UNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

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1 UNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Dados los puntos: P(x1, y1) y Q(x2, y2), del plano, hallemos la distancia entre P y Q. Sin pérdida de generalidad, tomemos los puntos P y Q, en el primer cuadrante del plano. Por los puntos P y Q trazamos perpendiculares a los ejes y y x, respectivamente. Dichas perpendiculares se cortan en el punto E. Las coordenadas de E son: (x2, y1). Consideremos ahora el triángulo rectángulo PEQ y apliquémosle el teorema de Pitágoras: d2 = PQ2 = PE2 + QE2 1 Pero PE = x2 - x1; y QE = y2 - y1 De modo que reemplazando en 1, obtenemos: d2 = PQ2 = (x2 - x1)² + (y2 - y1)² Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros, obtenemos: d(p, Q) Las propiedades de la distancia son cuatro: 1. La distancia de P a Q es la misma distancia de Q a P, es decir: d (P, Q) = = = d (Q, P) 2. d (Q, P) = 0 si P = Q 3. La distancia entre dos puntos no puede ser negativa. 4. d(p, Q) <= d(p, R) + d(r, Q) = Dados dos puntos del plano, P(x1, y1) y Q(x2, y2), la distancia entre P y Q está dada por: d (P, Q) = La distancia de P a Q es igual a la distancia de Q a P. La distancia entre dos puntos del plano no puede ser negativa. 1

2 Ejercicios 1. Hallar la distancia entre los puntos A y B del plano, si se sabe que A(0, 2) y B(3, 0) 2. Si A (-2, -3) y B (-8, -1), hallar la distancia entre A y B. 3. Si M (4, -5) y B (7, -1), hallar la distancia entre A y B. 4. Encuentra el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son A (-5, 4), B (2,6), C (4, 2) y D (-1, -1). 5. Demuestra que el triángulo ABC, de vértices A (-2, 0), B (0, 6) y C (2, 0) es un triángulo isósceles. ECUACIÓN DE LA RECTA Pendiente de una recta Dadas las rectas l y l' de la figura, encontremos el número de unidades que las rectas suben o bajan, por cada unidad que se avance horizontalmente hacia la derecha sobre el eje x. Analicemos primero la recta l: si nos ubicamos en el punto A (3, 0) y avanzamos una unidad a la derecha horizontalmente, la recta sube hasta B (4, 2): dos unidades. Lo mismo sucede siempre que tomemos un punto cualquiera de la recta l. Ahora veamos la recta l'. Del punto E (-5, 4) se avanza una unidad horizontalmente a la derecha y la recta baja una unidad. Si nos ubicamos en G (- 2, 1) y avanzamos una unidad a la derecha, la recta sigue bajando hasta H (-1, 0) una unidad. 2

3 Este comportamiento de la recta se mantiene en todo su trayecto. El número de unidades que una recta sube o baja por cada unidad que se avance horizontalmente a la derecha se llama pendiente de una recta, y se simboliza con m. Cuando la recta sube la pendiente es positiva y cuando la recta baja la pendiente es negativa. Ejercicios 1. Encuentra la pendiente de la recta que pasa por P1 (2, 3) y P2 (5, 6). 2.Halla el valor de la pendiente de una recta que tiene un ángulo de inclinación de 30; y de otra cuyo ángulo de inclinación es 120; 3. Los vértices de un triángulo son los puntos A (-2, 1), B (2, 5) y C (3, -1). Hallar las pendientes de las rectas que contienen a cada uno de los lados del triángulo. 4. Una recta de pendiente m = 3 pasa por los puntos A (3, 5) y B(x, 8); Cuál es el valor de x? 5. Dibujar en el plano cartesiano tres rectas diferentes, que tengan pendiente m = -3/2. Las rectas no se cortan, se puede afirmar que son paralelas. por qué? Links Plano cartesiano para graficar funciones Curso básico de trigonometría General Ecuación Punto Pendiente Dado un punto: P(x1, y1) que pertenece a una recta, y la pendiente m de dicha recta, encontremos la ecuación de la recta. Sabemos que m es la pendiente de la recta dada, y P(x1, y1) es un punto conocido de la recta. Tomemos otro punto Q(x, y) que pertenece a la recta. Sabemos, además, que la pendiente m de dicha recta está 3

4 dada por m = (y - y1)/(x - x1); x x1. Si multiplicamos los dos miembros de esta igualdad por (x - x1), se tiene: m (x - x1) = ((y - y1)/(x - x1))(x - x1) m (x - x1) = y - y1 La ecuación m (x - x1) = y - y1 es una expresión que identifica a una recta y se llama ecuación punto pendiente de la recta, ya que se obtiene conociendo un punto de la recta y la pendiente de la misma. Ejercicios Links 1. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por P (-2, -5) y tiene pendiente m = - 3/2. 2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por P (3, 5) y Q (3, -2). 3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por P (2, 1) y tiene un ángulo de inclinación de 45º 4. Encontrar la ecuación de la recta que corta el eje x en x = 4, y el eje y en y =3. 5. Demostrar que los puntos A (-1, 3), B (1, 1) y C (3, -1) pertenecen a la misma recta. Plano cartesiano para graficar funciones Curso básico de trigonometría General 4

5 Ecuación general Dada una recta que pasa por el punto P (x1, y1), encontremos su ecuación y expresémosla en la forma más simple posible. Sabemos que la pendiente m de una recta es de la forma: m = (y - y1)/(x - x1); x x1, donde (x1, y1) es un punto conocido de la recta. Multiplicamos los dos miembros de la igualdad por (x - x1) y simplificamos: m (x - x1) = y - y1. Efectuamos la operación: mx - mx1 = y - y1 Trasladamos al primer miembro todos los términos: mx - x1 - y + y1 = 0 1 mx1 es un número real, pues es el producto de dos reales. y1 es un número real, pues es la ordenada del punto conocido. Así que mx1 + y1 = c es un número real. Una recta puede ser o no paralela al eje y. Si es paralela al eje y su ecuación es de la forma: x = k, donde k E R. Si no es paralela al eje y se puede expresar como: m(x - x1) = y - y1 La ecuación 1 queda así: mx - y + c = 0 2 Pero m es la pendiente, un número real. De nuevo, la ecuación 2 resulta: Ax + By + C = 0 3 donde A y B no pueden ser simultáneamente 0. 5

6 La ecuación Ax + by + C = 0, donde A y B no son simultáneamente cero, se llama ecuación general de la recta. Dada una recta de pendiente m que pasa por P (x1, y1), tres formas diferentes de expresar la ecuación de la recta son: a. m(x - x1) = y - y1 b. Ax + By + C = 0 c. y = mx + b Ejercicios 1. Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = -3/4 y pasa por P (-3, - 6), y expresarla de la forma general. 2. Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = -3/5 y corta el eje y en y = Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es m = -2 y que pasa por el punto de intersección de las rectas y = 3x +5 y y = 4x Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de recta determinado por los puntos (-3, 5) y (2, 7) 5. Determinar el valor de los coeficientes A y B de la ecuación Ax + By + 5 = 0 de una recta, si se sabe que la recta pasa por los puntos M (2, 3) y N (4, 5). RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES Dos rectas /1 y l2 son perpendiculares; de qué manera se encuentran relacionadas sus pendientes? Para que las rectas l1 y l2 sean perpendiculares, es necesario que se corten formando ángulos de 90. La expresión para calcular el ángulo entre dos rectas es: 6

7 tan = (m2 - m1)/(1 + m1m2) tan 90º = (m2 - m1)/(1 + m1m2), no está definida. Entonces tomamos la cot 90º y cot 90º = 0. Como tan =(m2 - m1)/(1 + m1m2), Dadas las rectas l1 y /2 de la figura, mostremos que tienen la misma pendiente. Sean y los ángulos de inclinación de las rectas l1 y l2, respectivamente. Como l1 l2 y la transversal X corta las paralelas l1 y l2, los ángulos y son correspondientes. m ( ) = m ( ), por ser ángulos correspondientes entre paralelas. Es decir, tan = tan ml1 = ml2 Entonces cot = (1 + m1m2)/(m2 - m1) cot 90º = (1 + m1m2)/(m2 - m1) = 0 Es decir, 1 + m1m2 = 0, m2 - m1 = -1. Si dos rectas (ninguna de ellas paralela al eje x) son perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes es -1. El recíproco de este enunciado también es verdadero; es decir, si el producto de las pendientes de dos rectas es -1, entonces las rectas son perpendiculares. Si dos rectas son paralelas, entonces sus pendientes son iguales. El recíproco de este enunciado también es verdadero, es decir, si dos rectas tienen la misma pendiente, entonces son paralelas. Dos rectas, ninguna de las dos paralela al eje y, son perpendiculares si, y solo si, el producto de sus pendientes es -1. Si las pendientes de las rectas son m1 y m2, entonces m1m2 = -1. Dos rectas no paralelas al eje y son paralelas si, y solo si, tienen la misma pendiente. Si las pendientes de las rectas son m1 y m2, la bicondicional garantiza que m1 = m2. 7

8 Ejercicios 1. Encontrar la ecuación de la recta que es paralela a la recta de la ecuación y = 2x + 3 y pasa por el punto (4, 5). 2. Encontrar la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta de la ecuación y = -3x + 1 y pasa por el punto (-2, -5). 3. Dos rectas perpendiculares se interceptan en el punto P (-2, -1); si la primera recta pasa por el punto Q (0, 1), encontrar las ecuaciones de las dos rectas. 4. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -2 y pasa por el punto de intersección de las rectas de ecuaciones: y = 2x + 1; y = 3x El punto P de ordenada 3 está sobre la recta cuya pendiente es m = 2 y pasa por Q (2, -3). Calcular la abscisa del punto P. LA CIRCUNFERENCIA Encontremos la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen y un radio r. Para encontrar la ecuación de la circunferencia, primero debemos definir la circunferencia como un lugar geométrico: La circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de manera que permanece siempre a una distancia constante de un punto fijo del mismo plano. El punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la distancia constante se llama radio de la circunferencia. Sea P(x, y) un punto de la circunferencia. Por la definición de circunferencia, la distancia del punto al centro de la circunferencia es siempre constante e igual al radio. d (0, P) = = r Efectuamos las operaciones del radical: = r Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad: x² + y² = r² 8

9 Como el centro de la circunferencia está en (0, 0), hallemos la distancia de (0, 0) a (x, y) e igualémosla a r. La ecuación de la circunferencia con centro en el origen de las coordenadas es: x² + y² = r² Encontremos la ecuación de la circunferencia que tiene como radio r y como centro un punto P (h, k) cualquiera del plano. De nuevo tomemos un punto Q (x, y) que pertenece a la circunferencia y P (h, k) que corresponde al centro, y les aplicamos la definición de circunferencia. La distancia de un punto de la circunferencia al centro es constante e igual a r. Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad, y obtenemos (x - h)² + (y - k)² = r² La ecuación de una circunferencia que tiene su centro en el punto (h, k) y su radio r es (x - h) & sup2; + (y - k)² = r² coordenadas es x² + y² = r² En particular, si (h, k) = (0, 0) el centro de la circunferencia es el origen de las coordenadas, la ecuación de la circunferencia será: x² + y² = r². Ejercicios 1. Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto O (3, 4) y pasa por el punto P (-1, 4). 2. Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto O (-3, -5) y tiene radio r = R (7). 3. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto O (-4, 6) y 9

10 pasa por Q (-1,2). 4. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A (-6, -3 y B (-6, 11), encontrar la ecuación de dicha circunferencia. 5. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto P (5, -4) y es tangente al eje x. 10