Unidad 2. Divisibilidad

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1 Ojo!!: no basta con copiar las soluciones en tu cuaderno. Las soluciones sirven para comprobar el resultado una vez que has hecho el ejercicio. Haz pues primero los ejercicios sin mirar aquí y luego comprueba las soluciones. Es muy importante que entiendas y expreses en tu cuaderno el procedimiento que lleva a la solución. Divisibilidad 49. a) 42 = 14 3 ; b) 56 = 8 7 ; c) 34 = 2 17 ; d) 20 = a) Sí ; b) Sí ; c) No ; d) 9. En los casos que sí existe relación de divisibilidad es porque la división es exacta (hágase). 51. a) Cierto ; b) Es divisible por 3, pero no por 2 ni por 17 ; c) Cierto ; d) Falso: no es divisor ni 3 ni , 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 y 20 son divisibles por 2. 3, 6, 9, 12, 15, 18 son divisibles por 3. 4, 8, 12, 16, 20 son divisibles por 4. 5, 10, 15, 20 son divisibles por 5. 6, 12, 18 son divisibles por 6. 7, 14 son divisibles por 7. 8, 16 son divisibles por 8. 9, 18 son divisibles por 9. 10, 20 son divisibles por 10. Múltiplos 53. Las series de los apartados b), e) y f) están formadas por múltiplos de 5. Las de los apartados d) y f) por múltiplos de , 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. La característica común es que acaban en 0, es decir, son múltiplos de , 60, 90. Como son múltiplos de 6 y de 5 lo serán también de 6 5, que es 30. Esto quiere decir que serán múltiplos de 10, porque 30 es múltiplo de 10 y, por tanto, cualquier múltiplo de 30 también lo será de , 60, 90. a) Sí ; b) Sí ; c) Sí. Esto es así porque al ser múltiplos de 10 y 3 a la vez serán múltiplos también de 6 5, que es 30. Como 30 es múltiplo de 6, 15 y 30, todos los múltiplos de 30 lo serán también de 6, 15 y Completa la tabla en tu cuaderno. Número Múltiplo Sí / No 2 12 Sí 3 15 Sí 5 27 No 6 36 Sí 7 40 No 8 51 No 9 80 No Sí Sí 58. a) 106, 108, 110, 112, 114, 116, 118, 120, 122, 124, 126, 128 ; b) 243, 246, 249, 252, 255, 258, 261, 264 ; c) 51, 57, 63, 69 ; d) 45, 55, 65, 75, 85 ; e) No hay ninguno: todo múltiplo de 9 lo es de 3 ; f) 55, 66, 77, 88, 99, 110,

2 60. Como han de ser múltiplos de 2 y de 9, lo serán de 2 9, que es 18. Ahora buscamos múltiplos de 18 que acaben en 0, por ejemplo 90 y 180, que también son múltiplos de 6 porque 18 es múltiplo de 6. También son múltiplos de todos los divisores de 18: 2, 3, 6, 9 y y 30. Ambos son múltiplos de 15, pero no de Hay cuatro. Son los siguientes: 24, 48, 72, a) Todos, salvo el 1 son múltiplos de otro número distinto, porque todos son múltiplos de 1. Si no contamos el 1, los números que son múltiplos de otro número distinto son los siguientes: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20. b) Ninguno. Todos son múltiplos de 1. Los números que no son múltiplos de ningún otro, excepto el 1, son los primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. c) Los números que son múltiplo de más números, o lo que es lo mismo, los que más divisores tienen, son el 12, el 18 y el 20 (cada uno de ellos tiene 6 divisores). 64. a) 102 y 996 ; b) 100 y 990 ; c) 105 y 990 ; d) 105 y Está resuelto en el libro a) 105, 150 ; b) 115, 160 ; c) 125, 170 ; d) 135, 180 Divisores 68. a) No es equivalente ; b) Sí es equivalente ; c) Sí es equivalente ; d) No es equivalente ; e) Sí es equivalente ; f) Sí es equivalente 69. a) No es correcta ; b) Sí es correcta ; c) Sí es correcta ; d) No es correcta (no es divisible entre 9). 70. a) Falsa. 12 tiene más divisores, por ejemplo el 6 ; b) Verdadera ; c) Falsa. Tiene más divisores, por ejemplo el 7 ; d) Verdadera 71. a) Verdadera ; b) Verdadera ; c) Verdadera ; d) Verdadera a) Sí es correcta porque 3 es divisor de 9. Luego cualquier número que sea divisible por 9, también lo será por 3. b) No es correcta. Los múltiplos de 3 no tienen porque ser divisores de cualquier múltiplo de 3. De hecho, como se puede apreciar, 42 no es un m 75. Div(1) = {1} ; Div(2) = {1, 2} ; Div(3) = {1, 3} ; Div(4) = {1, 2, 4} ; Div(5) = {1, 5} ; Div(6) = {1, 2, 3, 6} ; Div(7) = {1, 7} ; Div(8) = {1, 2, 4, 8} ; Div(9) = {1, 3, 9} ; Div(10) = {1, 2, 5, 10} 76. Completa la tabla con Sí o con un No. Divisible por Sí No No No No 251 No No No No No 495 No Sí Sí No Sí 968 Sí No No No Sí Sí Sí No No Sí 5625 No Sí Sí No No 77. Completa la tabla. Divisible por Sí Sí 271 No No 494 Sí No 962 Sí No Sí No 2

3 78. Todos los números divisibles por 4 lo son también por 2 porque 4 es divisible por 2. Sin embargo no es cierto al contrario. No todo número divisible por 2 lo es también por 4. Por ejemplo, el 18 es divisible por 2 pero no es divisible por Está resuelto en el libro. 80. a) No ; b) Sí ; c) No ; d) No ; e) No ; f) Sí 81. a) Sí, porque es divisible entre 3 y entre 11 ; b) Sí, porque es divisible entre 3 y entre 11 ; c) No, porque no es divisible ni entre 3 ni entre 11 ; d) Sí, porque es divisible entre 3 y entre 11 ; e) No, porque no es divisible entre 11 ; f) Sí, porque es divisible entre 3 y entre Completa la tabla Divisible por No Sí No 248 Sí No No 762 Sí Sí Sí 840 Sí Sí Sí 968 Sí No No 3054 Sí Sí Sí 4512 Sí Sí Sí 83. Completa la tabla Divisible por Sí Sí Sí 1560 Sí Sí Sí 980 Sí Sí No 4120 Sí Sí Sí Sí Sí No 2408 Sí Sí Sí 84. Completa la tabla Divisible por Sí No 630 Sí Sí 990 Sí Sí 4920 Sí No 85. a) Tres múltiplos de 8: 16, 24 y 32 ; b) Tres múltiplos de 27: 54, 81, 108 ; c) 12, 24 y 36 ; d) 18, 27 y Tienes que formar todos los posibles números cuyas cifras sean 1, 4, 3 y 6. Luego, uno por uno, has de ver cuáles son los múltiplos de 11 con el criterio de divisibilidad por 11. Hay ocho números divisibles por 11, y son los siguientes, ordenados de menor a mayor: 1364, 1463, 3146, 3641, 4136, 4631, 6314, Vamos a escribirlos todos. Se procede como en el ejercicio anterior. Vuelve a haber ocho y son los siguientes, ordenados de menor a mayor: 3465, 3564, 4356, 4653, 5346, 5643, 6435, No se puede conseguir ninguno porque no hay forma de sumar dos de estas cifras y restar la que queda y que el resultad sea cero o múltiplo de once, para que se cumpla el criterio de divisibilidad. También puedes formar todos los números cuyas cifras sean 2, 4 y 5 (hay seis) y ver que ninguno es múltiplo de Está resuelto en el libro. 90. Para que sea divisible por 5, a debe valer 0 o 5. Para que sea divisible por 3, a debe valer 2, 5 u 8 ya que en los demás casos no se cumple el criterio de divisibilidad. 91. Para que sea divisible por 11, a debe valer 4. Para que sea divisible por 3, a debe valer 0, 3, 6 o 9. 3

4 92. Para que se cumpla el criterio de divisibilidad por 11, el menor número debe ser el 2, porque en ese caso el número será el 6182, que es múltiplo de a) Cierto, porque sus cifras suman un múltiplo de 3 ; b) Cierto, porque acaba en 0 ; c) Cierto, porque acaba en 0 ; d) Falso, porque sus dos últimos dígitos ni son dos ceros, ni forman un múltiplo de 4 ; e) Cierto, porque 330 es divisible por 2 y por 3 ; f) Falso porque (3 + 3) 3 = 3, que no es 0 ni un múltiplo de 11. Números primos y compuestos 94. Primos: 3, 23, 47, 53, 73. Compuestos: 9, 35, 65, 81, Completa la tabla Número Divisores Primo/Compuesto 17 {1, 17} Primo 29 {1, 29} Primo 58 {1, 2, 29, 58} Compuesto 72 {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72} Compuesto 97 {1, 97} Primo 113 {1, 113} Primo 96. Tiene ser compuesto porque a, al ser la división entre 4 exacta, ha de ser 4 o un múltiplo de 4, que son todos compuestos. 97. a) Falsa. Es divisible por 1 y por sí mismo. b) Falsa. Un número compuesto siempre tiene algún divisor que es primo. Por ejemplo: un divisor de 6 es 2, que no es compuesto. c) Falsa. Sólo serán exactas las divisiones entre un primo de un número que sea múltiplo de él. d) Verdadero. El 2 y el 3 son primos y son consecutivos. 98. a) Falsa. 3 y 7 son primos y = 10 no es primo. b) Falsa. p q siempre será compuesto pues es una descomposición factorial de dos primos y, por tanto, será divisible por p y por q. c) Falsa. 13 y 5 son primos y 13 5 = 8 no es primo. d) Falso. 3p no es primo por la misma razón dada en el apartado b). Descomposición factorial de un número 99. a) 560 = ; b) 2700 = ; c) 616 = ; d) 784 = ; e) 378 = ; f) 405 = a) 12 ; b) 72 ; c) 90 ; d) 63 ; e) 630 ; f) El resultado correcto es el de Mario. Luis no ha factorizado bien porque, aunque también es igual a 2250, esta descomposición factorial contiene al número 10, que no es primo a) ; b) ; c) ; d) a) 7 7 no es 77, es 49 ; b) La factorización correcta es ; c) 10 2 no es 100, es 20 ; d) La factorización correcta es ; e) es no es 800, es 2300 ; f) La factorización correcta es Está resuelto en el libro a) ; b) ; c) ; d) Máximo común divisor y mínimo común múltiplo 106. a) 5 ; b) 4 ; c) 6 ; d) 1 ; e) 3 ; f) 10 ; g) 3 ; h) 1 ; i) a) 40 ; b) 84 ; c) 64 ; d) 54 ; e) 210 ; f) 300 ; g) 60 ; h) 360 ; i) 162 4

5 108. En cada apartado escribiremos, por este orden, el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. a) 10, 100 ; b) 3, 90 ; c) 1, 45 ; d) 1, 84 ; e) 2, 300 ; f) 6, Habría, para cada apartado, muchas parejas. Por ejemplo: a) 8 y 12, 16 y 20, 4 y 8 ; b) 10 y 20, 20 y 50, 70 y 80 ; c) 6 y 12, 12 y 18, 54 y 60 ; d) 5 y 10, 30 y 35, 55 y 75 ; e) 2 y 4 ; 14 y 16 ; 20 y 26 ; f) 12 y 24, 24 y 36, 36 y a) 5 y 8, 8 y 20 ; b) 5 y 9, 9 y 15 ; c) 8 y 15, 20 y 24 ; d) 5 y 125, 25 y 125 ; e) 4 y 16 ; 8 y 16 ; f) 20 y 27 ; 30 y Está resuelto en el libro a) No ; b) Sí ; c) Sí ; d) Sí ; e) No ; f) No 113. Se puede hacer con muchos ejemplos. Mostraremos un par de ellos. a) 24 y 35 son primos entre sí. Veámoslo: 24 = y 35 = 5 7. Como no tienen factores comunes el máximo común divisor es 1, es decir, son primos entre sí. Además, el mínimo común múltiplo es = 840, que coincide justamente con el producto de 24 y 35. b) 39 y 40 son primos entre sí porque 39 = 3 13 y 40 = 2 3 5, con lo que mcd(39, 40) = 1. El mínimo común múltiplo es por tanto: mcm(39, 40) = = 1560, que coincide con el producto de 39 y 40. Problemas 114. a) Serán necesarias 1500 cajas ; b) 4500 cajas ; c) 3000 cajas Cajas de 8 lápices puede vender 33, pero sobrarán 6 lápices. Cajas de 10 lápices puede vender 27 y no sobrará ninguno. Cajas de 15 lápices puede vender 18 y tampoco sobrará ninguno a) Si todas las mesas han de tener el mismo número de comensales sólo se pueden organizar de dos manera: en 4 mesas de 8 comensales, o en 8 mesas de 4 comensales. b) Si las mesas fueran de distintas capacidades habría multitud de formas. Describimos algunas en la siguiente tabla. Crees que hay más? Las puedes enumerar todas? Número de mesas de 4 Número de mesas de 6 Números de mesas de 8 Total de comensales a) Le quedan 30 caramelos ; b) Necesitará 15 bolsas de 2 caramelos cada una ; c) Bolsas de 3 caramelos cada una necesitará 10, y bolsas de 5 caramelos cada una necesitará a) Los libros que puede haber en cada estantería se corresponden con los divisores de 45: {1, 3, 5, 9, 15, 45}. b) Puede haber: 1 estantería de 45 libros, 3 estanterías de 15 libros cada una, 5 estanterías de 9 libros cada una, 9 estanterías de 5 libros cada una, 15 estanterías de 3 libros cada una, o 45 estanterías de 1 libro cada una (distribución esta última un poco absurda) a) Si coloca 2 fotos por página, debe tener 60 páginas. Si coloca 3 fotos por páginas, debe tener 40 páginas. Y si coloca 4 fotos por páginas, el álbum debe tener 15 páginas. b) Al igual que en el ejercicio 116 hay varias posibilidades. Enumeramos tres de ellas en la siguiente tabla. Páginas con 2 fotos Páginas con 3 fotos Páginas con 4 fotos Total de fotos a) El número de soldaditos que puede haber en cada fila serán los divisores de 48 comprendidos entre 3 y 20. Por tanto puede haber 4, 6, 8, 12 o 16 soldaditos en cada fila. 5

6 b) Hay 5 formas diferentes: 12 filas de 4 soldados, 8 filas de 6 soldados, 6 filas de 8 soldados, 4 filas de 12 soldados, o 3 filas de 16 soldados cromos Los cuadrados deben tener 8 cm de lado. Cortaría un total de 35 cuadrados de 8 cm de lado El lado de cada compartimento debe medir 20 metros de ancho a) El lado de cada plaqueta debe se de 2 metros ; b) Se pondrán un total de 30 plaquetas a) Hará un total de 14 lotes; b) Cada lote tendrá 7 monedas a) Puede hacer un máximo de 4 grupos ; b) Cada grupo de tarjetas rojas tendrá 4 tarjetas, los de tarjetas amarillas tendrán 5 tarjetas, los de tarjetas azules tendrán 6 tarjetas, y los de tarjetas verdes tendrán 8 tarjetas a) Volverán a coincidir tras 12 días, es decir, el 8 de marzo (se supone que el año no es bisiesto) b) Raquel habrá ido 4 veces y Beatriz 3 veces a) Las luces coinciden cada 180 segundos, es decir, cada 3 minutos. b) En una hora coinciden 20 veces encendidas sellos. Debes saber hacer 1. Los múltiplos de 8 que son divisibles entre 12 son 288, 576, 1248, 480 y Div(75) = {1, 3, 5, 15, 25, 75} ; Div(77) = {1, 7, 11, 77} ; Div(81) = {1, 3, 9, 27, 81} ; Div(96) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96} ; Div(121) = {1, 11, 121} ; Div(113) = {1, 113} 3. El único número primo de la lista es el 179. Los demás son compuestos. 4. a) 240 = ; b) 345 = ; c) 99 = ; d) 5700 = a) mcd(45, 75) = 15 ; b) mcd(24, 66, 84) = 6 ; c) mcd(72, 108, 44) = a) mcm(18, 24) = 72 ; b) mcm(28, 48, 60) = 1680 ; mcm(15, 25, 95) = 1425 Formas de pensar. Razonamiento matemático 131. a) a = 24 ; b) a = a) El número que cumple las condiciones es el 11 ; b) 23, 35, 47, 133. a) Acaban en 1: 11 y 31. ; Acaban en 2: no hay ninguno. ; Acaban en 3: 33 y 93. b) No podría ser cualquier número que acabe en 1 y no sea primo, pues tendrá más de un divisor distinto de 1 (por ejemplo 21, 51, 81, ) 134. a) Div(220) = {1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110}, = 284 Div(284) = {1, 2, 4, 71, 142}, = 220 b) Un ejemplo podría ser los números 1184 y

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