Triángulos congruentes

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1 Leión#4 Triángulos ongruentes y triángulos similres Ojetivos Aplir ls propieddes de triángulos ongruentes Aplir ls propieddes de ongrueni Aplir ls propieddes de triángulos similres Aplir el teorem de Pitágors Dirimente, nosotros vemos diferentes tipos de triángulos. Forms de triángulos omo hirings, tehos, tortill hips son lgunos ejemplos. En est seión, disutiremos omo omprr los tmños y ls forms de dos triángulos ddos. Pr est omprión, nosotros hremos deduiones er de ls medids de los respetivos ldos y ángulos. Ls proporiones y los triángulos se usn menudo pr medir distnis indiretmente. Por ejemplo usndo proporiones Ertóstenes ( AC) pudo estimr l irunfereni de l tierr on un extitud notle. En un dí soledo, podemos, usr ls propieddes de los triángulos semejntes pr estimr l lturs de un árol quedándonos muy seguros en el suelo. Usndo el teorem de Pitágors demostrdo por el mtemátio griego Pitágors (lrededor de 500 AC), podemos lulr l longitud del terer ldo de un triángulo reto siempre que onozmos ls longitudes de dos ldos Triángulos ongruentes Dos figurs geométris son ongruentes si tienen l mism form y l mism medid. A triángulos que tienen l mism áre y l mism form se les llm triángulos ongruentes. Por ejemplo, si ABCy DEF en l figur son ongruentes, esriimos ABC DEF. L expresión l leemos omo El triángulo ABC es ongruente on el triángulo DEF. B E A C D F Un form pr determinr si dos triángulos son ongruentes es ver si un triángulo se puede mover sore el otro triángulo en tl form que enjen uno sore el otro extmente. Cundo esriimos ABC DEF, estremos viendo omo los vérties de un triángulo orresponden on los vérties del otro triángulo pr otener un juste perfeto. Llmmos est relión orrespondeni de los puntos. ABC DEF

2 A D B E C F Cundo estleemos un orrespondeni entre los vérties de dos triángulos ongruentes, tmién podemos estleer l orrespondeni entre los ángulos y los ldos de los triángulos. Los ángulos orrespondientes y ldos orrespondientes de triángulos ongruentes son llmdos ls prtes orrespondientes. Ls prtes orrespondientes de triángulos ongruentes son siempre ongruentes. Esto es que, ls prtes orrespondientes de triángulos ongruentes siempre tienen l mism medid. Pr los triángulos ongruentes de l figur nterior tenemos que m A m D m B m E m C m F m BC m EF m AC m DF m AB m DE Triángulos orrespondientes Dos triángulos son ongruentes si y solo si sus vérties pren tl omo los ldos orrespondientes y sus ángulos orrespondientes son ongruentes. Nomre ls prtes orrespondientes de los triángulos ongruentes A Y B C X W Soluión Los ángulos orrespondientes son C y X, B y W, Ay Y. Como los ldos orrespondientes son siempre opuestos los ángulos orrespondientes, los ldos orrespondientes son BC y WX, BA y WY, AC y YX Propieddes de triángulos ongruentes Muhs vees es posile onluir que dos triángulos son ongruentes sin tener que presentr que los tres pres de ángulos orrespondientes son ongruentes y que sus tres pres de ldos orrespondientes son ongruentes. Pr her esto plimos un de ls siguientes propieddes. Propiedd LLL Si tres ldos de un triángulo son ongruentes on tres ldos de un segundo triángulo, los triángulos son ongruentes.

3 Podemos demostrr que los triángulos de l próxim figur son ongruentes por l propiedd LLL. D T C 5 E S 5 R m CD m CE m DE m RT m RS m TS Por lo tnto CDE RTS. Propiedd LAL Si dos ldos y un ángulo entre ellos de un triángulo son ongruentes, respetivmente, on dos ldos y un ángulo entre ellos en un segundo triángulo, los triángulos son ongruentes. Podemos demostrr que los triángulos de l próxim figur son ongruentes por l propiedd LAL. E V 3 T U G 3 F m TV m VU m EG m GF m V m Por lo tnto G TVU EGF. Propiedd ALA Si dos ángulos y un ldo entre ellos en un triángulo son ongruentes, respetivmente, on dos ángulos y un ldo entre ellos un segundo triángulo, los triángulos son ongruentes. Podemos demostrr que los triángulos de l próxim figur son ongruentes por l propiedd ALA.

4 R B 9 8 o 60 o 9 P 60 o 8 o C Q A m P m R m PR m B m C m BC Por lo tnto PRQ BCA. NOTA: N hy un propiedd de l form SSA. Pr que podmos oservrlo, onsidere el triángulo en l próxim figur. Dos ldos y un ángulo del triángulo ABC son ongruentes on dos ldos y un ángulo del triángulo PQR. Pero los triángulos no son ongruentes. A P B C R Q Ls mrs indin ls prtes ongruentes. Esto es, que los ldos on un mr tienen l mism medid, los ldos on dos mrs tienen l mism medid y los ángulos on un mr tienen l mism medid. Explique por qué los triángulos de l figur son ongruentes. B 10m A 5m 1 C 5m E 10m Soluión Como los ángulos opuestos por el vértie son ongruentes, tenemos que m 1 m. De l figur se puede oservr que m AC m CE y m BC m CD. D Tenemos dos ldos y un ángulo entre ellos que son ongruente, respetivmente on dos ldos y un ángulo entre ellos. Con l informión reopild podemos onluir que los

5 triángulos ABC EDC son ongruentes por l propiedd LAL. Triángulos semejntes. Hemos visto que triángulos ongruentes tienen l mism form y el mismo tmño. Triángulos semejntes tienen l mism form, pero no neesrimente el mismo tmño. Esto es, un triángulo es un modelo esl exto otro triángulo. Si los triángulos en l figur son semejntes, podemos deir ABC ~ DEF (el símolo ~ lo leemos omo es semejnte ) A D C 70º 30º 70º 30º B F E Not: Los triángulos ongruentes siempre son semejntes, pero los triángulos semejntes no son siempre ongruentes. Triángulos semejntes Dos triángulos son semejntes si y solo si sus vérties pueden prerse de tl mner que los ángulos orrespondientes son ongruentes y los ldos orrespondientes son proporionles. Si los PQR CDE, nomre los ángulos ongruentes y los ldos que son proporionles. Soluión Cundo esriimos PQR CDE, l orrespondeni entre los ángulos está estleid. PQR CDE P C, Q D, R E. El lrgo de los ldos orrespondientes son proporionles. (Pr simplifir l notión esriiremos PQ PQ QR CD DE, QR PR DE CE m PQ y de l mism form pr los demás segmentos), PQ PR CD CE Propieddes de triángulos semejntes Si dos triángulos son semejntes, todos los pres de ldos orrespondientes son proporionles.

6 Es posile onluir que dos triángulos son semejntes sin tener que demostrr que los tres pres de ángulos orrespondientes son ongruentes y que los lrgos de los tres pres de ldos orrespondientes son proporionles. Teorem de triángulos semejntes AAA Si los ángulos de un triángulo son ongruentes on los orrespondientes ángulos de otro triángulo entones, los triángulos son similres. Determine si los triángulos son semejntes. En l figur PR MN. Son los PQR P NQM? Q M R Soluión Los ángulos opuestos son ongruentes PQR NQM. De l figur vemos que PN es trnsversl de los segmentos PR, MN. Por lo tnto los ángulos lternos internos son ongruentes, tenemos que RPQ MNQ. De l mism form tenemos que RM es trnsversl de los segmentos PR, MN. Por lo tnto los ángulos lternos internos son ongruentes, tenemos que QRP QMN. P Q M N N R En resumen, tenemos que los ángulos orrespondientes del PQR son ongruentes on los ángulos del NQM. Por l propiedd de triángulos semejntes AAA podemos onluir que PQR NQM. Determine el lrgo de los ldos del triángulo. En L figur los RST JKL. Enuentre el vlor de x y y.

7 Soluión Como RST JKL, los ldos orrespondientes son proporionles. Pr determinr x esriimos ls proporiones orrespondientes donde solo x se l desonoid. RT ST JL KL 48 3 x x 960 3x 30 x x 30 Pr determinr el vlor de y esriimos ls orrespondenis donde solo y se l desonoid RT RS JL JK y 48 y y 115 y T L 48 x 3 0 R 4 36 S J y K El teorem de Pitágors y los triángulos espeiles Ojetivos Teorem de Pitágors Triángulos Triángulos Teorem de Pitágors Reordemos, el triángulo retángulo es un triángulo que uno de sus ángulos es reto (mide 90 o ). En un triángulo retángulo, el ldo más lrgo es llmdo l hipotenus. Este es el ldo opuesto l ángulo de 90 o. Los otros dos ldos son llmdos tetos. Es un práti omún

8 utilizr l vrile pr representr el lrgo de l hipotenus y ls vriles y pr representr los lrgos de los tetos, omo se present en l figur. teto hipotenus teto Si onoemos el lrgo de dos ldos del triángulo retángulo, podemos enontrr el lrgo del terer ldo usndo l fórmul que onoemos omo el triángulo de Pitágors. Teorem de Pitágors Si y represent el lrgo de tetos de un triángulo retángulo y represent el lrgo de l hipotenus, entones En plrs, el teorem de Pitágors lo que quiere deir es: en ulquier tringulo retángulo, l sum de los tetos l udrdos es igul l hipotenus l udrdo Teorem de Pitágors Si l longitud de l hipotenus es y ls longitudes de los tetos son y entones Hipotenus Cteto Cteto Construión de un reorrido de ventur de uerds elevds El onstrutor del reorrido de ventur de uerds elevds quiere segurr uno de los postes fijndo un le un ltur de 6 pies de lto un est de nlje que está 8 pies de l se del poste. De qué lrgo dee ser el le? Soluión Pr poder entender el prolem representemos el prolem medinte un diujo

9 = 6 pies pies represent l hipotenus de un tringulo retángulo por lo tnto podemos utilizr el teorem de Pitágors on = 8 y = 6 pr resolver el prolem Pr enontrr el vlor de se dee extrer l ríz udrd en mos ldos de l euión = 8 pies 10 El le de soporte dee tener un longitud de 10 pies. Un tringulo on ldos 5, 1 y 13 metros, El triángulo es triángulo retángulo? Soluión Usemos el teorem de Pitágors pr responder est pregunt. Como el ldo más lrgo es 13 deerí ser l hipotenus por lo tnto los otros dos vlores deen ser los tetos. No import ul vlor signmos o.? ? ? Como 169 = 169 tenemos que el triángulo es triángulo retángulo. Un tringulo on ldos, y 3 metros, El triángulo es triángulo retángulo? Soluión Usemos el teorem de Pitágors pr responder est pregunt. Como el ldo más lrgo es 3 deerí ser l hipotenus por lo tnto los otros dos vlores deen

10 ser los tetos. No import ul vlor signmos o.? 3? 9 4 4? 9 8 Como 9 8 tenemos que el triángulo no es triángulo retángulo. s Reordemos que si en mtemáti tenemos un orión de l form si p entones q l orión si q entones p es llmdo su onverso. Los onversos de lguns oriones son ierts, mientrs que otrs son flss. Es interesnte notr que el onverso del teorem de Pitágors es ierto. Converso del teorem de Pitágors Si un triángulo tiene ldos,, y, tl que triángulo retángulo., entones el triángulo es un s Triángulos 45º - 45º - 90º En un triángulo retángulo isóseles es un triángulo retángulo on dos ldos igules. Un triángulo retángulo isóseles, los ángulos tienen medids 45 o,45 o y 90 o. Si onoemos el lrgo de uno de los tetos del triángulo retángulo podemos utilizr el teorem de Pitágors pr enontrr el lrgo de l hipotenus. Como vemos en l próxim figur el triángulo es un triángulo retángulo isóseles. 45 o 90 o 45 o ; los tetos tienen l mism medid ; simplifiión de términos semejntes

11 ; se extre l ríz udrd mos ldos Este resultdo es un fórmul que podemos utilizr pr determinr el lrgo de l hipotenus de un triángulo retángulo isóseles, ddo uno de los tetos. Triángulo retángulo isóseles El lrgo de l hipotenus de un triángulo isóseles es tetos. vees el lrgo de uno de los NOTA: L fórmul tmién puede esriirse omo. Con est fórmul deemos tener uiddo porque solo el dos está jo el símolo de l ríz udrd. s Los triángulos 30 o -60 o -90 o Reordemos que el triángulo equilátero es un triángulo donde sus tres ldos tienen el mism medid y los tres ángulos son de 60 o. Supongmos que tenemos un triángulo equilátero donde sus ldos miden uniddes 30 o 30 o 60 o 60 o Not: En un triángulo 30 o 60 o 90 o el ldo más orto es opuesto l ángulo de 30 o y el ldo más lrgo es opuesto l ángulo de 60 o Podemos enontrr otr relión importnte entre los ldos de un triángulo 30 o 60 o 90 o, si tenemos que l ltur es. Comenzmos plindo el teorem de Pitágors e un triángulo 30 o 60 o 90 o.

12 30 o 30 o 60 o 60 o Podemos oservr que el ldo más lrgo de un triángulo 30 o 60 o 90 o es 3 vees tn lrgo omo el ldo más orto. Not: L fórmul 3 se puede esriir tmién omo 3. Pero notemos que solo el tres está jo el símolo de l ríz udrd. Triángulos 30 o 60 o 90 o Pr ulquier triángulo 30 o 60 o 90 o 1. El lrgo de l hipotenus es dos vees el lrgo de que está representdo por el ldo más orto.. El lrgo de es 3 vees que el lrgo de el ldo más orto. s 3

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