F ısica David Giuliodori

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1 Física David Giuliodori

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3 Índice general 1. Movimiento Rectilíneo Movimiento Rectilíneo Uniforme Ejercicios Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado Ejercicios Tiro Oblicuo Ejercicios Alcance y Encuentro Ejercicios Movimiento Circular Uniforme Aceleraciones y Velocidades en MCU Relación entre velocidad angular y velocidad lineal o tangencial Ejercicios Trabajo y Energía Trabajo Energía Ejercicios Impulso - Cantidad de Movimiento - Colisiones Impulso y Cantidad de Movimiento Colisiones Colisiones elásticas Colisiones inelásticas Ejercicios Dinámica Introducción Leyes de Newton Peso de un cuerpo Aplicaciones Fuerzas de Fricción o Rozamiento Plano Inclinado Ejercicios

4 4 ÍNDICE GENERAL 6. Fluidos Presión de un Fluido en Reposo Principio de Pascal Principio de Arquímides Ecuación de Continuidad Ecuación de Bernoulli Ejercicios Termodinámica Temperatura Medición de la Temperatura Capacidad Calorífica en los Sólidos Calores de Transformación Ecuación de Estado - Ley de los Gases Ideales Trabajo efectuado sobre un gas ideal Capacidad Calorífica de un gas ideal Ejercicios Electricidad Introducción Formas para electrizar un cuerpo Fuerza Eléctrica Ley de Coulomb Campo Eléctrico Energía potencial eléctrica Potencial Eléctrico Ejercicios Magnetismo Introducción Fuerza Magnética Ley de Lorentz Campo Magnético El campo magnético terrestre Flujo Magnético Diferencias entre el campo eléctrico y magnético Partículas que inciden perpendicularmente al campo magnético Ejercicios Astronomía Historio del Calendario Leyes de Kepler Ley de Gravitación Universal Variación de la intensidad de la gravedad La masa de los planetas Movimiento de los satélites Distancias en Astronomía Magnitudes Magnitud Aparente Magnitud Absoluta

5 ÍNDICE GENERAL Universo, Galaxias y Estrellas Galaxias Estrellas Ejercicios Matemática Avanzada Límite Punto de Acumulación Límite Derivada Ecuación de la tangente Máximos y Mínimos Derivada de un polinomio y una constante Regla de la Derivada de una Suma y Resta de funciones Aplicación a la cinemática Ejercicios

6 6 ÍNDICE GENERAL

7 Capítulo 1 Movimiento Rectilíneo En este movimiento, el cuerpo considerado como partícula, sólo podrá moverse en una dimensión (trayectoria rectilínea). Vamos a disntiguir dos tipos de MR: 1. Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) 2. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV) Empezaremos definiendo dos conceptos que son fundamentales en este tipo de movimiento: Definición 1 (Velocidad) La velocidad de un cuerpo es la relación que existe entre el espacio que recorre y el tiempo que emplea en recorrerlo. Esta podrá ser constante o variable, dependiendo del tipo de movimiento que se trate. v = x t = x 2 x 1 t 2 t 1 (1.1) donde x 1 y x 2 son los espacios inicial y final respectivamente, y t 1 y t 2 los tiempos iniciales y finales. Definición 2 (Aceleración) La velocidad de un cuerpo es la relación que existe entre el cambio de velocidad que experimenta y el tiempo que tarda en experimentarlo. Un cuerpo que modifica su velocidad a medida que transcurre el tiempo, está asumiendo que tiene una cierta aceleración. donde v 1 y v 2 son las velocidades inicial y final respectivamente Movimiento Rectilíneo Uniforme a = v t = v 2 v 1 t 2 t 1 (1.2) Los cuerpos que se mueven con movimiento rectilíneo uniforme, se caracterizan por recorrer espacios iguales en tiempos iguales. En otras palabras, la velocidad es constante y como consecuencia, la aceleración es nula. Por lo tanto: v = x t = x 2 x 1 t 2 t 1 = k (1.3) 7

8 8 CAPÍTULO 1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO Si despejamos x 2 de la ecuación 1.3 se obtiene: a = v t = v 2 v 1 t 2 t 1 = 0 (1.4) esta ecuación es la que llamaremos ecuación del espacio. Recordemos cómo era la ecuación de una función lineal: x 2 = x 1 + v t (1.5) y = a + b x (1.6) Por lo tanto, se puede observar que x 2 es una función lineal respecto de t, donde el espacio inicial x 1 es la ordenada al origen, y la velocidad la pendiente de la recta. Gráficamente tenemos: Figura 1.1: Gráfico del Espacio en función del Tiempo Si la velocidad es positiva la recta es creciente, si la velocidad es negativa la recta decrece. Cabe destacar que los gráficos del espacio en función del tiempo sólo tienen sentido en el primer cuadrante, debido a que no existen ni tiempos ni espacios negativos. Dado que en MRU la velocidad es constante a lo largo del tiempo, cuando graficamos tenemos: En este gráfico, el área representa el espacio recorrido, es decir: Área = Base Altura = t v = x (1.7)

9 1.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME 9 Figura 1.2: Gráfico de la Velocidad en función del Tiempo Ejemplo 1 Un auto se desplaza a 80 km/h durante 3 horas. Calcular la distancia recorrida por el auto. Solución Usando la ecuacion 1.5 tenemos, x 2 = v t = 80km/h 3h = 240km (1.8) Ejemplo 2 Escribir la ecuación del espacio del siguiente gráfico 1.3. Solución Usando la ecuacion 1.5 tenemos, Ejercicios x 2 = 10m + 10m 12s 1. Pasar de unidades las siguientes velocidades: a) de 36 km/h a m/s. b) de 10 m/s a km/h. c) de 30 km/min a cm/s. d) ) de 50 m/min a km/h. t = 10m + 0, 83m/s t (1.9)

10 10 CAPÍTULO 1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO Figura 1.3: Gráfico del Espacio en función del Tiempo 2. Un móvil recorre 98 km en 2 h, calcular: a) Su velocidad. b) Cuántos kilómetros recorrerá en 3 h con la misma velocidad?. Respuestas: 49 km/h y 147 km 3. Se produce un disparo a 2,04 km de donde se encuentra un policía, cuánto tarda el policía en oírlo si la velocidad del sonido en el aire es de 330 m/s? Respuestas: 6,18 s 4. La velocidad de sonido es de 330 m/s y la de la luz es de km/s. Se produce un relámpago a 50 km de un observador. a) Qué recibe primero el observador, la luz o el sonido? b) Con qué diferencia de tiempo los registra? Respuestas: La luz. La diferencia de tiempo es 151,51 s 5. Cuánto tarda en llegar la luz del sol a la Tierra?, si la velocidad de la luz es de km/s y el sol se encuentra a km de distancia. Respuestas: 500 s 6. Un auto de fórmula 1, recorre la recta de un circuito, con velocidad constante. En el tiempo t1 = 0,5 s y t2 = 1,5 s, sus posiciones en la recta son x1 = 3,5 m y x2 = 43,5m. Calcular: a) A qué velocidad se desplaza el auto?

11 1.2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO 11 b) En qué punto de la recta se encontraría a los 3 s? Respuestas: 40 m/s y 123,5 m 7. Cuál será la distancia recorrida por un móvil a razón de 90 km/h, después de un día y medio de viaje? Respuestas: 3240 km 8. Cuál de los siguientes móviles se mueve con mayor velocidad: el (a) que se desplaza a 120 km/h o el (b) que lo hace a 45 m/s? Respuestas: El movil b 9. Cuál es el tiempo empleado por un móvil que se desplaza a 75 km/h para recorrer una distancia de m? Respuestas: 0,33 hs 10. Qué tiempo empleará un móvil que viaja a 80 km/h para recorrer una distancia de 640 km? Respuestas: 8 hs 1.2. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado Es aquel en el que un móvil se desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a una aceleración constante, como consecuancia experimenta cambios de velocidades iguales en intervalos de tiempo iguales. Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de caída libre vertical, en el cual la aceleración interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la gravedad. También puede definirse el movimiento como el que realiza una partícula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante. Por lo tanto podemos escribir: Despejando v 2 de la ecuación 1.10 tenemos: a = v t = v 2 v 1 t 2 t 1 0 (1.10) v 2 = v 1 + a t (1.11) Nuevamente aquí sucede algo similar a lo visto en MRU con la ecuación del espacio, es decir que v 1 es la ordenada al origen, y la aceleración la pendiente (que puede ser positiva o negativa). A la ecuación 1.11 la llamaremos la ecuación de la velocidad. El gráfico de esta ecuación es equivalente a la ecuación del espacio del MRU (1.5), por lo que el gráfico de esta ecuación es el siguiente:

12 12 CAPÍTULO 1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO Figura 1.4: Gráfico del Velocidad en función del Tiempo Nuevamente, el área del gráfico representa el espacio total recorrido. Calculando las áreas tenemos: Área 1 = Base Altura = t v 1 (1.12) Base Altura Área 2 = 2 = t (v 2 v 1 ) (1.13) 2 Área = Área 1 + Área 2 = t v 1 + t (v 2 v 1 ) = x (1.14) 2 Ahora, reemplazando el resultado obtenido en la ecuación 1.11 por v 2, tenemos: x = t v 1 + t (v 2 v 1 ) 2 = t v 1 + t (v 1 + a t v 1 ) 2 Simplificando y reescribiendo la ecuación, se obtiene: (1.15) x = t v 1 + a t2 2 Por último, descomponemos x = x 2 x 1, por lo que: (1.16) x 2 = x 1 + v 1 t a t2 (1.17)

13 1.2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO 13 La ecuación 1.19 es la que llamaremos ecuación del espacio del MRUV. Ahora, recordemos cómo era la ecuación de la función cuadrática: y = a x 2 + b x + c (1.18) Por lo que se puede observar, de la ecuación 1.19, x 2 es una función cuadrática respecto del tiempo, donde la ordenada al origen (coeficiente c) viene dado por x 1 ; 1/2 a, que se corresponde con el coeficiente a de la función cuadrática, determina si las parábolas van hacia arriba (aceleración positiva) o hacia abajo (aceleración negativa); y por último, la velocidad inicial v 1 es el coeficiente b de la función. Figura 1.5: Gráfico del Espacio en función del Tiempo con aceleración positiva Cabe destacar que si la aceleración toma el valor cero, la ecuaciones 1.11 y 1.19 son las siguientes: x 2 = x 1 + v 1 t v 2 = v 1 (1.19) que son efectivamente las ecuaciones correspondiente al MRU, donde la velocidad es constante (velocidad inicial y final iguales) y el espacio es lineal respecto del tiempo. Existe una relación muy importante y que es muy útil en muchos casos prácticos que surge de combinar las ecuaciones 1.11 y 1.19, que relaciona las velocidades con la aceleración y el espacio: v 2 2 v 2 1 = 2a x (1.20) Ejemplo 3 Usted frena su Porsche desde la velocidad de 85 km/h hasta los 45 km/h en una distancia de 105 m. Calcular a) la aceleración suponiendo que sea constante durante el intervalo

14 14 CAPÍTULO 1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO b) Qué tanto tiempo transcurrió durante el intervalo? c) Si usted fuera a seguir frenando con la misma aceleración, qué tiempo le tomará detenerse y qué distancia adicional le tocará recorrer? Solución Usando la ecuacion 1.20 y despejando la aceleración tenemos, a = v2 2 v1 2 2 x = (12, 5m/s)2 (23, 61m/s) 2 = 1, 91m/s 2 (1.21) 2 105m Para calcular el tiempo usamos la ecuacion 1.11 y despejamos el tiempo, t = v 2 v 1 a = 12, 5m/s 23, 61m/s 1, 91m/s 2 = 5, 8s (1.22) Si fueramos a seguir frenando, tendríamos que calcular lo siguiente: t = v 2 v 1 a = 0 12, 5m/s = 6, 5s (1.23) 1, 91m/s2 Para calcular el espacio recorrido hasta frenar usamos la ecuación 1.19, x 2 = x 1 + v 1 t a t2 = 12, 5m/s 6, 5s ( 1, 91m/s 2 ) (6, 5s) 2 = 41m (1.24) En resumen, podemos escribir las dos variantes del moviemiento rectilíneo en el siguiente cuadro: MRU MRUV Aceleración 0 Constante Velocidad Constante v 2 = v 1 + a t Función lineal respecto al tiempo Espacio x 2 = x 1 + v t x 2 = x 1 + v 1 t a t2 Función lineal respecto al tiempo Función cuadrática respecto al tiempo Ejercicios 1. Un automóvil que viaja a una velocidad constante de 120 km/h, demora 10 s en detenerse. Calcular: a) Qué espacio necesitó para detenerse?

15 1.2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO 15 b) Con qué velocidad chocaría a otro vehículo ubicado a 30 m del lugar donde aplicó los frenos? Respuestas: x 2 = 166, 6m y v 2 = 30m/s 2. Un ciclista que va a 30 km/h, aplica los frenos y logra detener la bicicleta en 4 segundos. Calcular: a) Qué desaceleración produjeron los frenos? b) Qué espacio necesito para frenar? 3. Un avión, cuando toca pista, acciona todos los sistemas de frenado, que le generan una desaceleración de 20 m/s 2, necesita 100 metros para detenerse. Calcular: a) Con qué velocidad toca pista? b) Qué tiempo demoró en detener el avión? 4. Un camión viene disminuyendo su velocidad en forma uniforme, de 100 km/h a 50 km/h. Si para esto tuvo que frenar durante m. Calcular: a) Qué desaceleración produjeron los frenos? b) Cuánto tiempo empleó para el frenado? 5. La bala de un rifle, cuyo cañón mide 1,4 m, sale con una velocidad de m/s. Calcular: a) Qué aceleración experimenta la bala? b) Cuánto tarda en salir del rifle? 6. Una partícula se encuentra en reposo en el instante t=0 s. Si su gráfica a t es la que se muestra en la figura, determinar las gráficas v t y x t. 7. Un móvil que se desplaza con velocidad constante, aplica los frenos durante 25 s, y recorre una distancia de 400 m hasta detenerse. Determinar: a) Qué velocidad tenía el móvil antes de aplicar los frenos? b) Qué desaceleración produjeron los frenos? 8. Un auto marcha a una velocidad de 90 km/h. El conductor aplica los frenos en el instante en que ve el pozo y reduce la velocidad hasta 1/5 de la inicial en los 4 s que tarda en llegar al pozo. Determinar a qué distancia del obstáculo el conductor aplico los frenos, suponiendo que la aceleración fue constante.

16 16 CAPÍTULO 1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 9. Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 3 m/s 2, determinar: a) Qué velocidad tendrá a los 8 s de haber iniciado el movimiento? b) Qué distancia habrá recorrido en ese lapso? 10. A partir del gráfico v t mostrado a continuación, calcular la velocidad inicial (v 0 ) del móvil, si se sabe que la distancia total recorrida es de 102 m. 11. Un móvil que se desplaza con velocidad constante, acelera durante 30 segundos, y recorre una distancia de 350 m hasta alcanzar los 160 km/h. Determinar: a. Velocidad inicial b. Aceleración 12. Según el siguiente gráfico V t, calcular: a. Identificar el tipo de movimiento en cada tramo b. Espacio total recorrido c. Velocidad media para todo el recorrido 13. Según el siguiente gráfico V t, calcular: a. Identificar el tipo de movimiento en cada tramo b. Espacio total recorrido c. Velocidad media para todo el recorrido d. Aceleración en cada tramo

17 1.3. TIRO OBLICUO Tiro Oblicuo Un ejemplo de tiro oblicuo es el movimiento de un proyectil, el movimiento ideal de una pelota de béisbol o el de una pelota de golf. En nuestro análisis supondremos que se desprecia el rozamiento del aire. Además, por simplificación, consideraremos sólo el movimiento de caída del objeto. Entonces, en el eje vertical (lo llamaremos y) sólo actuará la gravedad, es decir un movimiento variado, mientras que en el eje horizontal (lo llamaremos x) será un movimiento rectilíneo uniforme. Por lo que tenemos: Eje Vertical (y) Eje Horizontal (x) Espacio x 2 = x 1 + v 1 t a t2 x 2 = x 1 + v t Velocidad v 2 = v 1 + a t v = constante Si consideramos la velocidad inicial en y igual a cero, y teniendo en cuenta que el espacio recorrido en el eje vertical corresponde a la altura desde donde es lanzado el objeto, entonces: Eje Vertical (y) Eje Horizontal (x) Espacio h = 1 2 g t2 x 2 = v t Velocidad v 2 = g t v = constante Despejando el tiempo de la ecuación de espacio del eje vertical, podemos calcular el tiempo de caída o de impacto del objeto: t = 2 h g (1.25) Además, la velocidad de impacto o velocidad de caída del eje y es: v 2 = 2 h g (1.26)

18 18 CAPÍTULO 1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO Cabe destacar, que el tiempo de caída es el tiempo de alcance del objeto, es decir el tiempo que tarda en recorrer el espacio en el eje x, que es el mismo tiempo que tarda en caer. Ejemplo 4 En un concurso en dejar caer un paquete sobre un blanco, el aeroplano de unos de los concursantes está volando a una velocidad constante de 155 km/h y a una altura de 225 m hacia el punto directamente arriba del plano. Cuál es el tiempo de caída y a qué distancia se encuentra el blanco? Solución Hallaremos el tiempo de caída usando la ecuación 1.25, t = 2 h 2 225m = = 6, 78s (1.27) g 9, 8m/s2 La distancia horizontal recorrida por el paquete en este tiempo viene dada por: Ejercicios x 2 = v t = 43, 05m/s 6, 78s = 291, 9m (1.28) 1. Un piloto, volando horizontalmente a 500 m de altura y 1080 km/h, lanza una bomba. Calcular: a) Cuánto tarda en oír la explosión? b) A qué distancia se encontraba el objetivo? 2. Un avión que vuela a 2000 m de altura con una velocidad de 800 km/h suelta una bomba cuando se encuentra a 5000 m del objetivo. Determinar: a) A qué distancia del objetivo cae la bomba? b) Cuánto tarda la bomba en llegar al suelo? c) Dónde está el avión al explotar la bomba? 3. Un proyectil es disparado desde un acantilado de 20 m de altura en dirección paralela al río, éste hace impacto en el agua a 2000 m del lugar del disparo. Determinar: a) Qué velocidad inicial tenía el proyectil? b) Cuánto tardó en tocar el agua? 4. Una pelota está rodando con velocidad constante sobre una mesa de 2 m de altura, a los 0,5 s de haberse caído de la mesa esta a 0,2 m de ella. Calcular: a) Qué velocidad traía? b) A qué distancia de la mesa estará al llegar al suelo? c) Cuál era su distancia al suelo a los 0,5 s?

19 1.4. ALCANCE Y ENCUENTRO Un avión vuela horizontalmente con velocidad va = 900 km/h a una altura de 2000 m, suelta una bomba que debe dar en un barco cuya velocidad es vb = 40 km/h con igual dirección y sentido. Determinar: a) Qué tiempo tarda la bomba en darle al barco? b) Con qué velocidad llega la bomba al barco? c) Qué distancia recorre el barco desde el lanzamiento hasta el impacto? d) Cuál será la distancia horizontal entre el avión y el barco en el instante del lanzamiento? e) Cuál será la distancia horizontal entre el avión y el barco en el instante del impacto? 1.4. Alcance y Encuentro En este caso particular, en el momento de encuentro/alcance los cuerpos cumplen con la condición de que el espacio y el tiempo son los mismos. Entonces igualando las ecuaciones de espacio de los cuerpos generalmente se resuelve el problema. Ejemplo 5 Pasa un auto a 72 km/h por un puesto de control policial. En el mismo instante sale en su persecución una moto de policia, que parte del reposo, con una aceleración de 3 m/s 2. Dónde y cuando lo alcanzará? Solución Para hallar la solución, primero hay que identificar el tipo de movimiento en cada vehículo. La moto, dado que tiene aceleración de 3 m/s 2, es un MRUV, y el auto, que se mueve a velocidad constante, es MRU. Para el auto tenemos que la ecuación de espacio viene dada por: Para la moto tenemos: x 2 = x 1 + v t x 2 = 72km/h t (1.29) x 2 = x 1 + v 1 t a t2 x 2 = 0 t m/s2 t 2 e = 1 2 3m/s2 t 2 (1.30) Igualando ambas ecuaciones (transformando todo a las mismas unidades), dado que en el momento de ecuentro la moto y el auto han recorrido el mismo espacio, se tiene: Despejando t, se llega a: 20m/s t = 1 2 3m/s2 t 2 (1.31)

20 20 CAPÍTULO 1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO t = 20m/s 0,5 3m/s 2 t = 13, 33s (1.32) Una vez calculado el tiempo, se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones 1.29 o 1.30 ese valor para así obtener el espacio recorrido. Por ejemplo usaremos la ecuación del espacio correspondiente al auto (1.29), entonces: x 2 = 20m/s 13, 33s x 2 = 266, 6m (1.33) s. La conslusión del problema es que la moto alcanza al auto luego de recorrer 266,6 m en 13, Ejercicios 1. En una esquina, una persona ve como un muchacho pasa en su auto a una velocidad de 20 m/s. Diez segundos después, una patrulla de la policía pasa por la misma esquina persiguiéndolo a 30 m/s. Considerando que ambos mantienen su velocidad constante, resolver gráfica y analíticamente: a) A qué distancia de la esquina, la policía alcanzará al muchacho? b) En qué instante se produce el encuentro? 2. En un instante pasa por A un cuerpo con movimiento rectilíneo uniforme de 20 m/s. Cinco segundos después, pasa en su persecución, por el mismo punto A, otro cuerpo animado de movimiento rectilíneo uniforme, de velocidad 30 m/s. Cuándo y dónde lo alcanzará?, resolver gráfica y analíticamente. 3. Un móvil sale de una localidad A hacia B con una velocidad de 80 km/h, en el mismo instante sale de la localidad B hacia A otro a 60 km/h, A y B se encuentran a 600 km. Calcular: a) A qué distancia de A se encontraran? b) En qué instante se encontraran? 4. Un móvil sale de una localidad A hacia B con una velocidad de 80 km/h, 90 minutos después sale desde el mismo lugar y en su persecución otro móvil a 27,78 m/s. Calcular: a) A qué distancia de A lo alcanzará? b) En qué instante lo alcanzará? 5. Dos móviles pasan simultáneamente, con M.R.U., por dos posiciones A y B distantes entre si 3 km, con velocidades va = 54 km/h y vb = 36 km/h, paralelas al segmento AB y del mismo sentido. Hallar analíticamente y gráficamente: a) La posición del encuentro.

21 1.4. ALCANCE Y ENCUENTRO 21 b) El instante del encuentro. 6. Dos móviles pasan simultáneamente, con M.R.U., por dos posiciones A y B distantes entre si 6 km, con velocidades va = 36 km/h y vb = 72 km/h, paralelas al segmento AB y del sentido opuesto. Hallar analíticamente y gráficamente: a) La posición del encuentro. b) El instante del encuentro. 7. Dos puntos A y B están separados por una distancia de 180 m. En un mismo momento pasan dos móviles, uno desde A hacia B y el otro desde B hacia A, con velocidades de 10 m/s y 20 m/s respectivamente. Hallar analíticamente y gráficamente: a) A qué distancia de A se encontraran? b) El instante del encuentro. 8. En una obra en construcción se tira verticalmente hacia arriba desde los 15 m de altura un martillo con velocidad inicial de 40 m/s, en el mismo momento, a 8 m de altura, sube un montacarga con velocidad constante de 2 m/s, si el martillo no pudo ser atajado, cuánto tiempo después y a qué altura chocará con el montacarga? 9. Se largan dos ciclistas, uno con velocidad constante de 40 km/h, el otro partiendo del reposo con una aceleración de 1000 km/h 2, calcular: a) Cuándo el primer ciclista será alcanzado por el segundo? b) A qué distancia de la salida? c) Qué velocidad tendrá el segundo ciclista en el momento del encuentro? 10. Un automovilista pasa por un puesto caminero a 120 km/h superando la velocidad permitida, a los 4 s un policía sale a perseguirlo acelerando constantemente, si lo alcanza a los 6000 m, calcular: a) Cuánto dura la persecución? b) Qué aceleración llevaba el policía? c) Qué velocidad tenía el policía en el momento del encuentro? 11. Un motociclista detenido en una esquina arranca con una aceleración de 0, 003m/s 2. En el mismo momento un automóvil lo pasa y sigue con una velocidad constante de 70 km/h, calcular: a) Cuánto tarda el motociclista en alcanzar al automóvil? b) A qué distancia de la esquina ocurre esto? 12. El maquinista de un tren que avanza con una velocidad v1 advierte delante de él, a una distancia d, la cola de un tren de carga que se mueve en su mismo sentido, con una velocidad v2 constante, menor que la suya. Frena entonces, con aceleración constante, determinar el mínimo valor del módulo de dicha aceleración, para evitar el choque. 13. Un jugador de fútbol ejecuta un tiro libre, lanzando la pelota con un ángulo de 30 grados con respecto a la horizontal y con una velocidad de 20 m/s. Un segundo jugador corre para alcanzar la pelota con una velocidad constante, partiendo al mismo tiempo que ella desde 20 m más delante de la posición de disparo. Despreciando el tiempo que necesita para arrancar, calcular con qué velocidad debe correr para alcanzar la pelota cuando ésta llegue al suelo.

22 22 CAPÍTULO 1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 14. En el instante en que un semáforo da luz verde, un automóvil, que había estado detenido en el cruce, arranca recto con una aceleración constante de 2m/s 2. Al mismo tiempo una camioneta, con velocidad constante de 10 m/s, le da alcance y lo pasa. Determinar: a) A qué distancia de su punto de partida el automóvil alcanzará a la camioneta? b) A qué velocidad lo hará? Un auto va desde Córdoba hacia Carlos Paz (36 km de distancia), partiendo desde el reposo con una aceleración de 0,1 m/s 2. Al mismo tiempo parte un auto desde Carlos Paz hacia Córdoba con una velocidad constante de 80 km/h. a) A qué distancia de Córdoba se encontraran los autos? b) Cuanto tiempo tardarán en encontrarse? c) Cuál es la velocidad de cada auto al momento de encuentro? Realice un gráfico de las ecuaciones del espacio, marcando los puntos principales

23 Capítulo 2 Movimiento Circular Uniforme En física, el movimiento circular uniforme describe el movimiento de un cuerpo atravesando, con rapidez constante, una trayectoria circular Aceleraciones y Velocidades en MCU Definición 3 Aceleración centrípeta La aceleración centrípeta es una magnitud relacionada con el cambio de dirección de la velocidad de una partícula en movimiento cuando recorre una trayectoria curvilínea. Cuando una partícula se mueve en una trayectoria curvilínea, aunque se mueva con rapidez constante (por ejemplo el MCU), su velocidad cambia de dirección, ya que es un vector tangente a la trayectoria, y en las curvas dicha tangente no es constante. a c = v2 R Definición 4 Velocidad angular La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo: (2.1) ω = θ t (2.2) Definición 5 Frecuencia La frecuencia mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil dividido el tiempo que tarda en realizarlas. f = vueltas t Definición 6 Período Tiempo necesario para realizar una vuelta (2.3) f = 1 T (2.4) 23

24 24 CAPÍTULO 2. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Figura 2.1: Esquema de los vectores que componen el MCU Por otra parte, dado que el perímetro de una circunferencia viene dado por P = 2πR, entonces la distancia total recorrida viene dada por: x = 2πR vueltas (2.5) 2.2. Relación entre velocidad angular y velocidad lineal o tangencial La velocidad angular y la velocidad lineal se relacionan a través del radio de la circunferencia, es decir: v = ω R (2.6) Esta relación es sumamente útil a la hora de resolver ejercicios en los que, por ejemplo no se conoce el ángulo recorrido. Ejemplo 6 Un moto circula a velocidad constante por una curva de 150 m de radio. Si la velocidad de la moto es de 72 km/h, calcular la aceleración centrípeta de la moto. Solución Usando la ecuación 2.1 tenemos: a c = v2 R = (20m/s)2 150m = 2, 67m/s2 (2.7) Ejemplo 7 Sobre un carrete que gira a velocidad angular constante ω = 7rad/s, se enrollan 21 m de hilo, siempre con el mismo radio r = 0, 18 m. Calcular: a) El tiempo que tarda en enrollar los 21 m b) El número de vueltas que ha dado el carrete

25 2.3. EJERCICIOS 25 c) El ángulo girado en radianes d) La velocidad lineal del hilo e) La aceleración centrípeta que sufre un punto de la periferia del carrete a) b) c) d) e) Solución t = x v = x ωr = 21m = 16, 66s (2.8) 7rad/s 0, 18m P = 2πR = 2π0, 18m = 1, 13m (2.9) Por regla de tres simple se calcula que la cantidad de vueltas es 18,56. θ = ωt = 7rad/s 16, 66s = 116, 66rad (2.10) V = ωr = 7rad/s0, 18m = 1, 26m/s (2.11) a c = V 2 R = (1, 26m/s)2 0, 18m = 8, 82m/s2 (2.12) 2.3. Ejercicios 1. Un disco de 8 cm de diámetro, ha girado 81 vueltas en un tiempo total de 108 s. Suponiendo contante la velocidad angular, calcular: a) La distancia recorrida por un punto de la periferia b) El ángulo girado en radianes c) La velocidad lineal o tangencial de un punto de la periferia d) La velocidad angular del disco e) La aceleración centrípeta Respuestas: 2035,75 cm; 508,88 rad; 18,85 cm/s; 4,71 rad/s; 88,74 cm/s 2 2. Sobre un carrete que gira a velocidad angular constante ω = 5rad/s, se enrollan 18 m de hilo, siempre con el mismo radio r = 0, 15 m. Calcular: a) El tiempo que tarda en enrollar los 18 m

26 26 CAPÍTULO 2. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME b) El número de vueltas que ha dado el carrete c) El ángulo girado en radianes d) La velocidad lineal del hilo e) La aceleración centrípeta que sufre un punto de la periferia del carrete Respuesta: 24 s; 19,10 vueltas; 120 rad; 0,75 m/s; 3,75 m/s 2 3. Un auto circula a velocidad constante por una curva de autopista de 1000 m de radio. Si la aceleración centrípeta no debe exceder 1,2 m/s 2, calcular: a) La máxima velocidad permitida Respuesta: 34 m/s 4. Un coche circula por una curva de autopista de 300 m de radio a una velocidad de 90 km/h. Calcular: a) Cuánto vale la componente normal (centrípeta) de su aceleración Respuesta: 2,1 m/s 2 5. La Luna gira alrededor de la Tierra haciendo una revolución completa en 27,3 días. Suponiendo que la órbita es circular y que tiene un radio de 3, m. Cuál es la magnitud de la aceleración de la Luna hacia la Tierra? 6. Calcule la velocidad de un satélite artificial de la Tierra, suponiendo que está viajando a una altitud de 210 km, donde la g = 9, 2 m/s 2. El radio de la Tierra es de 6370 km. 7. Un tren realiza un viaje entre París y Le Mans, en Francia, donde puede adquirir una velocidad máxima de 310 km/h. a) Si el tren toma una curva a esta velocidad, y la aceleración experimentada por los pasajeros no debe superar los 0,05 g (9,8 m/s 2 ) cuál es el radio de la vía más pequeña que puede tolerarse? b) Si existiese una curva con radio de 0,94 km A qué valor debería disminuir el tren su velocidad? 8. Un niño hace girar una piedra en un círculo horizontal situado a 1,9 metros sobre el suelo por medio de una cuerda de 1,4 metros de longitud. La cuerda se rompe y la piedra sale disparada horizontalmente, golpeando el suelo a 11 metros de distancia. Cuál fue la aceleración de la piedra mientras estaba en movimiento circular? 9. Un automóvil, cuyo velocímetro indica en todo instante 72 km/h, recorre el perímetro de una pista circular en un minuto. Calcular: a) La velociadd angular b) El radio de la circunsferencia c) La aceleración centrípeta 10. Calcular la velocidad angular y la frecuencia con que debe girar una rueda, para que los puntos situados a 50cm de su eje estén sometidos a una aceleración que sea 500 veces la de la gravedad.

27 2.3. EJERCICIOS Un piloto de avión bien entrenado aguanta aceleraciones de hasta 8 veces la de la gravedad, durante tiempos breves, sin perder el conocimiento. a) Para un avión que vuela a 2300 km/h, cuál será el radio de giro mínimo que puede soportar? b) Que sucede con el piloto, si el radio de giro es de 4800 m a la velocidad calculada en el punto anterior? Justifique su respuesta con el planteo y cálculo correspondiente. 12. Una bicicleta recorre 40 m en 5 s. a) Hallar el período de sus ruedas si el radio es de 50 cm. b) Determinar el tiempo que tardará en recorrer 300 m. Respuestas: 0,4 s ; 37,5 s 13. Una varilla de 3 m de longitud gira respecto a uno de sus extremos a 20 r.p.m.: Calcular: a) El período y el n o de vueltas que dará en 15 s. b) La velocidad del otro extremo de la varilla. c) La velocidad de un punto de la varilla situado a 1 m del extremo fijo. d) La velocidad de un punto de la varilla situado a 2 m del extremo fijo. Respuestas: 3 s; 5 rev; 2π m/s; 2,1 m/2; 4,2 m/s 14. Hallar el periodo de la aguja horaria de un reloj. Respuestas: s 15. Una rueda de coche tarda 20 s en recorrer 500 m. Su radio es de 40 cm. Hallar el n o de vueltas que dará al recorrer los 500 m y las r.p.m. con que gira. Respuestas: 199 rev; 596,8 rpm 16. La velocidad angular de una rueda es de 2 rad/s y su radio, 60 cm. Hallar la velocidad y la aceleración centrípeta de un punto del extremo de la rueda. Respuestas: 1,2 m/s; 2,4 m/s Un auto se desplaza a 124 km/h, cuando ve que hay un cartel de curva a 250 metros, por lo que frena hasta la velocidad adecuada para tomar una curva de 252,52 metros de radio, que admite una aceleración centrípeta máxima de 1,1 m/s 2. Una vez finalizada la curva, el auto vuelve a acelerar hasta llegar a los 110 km/h en un tiempo de 10 segundos. Calcular: a) Tiempo empleado para frenar antes de llegar a la curva b) Aceleración durante el frenado c) Velocidad lineal durante la curva d) Velocidad angular e) Espacio recorrido después de la curva f ) Aceleración alcanzada después de la curva g) Qué hubiese sucedido si el auto frenaba hasta los 80 km/h antes de llegar a la curva?

28 28 CAPÍTULO 2. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

29 Capítulo 3 Trabajo y Energía 3.1. Trabajo Definición 7 Trabajo En mecánica clásica, el trabajo que realiza una fuerza se define como el producto de ésta por el camino que recorre su punto de aplicación y por el coseno del ángulo que forman el uno con el otro.1 El trabajo es una magnitud física escalar que se representa con la letra (del inglés Work) y se expresa en unidades de energía, esto es en julios o joules (J) en el Sistema Internacional de Unidades. La unidad del W es el Joule (J = Kg m2 s 2 ) W = F d cos α (3.1) Figura 3.1: Esquema del trabajo realizado sobre un bloque Definición 8 Potencia Potencia (símbolo P) es la cantidad de trabajo efectuado por unidad de tiempo P = W t (3.2) La unidad de la potencia es el Watts (W = J s ) 29

30 30 CAPÍTULO 3. TRABAJO Y ENERGÍA 3.2. Energía Se define como la capacidad para realizar un trabajo. La energía por ser justamente la capacidad de realizar un trabajo, se mide con las mismas unidades que el trabajo (J). Definición 9 Energía Cinética En un sistema físico, la energía cinética de un cuerpo es energía que surge en el fenómeno del movimiento. Está definida como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de una masa dada desde el reposo hasta la velocidad que posee. Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su rapidez o su masa. Para que el cuerpo regrese a su estado de reposo se requiere un trabajo negativo de la misma magnitud que su energía cinética. Suele abreviarse con letra E c. E c = 1 2 m v2 (3.3) Figura 3.2: Esquema de la energía cinética Definición 10 Energía Elástica La energía elástica o energía de deformación es el aumento de energía interna acumulado en el interior de un sólido deformable como resultado del trabajo realizado por las fuerzas que provocan la deformación. Suponiendo que tenemos un resorte con constante elástica K, y con una deformación X, entonces la energía elástica se define como: La unidad con la que se mide K generalmente será N/m. E E = 1 2 K X2 (3.4) Figura 3.3: Esquema de la energía elástica

31 3.2. ENERGÍA 31 Definición 11 Energía Potencial La energía potencial gravitatoria es la energía asociada con la fuerza gravitatoria. Esta dependerá de la altura relativa de un objeto a algún punto de referencia, la masa, y la fuerza de la gravedad. E p = m g h (3.5) Figura 3.4: Esquema de la energía potencial Ley de conservación de la energía La ley de la conservación de la energía constituye el primer principio de la termodinámica y afirma que la cantidad total de energía en cualquier sistema aislado (sin interacción con ningún otro sistema) permanece invariable con el tiempo, aunque dicha energía puede transformarse en otra forma de energía. En resumen, la ley de la conservación de la energía afirma que la energía no puede crearse ni destruirse, sólo se puede cambiar de una forma a otra, por ejemplo, cuando la energía potencial se transforma en energía cinética en la caída libre de un objeto. Dicho de otra forma :la energía puede transformarse de una forma a otra o transferirse de un cuerpo a otro, pero en su conjunto permanece estable (o constante). E c1 + E p1 + E E1 = E c2 + E p2 + E E2 (3.6) Ejemplo 8 El resorte de un rifle se comprime 3,2 cm desde su estado de relajación, y en el cañón se introduce una bala de 12 g de masa. A qué velocidad saldrá la bala del cañón al disparar el arma? La constante del resorte es 7,5 N/cm. Suponga que no existe fricción y que el cañón del rifle está horizontal. Solución Aplicando la ley de conservación de la energía tenemos, E c1 + E p1 + E E1 = E c2 + E p2 + E E KX2 = 1 2 mv (3.7)

32 32 CAPÍTULO 3. TRABAJO Y ENERGÍA Resolviendo para v nos da: v = X K 750N/m = 0, 032m m = 8, 0m/s (3.8) kg Ejemplo 9 Una montaña rusa eleva lentamente una carrito lleno de pasajeros a una altura de 25 m, desde donde se deja caer hacia abajo. Despreciando la fricción en el sistema, a qué velocidad llegará el carrito al fondo? Solución Aplicando la ley de conservación de la energía tenemos, Resolviendo para v nos da: E c1 + E p1 + E E1 = E c2 + E p2 + E E2 0 + mgh + 0 = 1 2 mv (3.9) v = 2gh = 2 9, 8m/s 2 25m = 22m/s (3.10) Ejemplo 10 Una persona le gusta realizar el deporte extremo de caída libre. Si la persona pesa 70 kg, y sabiendo que la altura a la que se larga del avión es a 4000 metros sobre el nivel del suelo, calcular a) Qué velocidad tendrá la persona cuando esta a 1500 m de altura? b) Si la velocidad máxima a la cuál se debe abrir el paracaídas es a los 250 km/h, a qué altura deberá abrir el paracaídas? a) Solución Aca se usa la ley de conservación de la energía para resolver el problema. E c1 + E p1 + E E1 = E c2 + E p2 + E E2 0 + m g h = 1 2 mv2 + m g h g h = 1 2 v2 + g h v = 2g (h 1 h 2 ) v = 2 9, 8m/s 2 (4000m 1500m) = 221, 39m/s (3.11)

33 3.3. EJERCICIOS 33 b) Exáctamente igual, pero ahora tenemos que calcular la altura a la cuál llegará a los 250 km/h. E c1 + E p1 + E E1 = E c2 + E p2 + E E2 0 + m g h = 1 2 mv2 + m g h g h = 1 2 v2 + g h h 2 = g h v2 g h 2 = 9, 8m/s2 4000m 1 269, 44m/s 9, 8m/s 2 = 3753, 98m (3.12) Ejemplo 11 Sobre la cascada de un río se coloca una turbina para generar energía eléctrica. Si la cascada tiene una altura de 30 metros, y sabiendo que caen m 3 por minuto, calcular la potencia que entrega la turbina suponiendo que transforma el 53 % de la energía potencial en eléctrica. Ayuda: recordar que la densidad del agua es 1000 kg/m 3 y que se define como ρ = m/v ol Solución Acá hay que tener en cuenta que la energía es el trabajo realizado para calcular la potencia. Además debemos calcular la masa usando la densidad del agua. P = E electrica t P = 0, 53E p t 0, 53 mgh P = t P = 0, kg 9, 8m/s2 30m 60s = W = 649, 25M W (3.13) (3.14) 3.3. Ejercicios 1. Se dispara horizontalmente una bala de 55 g a corta distancia hacia adentro de un montículo de arena. La bala ingresa con una rapidez de 350 m/s y alcanza el reposo en la arena después de recorrer 18 cm. Determinar: a) Cuál es la energía cinética inicial de la bala?

34 34 CAPÍTULO 3. TRABAJO Y ENERGÍA b) Qué fuerza promedio ejerce la arena sobre la bala? Respuestas: 3369 J; ,28 N 2. Un cuerpo de masa 1 kg en caída libre tiene una velocidad de 10 m/s cuando esta a 80 m de altura. a) Qué velocidad tendrá cuando esta a 20 m de altura? b) Desde qué altura cayó suponiendo que la velocidad inicial es igual a cero? Respuestas: 36 m/s; 85 m 3. Un cubo de hielo muy pequeño cae desprendido desde el borde de una cubetera semiesférica sin fircción y cuyo radio es de 23,6 cm. A qué velocidad se mueve el cubo en el fondo de la cubetera? Respuesta: 2,15 m/s 4. Una bola de 112 g es arrojada desde una ventana a una velocidad de 8,16 m/s y un ángulo de 34,0 grados sobre la horizontal. Usando la conservación de la energía determinar: a) energía cinética de la bola en la parte más alta de su vuelo b) su velocidad cuando está a 2,87m debajo de la ventana. Despreciar la fuerza de arrastre del aire. Respuesta: 2,56 J; 11,1 m/s 5. Una varilla delgada de longitud 2,13 m y de masa despreciable, está pivotada en un extremo de modo que pueda girar en circulo vertical. La varilla se separa en un ángulo de 35,0 grados y luego se suelta. A qué velocidad se mueve la bola de plomo que está en el extremo de la varilla en su punto más bajo? Respuesta: 2,75 m/s 6. Una piedra de 7,94 kg descansa sobre un resorte. El resorte se comprime 10,2 cm por la piedra. a) Calcule la constante de fuerza del resorte b) La piedra es empujada hacia abajo 28,6 cm más y luego se suelta. Cuánta energía potencial hay almacenada en el resorte en el momento antes de que sea soltada la piedra? c) A qué altura se elevará la piedra sobre esta nueva posición (la más baja)? 7. Por las cataratas del Niágara caen aproximadamente cada minuto 3, m 3 de agua, desde una altura de 50 m. a) Cuál sería la salida de potencia de una planta generadora de electricidad que pudiera convertir el 48 % de la energía potencial del agua en energía eléctrica? Respuesta: 1300 MW

35 3.3. EJERCICIOS Un bloque de 1,93 kg se coloca contra un resorte comprimido sobre un plano inclinado de 27,0 grados son fricción. El resorte, cuya constante de fuerza es de 20,8 N/cm, se comprime 18,7 cm, después de lo cual el bloque se suelta. Qué tanto subirá el bloque antes de alcanzar el reposo? Respuesta: 4,24 m 9. Un bloque de 2,14 kg se deja caer desde una altura de 43,6 cm contra un resorte de constante de fuerza de 18,6 N/cm. Hallar la distancia máxima de compresión del resorte. Respuesta: 9,9 cm 10. Una pequeña bola de acero de 1 kg está amarrada al extremo de un alambre de 1 m de longitud. El alambre se lo hace girar desde el otro extremo a una velocidad angular constante de 120 rad/s en circulos horizontales a 2,2 metros de altura a) Calcular la energía cinética en el momento que la bola de acero está girando b) Calcular la energía potencial que posee la bola cuando está girando c) Si el alambre se corta, con qué velocidad caerá la bola al piso? (Considerar unicamente la velocidad del eje vertical y) 11. Calcular el trabajo efectuado por un hombre que arrastra un saco de harina de 65 kg por 10 m a lo largo del piso con una fuerza de 250 N y que luego lo levanta hasta un camión cuya plataforma está a 75 cm de altura. Cuál es la potencia promedio desarrollada si el proceso entero tomó 2 minutos? Ayuda: Tener en cuenta que para calcular la potencia hay que considerar el trabajo realizado por el hombre para arrastrar el saco y para luego levantarlo.

36 36 CAPÍTULO 3. TRABAJO Y ENERGÍA

37 Capítulo 4 Impulso - Cantidad de Movimiento - Colisiones 4.1. Impulso y Cantidad de Movimiento Definición 12 Impulso Es el producto de la fuerza por el intervalo de tiempo que se aplica esa fuerza sobre el cuerpo. I = F t (4.1) Definición 13 Cantidad de Movimiento Se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. CM = m v (4.2) Ley de conservación de la cantidad de movimiento Si tenemos un sistema de muchos cuerpos (por ejemplo dos), la cantidad de movimiento, en ausencia de fuerzas externas, se conserva. m 1 v 1 + m 2 v 2 = 0 m 1 v 11 + m 2 v 21 = m 1 v 12 + m 2 v 22 (4.3) donde el subíndice indica la partícula y el segundo subíndice distintos momentos del tiempo. Ejemplo 12 Un cañón cuya masa es de 1300 kg dispara una bala de 72 kg en dirección horizontal con una velocidad de salida de 55 m/s. El cañón está montado de modo que pueda recular libremente. Cuál es la velocidad del cañón al recular con la salida de la bala? Solución Usando la ley de conservación de la cantidad de movimiento tenemos, m 1 v 1 + m 2 v 2 = 0 m 1 v 11 + m 2 v 21 = m 1 v 12 + m 2 v = 1300kg v + 72kg 55m/s (4.4) 37

38 38 CAPÍTULO 4. IMPULSO - CANTIDAD DE MOVIMIENTO - COLISIONES Despejando v, 72kg 55m/s v = = 3, 05m/s (4.5) 1300kg 4.2. Colisiones En una colisión, una fuerza relativamente grande actúa sobre cada partícula que interviene en el choque durante un tiempo relativamente corto. La idea básica de la colisión consiste en que el movimiento de las partículas que colisionan (o al menos una de ellas), cambia de forma brusca, y que podemos hacer una separación relativamente clara del momento antes y después de la colisión. En toda colisión siempre existe conservación del ímpetu o cantidad de movimiento Colisiones elásticas En una colisión elástica, además de la conservación de la cantidad de movimiento, también se conserva la energía cinética antes y después del choque. Es decir, en el caso de dos partículas tenemos: m 1 v 11 + m 2 v 21 = m 1 v 12 + m 2 v 22 (4.6) 1 2 m 1 v m 2 v 2 21 = 1 2 m 1 v m 2 v 2 22 (4.7) Reescribiendo las ecuaciones 4.6 y 4.7 de la siguiente forma: m 1 (v 11 v 12 ) = m 2 (v 22 v 21 ) (4.8) m 1 (v 2 11 v 2 12) = m 2 (v 2 22 v 2 21) (4.9) Descomponiendo la diferencia de cuadrados de la ecuación 4.9 tenemos: m 1 (v 11 v 12 ) (v 11 + v 12 ) = m 2 (v 22 v 21 ) (v 22 + v 21 ) (4.10) Ahora, dividiendo la ecuación 4.10 por la ecuación 4.8 tenemos: m 1 (v 11 v 12 ) (v 11 + v 12 ) = m 2 (v 22 v 21 ) (v 22 + v 21 ) m 1 (v 11 v 12 ) m 2 (v 22 v 21 ) v 11 + v 12 = v 22 + v 21 (4.11) Entonces, si conoces las masas y las velocidades iniciales, podemos calcular las velocidades finales o velocidades después de la colisión.

39 4.2. COLISIONES 39 Figura 4.1: Esquema de una colisión elástica frontal Combinando las ecuaciones 4.6 y 4.11 y despejando para calcular las velocidades después del choque, se tiene que: v 12 = m 1 m 2 m 1 + m 2 v m 2 m 1 + m 2 v 21 (4.12) v 22 = 2m 1 m 1 + m 2 v 11 + m 2 m 1 m 1 + m 2 v 21 (4.13) Existen algunos casos particulares en los que se pueden aproximar las velocidades después del choque (ecuaciones 4.12 y 4.13), siempre que se cumplan las condiciones planteadas (se omitirán las demostraciones): 1. Masas Iguales (m 1 = m 2 ): En este caso las velocidades después del choque vienen dadas por: v 12 = v 21 (4.14) v 22 = v 11 (4.15) 2. Partícula Blanco en Reposo (v 21 = 0): La partícula blanco, a la cuál se impactará, la consideraremos a la segunda masa. Las velocidades finales para este caso son: v 12 = v 22 = ( ) m1 m 2 v 11 (4.16) m 1 + m 2 ( ) 2m1 v 11 (4.17) m 1 + m 2

40 40 CAPÍTULO 4. IMPULSO - CANTIDAD DE MOVIMIENTO - COLISIONES 3. Blanco de masa muy grande (m 2 m 1 ): En este caso, la masa del blanco (m 2 ) es mucho más grande que la del proyectil (m 1 ), entonces las velocidades son: Observar que en este caso la velocidad del blanco no cambia. v 12 = v v 21 (4.18) v 22 = v 21 (4.19) 4. Proyectil de masa muy grande (m 1 m 2 ): En este caso, la masa del proyectíl (m 1 ) es mucho más grande que la del blanco (m 2 ), entonces las velocidades son: v 12 = v 11 (4.20) v 22 = 2v 11 v 21 (4.21) Observar que en este caso la velocidad del proyectil no cambia Colisiones inelásticas En este caso, las partículas permanecen pegadas después de la colisión, por ejemplo la colisión de una bala sobre un bloque de madera. La conservación total de la energía se cumple, pero se añaden otras energías distintas a la cinética, por lo que la ecuación 4.7 no se cumple en este tipo de choque. En el caso especial de que el choque sea inelástico puro, entonces la velocidad finales de las dos partículas es la misma, por lo que existe una sola incógnita y la ecuación 4.6 se transforma en: m 1 v 11 + m 2 v 21 = (m 1 + m 2 ) v 2 (4.22) Ejemplo 13 Una bala de 3,8 g, se dispara horizontalmente con una velocidad de 1100 m/s contra un gran bloque de madera de masa igual a 12 kg que inicialmente está en reposo sobre una mesa horizontal. Si el bloque puede deslizarse sin fricción por la mesa, qué velocidad adquirirá después de que se le ha incrustado la bala? Solución Usando la ley de conservación de la cantidad de movimiento y teniendo en cuenta que es un choque inelástico tenemos, Despejando v, m 1 v 11 + m 2 v 21 = m 1 v 12 + m 2 v , 0038kg 1100m/s = 12kg v + 0, 0038kg v 0 + 0, 0038kg 1100m/s = (12kg + 0, 0038kg) v (4.23) v = 0, 0038kg 1100m/s 12kg + 0, 0038kg = 0, 35m/s (4.24)

41 4.3. EJERCICIOS 41 Figura 4.2: Esquema de una colisión inelástica frontal 4.3. Ejercicios 1. Dos bloques de 1,6 kg y otro 2,4 kg, se deslizan sin fricción con unas velocidades de 5,5 m/s y 2,5m/s en la misma dirección y sentido. Luego de la colisión, la velocidad del bloque mayor es de 4,9 m/s Cuál es la velocidad del bloque de 1,6 kg después de la colisión? Es una colisión elástica? Respuesta: 1,9 m/s a la derecha 2. Un elefante furioso embiste a razón de 2,1 m/s contra una mosca que revolotea. Suponiendo que la colisión sea elástica, a que velocidad rebota la mosca? Respuesta: 4,2 m/s 3. Un carrito de 342g de masa se dirige sin fricción a una velocidad de 1,24 m/s contra otro carrito de masa desconocidad, que se encuentra en reposo, con el cuál colisiona. El choque entre los carritos es elástico. Después de la colisión, el primer carrito continúa con una velocidad de 0,636 m/s. Cuál es la masa y la velocidad después del impacto del segundo carrito? 4. Se cree que el Meteor Crater, en Arizona, se formó por el impacto de un meteorito con la Tierra hace unos años. La masa del meteorito se calcula que fue de kg y su velocidad en 7,2 km/s. Qué velocidad impartiría a la Tierra tal meteorito en una colisión frontal? 5. Un objeto de 2,0 kg de masa choca elásticamente contra otro objeto en reposo y continúa moviéndose en la dirección original pero a un cuarto de su velocidad inicial. Cuál es la masa del objeto golpeado? Respuesta: 1,2 kg 6. La cabeza de un palo de golf que se mueve a 45,0 m/s, golpea una pelota de golf (masa igual a 46,0 g) que descansa sobre el tee (punto donde se coloca la pelota). La masa efectiva de la cabeza del palo es de 230 g.

42 42 CAPÍTULO 4. IMPULSO - CANTIDAD DE MOVIMIENTO - COLISIONES a) A qué velocidad deja el tee la bola? b) A qué velocidad dejaría el tee si se duplicara la masa de la cabeza del palo? c) Y si se triplicara? d) Qué conclusiones puede sacarse de los palos pesados? Supongase que las colisiones son perfectamente elásticas y que el golfista puede manejar los palos más pesados a igual velocidad en el impacto. Respuesta: 74,4 ms; 81,8 m/s y 84,1 m/s 7. Un carro de carga del ferrocarril que pesa 35,0 toneladas (1000 kg) choca contra un furgón que está estacionado. Se acoplan entre sí y el 27 % de la energía cinética inicial se disipa como calor, sonido y vibraciones. Halle el peso del furgón. Solución Planteando las ecuaciones de la cantidad de movimeinto para una colisión inelástica y la conservación de la energía cinética (teniendo en cuenta la pérdida de energía cinética como consecuencia del calor, sonido y vibraciones), tenemos: Combinando ambas ecuaciones, se puede llegar a: m 1 v 11 = (m 1 + m 2 ) v 2 (4.25) 1 2 (m 1 + m 2 ) v2 2 = 0, m 1v11 2 (4.26) m 1 m 1 + m 2 = 0, 73 (4.27) m 2 = 12, 9tn (4.28) 8. Un cañón de 3000 kg descansa sobre un estanque congelado. Se carga el cañón con una bala de 30 kg y se dispara de manera horizontal. Si el cañón retrocede hacia la derecha con una velocidad de 1,8 m/s. Cuál es la velocidad de la bala del cañón inmediatamente después que es disparada? Respuesta: -180 m/s 9. Un auto de masa 1800 kg se encuentra en reposo frente a un semáforo, en el momento que es colisionado por otro vehículo de masa 900 kg. Los autos quedan enredados después del choque. Se pide: a) Si el segundo auto se mueve a 20 m/s antes del choque, cuál será la velocidad de ambos autos después de la colisión? b) Cuánta energía cinética se pierde en el choque? Respuestas: 6,67 m/s; 1, J

43 4.3. EJERCICIOS Un objeto de 0,30 kg viaja con una velocidad de rapidez 2,0 m/s en la dirección positiva del eje x y tiene una colisión frontal elástica con otro cuerpo en reposo de masa 0,70 kg localizado en x = 0. Cuál es la distancia que separa los cuerpos colisionados 25 s después del encuentro? Respuesta: 50 m

44 44 CAPÍTULO 4. IMPULSO - CANTIDAD DE MOVIMIENTO - COLISIONES

45 Capítulo 5 Dinámica 5.1. Introducción Hay tres conceptos que se usan todo el tiempo en dinámica. Estos conceptos son los de fuerza, masa y aceleración. Definición 14 (Fuerza) En dinámica, vamos a considerar a la fuerza como un vector que hace que algo que está quieto se empiece a mover. Cuando la fuerza empieza a actuar, el cuerpo que estaba quieto se empieza a mover. Si uno no deja que el cuerpo se mueva, la fuerza empieza deformarlo o romperlo. Cuanto más masa tiene un cuerpo, más difícil es comenzar moverlo, y si el cuerpo viene moviéndose, más difícil va a ser frenarlo. Entonces: Definición 15 (Masa) La masa se define como una medida de la tendencia de los cuerpos al cambio de movimiento o inercia del cuerpo De manera que la masa es una cantidad que me da una idea de qué tan difícil es acelerar o frenar a un cuerpo. Definición 16 (Aceleración) La aceleración es una cantidad que me dice qué tan rápido está aumentando o disminuyendo la velocidad de un cuerpo. Esto ya se sabe de cinemática. Digamos que si un objeto tiene una aceleración de 10m/s 2, eso querrá decir que su velocidad aumenta en 10m/s por cada segundo que pasa. Si al principio su velocidad es cero, después de un segundo será de 10m/s, después de 2 seg será de 20m/s, etc. Las unidades con la que se miden la Fuerza, la Masa y la Aceleración. 1. A la aceleración la vamos a medir en m/s 2. (obviamente, igual que en cinemática). A la unidad m/s 2 no se le da ningún nombre especial. 2. A la masa la medimos en Kilogramos. Recordemos que un kilogramo equivale a 1000 gramos. 3. A la fuerza la vamos a medir en dos unidades distintas: el Newton y el Kilogramo fuerza (kgf) Un objeto que tiene un kilogramo de masa, ejerce un peso de un kilogramo fuerza. Un por el contrario, si un objeto tiene un kilogramo fuerza de peso, entonces tiene una masa de un kilogramo. 45

46 46 CAPÍTULO 5. DINÁMICA Masa y peso NO son la misma cosa, pero en La Tierra, una masa de 3 Kg pesa 3 Kgf La otra unidad de fuerza que se usa es el Newton. Un Newton es una fuerza tal que si uno se la aplica a un cuerpo que tenga una masa de 1 Kg, su aceleración será de 1 m/s 2. 1N = 1Kg 1m/s 2 Por otra parte, la equivalencia entre Kgf y N viene dada por: 1Kgf = 9, 8N 5.2. Leyes de Newton I. Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que otros cuerpos actúen sobre él. II. La sumatoria de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es directamente proporcional a su aceleración. F = m a (5.1) III. Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste ejerce sobre el primero una fuerza igual y de sentido opuesto Peso de un cuerpo La fuerza con que La Tierra atrae a las cosas se llama Peso. Haciendo uso de la segunda ley de Newton se tiene: F = m a (5.2) Ahora, a la fuerza F la vamos a llamar Peso P y a la aceleración la denotaremos con g, por ser la aceleración de la gravedad (9, 8m/s 2 ), entonces: Por lo que podemos definir al peso como: P = m g (5.3) Definición 17 (Peso) El peso es la fuerza con la que la Tierra atrae a un objeto.

47 5.4. APLICACIONES Aplicaciones Los problemas se dinámica no son todos iguales. Pero en gran cantidad de ellos se pide calcular la tensión de la cuerda y la aceleración del sistema. Para ese tipo de problema hay una serie de pasos que conviene seguir 1. Hacer el diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos que intervienen en el problema. Si hay un solo cuerpo, habrá un solo diagrama. Si hay 2 cuerpos habrá 2 diagramas, etc. Un diagrama de cuerpo libre es un diagrama vectorial que describe todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo u objeto en particular. Consiste en colocar la partícula en el origen de un plano de coordenadas, y representar a las fuerzas que actúan sobre ella por medio de los vectores correspondientes, todos concurrentes en el origen. La mayor aplicación de los diagramas de cuerpo libre es visualizar mejor el sistema de fuerzas que actúan sobre un cuerpo; además, se identifican mejor las fuerzas pares, como la de acción - reacción y las componentes de las fuerzas. Si en un sistema existen dos o más cuerpos de interés, éstos se deben separar y cada uno tiene un diagrama propio con sus respectivas fuerzas actuando. 2. De acuerdo al diagrama de cuerpo libre, planteo la 2 a ley de Newton: F = m a (5.4) 3. Para cada diagrama de cuerpo libre voy a tener una ecuación. De la ecuación (o sistema de ecuaciones) se calcula la incógnita en cuestión. Este método para resolver problemas de dinámica sirve para cualquier tipo de problema, sea con rozamiento, sin rozamiento, plano horizontal, plano inclinado, etc Fuerzas de Fricción o Rozamiento Si lanzamos un bloque de masa m a una velocidad inicial v 0 a lo largo de una mesa horizontal larga, al final llegará al reposo. Esto significa que mientras se está moviendo experimenta una aceleración promedio que apunta en dirección contraria al movimiento. En este caso afirmamos que la mesa ejerce una fuerza de fricción sobre el bloque, cuyo valor viene dado por la segunda ley de Newton. La fuerza de fricción es directamente opuesta al movimiento relativo del objeto. Por otra parte, las fuerzas de fricción que actúan sobre superficies estáticas, se llaman fuerzas de fricción estáticas. Una vez que se ha iniciado el movimiento, las fuerzas de fricción que actúan sobre las superficies de los cuerpos generalmente disminuyen, de manera que sólo es necesario una fuerza más pequeña para mantener un movimiento uniforme (velocidad constante). Las fuerzas que actúan sobre superficies en movimiento, se llaman fuerzas de fricción dinámica. La fuerza de fricción es proporcional a la fuerza normal que ejerce el cuerpo sobre la superficie y es aproximadamente independiente del área de contacto.

48 48 CAPÍTULO 5. DINÁMICA Si f e representa la magnitud de la fuerza de fricción estática, podemos escribir: f e = µ e N (5.5) donde µ e es el coeficiente de fricción estático y N es la magnitud de la fuerza normal. La fuerza de fricción dinámica f d entre superficies secas no lubricadas, sigue las mismas leyes que la fuerza de fricción estática. Si f d representa la magnitud de la fuerza de fricción dinámica, podemos escribir: donde µ d es el coeficiente de fricción dinámica. f d = µ d N (5.6) Tanto µ e como µ d son constantes sin dimensión, cuyos valores dependen de la naturaleza de los cuerpos. Siempre se cumple que µ e > µ d. Ejemplo 14 Un cuerpo de masa 5 kg se mueve con velocidad 10 m/s por una zona con rozamiento. Suponiendo que el µ d = 0, 3, calcular la aceleración que hace frenar al cuerpo. Solución El diagrama de cuerpo libre en este caso va a ser: Planteando que la segunda ley de Newton sobre el eje x tenemos que: Fx = m a f c = m a µ d N = m a (5.7) Teniendo en cuenta que en este caso la magnitud de la fuerza normal coincide con el peso, y sabiendo que P = m g, podemos escribir: µ d P = m a µ d m g = m a µ d g = a a = 9, 8m/s 2 0, 3 a = 2, 94m/s 2 (5.8)

49 Fx = m a x 5.4. APLICACIONES Plano Inclinado Supongamos que tenemos un cuerpo que está apoyado en un plano que está inclinado un ángulo α. Entonces, la fuerza peso apunta para abajo de esta manera: Para resolver este tipo de problema, hay que descomponer el peso en las direcciones de los ejes cartesianos, que en este caso hay que orientar la dirección del eje x paralela al plano inclinado, y el eje y perpendicular a éste. Gráficamente, donde se puede verificar por simple trigonométría que el ángulo α es el mismo ángulo que tiene ek plano inclinado. Por lo que, la descomposición de las fuerzas que intervienen en el diagrama de cuerpo libre, utilizando los ejes cartesianos propuestos, toma la forma: P x = = m a x P sin α = = m a x (5.9) Fy = m a y N P y = = m a y N P cos α = = m a y (5.10) En el caso de existir rozamiento entre el cuerpo y el plano inclinado, esta fuerza estará en la dirección del eje x y tendrá un sentido opuesto al movimiento del cuerpo, por lo qe las ecuaciones tomarán la siguiente forma: P sin α f d = = m a x (5.11) N P cos α = = m a y (5.12) En el caso de que el cuerpo no se encuentre en movimiento, es decir esté en reposo, las ecuaciones se pueden sintetizar de la siguiente manera:

50 50 CAPÍTULO 5. DINÁMICA dado que las aceleraciones en ambos ejes son nulas. P sin α f e = = 0 (5.13) N P cos α = = 0 (5.14) Ejemplo 15 Un bloque está en reposo sobre un plano inclinado que forma un ángulo α con la horizontal. Cuando el ángulo se eleva por encima de los 15 o empieza el desplazamiento. Calcular el coeficiente de fricción estático. Solución Teniendo en cuenta que el cuerpo se encuentra en reposo, por lo que la segunda ley de Newton es igualada a cero, es decir F = 0, y resolviendo las fuerzas que actúan en las componentes x e y (a lo largo del plano inclinado y normal al plano, respectivamente), obtenemos: Fx = P sin α f d = 0 (5.15) Fy = N P cos α = 0 (5.16) Suponiendo que el ángulo α corresponde al ángulo justo antes de que el bloque comience su desplazamiento, y reordenando las ecuaciones, tenemos que: Dividiendo ambas ecuaciones, se puede llegar a: P sin α = f d (5.17) P cos α = N (5.18) Pero como f d = µ d N, entonces: P sin α P cos α = f d N (5.19) µ d = tan α = tan 15 o = 0, 27 (5.20) Como conclusión, la medición del ángulo de un plano inclinado puede ser usado como un experimento para medir el coeficiente de fricción estático entre dos superficies. Por otra parte, cabe destacar que el coeficiente de fricción no depende del peso del cuerpo. Ejemplo 16 Consideremos un auto que se desplaza a lo largo de una ruta recta horizontal con una velocidad inicial de 72 km/h. Suponiendo que el coeficiente de fricción dinámico entre las llantas y el pavimento es de 0,23, calcular la distancia más corta en que puede ser detenido el auto sin utilizar los frenos. Solución Sabiendo que es un movimiento rectilíneo uniformemente variado, y haciendo uso de la relación 1.20

51 5.5. EJERCICIOS 51 v 2 2 v 2 1 = 2a x (5.21) Eligiendo una posición inicial x 1 = 0 y suponiendo que el auto se detuvo (v 2 = 0), entonces se puede llegar a: x 2 = v2 1 2a Para determinar el valor de a usaremos la segunda ley de Newton, donde: (5.22) Fx = f d = m a x (5.23) Fy = N P cos α = 0 N = mg (5.24) Haciendo uso de la definición de la fuerza de fricción, tenemos que: f d = µ d N = µ d m g (5.25) por lo que reemplazando en la ecuación del eje x y despejando a, se tiene: a = µ d g (5.26) Sustituyendo en el valor de la aceleración en la ecuación 5.22, se llega a: Cabe destacar que: x 2 = v2 1 2a = v2 1 2µ d g = (20m/s) 2 = 88, 7m (5.27) 2 0, 23 9, 8m/s2 Cuanto mayor es la velocidad inicial, mayor será la distancia requerida para frenar. Más aún, esta distancia varía con el cuadrado de la velocidad. Cuanto más grande sea el coeficiente de fricción, menor será la distancia requerida para frenar el auto Ejercicios 1. A un cuerpo de masa m=10kg se le aplica una fuerza horizontal F=40 N si el coeficiente de rozamiento es µ d = 0, 1 calcular a. La acelaración b. Espacio recorrido a los 5 segundos. 2. Se arrastra un cuerpo de masa m=25 Kg por una mesa horizontal, con una fuerza F=80 N que forma un angulo de 60 grados y coeficiente de rozamineto µ d = 0, 1 calcular :

52 52 CAPÍTULO 5. DINÁMICA a. La acelaración b. Velocidad a los 3 segundos. 3. Un cuerpo de masa m=80 kg que se mueve a una velocidad de 20 m/s se para después de recorrer 50 m en un plano horizontal con rozamiento. Calcula µ d. 4. Calcular la aceleración del sistema de la figura y la tensión en la cuerda, suponiendo que m A = 10kg, m B = 5kg y µ d = 0, Una grúa eleva una masa m=800 kg mediante un cable q soporta una tensión de N a. Cuál es la máxima aceleración con que se puede elevar? b. Si se eleva con una a=2 m/s 2 que tensión soporta el cable? 6. Sobre una superficie horizontal se desliza un cuerpo de masa m=12kg mediante una cuerda que pasa por una polea fija y lleva colgado del otro extremo una masa m= 8 Kg. Si µ d = 0, 1. Calcular: a. Aceleración del sistema b. Tensión de la cuerda 7. Se quiere subir un cuerpo de masa m= 5 kg por un plano inclinado de ángulo de inclinación 30 o y con un coeficiente de rozamiento dinámico de 0,2 mediante la aplicación de una fuerza paralela al plano inclinado F=45 N. Calcular la aceleración del cuerpo. 8. Si el coeficiente de rozamiento estático entre la masa y el plano inclinado es 0,4. Cuál será ángulo de inclinación del plano? 9. Calcular la masa de un cuerpo que al recibir una fuerza de 20 N adquiere una aceleración de 5m/s Un cuerpo de 15 kg se encuentra sobre una superficie horizontal. Calcula los coeficientes de rozamiento estático y dinámico si hay que aplicar paralelamente a dicho plano una fuerza de 51,45 N para que comience a deslizarse y otra de 36,75 N para que mantenga un MRU. 11. A lo largo de una rampa inclinada 30 o sobre la horizontal se sube una carretilla de 10 kg de masa aplicándole una fuerza de 100 N paralela a la rampa. Si el coeficiente dinámico de rozamiento es de µ d = 0, 5, hacer un esquema detallando las fuerzas que actúan y calcula: a. La fuerza normal que ejerce la superficie. b. La fuerza de rozamiento. c. Calcula la aceleración con la que sube la carretilla.

53 Capítulo 6 Fluidos Sin entrar en demasiado detalle, vamos a distinguir entre un fluido y un sólido con la siguiente característica: El sólido conserva su forma, pero el fluido fluye para adoptar la forma del recipiente Definición 18 Presión La magnitud de la fuerza normal por unidad de área superficial se llama presión, es decir: P = F A (6.1) La unidad con la que se mide la presión es el Pascal y equivale a N/m 2. Figura 6.1: Esquema la fuerza ejercida sobre un área Ejemplo 17 Supongamos un cuerpo C que ejerce, sobre la superficie que ocupa, una fuerza vertical igual a 500 N que es en este caso, su peso. Si la superficie de la base es 33 cm 2, el peso se repartirá en toda ella. Cuál será la presión que se ejerce? 53

54 54 CAPÍTULO 6. FLUIDOS Solución P = F A = 500N = , 1P a (6.2) 0, 0033m2 Definición 19 Densidad La densidad se define como la masa de un elemento divido por el volumen que dicho elemento ocupa. ρ = m V (6.3) 6.1. Presión de un Fluido en Reposo Consideremos un fluido que está en equilibrio, entonces la relación que nos dice como varía la presión con la elevación sobre cierto nivel de referencia viene dado por: P 2 P 1 = ρg (h 2 h 1 ) (6.4) Si el fluido tiene una superficie libre, entonces la presión P 1 es ejercida por la atmósfera de la Tierra, por lo que se puede escribir: P = P 0 + ρgh (6.5) Ejemplo 18 Un tubo en U, en el cual ambos extremos están abiertos a la atmósfera, contiene cierta cantidad de agua. En el otro lado se vierte aceite, sustancia que no se mezcla con el agua, hasta llegar a una distancia de d = 12, 3mm sobre el nivel del agua, del otro lado, nivel que se ha elevado mientras tanto a una distancia de a = 67, 5mm desde su nivel original. Hallar la densidad del aceite en el punto mas bajo del agua (unión de aceite y agua). Solución Igualando las presiones de cada uno de los lados del tubo en forma de U, tenemos que: P 0 + ρ agua 2a = P 0 + ρ aceite (2a + d) ρ aceite = 1000kg/m 3 2 (67, 5mm) 2 (67, 5mm) + 12, 3mm (6.6) 6.2. Principio de Pascal La presión aplicada a un fluido confinado se transmite íntegramente a todas las partes del fluido y a las paredes del recipiente que lo contiene.

55 6.3. PRINCIPIO DE ARQUÍMIDES 55 Figura 6.2: Esquema del tubo en forma de U Es decir, si aumentamos la presión en alguna parte del fluido, cualquier otra parte del fluido experimenta el mismo aumento de presión. F 1 A 1 = F 2 A 2 (6.7) Ejemplo 19 Gato hidráulico empleado para elevar un auto. Se emplea una bomba de mano, con la cuál se aplica una fuerza al émbolo menor de 2,2 cm de diámetro. La masa combinada del auto que va a ser elevado con la plataforma de elevación es de 1980 kg, y el émbolo grande tiene 16,4 cm de diámetro. Calcular la fuerza necesaria para elevar el auto. Solución Usando el principio de Pascal, F 1 A 1 = F 2 A 2 F 1 = m g A 1 A Principio de Arquímides 2 π (1, 1cm)2 F 1 = 1980kg 9, 8m/s π (8, 2cm) 2 F 1 = 349N (6.8) Todo cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido sufre un empuje de abajo hacia arriba por una fuerza de magnitud igual al peso del fluido que desaloja.

56 56 CAPÍTULO 6. FLUIDOS Ejemplo 20 Que fracción del volumen total de un iceberg queda expuesta? Solución El peso del iceberg es: W = ρ i V i g (6.9) donde V i es el volumen del iceberg. El peso del volumen del agua desalojada es la fuerza de flotación, es decir: F b = ρ agua V d g (6.10) Pero F b es igual a W porque el iceberg está en equilibrio, por lo que: ρ i V i g = ρ agua V d g (6.11) Usando las densidades del agua de mar (1024 kg/m 3 ) y del hielo (917 kg/m 3 ), V d V i = ρ i = 917kg/m3 = 0, 896 = 89, 6 % (6.12) ρ agua 1024kg/m Ecuación de Continuidad Supongamos un fluido entra en un tubo por uno de los lados con mayor diámetro y sale por el otro lado, el cual tiene menor diámetro. Además, se supone que entre los dos extremos del tubo no puede ni entrar ni salar fluido, y que el fluido tiene densidad constante. Entonces, A 1 v 1 = A 2 v 2 (6.13) donde A es el área de cada uno de los extremos del tubo y v es la velocidad del fluido al pasar por cada uno de los extremos respectivamente. El producto del área por la velocidad también es llamado razón de flujo volumétrico. La razón de flujo volumétrico también puede ser escrita como: R = A v = V olumen t (6.14) Ejemplo 21 Un grifo cuya corriente de agua se angosta desde un área de 1,2 cm 2 hasta los 0.35 cm 2. Los dos niveles donde se miden las áreas están separados 45 mm. En qué cantidad fluye el agua de la llave? Solución

57 6.5. ECUACIÓN DE BERNOULLI 57 Figura 6.3: Ecuación de continuidad. Esquema de la entrada de un fluido en un tubo. Teniendo en cuenta la ecuación 1.3, se puede escribir: A 1 v 1 = A 2 v 2 (6.15) Eliminando la v 2 y resolviendo para v 1, se tiene: Luego, la razón de flujo volumétrico viene definida como: v 2 2 = v gh (6.16) 2ghA 2 2 v 1 = A 2 1 A2 2 = 28, 6cm/s (6.17) R = A 1 v 1 = 1, 2cm 2 28, 6cm/s = 34cm 3 /s (6.18) 6.5. Ecuación de Bernoulli La ecuación de Bernoulli es una relación fundamental en la mecánica de los fluidos y se deriva de las leyes de la mecánica de Newton. Omitiendo la demostración de como se deriva la ecuación, tenemos: P ρv2 1 + ρgy 1 = P ρv2 2 + ρgy 2 (6.19)

58 58 CAPÍTULO 6. FLUIDOS Ejemplo 22 Un tanque elevado de altura h = 32 m y diámetro D = 3, 0 m, abastece de agua una casa. Una tubería horizontal en la base del tanque tiene un diámetro de d = 2, 54 cm. Para satisfacer las necesidades del hogar, la tubería de abastecimiento debe ser capaz de sustituir agua a razón de R = 0, 0025 m 3 /s. Si el agua estuviese fluyendo a la cantidad máxima, cuál sería la presión en la tubería horizontal? Solución Aplicando la ecuación de Bernoulli, tenemos: P ρv2 1 + ρgy 1 = P ρv2 2 + ρgy 2 (6.20) En 1, la presión es la atmosférica (parte superior del tanque). Con y 1 = h y y 2 = 0, obtenemos: P atm ρv2 1 + ρgh = P ρv2 2 P 2 = P atm ρ ( v 2 1 v 2 2) + ρgh (6.21) Por otro lado, podemos hallar las velocidades a partir de la igualdad del flujo volumétrico, es decir: R = A 1 v 1 = A 2 v 2 v 1 = R A 1 = 3, m/s v 2 = R A 2 = 4, 9m/s (6.22) Entonces, P 2 = P atm ρ ( v1 2 v2) 2 + ρgh (6.23) = P a + 1 ( kg/m3 1, m 2 /s 2 24, 01m 2 /s 2) + (6.24) +1000kg/m 3 9, 8m/s 2 32m (6.25) = 4, P a (6.26) 6.6. Ejercicios 1. Supongamos que tenemos una cama de agua que mide 2 m de lado y 30 cm de profundidad, teniendo en cuenta que la densidad del agua es igual a 1000 kg/m 3. Cuál será el peso de la cama de agua? Exprese el resultando en Newton. Respuesta: N

59 6.6. EJERCICIOS El tubo de entrada que suministra aire a presión para que funcione un elevador hidráulico tiene 5 cm de diámetro. El émbolo de salida tiene un diámetro de 44 cm. Cuál será la presión que debe utilizarse para elevar un automóvil que pesa 2300 kg? Respuesta: 3. Se desea construir un elevador hidráulico para ejercer fuerzas de N. Cuál debería ser el área del pistón grande, si sobre el menor, que es de 20 cm 2 de área, se aplica una fuerza de 80 N? Respuesta: 4. Por un conducto recto, circula agua a una velocidad de 25 m/seg. Si la sección del tubo es de 8 cm 2. Cuál es el caudal circulante de la corriente de agua? Respuesta: 5. Por un conducto que tiene 15 cm 2 de sección, circula agua a razón de 50 cm/s. Cuál será el volumen de agua que pasó en 55 segundos? Respuesta: 6. Un tubo de 34,5 cm de diámetro conduce agua que circula a razón de 2,62 m/s. Cuánto tiempo le tomará descargar 1600 m 3 de agua? Respuesta: 49 min 7. A veces se prueban modelos de torpedos en un tubo horizontal por el que fluye agua, muy similar al túnel de viento que se emplea para probar modelos de aeroplanos. Considere un tubo circular de 25,5 cm de diámetro interno y un modelo de torpedo alineado a lo largo del eje del tubo, con un diámetro de 4,80 cm. El torpedo va a ser probado con el agua que circula a razón de 2,76 m/s. Calcular: a) A qué velocidad deberá fluir el agua en la parte no reducida del tubo? b) Hallar la diferencia de presión entre la parte no reducida y la reducida del tubo. Respuesta: 2,66 m/s; 271 Pa 8. Las ventanas de un edificio de oficina tienen 4,26 m por 5,26 m. En un día tempestuoso, el aire sopla a razón de 28,0 m/s al pasar por una ventana en el piso 53. Calcule la fuerza neta sobre la ventana. La densidad del aire es de 1,23 kg/m 3 Respuesta: N

60 60 CAPÍTULO 6. FLUIDOS

61 Capítulo 7 Termodinámica 7.1. Temperatura Definición 20 Temperatura Existe una cantidad escalar, llamada temperaturam, que es una propiedad de todos los sitemas termodinámicos en equilibrio. Dos sistemas están en equilibrio térmico sí y sólo si sus temperaturas son iguales Medición de la Temperatura La temperatura y una de las siete unidades básicas (las otras unidades son longitud, tiempo, masa, intensidad de corriente eléctrica, cantidad de sustancia e intensidad luminosa). Las escalas Celsius y Fahrenheit En casi todos los países del mundo se emplea la escala Celsius. La escala Celsius se basó originalmente en dos puntos de calibración, el punto de cengelación del agua que se definió en cero grado, y el punto de ebullición del agua, que se definió en 100 grados. Estos dos puntos se emplearon para calibrar termómetros, y luego se dedujeron las demás temperaturas por interpolación y extrapolación. La escala Fahrenheit, originalmente también se basó en dos puntos: el punto de congelación de una mezcla de agua y sal, y la temperatura media del cuerpo humano. En esta escala, los puntos de congelamiento y ebullición del agua son 32 o F y 212 o F respectivamente. Escala Kelvin T F = 9 5 T C + 32 (7.1) Para la calibración de esta escala, se escogió el punto triple del agua, que es la temperatura en la que coexisten el gua, el hielo y el vapor, el cuál es muy cercano al punto de congelación del agua. T C = T 273, 15 (7.2) 61

62 62 CAPÍTULO 7. TERMODINÁMICA 7.2. Capacidad Calorífica en los Sólidos Definición 21 Calor El calor es energía que fluye entre un sistema y su entorno en virtud de una diferencia de temperatura entre ellos. Ya que el calor es una forma de energía, sus unidades son las de la energía. La unidad que se suele usar para medir el calor es la caloría, donde: 1 cal = 4, 186J (7.3) La cantidad de calor que se transmite por cada grado de temperatura que se aumenta, se puede calcular como: Q = mc e (T f T i ) (7.4) donde C e es el calor específico una característica propia de cada material o sustancia que compone el cuerpo, m la masa del cuerpo, y T i y T f son las temperaturas iniciales y finales respectivamente. Las unidades que se mide generalmente el calor específico son cal/g o C. Definición 22 Capacidad Calorífica Es el calor específico multiplicado por la masa del cuerpo, es decir: C = C e m (7.5) La capacidad calorífica es característica de un objeto en particular, a diferencia del calor específico que carecteriza a la sustancia. Principio Cero de la Termodinámica En un sistema aislado, la cantidad de calor es igual a cero. Es decir, si un objeto cede calor (negativo), el otro objeto lo absorve (positivo). En otras palabras, Q absorvido = Q cedido ó bien Q = 0 Ejemplo 23 Una muestra de cobre, cuya masa es de 75g se calienta en una estufa de laboratorio a una temperatura de 312 o C. El cobre se deja luego caer en un vaso que contiene agua (masa de 220g) a una temperatura de 12 o C. Cuál es la temperatura final del cobre y del agua luego de que llegan al equilibrio? Solución Partiendo que la energía que sale de un objeto en un sistema aislado es absorvida por otro objeto, entonces tenemos que:

63 7.2. CAPACIDAD CALORÍFICA EN LOS SÓLIDOS 63 Q = 0 Q agua + Q cobre = 0 Despejando T f tenemos: m agua Ce agua ) + m cobre Ce cobre 220g 1cal/g o C (T f 12 o C) + 75g 0, 092cal/g o C (T f 312 o C) = 0 (7.6) (T f T agua i ( Tf Ti cobre ) = 0 T f = 220g 1cal/go C 12 o C + 75g 0, 092cal/g o C 312 o C 220g 1cal/g o C + 75g 0, 092cal/g o C = 21, 12 C (7.7) Calores de Transformación Cuando entra calor a un sólido o líquido, la temperatura de la muestra no se eleva necesariamente. En cambio, la muestra puede cambiar de una fase o estado (sólido, líquido o gaseoso) a otro. Por lo tanto, el hielo se funde, y el agua hierve, absorviendo calor en cada caso sin un cambio de temperatura. En los precesos inversos (el agua se congela y el valor se condensa), la muestra libera calor a una temperatura constante. La cantidad de calor por unidad de masa transferido durante un cambio de fase, se llama calor de transformación, y se calcula como: Q = L m (7.8) donde m es la masa de la muestra en cada fase y L es un valor que depende de la sustancia y de la fase. A continuación se presenta una tabla con algunos valores de L para distintas sustancias: Sustancia Punto de fusión Calor de fusión Punto de ebullición Calor de vaporización (K) (kj/kg) (K) (kj/kg Hidrógeno 14,0 58,6 20,3 452,0 Oxígeno 54,8 13,8 90,2 213,0 Mercurio 234,0 11, ,0 Agua 273,0 333,0 373,0 2256,0 Plomo 601,0 24,7 2013,0 858,0 Plata 1235,0 105,0 2485,0 2336,0 Cobre 1356,0 205,0 2840,0 4730,0 Ejemplo 24 Una persona prepara una cantidad de té helado mezclando 520 g de té caliente (esencialmente agua) con una masa igual de hielo a 0 o C. Cuáles son la temperatura final y la masa de hielo restante si el té caliente está inicialmente a una temperatura de a) 70 o C y b) 90 o C?

64 64 CAPÍTULO 7. TERMODINÁMICA Solución Vamos a suponer que el hielo se derrite completamente y calcularemos la temperatura de equilibrio del sistema, entonces podemos escribir: Q = 0 Despejando T f tenemos: Q agua + Q fusión del hielo + Q aguaderretida = 0 m agua C e (T f T agua ( i ) + m hielo L + m hielo C e Tf Ti hielo ) = 0 0, 52kg 4, 186kJ/kg o C (T f 70 o C) + 0, 52kg 333kJ/kg + +0, 52kg 4, 186kJ/kg o C (T f 0 o C) = 0 (7.9) T f = 0, 52kg 333kJ/kg + 0, 52kg 4, 186kJ/kgo C 70 o C 0, 52kg 4, 186kJ/kg o C + 0, 52kg 4, 186kJ/kg o C = 4, 77o C (7.10) Este resultado no es lógico físicamente hablando. Es decir, un sistema aislado no puede tener una temperatura de equilibrio que fue menor a la menor de las temperaturas, ni mayor a la mayor de las temperaturas de las sustancias que componen el sistema. En este caso particular, la temperatura de equilibrio está por debajo de cero grado. Como conclusión, no se derrite todo el hielo, teniendo que calcular la cantidad de hielo que se derrite, y la temperatura de equilibrio será cero grados. Entonces, ahora podemos escribir: Q = 0 Q agua + Q fusión del hielo = 0 m agua C e (T f T agua i ) + m hielo L = 0 0, 52kg 4, 186kJ/kg o C (0 o C 70 o C) + m 333kJ/kg = 0 (7.11) Despejando m de la ecuación anterior, tenemos: m = 0, 52kg 4, 186kJ/kgo C (0 o C 70 o C) 333kJ/kg m = 0, 4576kg (7.12) Como la masa de hielo es de 520 g, entonces nos queda sin derretir m = 520g 457, 6g = 62, 4g. Ahora analizaremos el caso en el que el té caliente esté inicialmente a 90 o C. Supondremos inicialmente que se derrite todo el hielo, entonces usando la ecuación 7.9 tenemos: T f = 0, 52kg 333kJ/kg + 0, 52kg 4, 186kJ/kgo C 90 o C 0, 52kg 4, 186kJ/kg o C + 0, 52kg 4, 186kJ/kg o C = 5, 22o C (7.13) Si hubiésemos planteado el problema suponiendo que la masa de hielo no se derrite completamente, entonces usando la ecuación 7.12 para una temperatura inicial del té de 90 o C, tenemos:

65 7.3. ECUACIÓN DE ESTADO - LEY DE LOS GASES IDEALES 65 m = 0, 52kg 4, 186kJ/kgo C (0 o C 90 o C) 333kJ/kg m = 0, 588kg (7.14) Si analizamos un poco este resultado, vemos que es contradictorio al supuesto que no se derrite toda la masa de hielo. Además, la masa de hielo que se derrite es mayor que la inicial (520 g), algo ilógico. Como conclusión, el sistema está en equilibrio a los 5, 22 o C y se derrite todo el hielo Ecuación de Estado - Ley de los Gases Ideales La ecuación de estado de un sistema da una relación fundamental entre las cantidades termodinámicas macroscópicas. Esta ecuación viene dada por: pv = nrt (7.15) donde R = 8, 3145 J/mol K y es llamada la contante universal de los gases. Esta constante es idéntica para todos los gases. Cuando la cantidad n es constante, podemos escribir a la ecuación 7.15 como: pv T = constante (7.16) Ejemplo 25 Un cilindro aislado equipado con un émbolo, contiene oxígeno a una temperatura de 20 o C y una presión de 15 atm en un volumen de 22 litros. Al descender el émbolo, disminuye el volumen del gas a 16 litros y simultáneamente la temperatura se eleva a 25 o C. Suponiendo que el oxígeno se comporta como un gas ideal bajo estas condiciones, cuál es la presión final del gas? Solución Partiendo de la ecuación 7.16, dado que la cantidad de gas permanece sin cambio, tenemos que: p i V i T i = p f V f T f p f = p i V i T f T i V f p f = 15atm 22l 20o C 25 o C 16l = 21atm (7.17)

66 66 CAPÍTULO 7. TERMODINÁMICA 7.4. Trabajo efectuado sobre un gas ideal Definición 23 Gas Ideal Un gas ideal es un gas teórico compuesto de un conjunto de partículas puntuales con desplazamiento aleatorio que no interactúan entre sí. El concepto de gas ideal es útil porque el mismo se comporta según la ley de los gases ideales. Un mol de un gas ideal ocupa 22,4 litros a 0 o C de temperatura y 1 atmósfera de presión. Consideremos, por ejemplo, un gas dentro de un cilindro. Las moléculas del gas chocan contra las paredes cambiando la dirección de su velocidad. El efecto del gran número de colisiones que tienen lugar en la unidad de tiempo, se puede representar por una fuerza F que actúa sobre toda la superficie de la pared. Si una de las paredes es un émbolo móvil de área A y éste se desplaza una cantidad x, el intercambio de energía del sistema con el exterior puede expresarse como el trabajo realizado por la fuerza F a lo largo del desplazamiento x (ver Capítulo 3). Por lo tanto, se puede escribir el trabajo como: W = F x (7.18) teniendo en cuenta que la presión es fuerza por unidad de área, y que el volumen es área por distancia (en nuestro caso x), entonces se puede reescribir el trabajo como: W = F x = pdv (7.19) El signo negativo de la fuerza entra porque la fuerza está en dirección opuesta al desplazamiento. Trabajo efectuado a volumen constante El trabajo efectuado es cero en cualquier proceso que el volumen permanesca constante. Trabajo efectuado a presión constante W = 0 (7.20) Cuando la presión es constante se puede demostrar que el trabajo realizado es el siguiente: Trabajo efectuado a temperatura constante W = p (V f V i ) (7.21) En el caso de que la temperatura sea constante, el trabajo realizado será: W = nrt ln V f V i (7.22)

67 7.5. CAPACIDAD CALORÍFICA DE UN GAS IDEAL Capacidad Calorífica de un gas ideal Introduzcamos cierta energía como calor Q en un gas que está confinado dentro de un cilindro equipado con un émbolo. El gas puede entonces (1) almacenar la energía en forma de energía cinética al azar en sus moléclas, o bien (2) usar la energía para hacer un trabajo sobre el émbolo. Capacidad Calorífica a volumen constante Consideremos primero el caso en el que el émbolo está fijo, de modo que el volumen del gas permanece constante y no se efectúa ningún trabajo externo. En este caso, la energía térmica Q se transforma en energía cinética (o también llamada energía interna), es decir: Q = E int (7.23) Llamemos C v a la capacidad calorífica a volumen constante, y llamemos n a la cantidad de moles que contiene el gas, entonces: C v = Q n T = E int n T (7.24) El valor que toma la capacidad calorífica dependerá de la cantidad de átomos que forman la molécula, por lo que se puede demostrar: Tipo de átomo Monoatómico Diatómico Poliatómico Valor de C v 3/2 R 5/2 R 3 R Capacidad Calorífica a presión constante Cuando mantenemos constante la presión, existen dos tipo de contribuciones al cambio de energía interna, (1) el calor transferido al gas, (2) el trabajo W realizado sobre el gas. Es decir: Q = E int W (7.25) Acá estamos considerando que el calor transferido desde el entorno es positivo y tiende a incrementar la energía interna. Si el volumen disminuye (manteniendo la presión constante), el trabajo efectuado sobre el gas por el entorno es positivo y tiende a incrementar la energía interna. Si el volumen aumenta, el gas efectúa un trabajo sobre el entorno, lo cuál tiende a disminuir la energía interna del gas. El calor trasnferido en un proceso a presión constante puede escribirse como: Q = nc p T (7.26) donde C p es la capacidad calorífica a presión constante. Puede demostrarse la siguiente igualdad: C p = C v + R (7.27)

68 68 CAPÍTULO 7. TERMODINÁMICA Tipo de átomo Monoatómico Diatómico Poliatómico Valor de C p 5/2 R 7/2 R 4 R Ejemplo 26 Una familia entra en una cabaña de vacaciones de invierno que no ha sido calentada en un tiempo tan largo que la temperatura del interior es la misma que la temperatura del exterior (0 o C). La cabaña cuenta con una sala de 6 m por 4 m en la superficie y una altura de 3 m. La sala contiene un calefactor eléctrico de 2 kw. Suponiendo que la sala sea perfectamente hermética y que todo el calor del calefactor es absorbido por el aire, no escapando nada a través de las paredes o absorvido por el mobiliario, cuánto tiempo después de que haya sido encendido el calefactor se alcanzará la temperatura de 21 o C? Suponer que el aire se comporta como un gas diatómico ideal. Solución Primero calculamos el volumen de la sala: V = 6m 4m 3m = 72m 3 = 72000l (7.28) Sabiendo que un mol de un gas ideal ocupa 22,4 litros a 0 o C y 1 atm, entonces, el número de moles es: n = 72000l 22, 4l = 3214mol (7.29) Dado que estamos considerando que la sala es hermética, entonces el volumen es constante, por lo que la absorción de calor es a volumen constante (recordando que el valor de C v = 5/2 R = 20, 8J/mol K), entonces: Q = nc v T = 3214mol 20, 8J/mol K21K Q = 1, J (7.30) Como el calefactor entrega una potencia de 2 kw, entonces: P = Q t (7.31) Despejando t, t = Q P = 1, J 2000W = 700s (7.32) 7.6. Ejercicios 1. En cierta casa con energía solar, se almacena energía del sol en barriles de agua. En un lapso de cinco días nublados de invierno, se necesitaron 5,22 GJ para mantener el interior

69 7.6. EJERCICIOS 69 de la casa a 22 o C. Suponiendo que el agua de los barriles estuiera a 50 o C, qué volumen de agua se necesitó? Respuesta: 44,5 m 3 2. Si la masa del cuerpo es de 300 g, y el calor específico del Cobre es de cal/g C. Considerando que el cuerpo en principio se encontraba a 55 C y luego se estabilizó a 30 C Cuál será la cantidad de calor cedida por el cuerpo? Respuesta: -690 cal 3. Se colocan 250g de un material a 165 o C en 500g de agua a 20 o C que se encuentra en un recipiente. La temperatura final a la que llega todo el sistema es de 40 o C. Cuál es el calor específico del material? Respuesta: 0,32 cal/g o C - Carbón Mineral 4. Suponga que un cuerpo se encuentra a 120 o F. Calcular la temperatura en grados Celsius y grados Kelvin. 5. En un recipiente aislado, se agregan 250 g de hielo a 0 o C a 600 g de agua a 18 o C. Calcular la temperatura final del sistema y la cantidad de hielo que queda sin derretirse. Respuesta: Quedan 135 g y el sistema está a 0 o C

70 70 CAPÍTULO 7. TERMODINÁMICA

71 Capítulo 8 Electricidad 8.1. Introducción Los fenómenos electrostáticos, como escuchar chasquidos al sacarnos una prenda de vestir, peinar varias veces nuestro cabello seco y luego acercarlo a pequeños trozos de papel, por ejemplo, se producen por la interacción de la carga eléctrica de un cuerpo con la de otro. La palabra electricidad proviene del término élektron, palabra con que los griegos llamaban al ámbar. Cuando un átomo, o un cuerpo, tiene la misma cantidad de cargas positivas (protones) y negativas (electrones) se dice que está eléctricamente neutro. Si se produce un desequilibrio entre la cantidad de electrones y protones, se dice que está electrizado. El cuerpo que pierde electrones queda con carga positiva y el que recibe electrones queda con carga negativa. Se llama carga eléctrica (q) al exceso o déficit de electrones que posee un cuerpo respecto al estado neutro. La carga neta corresponde a la suma algebraica de todas las cargas que posee un cuerpo. La carga eléctrica permite cuantificar el estado de electrización de los cuerpos siendo su unidad mínima la carga del electrón. Esto significa que la carga eléctrica q de un cuerpo está cuantizada y se puede expresar como nq, en que n es un número entero (incluyendo el cero); sin embargo, como la carga del electrón es muy pequeña, se utiliza un múltiplo de ella: el coulomb (C), que es la carga obtenida al reunir 6, electrones. También se usan con mayor frecuencia los submúltiplos del coulomb: el microcoulomb (µc) que equivale a 10 6 C. Definición 24 (Carga eléctrica) La carga eléctrica es una propiedad física intrínseca de algunas partículas subatómicas que se manifiesta mediante fuerzas de atracción y repulsión entre ellas. La materia cargada eléctricamente es influida por los campos electromagnéticos, siendo a su vez, generadora de ellos. La denominada interacción electromagnética entre carga y campo eléctrico es una de las cuatro interacciones fundamentales de la física. Las cargas del mismo signo se repelen y las de signo contrario se atraen Formas para electrizar un cuerpo Al observar lo que sucede cuando frotamos con nuestra ropa una regla plástica y la acercamos a las hojas de un cuaderno o al?hilo? de agua que cae por una llave de agua, o cuando notamos una chispa al tocar a una persona luego de caminar por una alfombra en un día de verano, entre 71

72 72 CAPÍTULO 8. ELECTRICIDAD otros ejemplos, podemos inferir que la materia se puede electrizar. Un cuerpo eléctricamente neutro se electriza cuando gana o pierde electrones. Existen tres formas básicas de modificar la carga neta de un cuerpo: electrización por frotamiento, contacto e inducción. En todos estos mecanismos siempre está presente el principio de conservación de la carga, que nos dice que la carga eléctrica no se crea ni se destruye, solamente se transfiere de un cuerpo a otro. 1. Frotamiento. En la electrización por fricción, el cuerpo menos conductor saca electrones de las capas exteriores de los átomos del otro cuerpo quedando cargado negativamente y el que pierde electrones queda cargado positivamente. 2. Contacto. En la electrización por contacto, el que tiene exceso de electrones (carga -) traspasa carga negativa al otro, o el que tiene carencia de ellos (carga +) atrae electrones del otro cuerpo. Ambos quedan con igual tipo de carga. 3. Inducción. Al acercar un cuerpo cargado al conductor neutro, las cargas eléctricas se mueven de tal manera que las de signo igual a las del cuerpo cargado se alejan en el conductor y las de signo contrario se aproximan al cuerpo cargado, quedando el conductor polarizado. Si se hace contacto con tierra en uno de los extremos polarizados, el cuerpo adquiere carga del signo opuesto Fuerza Eléctrica Dos cargas eléctricas del mismo signo se repelen, mientras que si son de signos contrarios se atraen. Esta fuerza eléctrica de atracción o repulsión, depende de las cargas eléctricas y de la distancia entre ellas Ley de Coulomb Las primeras experiencias que permitieron cuantificar la fuerza eléctrica entre dos cargas se deben al francés Charles Coulomb, en el año A partir de sus resultados, Coulomb enunció una ley que describe esta fuerza, de atracción o de repulsión, la que es conocida como ley de Coulomb, y que es un principio fundamental de la electrostática. Los experimentos de Coulomb y de sus contemporáneos demostraron que la fuerza eléctrica ejercida por un cuerpo cargado sobre otro depende directamente del producto de sus magnitudes e inversamente del cuadrado de su separación. En otras palabras, F = K q1q 2 r 2 (8.1) donde K = 8, Nm 2 /C 2. Nosotros nos detendremos en los casos unidimensionales. Debemos tener en cuenta que el signo de las cargas nos indicará si la fuerza es de atracción (cargas con distinto signo) o de repulsión (cargas con igual signo). El sentido y dirección de la fuerza neta se infiere a partir del diagrama de fuerzas

73 8.3. FUERZA ELÉCTRICA 73 Ejemplo 27 Suponga que hay tres cargas q 1 = 1, 2µC, q 2 = 3, 7µC y q 3 = 2, 3µC. Si q 2 se encuentra a la derecha de q 1 a una distancia de 15cm y un ángulo de cero grado, y q 3 a la izquierda de q 1 a 10cm de distancia y un ángulo de 32 grados respecto a la vertical. Calcular la fuerza eléctrica actuante sobre q 1. Figura 8.1: Esquema de la distribución de las cargas Solución Comencemos calculando la fuerza que ejerce q 2 sobre q 1, es decir: F 12 = Kq 1q 2 r12 2 = 8, Nm 2 /C 2 1, C 3, C (0, 15m) 2 F 12 = 1, 77N (8.2) Estas dos cargas tienen signos opuestos, por lo que la fuerza es atractiva. Ahora, calculando la fuerza que ejerce q 3 sobre q 1, tenemos: F 13 = Kq 1q 3 r 2 = 8, Nm 2 /C 2 1, C 2, C (0, 10m) 2 F 13 = 2, 48N (8.3) Teniendo en cuenta que las cargas tienen los mismos signos, entonces la fuerza es repulsiva. Por otra parte, descomponiendo las fuerzas sobre los ejes cartesianos, tenemos: En el eje y se tiene: F 1x = F 12x + F 13x = F 12 + F 13 sen θ = 1, 77N + 2, 48N sen 32 o = 3, 08N (8.4)

74 74 CAPÍTULO 8. ELECTRICIDAD F 1y = F 12y + F 13y = 0 + F 13 cos θ = 0 2, 48N cos 32 o = 2, 10N (8.5) Luego, sumando vectorialmente los resultados de ambas componentes, utilizando el teorema de Pitágoras: F 1 = F 2 1x + F 2 1y = (3, 08N) 2 + ( 2, 10N) 2 = 3, 73N (8.6) Por otro lado, se puede calcular, usando trigonometría, el ángulo de la fuerza F 1 : tan α = F 1x 3, 08N = F 1y 2, 10N donde sacando el arcotangente de 1, 466 se obtiene un ángulo de 56 o. = 1, 466 (8.7) 8.4. Campo Eléctrico Las cargas eléctricas generan en torno a ellas, un campo eléctrico de carácter vectorial que disminuye con la distancia. Este campo produce una fuerza eléctrica sobre una carga que se ubique en algún punto de él. Fue Michael Faraday ( ) quien introdujo la noción de campo en la Física para poder explicar la interacción a distancia (interactuar sin tocarse) que ocurre entre cuerpos, como sucede por ejemplo al aproximar dos imanes, y que Newton no pudo aclarar. En Física, el concepto de campo señala un sector del espacio en el que a cada punto de él, se le puede asociar un vector o una cantidad escalar. Por ejemplo, la Tierra genera un campo gravitatorio en el espacio que la circunda ejerciendo una fuerza (el peso, que es un vector) sobre los cuerpos situados en sus cercanías. Del mismo modo, una partícula cargada Q, llamada carga generadora, produce un campo eléctrico a su alrededor. Este campo se puede detectar si colocamos una pequeña carga de prueba +q 0 puesta en el punto del espacio donde se desea medir. En ese punto, la intensidad del campo eléctrico E es igual a la fuerza eléctrica que experimenta la carga de prueba y tiene la misma dirección que la fuerza, si q 0 es positiva; por tanto: E = K Q r 2 (8.8) El campo generado por una carga puntual Q disminuye con el cuadrado de la distancia desde la carga. Cualquier campo eléctrico que varíe con la distancia se denomina campo eléctrico variable y su intensidad solo depende de la carga generadora y de la distancia entre la carga y el punto del espacio donde se calcula, independiente de que haya o no una carga de prueba en ese punto.

75 8.4. CAMPO ELÉCTRICO 75 Por otra parte, combinando la Ley de Coulomb (8.1) y la ecuación (8.8), se puede escribir que el campo eléctrico es igual a: E = F q (8.9) La dirección del campo eléctrico, e incluso su magnitud, puede representarse mediante las denominadas líneas de fuerza o de campo. Las líneas de campo se representan según las siguientes reglas: a. Siempre se dibujan desde las cargas positivas (o desde el infinito) hacia las negativas (o hacia el infinito). b. La dirección del campo eléctrico en un punto nos la indica la tangente de la línea de campo en ese punto. c. El número de líneas es proporcional a la carga. d. La densidad de líneas en un punto nos indica la magnitud del campo eléctrico en dicho punto. e. Las líneas de campo nunca se cruzan. f. A grandes distancias de un sistema de cargas, las líneas son radiales con el mismo espaciado, como si procedieran de una sola carga puntual igual a la carga neta. g. Debido a que el campo eléctrico es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la carga, a medida que nos alejamos de la carga, el campo eléctrico se debilita y las líneas se separan (el espaciado de las líneas de campo está relacionado con la intensidad del campo eléctrico). Figura 8.2: Lineas del campo eléctrico de una carga puntual

76 76 CAPÍTULO 8. ELECTRICIDAD Figura 8.3: Lineas del campo eléctrico de dos cargas puntuales 8.5. Energía potencial eléctrica Para levantar un objeto desde el suelo hasta cierta altura es necesario efectuar un trabajo sobre él para vencer la fuerza de gravedad debida al campo gravitacional terrestre. El objeto en esa posición, adquiere energía potencial gravitatoria. Si levantamos un cuerpo del doble de masa, la energía potencial será también el doble, si la masa es el triple, la energía requerida será también el triple, y así sucesivamente. Lo mismo ocurre en el caso de las cargas eléctricas. Si se quiere mover una carga de prueba q desde el infinito (región alejada donde el potencial eléctrico de la carga generadora es prácticamente nulo) hasta cierto punto dentro de un campo eléctrico generado por una carga Q, es necesario ejercer una fuerza por un agente externo, y por tanto realizar un trabajo contra las fuerzas eléctricas, por lo que la carga de prueba adquiere una cierta energía potencial eléctrica (U). El trabajo W realizado para mover la carga de prueba corresponde al cambio de la energía potencial eléctrica, experimentado por dicha carga. De hecho, si soltamos la carga q, acelerará alejándose de Q y transformando la energía potencial ganada en cinética. Si definimos que en el infinito U = 0, tenemos que la energía potencial eléctrica que adquiere una carga puntual q a una distancia r de una carga generadora Q es: U = K Qq r (8.10) Como toda forma de energía, la unidad de la energía potencial eléctrica en el SI es el joule (J) y será positiva cuando la fuerza sea repulsiva Potencial Eléctrico Si una carga eléctrica q situada en un punto de un campo eléctrico se duplica, triplica o aumenta n veces, la energía potencial eléctrica aumentará en la misma cantidad, respectivamente;

77 8.5. ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA 77 sin embargo, es más frecuente considerar, en dicho punto, el potencial eléctrico (V ), que corresponde a la energía potencial eléctrica por unidad de carga ya que este valor será el mismo, independiente de la cantidad de cargas, o incluso si no hay cargas (es una propiedad del espacio). Por lo tanto: V = U q = K Q r (8.11) El potencial eléctrico es una cantidad escalar, cuya unidad de medida es el volt, en honor del físico italiano Alessandro Volta (creador de la pila eléctrica) que corresponde a J/C. Por ejemplo, un potencial de 220V significa que en ese punto una carga de 1C adquiere una energía de 220J. Ejemplo 28 Una placa conductora cargada positivamente crea en sus proximidades un campo eléctrico uniforme E = 1000N/C, tal y como se muestra en la figura. Desde un punto de la placa se lanza un electrón con velocidad 10 7 m/s formando un ángulo de 60 o con dicha placa, de forma que el electrón describirá una trayectoria como la indicada en la figura. (Datos: e = 1, C, m e = 9, kg) 1. En el punto A, el más alejado de la placa, con qué velocidad se mueve el electrón? Respecto al punto inicial, cuánto ha variado su energía potencial electrostática? Calcula la distancia d entre el punto A y la placa. 2. Determina la velocidad (módulo y orientación) del electrón cuando choca con la placa (punto B). Solución Sobre el electrón está actuando una fuerza, vertical y hacia abajo, de módulo F = ee, siendo e el valor de la carga del electrón. Usando la segunda ley de Newton, la aceleración, también vertical y hacia abajo, del electrón vale: a y = ee m e (8.12) Si se toma como origen de coordenadas la posición inicial del electrón; entonces, la posición del electrón, en cualquier instante, está dada por x = v 0x t = v 0 cos α t (8.13) y = v 0y t 1 2 a yt 2 = v 0 sin α t + 1 ee t 2 (8.14) 2 m e

78 78 CAPÍTULO 8. ELECTRICIDAD Esto es debido a que en el eje x se desarrolla un movimiento del tipo MRU y en el eje y MRUV, donde sólo actúa la aceleración debida al campo eléctrico E. Las componentes de la velocidad instantánea vienen dadas por: v x = v 0x = v 0 cos α (8.15) v y = v 0y a y t = v 0 sin α + ee t m e (8.16) En el punto A, la componente y de la velocidad (v y ) es nula, por lo tanto v x = v 0x = v 0 cos α = m/s (8.17) Para calcular la energía potencial electrostática tenemos que: donde: U = K Qq r = V q (8.18) V = Er (8.19) En este caso r = d, por lo que habría que calcular primero la distancia d. Para ello se debe usar la siguiente condición v y = 0, es decir: v y = v 0 sin α + ee m e t = 0 (8.20) De esta ecuación despejamos el tiempo t y lo reemplazamos en la ecuación y, es decir: t = v 0 sin α m e = 107 m/s sin 60 o 9, kg ee 1, = 4, s C 1000N/C y = v 0 sin α t + 1 ee t 2 = 21, 3m (8.21) 2 m e Luego, volviendo a la ecuación de la energía potencial electrostática: U = E d e = 3, J (8.22) Para calcular la velocidad del electrón cuando llega a la placa, debemos primero calcular el tiempo que tarda el electrón en volver a la placa; por lo que se debe cumplir que y = 0, es decir: y = v 0 sin α t + 1 ee t 2 = 0 (8.23) 2 m e Despejando de esta ecuación t, se obtiene:

79 8.5. ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA 79 Las componentes de la velocidad en ese instante son: t = 0 (8.24) t = 2m ev 0 sin α = 9, s (8.25) ee v x = v 0 cos α = m/s (8.26) v y = v 0 sin α + ee t = 8, m/s m e (8.27) Luego, con las componentes de cada eje se calcula el valor del modulo de la velocidad, v = v 2 x + v 2 y = 10 7 m/s (8.28) Este valor coincide con el de la velocidad inicial, esto es debido a que la energía mecánica se conserva. Por último, el ángulo de la velocidad viene dado por: β = arctan v y v x = 60 o (8.29) Ejemplo 29 Un electrón se deja en reposo en el origen de coordenadas donde actúa un campo eléctrico uniforme de intensidad: E = 400 N/C. Determina la diferencia de potencial entre el origen de coordenadas y el punto A(5,0) cm. Calcula la velocidad del electrón cuando pasa por el citado punto A. Solución Al realizar un desplazamiento desde el origen de coordenadas hasta el punto A, el vector campo eléctrico y el desplazamiento forman un ángulo de 180 o. Aplicando la relación entre el potencial y el campo, se tiene: E cos α = V r V = 400N/C cos 180 o 0, 05m = 20V (8.30)

80 80 CAPÍTULO 8. ELECTRICIDAD El punto A está a mayor potencial que el punto O, ya que el campo eléctrico tiene el sentido del potencial decreciente. Si al origen de coordenadas se le asigna un potencial eléctrico igual a cero voltios, el punto A está a un potencial de 20V. Para calcular la velocidad del electrón, se hace uso de la ley de la conservación de la energía mecánica, U O + E co = U A + E ca = q e V A m ev 2 A v A = 2qe V A m e = 2, m/s (8.31) Ejemplo 30 Dos pequeñas bolas, de 10 g de masa cada una de ellas, están suspendidas del mismo punto mediante dos hilos de 1 m de longitud cada uno. Si al cargar las bolitas con la misma carga eléctrica, los hilos se separan formando un ángulo de 10 o, determina el valor de la carga eléctrica. Solución Sobre cada bola actúan su peso, la tensión del hilo y la fuerza eléctrica. Aplicando la condición de equilibrio, se tiene que: Fx = 0 T x F e = 0 T sin ϕ = Kq2 r 2 (8.32) Fy = 0 T y P = 0 T cos ϕ = mg (8.33) Dividiendo ambas ecuaciones:

81 8.6. EJERCICIOS 81 tan ϕ = Kq2 mgr 2 q = mgr2 tan ϕ K (8.34) Si la longitud del hilo es igual a d y como cada bola se separa de la vertical un ángulo ϕ = 5 o, la distancia entre ellas es: r = 2d sin5 o. Sustituyendo en la ecuación anterior: mg(2d sin5o ) q = 2 tan ϕ = 1, C (8.35) K 8.6. Ejercicios 1. Dos cargas puntuales de 5µC y 2µC se encuentran separadas a una distancia de 15 cm. Haz un diagrama vectorial de fuerzas y calcula el módulo de la fuerza indicando si la fuerza es atractiva o repulsiva. 2. Dos cargas puntuales se separan a una distancia tres veces mayor que la que tenían inicialmente. Cómo cambia el módulo de la fuerza eléctrica entre ellas? Explica. 3. Determina el punto entre dos cargas puntuales de +2mC y +5mC en que el campo eléctrico es nulo. Ambas cargas se encuentran a 1 m de distancia. 4. Cuál debe ser la distancia entre dos cargas puntuales de q 1 = 26, 3µC y otra de q 2 = 47, 1µC para que la fuerza eléctrica sea de 5, 66N? 5. Una carga puntual de 3, C se encuentra a una distancia de 12, 3cm de una segunda carga puntual de 1, C. Calcular la magnitud de la fuerza entre las cargas. 6. Determinar la intensidad de la fuerza eléctrica que actúa sobre q 1, suponiendo que q 1 = q 2 = 21, 3µC y d = 1, 52m. Ahora suponga que se introduce una tercera carga q 3 = 21, 3µC y se coloca a una distancia de 1, 52m de q 1 y q 2 formando un triángulo equilátero. Calcular la nueva fuerza que se ejerce sobre q Suponga que hay cuatro cargas que se distribuyen en los vértices de un cuadrado de 15, 2cm de lado. Los vértices del lado izquierdo tienen una carga +q y +2q, y los vértices del lado derecho q y 2q, empezando por arriba en ambos casos. Suponiendo que q = 1, 13µC, calcular la fuerza eléctrica resultante que opera sobre el ángulo inferior izquierdo. 8. La masa de un protón es 1, kg y su carga eléctrica 1, C. Compara la fuerza de repulsión eléctrica entre dos protones situados en el vacío con la fuerza de atracción gravitatoria que actúa entre ellos. 9. Un electrón que lleva una velocidad de m/s accede perpendicularmente a un campo eléctrico uniforme de intensidad E = 3000 N/C. Deduce la ecuación de la trayectoria que describe el electrón. Qué distancia recorre verticalmente el electrón después de trasladarse horizontalmente 12 cm?

82 82 CAPÍTULO 8. ELECTRICIDAD 10. Una partícula cargada negativamente, con masa m = kg y carga q = C, describe órbitas circulares alrededor de otra partícula mucho mayor, de masa M = kg y carga positiva Q = C, a la que supondremos inmóvil. La partícula pequeña emplea un tiempo t = 7, s en dar una vuelta completa. No tendremos en cuenta la atracción gravitatoria entre ambas partículas. a) Calcula el radio de la órbita que describe la partícula pequeña. b) Al no haber tenido en cuenta la fuerza gravitatoria, se puede pensar que estamos cometiendo cierto error. Piensas que dicho error es despreciable? Razona numéricamente tu respuesta.

83 Capítulo 9 Magnetismo 9.1. Introducción El magnetismo es un fenómeno físico por el que los objetos ejercen fuerzas de atracción o repulsión sobre otros materiales. Hay materiales que presentan propiedades magnéticas detectables fácilmente, como el níquel, el hierro o el cobalto, que pueden llegar a convertirse en un imán. Cada electrón es, por su naturaleza, un pequeño imán. Ordinariamente, innumerables electrones de un material están orientados aleatoriamente en diferentes direcciones, pero en un imán casi todos los electrones tienden a orientarse en la misma dirección, creando una fuerza magnética grande o pequeña dependiendo del número de electrones que estén orientados. Además del campo magnético intrínseco del electrón, algunas veces hay que contar también con el campo magnético debido al movimiento orbital del electrón alrededor del núcleo. Este efecto es análogo al campo generado por una corriente eléctrica que circula por una bobina. De nuevo, en general el movimiento de los electrones no da lugar a un campo magnético en el material, pero en ciertas condiciones los movimientos pueden alinearse y producir un campo magnético total medible Fuerza Magnética Toda carga que se mueve en un campo magnético de inducción sufre la acción de una fuerza cuyo módulo viene dado por la expresión: o bien: F = q v B (9.1) F = q v B sin φ (9.2) donde q es la carga que se mueve en el campo magnético de inducción (B) con una velocidad que forma un ángulo φ con el vector inducción magnética. La dirección viene dada por la regla de la mano derecha (9.2). Sobre ella actúa una fuerza. 83

84 84 CAPÍTULO 9. MAGNETISMO Figura 9.1: Regla de la mano derecha Como se puede observar esa fuerza existe si la partícula en movimiento: Está en el seno de un campo magnético (vector inducción magnética) B Tiene carga q 0, sea positiva o negativa. Está en movimiento y su velocidad no tiene la misma dirección que el vector inducción magnética. Por otra parte la fuerza que se ejerce sobre esa carga en movimiento: Es proporcional a la carga. Es perpendicular a la velocidad y al vector inducción magnética. Su módulo depende además del ángulo que forman el vector inducción magnética y el vector velocidad Ley de Lorentz Según se ve en el tema de electricidad, la fuerza eléctrica sobre una carga puntual en reposo viene dada por: F = q E (9.3) Sin embargo, si dicha carga se encuentra en movimiento, la experiencia muestra que se ve sometida a una fuerza adicional. Esta fuerza es la que llamamos fuerza magnética. Por lo tanto, la fuerza total sobre una carga puntual en movimiento es entonces: F = q ( E + v B ) (9.4) Esta expresión, que es válida en general, tanto para situaciones estáticas como dinámicas, se denomina Fuerza de Lorentz.

85 9.3. CAMPO MAGNÉTICO Campo Magnético Se trata de un campo que ejerce fuerzas (denominadas magnéticas) sobre los materiales. Al igual que el campo eléctrico también es un campo vectorial, pero que no produce ningún efecto sobre cargas en reposo (como sí lo hace el campo eléctrico en dónde las acelera a través de la fuerza eléctrica). Sin embargo el campo magnético tiene influencia sobre cargas eléctricas en movimiento. Si una carga en movimiento atraviesa un campo magnético, la misma sufre la acción de una fuerza (denominada fuerza magnética). Esta fuerza no modifica el módulo de la velocidad pero sí la trayectoria. Sobre un conductor por el cual circula electricidad y que se encuentra en un campo también aparece una fuerza magnética. El campo magnético está presente en los imanes; pero por otro lado, una corriente eléctrica también genera un campo magnético. El campo magnético se denomina con la letra B y se mide en Tesla ((N s)/(c m). La fuerza magnética y el campo magnético son consecuencia de la existencia de los polos magnéticos (polos Norte y Sur). Al igual que en el campo eléctrico, existen lo que se llaman las líneas de campo magnético, que permiten estimar en forma aproximada el campo magnético existente en un punto dado, tomando en cuenta las siguientes características: Las líneas de campo magnéticos son siempre lazos cerrados que van de norte a sur por fuera del imán y de sur a norte por dentro del imán Las líneas magnéticos nunca se entrecruzan. Las líneas magnéticas de imanes diferentes se atraen y se repelen entre sí: las líneas del mismo sentido se atraen y las de sentido opuesto se repelen Figura 9.2: Lineas del campo magnético en un imán

86 86 CAPÍTULO 9. MAGNETISMO Propiedades de los polos magnéticos. Algunas propiedades son semejantes a las de las cargas eléctricas. Así: Polos de distinto signo se atraen entre sí, y polos del mismo signo se repelen. La fuerza con que los polos interaccionan es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Sin embargo, existe una diferencia fundamental y es que, mientras que una carga eléctrica positiva o negativa puede ser aislada, no pueden aislarse monopolos magnéticos. Al dividir un imán por la mitad, cada una de las dos mitades se convierte en un nuevo imán, con sus polos norte y sur correspondientes El campo magnético terrestre La Tierra posee un poderoso campo magnético, como si el planeta tuviera un enorme imán en su interior cuyo polo sur estuviera cerca del polo norte geográfico y viceversa. Aunque los polos magnéticos terrestres reciben el nombre de polo norte magnético (próximo al polo norte geográfico) y polo sur magnético (próximo al polo sur geográfico), su magnetismo real es el opuesto al que indican sus nombres. Las posiciones de los polos magnéticos no son constantes y muestran notables cambios de año en año. Cada 960 años, las variaciones en el campo magnético de la Tierra incluyen el cambio en la dirección del campo provocado por el desplazamiento de los polos. El campo magnético de la Tierra tiene tendencia a trasladarse hacia el Oeste a razón de 19 a 24 km por año. Figura 9.3: Lineas del campo magnético terrestre Flujo Magnético El recorrido de las líneas de fuerza recibe el nombre de circuito magnético, y el número de líneas de fuerza existentes en un circuito magnético se le conoce como flujo magnético. Estas líneas nos dan una idea de:

87 9.4. DIFERENCIAS ENTRE EL CAMPO ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO 87 Dirección que tendrá el campo magnético. Las líneas de campo van desde el polo sur al polo norte en el interior del imán y desde el polo norte hasta el polo sur por el exterior. La intensidad del campo magnético, es inversamente proporcional al espacio entre las líneas (a menos espacio más intensidad). En un campo magnético uniforme, la densidad de flujo de campo magnético que atraviesa una superficie plana y perpendicular a las líneas de fuerza valdrá: B = Φ S (9.5) donde la letra griega Φ es el flujo magnético y su unidad es el Weber (W b = T/m 2 ). En el caso de que la superficie atravesada por el flujo magnético no sea perpendicular a la dirección de este tendremos que: Φ = B S cos α (9.6) donde α es el ángulo que forma la superficie que atraviesa el flujo y el campo magnético Diferencias entre el campo eléctrico y magnético Podemos mencionar algunas diferencias entre los campos magnéticos y eléctricos y resumirlas en: La fuerza eléctrica siempre está en la dirección del campo eléctrico, mientras que la fuerza magnética es perpendicular al campo magnético. La fuerza eléctrica actúa sobre una partícula cargada independientemente de la velocidad de la partícula, mientras que la fuerza magnética actúa solo cuando la partícula cargada se encuentra en movimiento. La fuerza eléctrica realiza trabajo al desplazar una partícula cargada, mientras que la fuerza magnética asociada a un campo magnético estacionario no realiza trabajo cuando una partícula se desplaza. Cuando una carga se mueve con una velocidad v, el campo magnético aplicado solo puede alterar la dirección del vector velocidad, pero no puede cambiar la rapidez de la partícula. Las lineas del campo magnético son cerradas, mientras que lineas del campo eléctrico son abiertas Partículas que inciden perpendicularmente al campo magnético Sobre la partícula aparece una fuerza de valor constante y que es perpendicular a la velocidad y al campo magnético. Al ser perpendicular a la velocidad, se constituye una fuerza centrípeta que originará una variación en la dirección de la velocidad pero no de su módulo. Por lo tanto,

88 88 CAPÍTULO 9. MAGNETISMO la partícula describirá una movimiento circular uniforme. Las cargas positivas giran en un sentido y las negativas en el sentido contrario. El radio de la trayectoria circular que experimentan surge de igualar la segunda Ley de Newton y la fuerza magnética, es decir: F = m a F = q B v sin φ Sabiendo que φ = 90 o, y que la aceleración es igual a la aceleración centrípeta del movimiento circular uniforme, entonces:: m v2 R = q B v R = m v q B (9.7) Ejemplo 31 Un electrón, de energía cinética 25kev (1eV = 1, J), se mueve en una órbita circular en el interior de un campo magnético, de 0, 2T. Calcular: a. La velocidad del electrón b. El radio de la órbita c. El periodo del movimiento Datos: m e = 9, kg, e = 1, C Solución Teniendo en cuenta que la energía cinética es la única energía presente, y recordando que se define como: Entonces, despejando la velocidad, tenemos: E c = 1 2 mv2 v = v = 2Ec m , J 9, kg v = 9, m/s (9.8) Para calcular el radio de la órbita, tenemos que igualar la segunda Ley de Newton y la fuerza magnética, por lo que tenemos: F = m a F = q B v sin φ

89 9.6. EJERCICIOS 89 Teniendo en cuenta que φ = 90 o, y que la aceleración es igual a la aceleración centrípeta (v 2 /R) del movimiento circular uniforme, entonces se puede escribir: m v2 R = q B v (9.9) Entonces, despejando R, tenemos: R = m v q B R = 9, kg 9, m/s 1, C 0, 2T R = 2, m (9.10) Para calcular el período partimos de la ecuación (9.9), y teniendo en cuenta que la velocidad en el movimiento circular puede ser escrita como: v = 2πR T (9.11) y reemplazando en la ecuación (9.9) para luego despejar T, tenemos: T = 2πm qb 2π9, kg T = 1, C 0, 2T T = 1, s (9.12) 9.6. Ejercicios 1. Una partícula de masa m, carga positiva q y dotada de velocidad horizontal, penetra en una v 0 región del espacio donde hay un campo eléctrico y E un campo magnético B. Ambos campos son mutuamente perpendiculares y a su vez perpendiculares a la velocidad de la partícula. El campo magnético es perpendicular al papel, dirigido hacia adentro y representado en la figura por?x?, mientras que el campo eléctrico es paralelo al papel y representado por líneas rectas. Observamos que la partícula no experimenta ninguna desviación. Sin considerar efectos gravitatorios, calcula la expresión de la velocidad de la partícula.

90 90 CAPÍTULO 9. MAGNETISMO 2. Dos isótopos de un elemento químico, cargados con una sola carga positiva y con masas de 19, kg y 21, 59 10?27 kg, respectivamente, se aceleran hasta una velocidad de 6,7 105 m/s. Seguidamente, entran en una región en la que existe un campo magnético uniforme de 0,85 T y perpendicular a la velocidad de los iones. Determina la relación entre los radios de las trayectorias que describen las partículas y la separación de los puntos de incidencia de los isótopos cuando han recorrido una semicircunferencia. Respuestas: R 1 /R 2 = 0, 922; Separación= 0, 0166m 3. Un chorro de iones es acelerado por una diferencia de potencial de 10000V, antes de penetrar en un campo magnético de 1T. Si los iones describen una trayectoria circular de 5cm de radio, determina su relación carga-masa. Respuestas: q/m = C/kg 4. Una partícula de carga q=- C y masa m= Kg entra con una velocidad V = V i en una región del espacio en la que existe un campo magnético uniforme B = 0, 5T. El radio de la trayectoria circular que describe es R = 0, 3m. a. Dibujar la fuerza que ejerce el campo sobre la partícula en el instante inicial y la trayectoria que sigue esta. Calcular la velocidad V con la que entro a partir de la segunda ley de Newton en el eje normal.

91 9.6. EJERCICIOS 91 b. Calcular el periodo del movimiento y la frecuencia angular Cómo varían el radio de la trayectoria y el periodo del movimiento si se duplica la velocidad de entrada? Respuestas: V = 1, m/s y T = 1, s 5. Un electrón se acelera por la acción de una diferencia de potencial de 100V y, posteriormente, penetra en una región en la que existe un campo magnético uniforme de 2T, perpendicular a la trayectoria del electrón. Calcula la velocidad del electrón a la entrada del campo magnético. Halla el radio de la trayectoria que recorre el electrón en el interior del campo magnético y el periodo del movimiento. Respuestas: V = m/s; R = 1, m y T = 1, s 6. Un protón tras ser acelerado por una diferencia de potencial de 25000V, penetra perpendicularmente en un campo magnético y describe una trayectoria circular de 40cm de radio. Determinar: a. La inducción magnética. b. el radio de la trayectoria para un valor doble de la inducción magnética. Datos: e = +1, C, m p = 1, kg Respuestas: B = 5688, 43T y R = 0, 2m 7. En un campo magnético uniforme de valor 12T, que penetra perpendicularmente al plano del papel, entra un electrón con velocidad v 0 = m/s perpendicular a B. Calcular: a. La aceleración que adquiere el electrón. b. El radio de la trayectoria que describe. Respuestas: a = 8, m/s 2 y R = 1, m

92 92 CAPÍTULO 9. MAGNETISMO

93 Capítulo 10 Astronomía Historio del Calendario El primer año de la era romana, denominado el Año de Rómulo, consistía en diez o doce meses, según la bibliografía que se cite. El principio del año romano no era enero, como es en la actualidad; era en marzo, y llegaba hasta diciembre. Más tarde, se instauró el año de Numa, con doce meses y 355 días. Este año fue creado alrededor del 700 a. C. Aún de esta manera el año quedaba corto once días respecto al año solar (estacionario), por lo que Numa Pompilio ordenó que se le añadiera un mes cada dos años de 22 días en el segundo y sexto años, y de 23 días en el cuatro y octavo, haciendo un ciclo de ocho años. En 45 a. C. Julio César encargó al astrónomo alejandrino Sosígenes la elaboración de su calendario. Este fijó la duración del año en 365 días y seis horas, cálculo asombrosamente exacto dados los rudimentarios instrumentos de la época, ya que su margen de error fue sólo de 11 minutos y 9 segundos al año, es decir, menos de un segundo por día, pero con el fin de evitar complicaciones, se tomó de 365 días de duración, añadiendo diez días al año de 355 días. Julio César añadió un día a julio, mes de su nacimiento. Augusto hizo lo mismo con agosto. Ambos días fueron retirados de febrero, que pasó a tener 28. Ante la disminución de este mes con respecto a los otros, el día añadido de los años bisiestos se le concedió a él. Julio César estableció que el año comenzara el 1 de enero, día en el que los funcionarios del emperador asumían su cargo La imperfección del Calendario Juliano dio pie para que en el año 1582 el Papa Gregorio XIII encargara a Luis Lilio y al jesuita alemán Christopher Clavius la reforma por la cual se creó el Calendario Gregoriano. Esta reforma tuvo dos aspectos principales. Por una parte, dado que el equinoccio de primavera se había adelantado 10 días, se suprimieron estos para ajustar el ciclo de las estaciones. Este ajuste se llevó a cabo el jueves 4 de octubre de 1582, por lo que el siguiente día se consideró viernes 15 de octubre. Además para conseguir que este resultado pudiera mantenerse en el futuro, se acordó que los años bisiestos cuyas dos últimas cifras fueran ceros no serían bisiestos, excepto si sus dos primeras son divisibles por cuatro. Así pues de los años 1600, 1700, 1800, 1900 y 2000, que en el calendario juliano son bisiestos, en el gregoriano lo son sólo el 1600 y el 2000, de modo que cada cuatro siglos quedan suprimidos tres días. 93

94 94 CAPÍTULO 10. ASTRONOMÍA Leyes de Kepler Las leyes de Kepler fueron enunciadas por Johannes Kepler para describir matemáticamente el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol. Las tres leyes pueden ser enunciadas de la siguiente manera: 1. Los planetas giran en órbitas elípticas, ocupando el Sol uno de los focos de la elipse. 2. Los vectores de posición de los planetas barren áreas iguales en tiempos iguales. La ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, es decir, cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol (perihelio). Matemáticamente: donde r es la distancia al Sol y v es la velocidad del cuerpo. r 1 v 1 = r 2 v 2 (10.1) 3. Los cuadrados de los periodos orbitales de los planetas son proporcionales al cubo de los semiejes mayores de sus órbitas. T 2 1 a 3 1 = T 2 2 a 3 2 (10.2) donde T son los períodos orbitales y a es el valor del semieje mayor de la órbita. Los elementos que comprenden una elipse son los siguientes: Focos Eje mayor (semieje mayor) Eje menor (semieje menor) Perihelio: punto de la elipse que se encuentra sobre el eje mayor y que se encuentra a la menor distancia del foco que ocupa el cuerpo (Sol). Afelio: punto de la elipse que se encuentra sobre el eje mayor y que se encuentra a la mayor distancia del foco que ocupa el cuerpo (Sol). Dado que el eje de rotación de la Tierra se encuentra inclinado respecto al eje de la órbita alrededor del Sol (23,47 o aproximadamente), hace que los rayos solares tengan distinto ángulo de incidencia sobre la superficie de la Tierra, provocando las diferentes estaciones del año. En el siguiente gráfico se presenta un esquema que explica éste fenómeno Ley de Gravitación Universal La leyenda dice que Newton descubrió el principio de gravitación universal reflexionando después de ver caer una manzana. La realidad es que Newton estudió concienzudamente los trabajos de Galileo sobre la caída de los cuerpos y de Copérnico y Kepler sobre el movimiento planetario antes de extraer sus propias conclusiones.

95 10.3. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL 95 Figura 10.1: Elementos de una elipse Figura 10.2: Esquema de la órbita de la Tierra alrededor del Sol Copérnico había establecido el modelo heliocéntrico que Galileo había demostrado. Los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elípticas, muchas veces casi circulares. Para que este movimiento se produzca hace falta una fuerza centrípeta: Pero la aceleración centrípeta se puede escribir como: F = m a (10.3) Entonces: a c = v2 R (10.4) F = m v2 R (10.5)

96 96 CAPÍTULO 10. ASTRONOMÍA donde m es la masa del objeto, v es su velocidad y R el radio de la trayectoria. De las leyes de Kepler, Newton dedujo las condiciones matemáticas que debía cumplir la fuerza gravitatoria. La tercera ley establecía una relación concreta entre los periodos y los semiejes mayores de las órbitas que la fuerza gravitatoria debía cumplir. Finalmente, la Ley de Gravitación de Newton es: F = G m 1 m 2 R 2 (10.6) donde G = 6, Nm 2 kg 2 es la constante de gravitación universal Variación de la intensidad de la gravedad Sabemos que el peso de un cuerpo es P = mg donde m es la masa del cuerpo y g es la intensidad de la gravedad, es decir la fuerza con que la Tierra atrae a un kilogramo de masa. En caída libre en el vacío esta intensidad es idéntica a la aceleración del movimiento. Para Galileo, que estudiaba caídas a pequeñas alturas, g es una constante Si en la expresión de la fuerza que un cuerpo de masa M ejerce sobre otro de masa m, calculamos la fuerza por unidad de masa, obtenemos: g = F m = G M m R 2 m = G M R 2 (10.7) Donde vemos que g ya no es una constante, sino que depende de la distancia al centro del planeta La masa de los planetas Las nuevas leyes en la Física no sólo explican hechos observados sino que muchas veces pueden aplicarse para obtener nuevos conocimientos no previstos al principio. El principio de gravitación, por ejemplo, nos permite calcular la masa de un astro si sabemos los efectos que produce sobre otro. Por ejemplo, podemos calcular la masa de un planeta sabiendo la intensidad de la gravedad en la superficie y su radio. F = m v2 R = GM m R 2 (10.8) Suponiendo que la órbita de los planetas es circular, entonces la velocidad v = 2πR/T, entonces se puede escribir: M = 4π2 R 3 GT 2 (10.9)

97 10.4. DISTANCIAS EN ASTRONOMÍA Movimiento de los satélites Cuando lanzamos al cielo un satélite artificial, su comportamiento en órbita es similar al de los planetas respecto al Sol. Partiendo de la siguiente ecuación: m v 2 y luego simplificando y despejando v tenemos R = GM m R 2 (10.10) v orbital = G M R (10.11) Esta velocidad es llamada la velocidad orbital. Por otra parte, se puede demostrar que para que un satélite escape de su órbita la velocidad orbital debe ser igual o superior a la siguiente velocidad: v escape = 2G M R (10.12) Distancias en Astronomía Vamos a empezar definiendo el concepto de paralaje. La distancia entre nuestro Sol y las estrellas se determina por medio de un efecto que se denomina paralaje. Supongamos que en una época del año, por ejemplo en diciembre, observamos una estrella cercana. Respecto de las estrellas lejanas, que podemos considerar como fijas, vamos a observar la posición de esa estrella, proyectada en la dirección A. Seis meses después, en junio, al encontrarse la Tierra en el otro extremo, si se observa la misma estrella la vamos a ver proyectada sobre el fondo de estrellas, en la posición B. en esta configuración tenemos un triángulo rectángulo, con vértices en el Sol, La Tierra y la estrella. El ángulo se denomina paralaje. Hay distintas unidades de medida que se usan en astronomía. Estas dependen fundamentalmente de la distancia a la cuál se encuentran los astros en el universo. Vamos a mencionar algunas de las principales unidades: Unidad Astronómica: equivale a la distancia entre el Sol y la Tierra, unos 150 millones de km. Es muy usada en el Sistema Solar, o para distancias algo mayores al Sistema Solar. Año Luz: 10 billones de kilómetros. El año-luz es equivalente a la distancia recorrida por la luz en un año a 300 mil km./s o sea s (día) x 365 x km/seg. = casi 10 billones km. Parsec: 3,26 a.l. (3,26 años luz, algo más de 32 billones de kilómetros). Equivale a la distancia de un objeto que tiene una paralaje de 1 segundo de arco Magnitudes Cuando miramos al cielo en una noche clara vemos estrellas. Vistas desde la Tierra, unas parecen brillantes y otras muy débiles. Algunas de estas estrellas débiles son intrínsecamente muy

98 98 CAPÍTULO 10. ASTRONOMÍA Figura 10.3: Método de la paralaje para la determinación de distancias a las estrellas. brillantes, pero están muy lejos. Algunas de las estrellas más brillantes del cielo son estrellas muy débiles que simplemente se encuentran muy próximas a nosotros. Cuando observamos, estamos forzamos a hacerlo desde la Tierra o en sus proximidades, y podemos sólo medir la intensidad de la luz que nos llega. Desafortunadamente esto no nos dice de manera directa nada acerca de las propiedades internas de una estrella. Si queremos saber más acerca de la estrella, su tamaño o su brillo interno/ físico, por ejemplo, necesitamos conocer su distancia a la Tierra. Históricamente, las estrellas visibles a simple vista fueron ordenadas en seis clases diferentes de brillo, llamadas magnitudes. Este sistema fue originariamente concebido por el astrónomo griego Hiparco en torno al año 120 AC y está aún en uso hoy en día en una forma ligeramente revisada. Hiparco decidió que las estrellas más brillantes tendrían magnitud 1, y las más débiles magnitud 6. Sin embargo, incluso los astrónomos de hoy en día usan aún una forma ligeramente revisada del sistema de magnitudes de Hiparco llamado de magnitudes aparentes. La definición moderna de magnitud fue elegida de manera que las medidas de las magnitudes ya en uso no tuvieran que ser cambiadas. Los astrónomos usan dos tipos diferentes de magnitudes: magnitudes aparentes y magnitudes absolutas Magnitud Aparente La magnitud aparente, m, de una estrella mide el brillo de una estrella observado desde la Tierra o cerca de ella. En lugar de definir la magnitud aparente a partir del número de fotones de

99 10.6. UNIVERSO, GALAXIAS Y ESTRELLAS 99 luz que observamos, se define respecto a la magnitud e intensidad de una estrella de referencia. Esto significa que un astrónomo puede medir las magnitudes de las estrellas comparando las medidas con ciertas estrellas estándar que ya han sido medidas de forma absoluta (en contraposición a las medidas relativas). La magnitud aparente, m, viene dada por: m = m ref 2, 5 log 10 (I/I ref ) (10.13) donde m ref es la magnitud aparente de la estrella de referencia, I es la intensidad medida procedente de la estrella y I ref es la intensidad de la luz procedente de la estrella de referencia. El factor de escala 2,5 nos equipara la definición moderna con las magnitudes aparentes más antiguas y más subjetivas. Para comparar, la magnitud aparente de la Luna llena es aproximadamente -12,7, la magnitud de Venus puede ser tan alta como -4 y el Sol tiene una magnitud de aproximadamente -26, Magnitud Absoluta Ahora tenemos una definición apropiada para la magnitud aparente. Es una herramienta útil para los astrónomos, pero no nos dice nada acerca de las propiedades intrínsecas de una estrella. Necesitamos establecer una propiedad común que podamos usar para comparar diferentes estrellas y para realizar análisis estadísticos. Esta propiedad es la magnitud absoluta. La magnitud absoluta, M, se define como la magnitud relativa que tendría una estrella si fuera colocada a 10 parsecs del Sol (para más información sobre parsecs ver la sección Herramientas Matemáticas) del Sol. Ya que hay muy pocas estrellas que estén exactamente a 10 parsecs, podemos usar una ecuación que nos permitirá calcular la magnitud absoluta para estrellas a diferentes distancias: la ecuación de distancia. La ecuación, naturalmente, también funciona en sentido contrario? puede calcularse la distancia dada la magnitud absoluta. M = m log 10 (D) (10.14) Esta ecuación establece la conexión entre la magnitud aparente, m, la magnitud absoluta, M y la distancia, D, medida en parsec Universo, Galaxias y Estrellas En 1928 Hubble comprobó algo asombroso, salvo las galaxias de nuestro grupo local, todas presentan un claro efecto Doppler de desplazamiento al rojo proporcional a la distancia de cada galaxia hasta la nuestra. Descomponiendo la luz blanca con un prisma o una red de difracción se observa el arco iris. Se ha dispersado la luz según su frecuencia: mayor en el color azul y menor en el rojo.

100 100 CAPÍTULO 10. ASTRONOMÍA Si dispersamos de esta forma la luz de una estrella o de una galaxia, se observan unas líneas negras en el espectro. Corresponden a la absorción de energía luminosa por sustancias que rodean la fuente luminosa. Estas rayas son características de los diversos elementos y moléculas y nos han permitido identificar los componentes de los astros. En las galaxias distantes Hubble observó claramente el desplazamiento al rojo que indica que se alejan de nosotros. Más aún, la cuantía del desplazamiento al rojo es aproximadamente proporcional a la distancia a que se encuentra la galaxia, que es tanto como decir que la velocidad con que se alejan de nosotros es proporcional a esa distancia. Este fenómeno dio pie a la idea de un Universo en expansión a partir de un estado primitivo de tamaño puntual, densidad infinita y temperatura extremada. El descubrimiento posterior de una radiación de fondo, procedente de esa era inicial y las fotos obtenidas desde satélites espaciales que muestran un Universo más denso, confirman el modelo del Big Bang. En el último decenio los astrofísicos han encontrado huellas de una nueva fuerza fundamental de repulsión entre cuerpos que actuaría a grandes distancias y sería responsable de que la expansión universal se esté acelerando Galaxias Una galaxia es un sistema conformado por materia visible en forma de estrellas, gas y polvo interestelar, rodeadas por lo que se conoce como halo de materia oscura. Podemos enunciar así una definición de estos conjuntos y analizar cada frase: Las galaxias son los agregados de materia gravitacionalmente reunida más grandes del Universo. materia: estrellas, gas, polvo, agujeros negros, materia oscura, gravitacionalmente reunida: conforman un conjunto definido de materia en cierto volumen del Universo más grandes del Universo: tamaños entre y años luz con una masa de 1000 a millones de masas solares en forma de materia visible y otra cantidad mayor de materia oscura. De acuerdo a su morfología, las galaxias se clasifican en: Elípticas Espirales Irregulares Estrellas Las estrellas se forman a partir del colapso gravitatorio de las nubes moleculares distribuidas en la galaxia que forma parte, las cuales están formadas principalmente por gas y polvo. Al contraerse, aumenta su temperatura, hasta que está lo suficientemente elevada como para que comiencen a tener lugar algunas reacciones termonucleares; como consecuencia la proto-estrella comienza a irradiar.

101 10.6. UNIVERSO, GALAXIAS Y ESTRELLAS 101 La evolución de una estrella pasa por distintas etapas. Suponiendo que se dan las condiciones necesarias para que comience la etapa de vida de una estrella, entonces: Etapa de Pre-Secuencia Principal: Las estrellas se forman a partir del colapso gravitatorio de las nubes moleculares distribuidas en la galaxia que forma parte, las cuales están formadas principalmente por gas y polvo. Al contraerse, aumenta su temperatura, hasta que está lo suficientemente elevada como para que comiencen a tener lugar algunas reacciones termonucleares; como consecuencia la proto-estrella comienza a irradiar. Cuando la presión de radiación logra contrarrestar la contracción gravitatoria (peso de las capas superiores), la estrella llega a la secuencia principal. Etapa de Secuencia Principal: En esta etapa la estrella pasa la mayor parte de su vida, transformando núcleos de átomos de H en núcleos de He en la zona central de la misma a través de las reacciones termonucleares. Solo el 0,7 % del H quemado se convierte en energía nuclear, por lo cual la estrella prácticamente no altera su masa durante mucho tiempo. Sin embargo, en su región central la composición química comienza gradualmente a modificarse a medida que el He se va acumulando en el centro de la estrella. Etapa de Gigante o Supergigante Roja: Cuando la estrella ha consumido el 10 % de su masa de H, se produce una crisis provocada por la acumulación de núcleos de He en el núcleo. La combustión del H continúa en un área brillante que rodea al núcleo. La estrella crece en tamaño y aumenta su brillo, pero la temperatura de las capas externas cada vez más alejadas del núcleo disminuye. La estrella se enfría, enrojece y envejece. Esta fase recibe el nombre de gigante o supergigante roja, según el tamaño de la misma. Cuando la estrella ha consumido aproximadamente el 40 % de su masa de H se produce una nueva crisis. El núcleo estelar compuesto de He se contrae por efecto de la gravedad produciendo un aumento de la temperatura en esa región; en esta circunstancia el He comienza a fusionarse, produciendo carbono y oxigeno mediante el proceso llamado triple alfa. A medida que la temperatura nuclear crece se producen distintos elementos químicos. Las estrellas de baja masa producen elementos pesados hasta formar un núcleo de Carbono. Las de alta masa continúan produciendo elementos más pesados hasta formar un núcleo de Fe. Las etapas finales de las estrellas van a depender de la masa de estos núcleos. Etapas finales: Hacen falta valores grandes de densidades para llegar a los llamados estados de degeneración de la materia. Para la degeneración de electrones se requerirá de una densidad aproximada de 106 g/cm 3 (1000 kg/cm 3 ) mientras que para la de los neutrones hará falta mucha más aún, aproximadamente 1014 g/cm Toneladas/cm 3. Estos valores, que parecen increíbles, se alcanzan en los núcleos de las estrellas. El límite de Chandrasekhar establece el valor de la masa más allá de la cual la presión del gas electrónico degenerado no es capaz de contrarrestar la fuerza de gravedad, que ocurre principalmente a zona central de la estrellas en evolución. Dicha masa límite es aproximadamente 1,4 veces la masa del Sol (M = 1, 4M Sol ). Si la estrella llega a la fase en la que se agota su energía nuclear con una masa mayor que 1, 4M Sol, la presión del gas de electrones no podrá sostener el colapso. Éste generará una onda de choque y las capas exteriores se expanden. También se eyectan elementos pesados al medio interestelar. El fenómeno conjunto de la explosión y la eyección de material estelar se denomina supernova.

102 102 CAPÍTULO 10. ASTRONOMÍA Si luego de la fase de gigante roja el objeto central tenía una masa M tal que 1, 4M Sol < M < 4, 3M Sol finalizará como una estrella de neutrones. En cambio, si su masa M > 4,3M Sol lo hará como Agujero Negro. En cambio, si luego de la etapa gigante roja el núcleo de la estrella se encuentra dentro del límite de Chandrasekhar, el objeto final resultante será una enana blanca. Éste será la etapa final de nuestro Sol. Figura 10.4: Etapas de la evolución estelar Ejercicios 1. Mercurio tiene una velocidad de 60 km/s cuando pasa por el perihelio a 46 millones de kilómetros del Sol. Debemos calcular: i. Velocidad en el afelio, a 70 millones de kilómetros del Sol. ii. Semieje mayor de su órbita. 2. El semieje mayor de la órbita de Marte es de 225 millones de km y su periodo es de 1,9 años. Sabiendo que la órbita de Júpiter es casi circular, cuánto valdrá su radio si el periodo es de 11,9 años? 3. Un satélite geoestacionario (siempre sobre el mismo punto del planeta) está a km sobre la superficie de la Tierra. Qué periodo tiene otro situado a 3600 km de altura? Radio aproximado de la Tierra: 6400 km. 4. Calcula la masa del Sol, considerando que la Tierra describe una órbita circular de 150 millones de kilómetros de radio. 5. La Luna tiene aproximadamente 1/80 de la masa terrestre, mientras que el Sol es aproximadamente veces más masivo que nuestro planeta. Por otro lado, la Luna está a unos km de la Tierra y el Sol a 150 millones de km Comparemos la fuerza que estos dos astros ejercen sobre nuestro planeta.

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