valor total en bolsa de una empresa representa el valor actual de la corrente de benefco que se espera que genere. Por lo tanto, el objetvo de la empresa sera maxmzar el valor actual de la corrente de benefcos que genera o maxmzar su valor en bolsa. Maxmzando el valor en bolsa, una empresa aumenta lo más posble los conjuntos presupuestaros de sus acconstas actúa en nterés de todos ellos. En un mundo en el que no exsta ncertdumbre, el objetvo de maxmzar los benefcos maxmzar el valor en bolsa es concdente. 7

8 Los Benefcos el valor en bolsa Cuando ha ncertdumbre, dfíclmente tene sentdo maxmzar los benefcos, ( Benefcos esperados?, Mnmzar resgos?, Maxmzar que?). Sn embargo, sí es necesaro maxmzar el valor en bolsa. Sí los drectvos aumentan el valor de las accones, mejoran el benestar de sus propetaros (los acconstas). Los Benefcos el valor en bolsa La maxmzacón del valor en bolsa proporcona a la frma una funcón objetvo claramente defnda en la maoría de las condcones económcas. A pesar de estas observacones, aquí nos lmtaremos a analzar el problema del objetvo de la frma de forma más smple, es decr, analzaremos las decsones sobre la produccón de un ben sn ncertdumbre en un únco período pensando en una empresa que busca maxmzar la dstanca entre sus ngresos, sus costos con precos, demanda tecnología dado. 8

9 La hpótess de Maxmzacón Al margen de otras consderacones la hpótess de maxmzacón de benefcos tene dversas ventajas Clardad pedagógca La hpótess postula benefcos nulos a largo plazo para empresas compettvas que s no maxmza obtendrá benefcos nulos nducendo al cerre en el corto plazo. S una empresa no es gestonada de acuerdo a los objetvos de los acconstas será blanco de las OPAS por parte de aquellos que sí maxmzarán sus benefcos. Esta presón dscplnará las eventuales desvacones La hpótess Ventajas Los propetaros pueden ncorporar una estructura de ncentvos que nduzcan efectvamente a la maxmzacón de benefcos En ocasones una estratega aparentemente dstnta (como maxmzar los ngresos por venta, tasa de crecmento, cuota de mercado o del rankng) pueden ser estrategas de corto plazo de una estratega maxmzadora de benefcos. 9

10 Factores fjos Factores varables Acorto plazo la empresa esta oblgada a emplear algunos factores, ncluso aunque no decda producr nada. Por lo tanto, es perfectamente posble que en el corto plazo obtenga benefcos negatvos. Por defncón; Los factores fjos son los que debe pagar la empresa, aún cuando, decda no producr nada. Exste otra categoría de factores que sólo es necesaro pagar sí la empresa decde producr una cantdad postva, pero sí lo hace tene que comprar una cantdad fja, estos factores se denomnan Factores Cuasfjos esta dstncón es útl algunas veces para analzar la conducta económca. La maxmzacón del benefco a corto plazo Consderemos el sguente problema de maxmzacón de benefcos wx s. a. f x 0; x Max p x, Formulamos el Lagrange L ( ) 0 (, x) = p wx + λ[ f ( x) ] 0

11 Condcones necesaras de prmer orden CNPO L = p λ 0 L f ( x) f ( x) = w + λ 0 λpmgx = λ = λf w x x x f x w + λ x L = f λ λ ( x) ( x) 0 [ f ( x) ] = 0 w = 0 = 0 PMgX Tenemos = n Tenemos n + ecuacones e ncógntas Landa λ es costo margnal de produccón o ngreso margnal Caso Sí =0; f w + p x f p x ( x ) CKT ( x) f ( x) w + λ w VPMgX w x

12 CKT Caso 2 Sí =0; p = λ f(x) = > 0 ; x 0 ( x) f w = p = VPMgX x Corto plazo Maxmzacón del benefco a corto plazo Consderamos el problema de maxmzacón de benefcos a corto plazo cuando el factor 2 es fjo, x 2. Sea f(x, x 2 ) la funcón de produccón de la empresa, sea p el preco de los productos w, w 2 los precos de los factores. El problema de maxmzacón del benefco q que se enfrenta la empresa puede expresarse como: π = máx. p f(x, x 2 ) - w x w 2 x 2 ; sea f(x) La funcón de benefcos de la frma depende sólo de los precos de los factores del preco del producto. 2

13 Maxmzacón Maxmzacón a corto plazo ( x, x ) f 2 p w = 0; s x x ( PMgX) w p = w PMgX = p PMgX p 0 x 2 es fjo El valor del producto margnal del factor debe gualar a su preco Rendmentos margnales decrecentes Y PMg = w p Costos ( ) C, w ( x x ) w p f, = 2 ( ) w x C w x = Funcón de Produccón x Funcón de Costos VPMe, VPMg Curva de demanda Cme, Cmg Curva de oferta w CMg = PMgX ppme = p x x w = CMe ppmg = VPMg x Demanda del Factor Oferta de producto 3

14 Funcón de benefcos. Supongamos que solo tengo un nsumo varable en el corto plazo (x ) el producto o ben únco en esta economía un producto o ben únco en esta economía donde (, x ) R + ; el conjunto de eleccón esta crcunscrto al (, x ) espaco de producto e nsumo que es el conjunto técncamente factble los puntos óptmos del conjunto de produccón (set de produccón ) nos defne la frontera de produccón la funcón de produccón. = f (x, x 2 ) ¹ 0 = f ( x, x 2 ) f w p x 0 x ¹ ( x 0, 0 ) es un punto efcente del set o conjunto de produccón solo los puntos de la frontera de =f(x, x 2 ) de la funcón de produccón que corresponde a la frontera son óptmos, pero el punto (x ¹,¹) no es un punto efcente desde el punto de vsta asgnatvo. x 4

15 Maxmzacón de Corto Plazo Asummos que la frma maxmza la funcón de benefco que depende de la tecnología (funcón de produccón) de unos precos de los nsumos del producto. La funcón de benefco sería Maxπ = pf 2 ( pf ) 2 π = x x ( x, x ) w x w x Condcones Necesaras de Prmer Orden (CNPO) π = pf w = ppmgx w = 0 x Las condcones de un máxmo requeren estrcta concavdad de la funcón de produccón (respecto al orgen) por lo menos : PMgX = p x = pf < 0 Maxmzacón Nótese que la condcón de concavdad exge que el costo margnal sea crecente o que la productvdad margnal sea decrecente CMg > 0 ó PMg < 0 x formulacón alternatva de la funcón de benefcos Maxπ = p C ( ) CNPO π = p CMg = 0 p = CMg > 0 CSSO 2 π 2 CMg = < 0 En esta formulacón garantzar un máxmo requere evaluar varos aspectos. 5

16 Maxmzacón En esta formulacón garantzar un máxmo requere evaluar varos aspectos. Ej.: formularemos en térmnos untaros. La funcón de costo por tanto tenemos. π = p CMe = ( p CMe) p CMe = Benefco Untaro La maxmzacón mplca necesaramente rendmentos margnales decrecentes a que retornos constantes no garantzan. Por tanto ; π = ( p CMg) = 0 2 π CMg = < P, CMe P, CMe P, CMe CMe P CMe=P P CMe P, CMe CMe P 6

17 La Funcón de Benefcos Tenemos para un benefco máxmo se requere que π 0 tomemos la prmera funcón de benefco hagamos algunas operacón. π Max = p f w w, x p p 2 ( x x2 ) x 2 w Los benefcos se maxmzan donde f = p Tomemos la funcón de benefco dvdamos por (p x ) π f ( x, x2 ) w w = x2 0 px x p px f ( x, x2 ) w w + x2 x p px Tenemos que al producto medo es maor o gual al óptmo local, pero de la CPO, tenemos que el producto margnal es gual a la seleccón ( w/p) Maxmzacón. Tenemos que el producto medo es maor o gual al óptmo local, pero de la CPO, tenemos que el producto margnal es gual a la seleccón ( w/p), luego tenemos que: f w ( x ) = PMg Producto Medo Producto Margnal =(w /p) * p S exste un óptmo local para maxmzar el benefco de una empresa compettva, la funcón de produccón será cóncava por abajo. Una formulacón alternatva en térmnos de elastcdad sera la sguente. S /x d/dx ; (PMe PMg ). Tenemos retornos crecente? p 7

18 Elastcdades Una formulacón alternatva en térmnos de elastcdad sera la sguente. S /x d/dx ; (PMe PMg ). x x d dx x d dx ( PMe PMg) x = ε x la elastcdad producto del factor x Ej. :demostremos que la elastcdad producto de cada factor (en el caso de dos nsumos) es gual a la partcpacón con los ngresos. Ejemplo ε,x ; mplca que las retornos a escala son no crecentes a que la elastcdad del producto con respecto al nsumo no es maor a la undad (ε,x ). Cuando los retornos a escala de los factores son no crecentes, el valor del producto margnal (en térmnos de undades de producto) tenen un costo margnal crecente. 8

19 2. analcemos gráfcamente la eleccón óptma. Isobenefcos π = p w x p x Podemos ver gráfcamente que la funcón de sobenefcos es tangente a la funcón de produccón; = ( w / p) x *. Donde la recta de sobenefcos es; π / p = ( w/p) x. Donde los retornos son no crecentes, dado los precos de los factores el producto. Una empresa maxmzadora de benefcos con precos dado (tomadora de precos), no producrá donde los retornos a escala son no crecentes el punto será cóncavo por abajo. Relacones Tomemos el caso de una funcón de costo de un solo nsumo será: Costo total C= w x Costo medo C/= (w x) / = w ( / x) = w/ PMe Costo medo preco del factor/producto medo del factor. Costo margnal dc/d = (dc/dx) (dx/ d) = w(d/dx) - = w/pmg x Costo margnal preco del factor/producto margnal del factor. 9

20 Relacones Dado que Pmex Pmg x ; (/ x) (d/dx) Ordenando tenemos: (w/pmex) (w/pmgx); CMex CMgx Por lo tanto tenemos: El costo margnal (x *) costo medo (x *) CT Por esto, de aquí es que el costo promedo es decrecente p CMg CMe Área de produccón postva 20

21 Relacones (3) En una empresa tomadora de precos que maxmza benefcos, los costo medos son decrecentes (retornos crecentes) donde el costo margnal es menor que el costo promedo los costo medos son crecentes donde el costo margnal es maor al costo medo. La funcón de oferta Volvamos a las condcones de prmer orden, p* f (x, x 2 ) = w Es decr : p * Pmg x = w ; p = ( w/pmg x) = costo margnal = Funcón de oferta. La expresón anteror es la funcón de oferta del producto a partr de la eleccón optma de factores; dado que x * le corresponde a un nvel de producto * ; podemos en ese sentdo reescrbr la funcón como. 2

22 Relacones Reescrbendo la curva anteror, se tene que w = p* PMg x ; Valor del producto margnal que defne la funcón de demanda (no condconada) de factores. Relacones De la funcón de oferta podemos ver que. P= w /PMg x = CMg x / (p = w/f ) CMg x / p = f / p f ) > 0 Desde la funcón de demanda w = p * f x / w = / p * f < 0 Así que la oferta del producto crece cuando los precos crecen la demanda por nsumo dsmnue, cuando los precos de los nsumos crece. 22

23 Relacones 4. Def. La curva de oferta es la curva de costo margnal desde el punto donde el costo margnal es crecente excede (o sobre pasa, o es maor, o maor gual que) al costo promedo o curva de costo medo. Y PMg = w p Costos ( ) C, w ( x x ) w p f, = 2 ( ) w x C w x = Funcón de Produccón x Funcón de Costos VPMe, VPMg Curva de demanda Cme, Cmg Curva de oferta w CMg = PMgX ppme = p x x w = CMe ppmg = VPMg x Demanda del Factor Oferta de producto 23

24 C CT Por esto, de aquí es que el costo promedo es decrecente p CMg CMe Área de produccón postva Relacones 5. La curva de demanda de factor es la curva del valor del producto margnal, donde el producto margnal decrece es menor (o gual en x *) que el producto medo. Para precos maores a donde (x *) es optmo, la demanda es nula. 24

25 Ejemplo Ej: = f(x) = x a a > 0 ; π = p x a w x. CPO. π/ x = 0; a px (a ) = w CPO. 2 π/ x 2 < 0 a (a ) p x (a 2) 0 ; x a 2 < 0 Pero a 0, p 0. La condcón de Segundo orden solo puede satsfacer cuando a, lo que sgnfca que la funcón de produccón debe tener rendmentos constantes o decrecentes de escala para que tenga sentdo la maxmzacón compettva del benefco. Ejemplo S a = ; la condcón de prmer orden se reduce a: p= w, por lo tanto cuando w=p, cualquer valor de x es una eleccón maxmzadora del benefcos. S a <, se utlza la condcón de prmer orden para hallar la funcón de demanda de factores. X(p, w) = (w/ap) /(a-) La funcón de oferta vene dada por. Susttuendo; x( p, w) f (x). s (p, w) = f(x(p, w)) = (w/ap) a/(a-) Y la funcón de benefcos vene dada por. π( p, w) = p s (p, w)- w x (p, w) = w [( a)/a] [w/(a p)] /(a-) 25

26 Dstngur: Demanda condconadas Demanda de factores X (w, w j, ) La demanda condconada de factores es la eleccón optma de factores por parte de la empresa, condconada a que esta produzca una cantdad dada de *. X ( p, w, ) La curva de demanda de un factor por parte de la frma, mde la relacón entre su preco la cantdad de ese factor que maxmza el benefco Propedades de las funcones Las funcones que ndcan las eleccones óptmas de los factores de los nveles de produccón en funcón de los precos se conoce como demanda de factores de oferta de produccón provene del problema de maxmzacón de benefcos como solucones están sometdas a restrccones.. S multplcamos todos los precos 26

27 Estátca comparatva con un únco factor. El problema que resuelve la frma. Max x pf ( x) wx CPO. P f (x (p, w))- w =0 CPO. P f (x (p, w)) 0 Dferencemos la CPO. con respecto al preco del factor. p f (x (p, w)) (dx (p, w)/ dw) =0 suponendo que f 0 dx(p, w)/dw = /[p f (x ( p, w))]. dx(p, w)/dw = /[p f (x ( p, w)) ]< 0 dx(p, w)/dw = /[p f (x ( p, w)) ]< 0 Nótese Esta dentdad nos proporcona, en prmer lugar una expresón explícta de dx/dw en relacón con la funcón de produccón. En segundo lugar nos nforma el sgno de la dervada. Ordenando la funcón de benefcos se tene. π = p* - w x w 2 x 2 = π/p + w/p x 2 + w /p x 27

28 = π/p + w/p x 2 + (w /p) x * = f ( x *, x 2 ) Ordenando la funcón de benefcos se tene. π = p* - wx w2x2 = π/p + w/p x2 + w/p x La maxmzacón del benefco. La frma elge la combnacón de factores de productos que se encuentra en la recta sobenefcos más alta. En el punto (x *, *) X X * (d/dx) = PMgX = (w /p) ( w + Δw )/ p w / p w / p w /(Δp+ p) (a) (b) Un aumento de w p.los gráfcos muestran el efecto de un aumento de los precos de los factores del producto. En (a) un aumento de w ( w ), descende la demanda del factor la oferta del producto. En (b) un aumento del preco del producto (Δp ); aumenta la oferta del producto la demanda del factor. 28

29 La Maxmzacón a largo plazo El problema de la frma es esencalmente gual al problema del corto plazo aunque varían los factores. CNPO Max pf { x, x } pf = w 2 pf 2 = w 2 ( x, x2 ) w x w2 x2 Ejemplo Ej: f(x, x 2 ) = X a X 2 b π = p X a X 2b w x w 2 x 2 CPO. () p a X a X 2b = w (2) p b X a X 2 b = w2 Sí multplcamos () * x (2) * x2 tenemos. (3) p a X a X 2b w x = 0 como = X a X 2 b (4) p b X a X 2b w 2 x 2 =0 (5) p a w x =0 ; despejando x x 2 tenemos. 29

30 Ejemplo (6) p b w 2 x 2 =0 (7) x = (a p )/w Obtenemos las demandas por factores que depende del nvel optmo de produccón. (8) x2 = (a p ) / w 2 Susttumos (7) (8) en f( x,x2). = [(a p )/w )] a [(b p )/w 2 )] b = (a p/w ) a (b p/w 2 ) b (a+b) ; Resolvemos para. Ejemplo Nótese. / a+b = ( a b) ; s = (ap/w ) [a/( a b)] (bp/w 2 ) [b/( a b)] = s (p,w) Obtuvmos la funcón de oferta de la empresa. S a+b = los rendmentos son constantes a escala, en este caso la funcón de oferta no esta defnda. En la medda en que los precos de los productos de los factores sean compatbles con unos benefcos nulos, una empresa en tecnología cobb- douglas es ndferente en cuanto a su nvel de oferta. 30

31 Ejemplo S a+ b = los rendmentos son constantes a escala, en este caso la funcón de oferta no esta defnda. En la medda en que los precos de los productos de los factores sean compatbles con unos benefcos nulos, una empresa en tecnología cobbdouglas es ndferente en cuanto a su nvel de oferta. Ej.: obtener la funcón de benefcos π = (p, w) w = p* PMg x ; w = p a / x ; curva nversa de suma de factores. X = p a / w ; curva de demanda de factores. Propedades Funcón de benefcos. Def. La funcón de benefcos de la frma nos ndca el benefcos máxmo que puede obtener la empresa para un vector de precos de factores de producto esta defnda por. π(p, w) = máx. { p w x } s.a. f (x). Nótese que la funcón objetvo es una funcón lneal de los precos. 3

32 Propedades de la funcón de benefcos, para p > 0, w > 0 La funcón de benefcos es :. No decrecente en los precos de los productos (p ) π/ p = 2. No crecente en los precos de los factores ( w), π/ p = x 3. Homogénea de grado en precos de los factores del producto. π (tp, tw ) = t π (p, w) Propedades 4. Convexa en precos del producto de los factores. (p, w) p t + (- t) p = p π (p ) tπ(p)+(- t) π(p ) 5. Contnua en preco del producto de los factores al menos cuando ln π (p, w) esta ben defnda p > 0, w > 0 32

33 Propedades Lema de Hotellng. ( la propedad de la dervada); sea π(p, w) Una funcón contnua doblemente dferente dferencable, para alguna frma compettva, entonces para unos precos del producto de los factores postvos, tenemos que : Sea π(p, w) p> 0, w >0 Lema de Hotellng. A. π(p, w) / p s (p, w) ; funcón de oferta. B. π(p, w)/ w x (p, w ); funcón de demanda. 2. Homogenedad de grado cero en precos salaros ( factores) de la funcón de oferta de demanda de factores. (tp, tw) = (p, w) t x (tp, tw) = x (p, w) usando: Hotellng homogenedad de grado de π (p, w). 33

34 Propedades (3) efectos propos del preco. π2 (p, w) / p2 = s (p, w)/ p 0 dado que π (p, w) es convexa en (p, w); por tanto. 2 π/ p 2 ; 2 π/ w π/ w 2 = x (p, w)/ w 0 (4) Efectos precos cruzados sobre la demanda de nsumos. 2 π (p, w)/ w w j = x (p, w)/ w j = w j (p, w)/ w = 2 π (p, w)/ wj wj = 2 π (p, w)/ w 2 ; Por el Teorema de Young 34

+ y 1 ; U 2 (x 2,y 2 ) = ax 2 (x 2) 2 2

+ y 1 ; U 2 (x 2,y 2 ) = ax 2 (x 2) 2 2 13. Consdere un mercado en el que hay dos consumdores con las sguentes funcones de utldad: U 1 (x 1,y 1 = 4x 1 (x 1 + y 1 ; U (x,y = ax (x + y con 4 > a >0 donde x, =1,, es la cantdad del ben x consumda

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