Coordenadas Polares y graficas polares

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1 REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DE LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL NÚCLEO BARINAS UNEFA Complemento para evaluar parte de la Unidad III -Matemática II Sección F Ingeniería de Petróleo - Coordenadas Polares y graficas polares Las coordenadas cartesianas están formadas por un par de números, la abcisa y la ordenada, que representa la distancia dirigida de dos rectas fijas. Las coordenadas polares consisten de una distancia dirigida y la medida de un ángulo en relación a un punto fijo se denomina polo (u origen) y se puede representar mediante la letra O. El rayo fijo recibe l nombre de eje polar (o recta polar) la denotaremos como OA. El rayo OA usualmente se dibuja horizontalmente y se prolonga indefinidamente.( ver Figura 1) Plano Polar o trigonométrico En trigonometría vimos que : cateto opuesto y 1) sinθ = sin θ = y = r.sinθ hipotenusa r cateto adyacente x ) cosθ = cos θ = x = r.cosθ hipotenusa r sinθ cateto opuesto y 3) tanθ = = tanθ = x cosθ cateto adyacente x Por el teorema de Pitágoras : x + y = ( r.cos θ ) + ( r.sin θ ) x + y = r = r cos θ + r 1 sin θ = r (cos θ + sin θ )

2 Por tanto: r = ± x + y Ejemplo 1: 6 Veamos la grafica de r = 1+ θ para θ La tabla de valores seria: º 3º 6º 9º 1º 15º 18º 1º 4º 7º 3º 33º 36º r = f θ La grafica de 6 r = 1+ t hecha en el software graphmática es La grafica anterior de la ecuación polar r = f ( θ ) es un una curva en forma de espiral. I. ESPIRAL DE ARQUÍMEDES Podemos concluir que si a > ( a es una constate positiva) la grafica de r = aθ paraθ Es llamada Espiral de Arquímedes y la gráfica de a r = e θ

3 Es llamada espiral logarítmica Ejemplo (.3 ) Veamos la grafica de r = e t para θ La tabla de valores seria: º 3º 6º 9º 1º 15º 18º 1º 4º 7º 3º 33º 36º r = f θ II.- EL Cardiode: Si a es una constante positiva, la grafica polar de cada una de las cuatro ecuaciones = ( 1± cosθ ) r = a ( 1± sinθ ) r a Es una CARDIODE (o tiene forma de CORAZÓN) Ejemplo 3 Veamos la grafica de r = (1 cos θ ) La tabla de valores es:

4 º 3º 45º 6º 9º 1º 15º 18º 1º 4º 7º 3º 33º 36º r = f θ La grafica polar de r = (1 cos θ ) es Ejemplo 4 Veamos la grafica de r = 4(1 + cos θ ) = 4 + 4cosθ

5 La tabla de valores der = 4(1 + cos θ ) queda como ejercicio para el estudiante r = f θ º 3º 45º 6º 9º 1º 15º 18º 1º 4º 7º 3º 33º 36º Ejemplo 5 Veamos la grafica de r = (1 + sin θ ) = + sinθ La tabla de valores der = (1 + sin θ ) = + sinθ º 3º 45º 6º 9º 1º 15º 18º 1º 4º 7º 3º 33º 36º r = f θ Ejemplo 6 Veamos la grafica de r = 3(1 sin θ ) = 3 3sinθ

6 La tabla de valores de la grafica polarr = 3(1 sin θ ) queda como ejercicio para el estudiante: º 3º 45º 6º 9º 1º 15º 18º 1º 4º 7º 3º 33º 36º r = f θ III. Limaçon Si a yb son una constante positiva, la grafica polar de cada una de las cuatro ecuaciones r = a ± b cosθ r = a ± bsinθ Es un LIMAÇON (palabra francesa que proviene del latín limax que significa CARACOL). Existen cuatro tipos de caracoles que dependen de la razón a b. a 1. Si < < 1 es decir, < a < b caracol con Lazo (interno) Figura a b a. Si = 1 es decir, a = b El limaçon es un Cardiode b a a 3. Si 1 < < es decir, < < b < a Caracol con hendidura o muesca -Figura b b

7 a a 4. Si es decir, < b < Caracol convexo (sin hendidura) Forma un b circulo levemente torcido- Figura c Ejemplo 7 Grafiquemos r 1 cosθ limaçon con lazo. = + vemos que 1 a b <, entonces se trata de un caracol o Entonces, la grafica polar de r = 1+ cosθ

8 IV. LEMNISCATE Si a es una constante positiva, la grafica polar de: r = a cos θ o r = a sin θ es llamada LEMNISCATE Ejemplo 9: Graficar: r = 4sin θ r = sin( θ )

9 Viendo la grafica r = 4sin θ r = sin( θ ) en el software graphmatica tenemos: Ejemplo 1: Graficar r = 9 cos θ r = 3 cos( θ ) Completa la tabla de r = 9 cos θ r = 3 cos( θ ) º 3º 45º 6º 9º 1º 15º 18º 1º 4º 7º 3º 33º 36º

10 r = f θ V. N-PETALOS DE ROSA Si a es una constante positiva, la grafica polar de: r = a coskθ o r = asinkθ Obtenemos una rosa con N- pétalos, donde: k sik es un entero impar N = k sik es un entero par *Si k = 1 entonces las ecuaciones para una rosa tomarían la forma r = asinθ las cuales son ecuaciones de una CIRCUNFERENCIA r = a cosθ Ejemplo 11: Graficar: r = 3sin 3θ (rosa de 3 pétalos) y r = 5sin 4θ (rosa de ocho pétalos) Completa la tabla de r = 3sin 3θ (usa más intervalos para que logres ver mejor la grafica-no nos dice mucho la tabla por lo tanto necesitamos dividirla en pequeños partes º 3º 45º 6º 9º 1º 15º 18º 1º 4º 7º 3º 33º 36º r = f θ Si usamos los ángulos opuestos = r f ( θ ) La grafica polar de r = 3sin 3θ :

11 La grafica de r = 5sin 4θ

12 Su tabla de valores º 15º 3º 45º 6º 75º 9º 15 1º º º r = f θ Teorema Si m es la pendiente de la recta tangente a la grafica r f ( θ ) ( r, θ ) entonces: = en el punto dr dy sin θ + r.cosθ f sin f.cos m dθ dθ θ θ + θ θ = = = dr dx cos θ r.sinθ f ( θ ) cos θ + f ( θ ).( sin θ ) dθ dθ Como r f θ y = f ( θ )sinθ = esta definida en ecuaciones paramétricas x = f ( θ ) cosθ y

13 RESUMEN DE ECUACIONES POLARES DE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS: Aquí C, a yb Son constantes θ = C Recta que contiene al polo ; forma un ángulo de C con el eje polar r sinθ = b Recta paralela al eje polar ; arriba del eje polar si b >, debajo del eje polar si b < r cosθ = a Recta paralela al eje, a la derecha del eje si a > ; a la izquierda del eje si a <. r = C Circunferencia ; centro en el polo; radio igual a C unidades r = a.cosθ Circunferencia ; radio a tangente al eje, centro en el eje polar o r = a.sinθ en su prolongación Circunferencia; radio b tangente al eje polar ; centro en el eje o en su prolongación Con una tabla como estas puedes construir las graficas de las ecuaciones polares antes mencionadas construye la tuya en tu cuaderno para discutir luego en clases r = f θ º 3º 45º 6º 9º 1º 135º 15º 18º r = f θ º 5º 4º 7º 3º 315º 33º 36º Los problemas propuestos siguientes son tomadas del capitulo 9.3 se encuentran en Louis Leithold (1998) El Cálculo 7. Séptima edición Edit. University Oxford pagina 764

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15 Referencias Bibliográficas [ 1] L LARSON R.,HOSTETLER R y EDWARDS B. Cálculo y Geometría Analítica, (Sexta Edición -Volumen 1 ) México: Edit Mc Graw Hill [ ] LEITHOLD Louis (1998) Calculo (VII edición ) Edit Oxford [ ] 3 MUNEN & FOULIS (1984) Calculus with Analytic Geometry (Second Edition) U.S.A -New York Edit Worth Publishers, Inc Pág.