y cualquier par (x, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx, sy).

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1 UNIDAD II: VECTORES EN DOS Y TRES DIMENSIONES Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: escalarse (multiplicarlos por un escalar) y sumarse. Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas (En matemáticas es una secuencia ordenada de objetos, esto es, una lista con un número limitado de objetos ) de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo El plano R 2, consistente en los pares (x, y) de números reales, es el típico ejemplo de espacio vectorial: cualquiera dos pares de números reales pueden sumarse, (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ), y cualquier par (x, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx, sy). Existe además un vector, el (0,0), llamado vector nulo que cumple que al sumarse con cualquier otro vector no lo altera. Todo vector, por ejemplo el (1, 0), tiene su opuesto, el (-1, 0), que sumados dan como resultante el vector nulo (0, 0). La noción de espacio vectorial es una generalización de esta idea. Es más general de varias maneras: en primer lugar, en lugar de los números reales otros cuerpos, como los números complejos o los cuerpos finitos, se permiten. En segundo lugar, la dimensión del espacio, que es de dos en el ejemplo anterior, puede ser arbitraria, incluso infinita. Otro punto de vista conceptual importante es que los elementos de los espacios vectoriales no suelen estar expresados como combinaciones lineales de un conjunto de vectores, es decir, no hay preferencia de representar el vector (x, y ) como (x, y) = x (1, 0) + y (0, 1) o como (x, y) = ( 1/3 x + 2/3 y) ( 1, 1) + (1/3 x + 1/3 y) (2, 1) Recordemos que 2 se representa Página 1 de 23

2 3 Para se construye un sistema de coordenadas rectangulares utilizando 3 ejes mutuamente ortogonales ( perpendiculares ) Ubique los siguientes puntos Z ( 4, 5, 2) ( 3, 3, 1) ( 0, 3, 1 ) Y Representación de vectores En muchas aplicaciones trabajamos con cantidades medibles como la presión, la masa, y la rapidez que se pueden describir en forma completa mediante una magnitud. También hay otras cantidades como la velocidad, la fuerza y la aceleración cuya descripción necesita magnitud y dirección, estas cantidades se llamen vectores. Un vector se representa gráficamente mediante x Un vector cuyo punto inicial es A y punto final es B se denota por AB. En 2 represente el vector con punto inicial el origen y punto final ( 3, 5) En 3 represente el vector con punto inicial el origen y punto final ( 1, 3, 5) OPERACIONES CON VECTORES SUMA y RESTA A = ( a 1, a 2, a 3 ) y B = ( b1, b2, b 3 ) A B = ( a 1 b 1, a 2 b 2, a 3 b 3 ) Representación grafica Sea u = ( 3, 4 ) y v = ( 2, 3) Calcule y representa gráficamente u + v = Página 2 de 23

3 Multiplicación por un escalar k ( a 1, a 2, a 3 ) = ( ka1, ka2, k a 3 ) Sea v = ( 2, 5, 7 ) y u = ( 1, 2, 0 ) Calcule 1) v 3u 2) 4v + 5u 3) v + 2 SEGMENTOS DIRIGIDOS Y VECTORES Sean A y B dos puntos con un mismo número de coordenadas. Un segmento de recta dirigido es un segmento al cual se le asigna una dirección ( es un par ordenado de puntos A y B donde A es el punto inicial y B es el punto final ) y se denota por ( A, B ) = AB Representación normal de AB = v = B A El punto inicial siempre es el origen Sea A = ( 2, 4 ) y B = ( 3, 1 ). Calcular los componentes del vector v = AB Sea C = ( 1, 3, 5 ) y D = ( 2, 4, 8 ) Calcular los componentes del vector CD Página 3 de 23

4 Definición El segmento dirigido AB es equivalente al segmento dirigido CD si B A = D C y se escribe AB CD. Ejemplo 1) A = ( 1, 1 ) y B = ( 3, 1 ) y C = ( 1, 2 ) y D = ( 5, 0 ). Es AB CD? 2) Sea A = ( 1, 1, 5 ) y B = ( 1, 2, 3 ).Determine un punto D de modo que AB CD, siendo C = ( 7, 5, 2 ) MAGNITUD,LONGITUD Y NORMA DE UN VECTOR Sea a = ( a 1, a 2, a 3 ) entonces a a a a Calcule la magnitud de a) a = = ( 3, 5, 1 ) b) a = = ( 1, 6, 2 ) Vectores unitarios Sea a un vector a o. Se define el vector unitario ( norma igual a 1) 1 u a a Calcule un vector unitario para a) a = ( 3, 4, 1 ) b) a = ( 3, 0, 2 ) Vectores unitarios i, j, k ( a 1, a 2, a 3 ) = a) ( 3, 4, 6 ) = b) ( 5i +4j + 8k ) +( 4i + j k ) = Página 4 de 23

5 PRODUCTO ESCALAR o PUNTO u ( u, u, u ) v ( v, v, v ) u v u v u v u v Sea a) Sea u (3, 2, 5) v ( 4, 1,2) u v = b) Sea u x x x v x x 2 2 (3, 5, ) (8,,3) u v = c) Determine el valor de x de modo que u v = 0. u ( x, 2, 1, x) v ( x, 1, 2, 3) Teorema Sea u, v y w vectores y k entonces se cumple 1) u v = v u 2) ( u v) w u v v w 3) u ( v w) u v u w 4) 0 u 0 5) k ( v u) ( k u) v u ( kv) 6) u u 0, u u 0 u 0 Vectores paralelos Decimos que un vector u es paralelo a v ; si existe un k tal que u = kv u = ( 2, 1, 5 ) y v = ( 6, 3, 15 ) son paralelos porque v = 3 u Vectores ortogonales Decimos que un vector u es ortogonal a v ; si u v = 0 a) u = ( 2, 1, 3 ) y v = ( 5, 1, 3 ) b) Determine el valor de x para que u y v sean ortogonales u ( x, 4, 1) v ( x, 3,11) Página 5 de 23

6 c) Determine el valor de x para que u y v sean ortogonales u ( x, 5, 3) v ( x, 2, x) d) Verifique que el triángulo de vértices A( 1, 1), B ( 5, 1) y C ( 2, 5 ) es rectángulo. EJEMPLOS 1) Pruebe que el cuadrilátero de vértices A( 0, 4 ), B ( 3, 3 ), C ( 2, 0) y D ( 1, 1 ) es un cuadrado 2) Pruebe que el triangulo de vértices A( 4, 1 ), B ( 5, 3 ), C ( 7, 2) es un isósceles. Página 6 de 23

7 3) Si M 1 (2, 1), M 2 (3, 3) y M 3 (6, 2) son los puntos medios de los lados de un triángulo, cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo? ÁNGULO ENTRE VECTORES Definición Sea, 0, tal que : u v vectores no nulos se llama ángulo entre u y v al único numero real u v cos u v u v Observe que 1) Si u v 0 0, 2 ( el ángulo es agudo ) 2) Si u v 0, 2 ( el ángulo es obtuso ) 3) Si cos = 1 = 0 y = 4) Si u v = 0 2 ( el ángulo es recto ) a) Calcule el ángulo entre los vectores u = ( 6, 5 ) y v = ( 3, 1 ) b) Calcule el ángulo entre los vectores u = ( 0, 4, 1 ) y v = ( 1, 2, 3 ) Página 7 de 23

8 c) Calcule la medida de los ángulos internos del triángulo de vértices A =( 3, 5) B = ( 0, 2 ) y C = ( 4,3 ). Proyección de un vector sobre otro Puesto que A cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la dirección del vector B, esto es A cos θ = proy A B, será 1) Calcula la proyección del vector sobre el vector. 2 Calcula la proyección del vector sobre el, siendo A(6,0), B(3,5), C(-1,-1). Página 8 de 23

9 Calcular el valor de a para que los vectores u 3i 4 j y v ai 2 j formen un ángulo de 45. Practica 1) Represente geométricamente los siguientes puntos en el espacio: a) (1, 2, 4) c) (0, 1, 3) e) (1, 0, 4) b) (-2, 2, 0) d) (-1, -3, -2) f) (-1, 4, -3) 2) Sea A = (-1, 2, 3) B = (3, -1, 2) C = (1, 0, 2), calcule: a) A + B c) B 2C e) 2 1 A + 3C b) 2A + 3B d) A B + 2C f) 3A 5B + C 3) Represente en cada caso, el segmento dirigido, para A y B dados: a) A = (-1, 1) y B = (2, 0) c) A = (-3, 0, 1) y B = (2, 1, 4) b) A = (1, 0) y B = (-3, 1) d) A = (2, 4, -1) y B = (-3, 2, 1) 4) En cada caso determine si es o no equivalente a : a) A = (3, -1), B = (2, 5), C = (4, 3), D = (1, 6) b) A = (4, 3, 1), B = (2, 3, 6), C = (1, 5, 3), D = (-1, 5, 8) c) A = (2, 4), B = (3, 6), C = (4, 1), D = (2, 3) d) A = (1, 3), B = (-5, 7), C = (3, -2), D = (-3, -2) 5) Determine el valor de k de modo, siendo A = (1, 2), B = (3, 2k), C = (k+1, 3) y D = (k+3, k+1) 6) Determine en cada caso los componentes del vector v(normal) representado por : a) A = (-1, 4) y B = (3, -2) b) A = (2, 6, 7) y B = (-3, 2, 5) c) A = (-1, 1, 0 ) y B = (3, -2, 1) d) A = (1, 1, 2) y B = (4, -1, 0) 7) Si A= (-1, 2, 4), B = (3, 1, 6) y C = (-3, 2, 5), determine un punto D de manera que. 8) Sean A 1, A 2, A 3,..., A m puntos, pruebe que 9) Sean u y v vectores en 2 no paralelas, pruebe que si au + bv = 0 entonces a = b = 0 10) Determine condiciones sobre a, b, c de manera que Página 9 de 23

10 a(1, 1, 1) + b(1, 2, 0) + c(3, 4, -2) = (0, 0, 0) 11) Sean u y v vectores no paralelas Para que valor de a el vector x = (a 1)u + v es paralela al vector y = (2 + 3a)u 2v 12) Determine el producto de u y v: a) u = (1, -1), v = (2, 5) c) u = (-5, 1, 1), v = (2, -3, 1) 13) Determine que pares de vectores u y v dados son ortogonales: a) u = (-3, 2), v = (1, 6) c) u = (3k, 9), v = (-3, k) b) u = (2, 5), v = (-5, 2) d) u = (1, 0, 8), v = (-1, 1, 4) 14) Para qué valores de k el vector (2k, 1, -k) es ortogonal al vector (k, -2, 1)? 15) Determine condiciones sobre los componentes de v = (x, y, z) de modo que v sea ortogonal tanto a (1, 1, 0) como (0, 1, 1). 16) Determine la longitud de cada vector: a) (1, 2) b) (1, 3, -2 ) c) (k, 2, k+1) d) (-8, 1, 2) 17) Verifique que el triangulo con vértices A = (2, 3, -4), B = (3, 1, 2) y C = (7, 0, 1) es rectángulo. 18) Verifique que el triangulo con vértices A = (2, 3, -4), B = (3, 1, 2) y C = (-3, 0, 4) es isósceles ) Pruebe que el triángulo con vértices A = (-2, 1), B =,3 y C = 4, es rectángulo. Determine el 2 2 área. 20) Probar que el triangulo de vértices que el triangulo de vértices A = (-1, 1), B = (7, 7) y C = 3 3 3,4 4 3 es equilátero. 21) Pruebe que u v 2 = u 2 + v 2 2uv, para u y v vectores. 22) Pruebe que u v 2 u v 2 = 4uv, para u y v vectores. 23) Demuestre que los vectores u y v son ortogonales si y solo si u v 2 = u v 2. 24) Determine un vector unitario para el vector a: a) a = (2, -1, 3) c) a = (-1, -3) b) a = (0, 1, -1) d) a = (-4, 1, 3) 25) Determine el coseno del ángulo entre cada par de vectores: a) u = (1, 2) v = (2, -3) d) u = (0, -1) v = (1, 0) b) u = (1, -3) v = (-2, 5) e) u = (2, 3, 1) v = (3, -2, 0) c) u = (1, 4, 2) v = (-1, 5, 2) f) u = (2, 0, 1) v = (2, 2, -1) 26) Pruebe que el triángulo de vértices A = (-1, 3), B = (1, 0) y C = (5, 2) es obtusángulos. 27) Pruebe que el triángulo de vértices A = (2, 1), B = (1, 3) y C = (4, 5) es acutángulos. Página 10 de 23

11 PRODUCTO VECTORIAL u ( u, u, u ) v ( v, v, v ) Sea i ( 1, 0,0) j ( 0, 1,0) k ( 0, 0, 1) Se define el producto vectorial a b a d b c c d i j k u2 u3 u1 u3 u1 u2 u v u1 u2 u3 i j k v2 u3 v1 u3 v1 v2 v v u Ejemplo Sea u (1, 2, 6) v ( 4, 3,1) u v = Sea u ( 5, 2, 3) v ( 4, 0,5) u v = Pruebe i j k j i k i i 0 j k i k j i j j 0 k i j i k j k k 0 Teorema Sea u, 1) u v = v u v y w 2) k ( u v) ku v u k v 3) u v 0 u y v son paralelos 4) 0 u 0 5) u ( v w) u v u w 6) u u 0 3 vectores y k entonces se cumple 7) u ( u v) 0 y v ( u v) 0 (u v ) es perpendicular a u como a v. 1) Sea u = ( 5, 1, 2) y v = ( 4, 1, 3 ) verifique (u v ) es perpendicular a u como a v. Página 11 de 23

12 2) Determine condiciones sobre v ( x, y, z ) de modo que v (2, 1, 1) ( 0, 0, 0) ÁREA DE UN PARALELOGRAMO. Considere en Área = u v v 3 al paralelogramo generado por u y v 1) Halle el área del paralelogramo generado por u = ( 3, 0, 1 ) y v = ( 2, 1, 5 ). u 2) Halle el área del triangulo determinado por los puntos A ( 1, 2, 1 ), B ( 2, 4, 1 ) y C ( 3, 0, 4) 3) Halle el área del triangulo determinado por los puntos A( 6, 0, 3 ), B ( 0, 4, 5 ) y C (, 1, 2) Página 12 de 23

13 Rectas en el espacio v ( v, v, v ) un vector director de la recta L y A = ( a 1, a 2, a 3 ) un punto de la recta L. Sea La ecuación vectorial de L viene dada por la ecuación x = t v + A o ( x, y, z ) = t ( v1, v2, v3 ) ( a 1, a 2, a 3 ) 1) Sea v = ( 2, 1, 5 ) un vector director de L y A = ( 3, 1, 8 ) La ecuación vectorial de L viene dada por la ecuación 2) Halle la ecuación vectorial de la recta que contiene los puntos indicados. a) ( 4, 1,5) ; ( 8, 4, 9) b) ( 0, 5,6 ) ; ( 7, 2, 1) Las ecuaciones se pueden escribir de varias formas ( x, y, z ) = t ( v1, v2, v3 ) ( a 1, a 2, a 3 ) ( Ecuación vectorial ) x t v a 1 1 y t v a 2 2 z t v a 3 3 x a y a z a v v v ( Ecuaciones paramétricas ) ( Ecuación simétrica ) ) Obtenga la ecuación vectorial, paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los puntos a) ( 1, 1,8 ) ; ( 4, 5, 7 ) b) ( 4, 8, 3 ) ; ( 0, 3, 1 ) 3) Si L es una recta que tiene por ecuaciones simétricas paramétricas de L. x 3 y 3 z Obtenga la ecuación vectorial y Página 13 de 23

14 4) Sea v ( v1, v2, v3 ) un vector director de la recta L y A = ( a 1, a 2, a 3 ) un punto de la recta L.Determine la ecuación simétricas de L si v = ( 0, 1, 4 ) v = ( 7, 0, 3 ) v = ( 8, 4, 0 ) A = ( 9, 5, 1 ) A = ( 7, 9, 4 ) A = ( 1, 3, 6 ) INTERSECION DE RECTAS Si dos rectas se intersecan lo hacen en un único punto. 1) Dadas las rectas, determine su punto de intersección L 1 ( x, y, z ) = t (1, 0,2) (5, 3,1) L 2 ( x, y, z ) = k (2, 1,3) (9, 4,8) 2) Dadas las rectas, determine su punto de intersección L 1 ( x, y, z ) = t ( 1, 3,2) ( 6, 20,1) L 2 ( x, y, z ) = k (2, 4,7) (5, 9,1) RECTAS PARALELAS Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos. L 1 : x 3t 8 y 6t 3 z 2t 1 L 2 : x 9t 5 y 18t 3 z 6t 2 RECTAS ORTOGONALES es igual a 0. Dos rectas son ortogonales si el producto de sus vectores directores 1) determine si L 1 y L 2 son ortogonales. L 1 : x t 2 y 5t 9 z 3t L 2 : x y z 9k 1 3k 3 2k 1 2) Pruebe que las rectas son ortogonales y halle su punto de intersección x 1 2t x 5 4k L 1 : y z 4 5t L 2 : y 22 k 7 t z 15 3k 3)Pruebe que las rectas tienen vectores directores ortogonales, pero no se intersecan. x 1 y 2 z 1 y z 1 L 1 L 2 x Página 14 de 23

15 4) Pruebe que las son perpendiculares y halle su punto de intersección L 1 x t(3,1,0) (1, 4,1 ) L 2 x k(1, 3,2) ( 8,11, 5 ) ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS El ángulo entre dos rectas L a y L b es el ángulo entre sus vectores directos a y b. Determine el ángulo entre las rectas dadas x 4t 2 x 2k 1 L 1 : y 5t 9 z t 4 L 2 : y 3k 7 z 5k 8 Ejercicios Producto Vectoriales y Rectas 1) Determine a x b a) a = 2i 3j + k, b = 4j 5k b) a = i 4j + 7k, b = 7i + j 5k c) a = 0, 5, 5 b = 1, 3, 4 d) a = 1, 8, 2 b = 2, 3, 1 e) a = 2, 5, 0 b = 1, 3, 9 2) Sea i = ( 1, 0,0) ; j = ( 0, 1, 0 ) ; k = (0, 0, 1).Pruebe que a) i x j = k d) j x i = k b) j x k = i e) k x j = i c) k x i = j f) i x k = j 3) Encuentre el número o el vector indicado sin hacer el desarrollo completo. a) ( 3j) x k f) i x (4k) b) k x ( 2j 5k) g) j x k 3(i x j) c) ( 3k)x(5j) x (4i) h) i x ( 2j x 4k) d) (i x j) x k i) (i i) ( i x k) Página 15 de 23

16 e) 2j i x(j 3k) j) ( 4i x k) x (j x i) 4) Calcule el área del triángulo determinado por los puntos indicados a) ( 2, 3,5), ( 1, 4,5) y ( 2, 4, 1) b) ( 4, 5,0), ( 4, 4,1) y ( 1, 3, 5) c) ( 0, 0,0), ( 2, 4,1) y ( 1, 0, 2) d) ( 1, 2,3), ( 1, 2, 7) y ( 4, 7, 1) 5) Halle la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos indicados. a) ( 2, 4, 7) ; ( 3, 1, 2) b),,2 ;,, ) Encuentre ecuaciones paramétrica de la recta que pasa por los puntos indicados a) ( 2, 4, 1) ; ( 4, 7, 3) b),,1 ;,, ) Halle la ecuaciones en forma simétrica de la recta que pasa por los puntos indicados. a) ( 5, 1, 3) ; ( 10, 12, 2) b) ( 4, 7, 1) ; ( 1, 2, 6) 8) Encuentre ecuaciones paramétricas y una forma simétrica de la recta que pasa por el punto dado y es paralela al vector dado. a) ( 3, 5, 8) ; a = 6, 8, b) 3,,1 ; a,5, c ) ( 0, 4, 9) ; a = 1, 3, 4 d) ( 7, 2, 0) ; a = 2, 7, 3 9) Determine si se cortan las rectas dadas. Si es así, halle el punto de intersección. Si es así halle el punto de intersección a) x = 4 + t, y = 5+ t, z = 1 + 2t c) x = 2 t, y = 3 + t, z = 1 + t x = 6 + 2k, y = k, z = 3 + k x = 4 + k, y = 1 + k, z = 1 k b) x = 1 + t, y = 2 t, z = 3t d) x = 3 t, y = 2 + t, z = 8 + 2t x = 3 k, y = 1 + k, z = 6k x = 2 2k, y = 2 + 3k, z = ) Definición: El ángulo entre dos rectas L a y L b es el ángulo entre sus vectores directos a y b. Determine el ángulo entre las rectas dadas a) x = 4 t, y = 3 + 2t, z = 2t x = 5 + 2k, y = 1 + 3k, z = 5 6k b) x 1 2 y 5 7 z 1 1 ; x 3 x 9 z 2 4 c) ( x, y, z ) = t ( 2, 4.7) + ( 3, 1, 3 ) ; x = 3t 2, y = t +1, z =5t+ 4 11) ) Encuentre ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto dado y es perpendicular a este plano. a) x = 3 + t, y = 2 + t, z = 9 + t x = 1 2k, y = 5 + k, z = 2 5k Punto = ( 4,1, 6 ) x 1 b) y z x 4 y 6 z 10 ; Página 16 de 23

17 Punto = ( 1, 3, 10 ) PLANOS EN R 3 Un plano en plano 3 IR esta determinado por 2 vectores directores u y w y un punto A contenido en el Z La ecuación vectorial del plano viene dada por la ecuación x = tu + k w + A La ecuación paramétrica del plano viene dada por la ecuación Y x t v1 k w1 a1 y t v2 k w2 a2 z t v k w a Determine la ecuación vectorial y paramétrica del plano si 1) v = ( 4, 1, 9 ) y w = ( 8, 1, 3 ) vectores directores y A = ( 6, 2, 1 ) es un punto del plano. 2) Si contiene a los puntos A = ( 7, 2, 4 ), B = ( 5, 4, 3 ) y C = ( 2, 10, 7 ) 3) Si contiene a las rectas L 1 : x 4t 7 y 5t 3 z t 7 L 2 : x 4t 5 y 5t 3 z 2t 1 Página 17 de 23

18 VECTOR NORMAL Se llama vector normal a un plano a cualquier vector N que sea ortogonal a cualesquiera vectores directores del plano. N v U A la formula N ( X A ) 0 se llama la ecuación normal del plano, donde X ( x, y, z ) N ( n, n, n ) A ( a, a, a ) Entonces la ecuación N ( X A ) 0 se puede escribir ( n1, n2, n3 ) ( x, y, z ) ( a1, a2, a3 ) = 0 Se puede convertir en una ecuación de la forma a x b y c z d se llama la ecuación cartesiana del plano Dónde n 1 = a n 2 = b n c 3 Página 18 de 23

19 Determine la ecuación cartesiana del plano que satisfaga las condiciones indicadas. 1) Si N = ( 7, 1,6 ) vector normal y A = ( 3, 4, 9 ) punto del plano. 2) u = ( 3, 0, 1 ) y v = ( 2, 1, 5 ) son vectores directores y A = ( 8, 5, 2 ) punto del plano 3) u = ( 1, 4, 5 ) y v = ( 3, 1, 0 ) son vectores directores y A = ( 0, 5, 2 ) punto del plano 4) Si contiene a los puntos ( 2, 4, 1 ), ( 1, 8, 4 ) y ( 6, 1, 0 ) 5) Si contiene a las rectas l 1 : x = 8 + 3t, y = 5t 1, z = t + 7 l 2 : x = s ( 2, 1, 4 ) + ( 2, 7, 1). 6) Contiene al punto ( 1, 9, 5) y a la recta l : X = x 1 5 x z ) Si contiene al punto ( 2, 7. 3) y es L 1 x 3t 9 y t 1 z 7t 1 Página 19 de 23

20 PLANOS PARALELAS Dos planos P a y P b son paralelas si sus vectores normales son paralelos. Es decir N a = k N b 3x 5y z 18 9x 15y 5z 8 PLANOS ORTOGONALES Dos planos P a y P b son ortogonales si sus vectores normales son ortogonales. Es decir N a N b = 0 1) 4x 7y 3z 20 9x 3y 5z 23 2) Determine la ecuación cartesiana del plano contiene al punto ( 1, 4. 3) y es paralelo a plano 8x + y 5z = 14 3) Determine la ecuación de la recta L que es perpendicular al plano 3x + 7y 2z = 5 y pasa por el punto ( 2, 7, 10) 4) Sea 3x + 2y z = 8 la ecuación de un plano P. Determine a) un vector normal de P, b) dos directores vectores de P c) un punto del plano P. \5 ) Sea x 3y + 5z = 6 la ecuación de un plano P. Determine a) un vector normal de P, b) dos directores vectores de P c) un punto del plano P. Página 20 de 23

21 ÁNGULOS ENTRE DOS PLANOS El ángulo entre dos planos N a y N b es el ángulo entre sus vectores normales. 1) Determine el ángulo entre las rectas dadas a) 6x y + 5z = 7 4x + 8y = 9 2) Calcule el ángulo entre los siguientes planos X = t ( 2, 5 1) + k ( 0, 3, 4) + ( 5, 2, 8) y x 4y 8z = 27 INTERSECCIÓN DE UNA RECTA Y UN PLANO La intersección de una recta y un plano es un único punto. Halle el punto de intersección del plano y la recta dada: a) 4x y + 5z = 1 x = 1 +5t y = 2 2t z = 3t + 7 b) 5x + y 2z = 10 x = 3 4t y = 7 + 5t z = t Página 21 de 23

22 INTERSECCIÓN DE PLANOS Si dos planos se intersecan su intersección es una recta Encuentre la ecuación paramétrica de la intersección de los planos de ecuaciones 3x y 6z = 8 5x + 3y + 7z = 4. Ejercicios Planos 1) Halle la ecuación del plano que contiene al punto dado y es perpendicular al vector dado: a) (5, 1, 3), 2i 3j + 4k c) (6, 10, -7), -5i + 3k b) (1, 2, 3), 4i 2j d),,, 6i 8j 4k ) En cada caso determine la ecuación cartesiana del plano indicado: a) Contiene al punto (3, 2, -1) y tiene vector normal N = (-1, 2, 5) b) Contiene vectores directores v = (-5, 6, 0) y w = (-1, -2,3) y pasa por el punto A = (-2, 3, 4) c) Contiene a los puntos (1, 2, 3), (-1, 0, -1) y (3, 4, -5) d) Contiene a los puntos (-1, 4, 0), (0, 0, 2) y (-1, 2, 4) e) Contiene a los puntos (-2, 1, 3), (4, 1, 0) y (-1, 3, -2) 3) Determine una ecuación cartesiana del plano que satisfaga las condiciones indicadas: a) Contiene a (2, 5, -1) y es paralela a x + y 5z = 1 b) Contiene al origen y es paralela a 5x y + z = 6 c ) Contiene a las rectas l 1 : x = 1 2t l 2 : x = 5 3s y = 3 + t y = 1 + 4s z = 4t z = s x 1 y 1 z 5 4) Contiene a las rectas y x ( 1, 1,5) t(1,1, 3) ) Contiene a la recta x = 5t + 1 y al punto (4, -1, 3). y = 3t z = 1 + t 6) Contiene a (2, 4, 8) y es perpendicular a la recta x = 10 3t y = 5 + t z = t 7) Contiene al punto A = (3, 7, 2) y es paralelo a las rectas Página 22 de 23

23 x 1 z 2 x 3 y 2 l 1 : y 2 l 2 : z ) Contiene al punto A = (1, 0, -1) y contiene a la rectas x y 1 l 1 : z ) Contiene al punto (1, 1, 1) y es perpendicular a la recta que pasa por (2, 6, -3) y (1, 0, 2) 10) Determine cuales de los planos son ortogonales y cuales son paralelas a) 2x y + 3z = 1 d) 5x + 2y + 4z = 0 b) x + 2y + 2z = 9 e) 8x 8y + 12z = 0 c) x + y 2 3 z = 2 f) 2x + y 3z = 5 11) Dada la ecuación del plano, determine un vector norma, dos directores vectores y un punto del plano. a) 4x + 3y z = 3 c) 2x + y z = 10 b) 3x y + 5z = 2 d) x 3y + 5z = 2 12) Calcule el ángulo entre los siguientes planos. a) x 3y + 2z = 14 c) x 2y 5z = 10 x + y + z = 10 3x + 4y z = 8 b) 2x y 5z = 0 d) 2x y z = 3 x 3z = 8 3x + 5y + z = 12 13) Halle el punto de intersección del plano y la recta dada: a) 2x 3y + 2z = 7 b) x + y + 4z = 12 x = 1 +2t x = 3 2t y = 2 t y = 1 + 6t z = 3t z = t 14) Determine la ecuación de la recta perpendicular a las dos rectas dadas: l 1 : (x, y, z) = t(1, 2, -3) + (2, 2, -1) l 2 : (x, y, z) = s(-2, 1, 1) + (0, 2, 1) Página 23 de 23

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