Lección 10: División de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009

Transcripción

1 Lección 10: División de Polinomios Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 009

2 Objetivos de la lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Dividirán polinomios de dos o más términos por polinomios de uno y dos términos. Aplicarán el método de la división larga al dividir por un binomio. Aplicarán el método de la división sintética al dividir por un binomio del tipo (- a).

3 Introducción La división de polinomios es muy útil en muchas aplicaciones relativas a la economía, física e ingeniería, entre otras. Entre estas aplicaciones se encuentran la teoría de números, el análisis numérico, la teoría de operadores, la teoría de representación de grupos y la mecánica cuántica, por citar algunas.

4 Introducción Para dividir polinomios podemos aplicar varios métodos. En esta lección estudiaremos cómo se dividen polinomios de dos o más términos por polinomios de uno y dos términos. Estudiaremos el método de la división larga y el método de la división sintética. La división larga aplica a todo tipo de polinomio. La división sintética aplica solo a unos casos particulares que discutiremos más adelante.

5 Comprendiendo la División

6 Comprendiendo la División La división es una operación matemática que consiste en saber cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo). Ejemplo: Cuando decimos 6 dividido por (6 ), queremos determinar cuántas veces está contenido el dentro de 6. En este ejemplo, el es el divisor y el 6 es el dividendo.

7 Componentes de la División Los componentes de la división son los siguientes: Dividendo Divisor Cociente Residuo Divisor Cociente ) Dividendo - (cociente divisor) Residuo Se le llama cociente al resultado de la división y residuo al sobrante que se obtiene luego de restar el producto del cociente por el divisor. La relación eistente entre estos componentes es la siguiente: DIVIDENDO = (DIVISOR COCIENTE) + RESIDUO

8 Relación entre los Componentes de la División DIVIDENDO = (DIVISOR COCIENTE) + RESIDUO A veces es conveniente epresar la relación de división anterior de otra manera. Si dividimos cada lado de la ecuación anterior por el divisor, DIVIDENDO = (DIVISOR COCIENTE) + RESIDUO DIVISOR DIVISOR DIVISOR Obtenemos la siguiente epresión: 1 DIVIDENDO = COCIENTE + RESIDUO DIVISOR DIVISOR 1 Observa que el residuo es una parte fraccionaria del divisor.

9 Relación entre los Grados de los Componentes de la División Al dividir polinomios encontramos que el grado del residuo debe ser menor que el grado del divisor. Recuerda que el residuo es una parte fraccionaria del divisor. Así también, la división de polinomios asume que el grado del dividendo será mayor o igual que el grado del divisor ya que, de lo contrario, el cociente tendría eponentes negativos y entonces no sería un polinomio. Esta relación nos permite comparar con facilidad los grados de todos los componentes involucrados en la operación. Grado residuo < Grado divisor Grado divdendo

10 Formas de Epresar la División Eisten tres formas de epresar la división: Forma 1: a b, donde a es el dividendo y b es el divisor. Forma : b a, donde a es el dividendo y b es el divisor. a Forma :, donde a es el dividendo y b es el divisor. b La forma se conoce como la forma de la casita de división. La forma se conoce como la forma de fracción.

11 Formas de Epresar la División Es necesario que podamos intercambiar entre una epresión y otra para poder entender mejor y llevar a cabo el proceso de división. Por ejemplo: -En la epresión ( + + 1) ( + 1) debemos saber que la epresión a la izquierda del signo de división ( + + 1) es el dividendo y la que aparece a la derecha del mismo ( + 1) es el divisor. -Podemos epresar esa división de esta otra forma, en la cual el dividendo se coloca dentro de la casita de división y el divisor se coloca fuera de la misma: 1 -También, podemos epresar esa división de la siguiente manera: 1 1 1

12 Ejemplo 1 Eprese la siguiente división usando la forma (casita de división): 7 Cuando tenemos la forma de fracción, el polinomio que está en el numerador es el dividendo y el que está en el denominador es el divisor. En la forma el dividendo es el término que va dentro de la casita de división y el divisor el que va fuera: 7 1 1

13 Ejemplo Eprese la siguiente división usando la forma (forma de fracción): ( 5 6) ( En la forma 1 el dividendo es el término que que está a la izquierda del símbolo de división y el divisor es el que está a la derecha: En la forma el dividendo es el término que va en el numerador y el divisor el que va en el denominador: 5 6 )

14 División de Polinomios por un Monomio

15 División por un Monomio Ejemplo 1: ( ) Para dividir por un monomio es conveniente 5 epresar la división de esta forma: Observa que esto es una epresión racional, es decir, una fracción con numerador y denominador. En una epresión racional, el denominador es común a todos los términos del numerador, por lo tanto podemos re-escribir la epresión de la siguiente 5 forma: Continúa en la próima pantalla.

16 División por un Monomio En una epresión como la anterior, donde tenemos varios monomios divididos por otro monomio, aplicamos leyes de eponentes para simplificar cada 5 epresión: Esto es, se dividen los coeficientes numéricos que se puedan dividir y se restan los eponentes de las variables que tienen bases iguales. Siempre se resta el eponente de la variable que está en el numerador menos el eponente de la variable que está en el denominador. Si los coeficientes numéricos no se pueden dividir, se dejan epresados tal como están o se simplifican si tienen algún factor común entre sí.

17 División por un Monomio Aplicando las leyes de eponentes en el ejercicio anterior tenemos: Cuando tenemos un polinomio que se divide por un monomio, dividimos cada término del polinomio por el monomio, en forma individual. Luego aplicamos las leyes de eponentes.

18 Ejemplo Divide ( 1 8 ) por. Escribimos en forma de fracción y dividimos cada término del polinomio por el monomio. Luego aplicamos leyes de eponentes y simplificamos:

19 Ejemplo Divide ( ) por Escribimos en forma de fracción y dividimos cada término del polinomio por el monomio. Luego aplicamos leyes de eponentes y simplificamos: y y y y y y y y y y y y y 5 8 y y y y

20 División de Polinomios por un Binomio: Método de la División Larga

21 División por un binomio Divide ( ) por ( ). 5 8 Cuando tenemos un polinomio dividido por un binomio aplicamos el método de la división larga. El método de división larga es similar al proceso que utilizamos para dividir dos números cardinales cualesquiera. En la próima pantalla repasaremos la división de números cardinales.

22 Repaso de División de Cardinales Si deseamos dividir (565 5) utilizamos la casita de división y colocamos el dividendo y el divisor en el lugar correspondiente. Luego procedemos a dividir de la siguiente manera: Divisor Cociente Dividendo Residuo Ahora veamos el mismo proceso aplicado a polinomios.

23 División por un binomio Divide ( ) por ( ) Se divide y el resultado es.. Se coloca el resultado en el cociente.. Se multiplica el cociente por todo el divisor (+ ) y se coloca debajo del dividendo.. Ahora tendríamos que restar: ( + 5) ( +). Veremos en la próima pantalla.

24 División por un binomio Divide por (. ( 5 8) ) Recuerda que la resta de polinomios se convierte en la suma del opuesto de cada término del segundo polinomio: ( + 5) ( +) = ( + 5) + (- + -) Observa que los signos del segundo polinomio cambian al opuesto de lo que eran y ahora se suma, y no se resta. 6. Se efectúa la suma del opuesto y se baja el próimo término del dividendo. Observa que el primer término y - se eliminan. 7. Se repite el proceso (pasos 1-6). Veamos en la próima pantalla.

25 División por un binomio Divide por (. ( 5 8) ) Se efectúa la suma del opuesto. Observa que el primer término se elimina Hemos finalizado el proceso ya que no tenemos ningún otro término en el dividendo que tengamos que bajar. El resultado es ( + ) con residuo. 8. Se divide y el resultado es. 9. Se coloca el resultado + en el cociente. 10. Se multiplica el cociente + por todo el divisor (+ ) y se obtiene + 6. Se coloca este resultado debajo del anterior. Ahora tendríamos que restar y como restar equivale a sumar el opuesto tendríamos: ( + 8) ( +6) = ( + 8) + (- + -6)

26 División por un binomio Divide por Podemos epresar esta división de la siguiente manera: 5 8 Cociente ( ) Residuo Observa que el residuo es una parte fraccionaria del divisor.

27 Ejemplo Divide por ( 1. (5 6 8) ) Se divide 5 y el resultado es 5.. Se coloca el resultado 5 en el cociente.. Se multiplica el cociente 5 por todo el divisor ( - 1) y se coloca debajo del dividendo.. Ahora tendríamos que restar: (5 + ) (5 5 ). Veremos en la próima pantalla.

28 Continuación de Ejemplo Divide por Recuerda que la resta de polinomios se convierte en la suma del opuesto de cada término del segundo polinomio: (5 + ) (5 5 ) = (5 + ) + ( ) 6. Se efectúa la suma del opuesto y se baja el próimo término del dividendo. Observa que el primer término 5 y -5 se eliminan. 7. Se repite el proceso (pasos 1-6). Veamos en la próima pantalla.

29 Continuación de Ejemplo Divide por Se baja el próimo término Se divide 6 y el resultado es Se coloca el resultado + 6 en el cociente. 10.Se multiplica el cociente + 6 por todo el divisor ( - 1) y se obtiene 6 6. Se coloca este resultado debajo del anterior. Ahora tendríamos que restar y como restar equivale a sumar el opuesto tendríamos: (6 ) (6 6 ) = (6 ) + ( ) 11. Se eliminan los primeros términos 6 y -6 y el resultado es.

30 Continuación de Ejemplo Divide por Se repite el proceso de dividir, luego multiplicar, luego restar, finalmente bajar el próimo y último término. Observa que cuando se ha bajado el último término del dividendo y se ha obtenido el residuo correspondiente a éste, el proceso de división finaliza. Este será el resultado final.

31 Continuación de Ejemplo Divide por Podemos epresar esta división de la siguiente manera: (5 6 1 Cociente ) Residuo Observa que el residuo -11 es una parte fraccionaria del divisor. 11 1

32 Refleión Cuando se aplica la división larga hay dos reglas que hay que considerar antes de proceder a dividir. El dividendo y el divisor tienen que estar ordenados en forma descendente de acuerdo al grado mayor de una de las variables. Si faltara alguna potencia de la variable en el dividendo, hay que reservar este espacio con un cero. Esto significa que hay 0 ó 0 ó 0, dependiende de la potencia que falte.

33 Ejemplo : En este ejemplo tanto el dividendo como el divisor están ordenados en forma descendente, pero, en el dividendo faltan las potencias de y 1 por tanto, tenemos que reservar el espacio de estas dos potencias con un CERO Dividimos 15 por 5 y tenemos Continúa en la próima pantalla.

34 Continuación Ejemplo : Luego multiplicamos 5 por todo el divisor (5 -) y tenemos: Ahora tenemos que restar, por tanto, sumamos el opuesto y tenemos: Continúa en la próima pantalla. 8 8 Observa que si no hubiéramos reservado el espacio de la potencia de, no hubiéramos podido sumar ya que los términos no hubieran sido semejantes.

35 Continuación Ejemplo : Volvemos a dividir, esta vez, 50 por 5 que nos da 10. Luego multiplicamos 10 por el divisor (5 ). Finalmente sumamos el opuesto y bajamos el próimo término Continúa en la próima pantalla.

36 Continuación Ejemplo : 15 5 No hemos terminado de dividir ya que aunque se bajó el último término, todavía no hemos obtenido el residuo. 8 Volvemos a dividir, esta vez, 0 por 5 que nos da +. Luego multiplicamos por el divisor (5 ) y sumamos el opuesto. El resultado obtenido es el residuo Residuo

37 Ejemplo : 9 Se ilustra el proceso para dividir: Residuo El resultado es:

38 Ejemplo : 9 Se ilustra el proceso para dividir: Residuo El resultado es:

39 División de Polinomios por Binomios de la forma ( a): Método de la División Sintética

40 División Sintética La división sintética es un proceso de división sintetizado o resumido. Esto implica que es un proceso más corto, lo único que solo aplica cuando el divisor tiene la forma ( a), o sea el coeficiente de es 1. La división sintética se conoce también por el Método de Ruffini. Para entender mejor este método observa la próima pantalla.

41 División Sintética Compara la columna de la izquierda con la de la derecha. Qué observas? La columna a la izquierda ilustra el método de división larga. La columna a la derecha ilustra el mismo proceso, ecepto que solo aparecen los coeficientes, no aparecen las variables

42 Veamos otro ejemplo División Sintética Observa que como estamos dividiendo por un divisor donde el primer término tiene coeficiente 1, el coeficiente del cociente es igual al coeficiente del primer término del dividendo, ecepto por el signo opuesto

43 Veamos otro ejemplo División Sintética Observa que los coeficientes en color rojo son siempre el opuesto de los primeros coeficientes del dividendo (en color azul). Esto produce que siempre se eliminen los primeros términos cuando se van a sumar

44 Veamos otro ejemplo División Sintética Observa que los coeficientes en color rojo se pueden obtener también si en vez de sumar el opuesto se divide por el opuesto del divisor. Estos es, en vez de dividir por ( -) y luego sumar el opuesto, se puede dividir por (-+) y luego sumar en vez de restar

45 Refleión En la división sintética se sintetiza el proceso de división larga al tomar en consideración las observaciones anteriores. Ilustraremos el proceso de división sintética usando el mismo ejercicio anterior. Veamos en la próima pantalla: 7

46 Ejemplo 1: 7 Aquí se escribe el opuesto del segundo coeficiente del divisor. Este es el símbolo que se usa para representar la división sintética Aquí se colocan los coeficientes del dividendo en orden descendente. Si falta alguna potencia de la variable, se reserva el espacio con un cero Se coloca esta línea para separar los coeficientes de la suma Continúa en la próima pantalla.

47 Ejemplo 1: 7 1 El proceso comienza siempre bajando el primer término Colocamos una línea para separar el residuo del cociente.. Luego se multiplica el primer coeficiente por el coeficiente que representa el divisor y se coloca debajo del segundo término del dividendo.. Se suman los segundos coeficientes.. Se repite el paso y pero con el nuevo coeficiente hallado.

48 Ejemplo 1: Observa que al dividir por un divisor de grado 1 (-a), se producirá un cociente de grado uno menos que el grado del dividendo. Esto es, si el dividendo es de grado, el cociente será de grado. 7 Grado Grado COCIENTE RESIDUO Es por esto que podemos construir el cociente asignando a los coeficientes encontrados, comenzando con la variable en un grado menos que el grado del dividendo. Las demás potencias de las variables quedarán en forma descendente.

49 Ejemplo 1: 7 Grado 7 ( 5 11) Grado Grado 1 Como el residuo es parte fraccionaria del divisor tenemos que 9 representa: Grado 0

50 Ejemplo : Comenzamos colocando los coeficientes del dividendo asegurándonos que las variables están en orden descendente Colocamos el opuesto del coeficiente en el divisor. COCIENTE RESIDUO Bajamos el primer coeficiente. Repetimos el proceso de multiplicar y sumar hasta obtener el residuo. Sumamos los segundos coeficientes Multiplicamos el coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del segundo coeficiente.

51 Ejemplo : RESIDUO Grado Grado Grado ( 8 15) 0 Cociente + Residuo 8 15

52 Ejemplo : COCIENTE RESIDUO Colocamos los coeficientes del dividendo en orden descendente. Como falta la potencia, reservamos el espacio con un cero Colocamos el opuesto del coeficiente en el divisor. Bajamos el primer coeficiente. Repetimos el proceso de multiplicar y sumar hasta obtener el residuo. Sumamos los segundos coeficientes Multiplicamos el coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del segundo coeficiente.

53 Ejemplo : COCIENTE RESIDUO 7 5 ( )

54 Ejemplo : COCIENTE RESIDUO 1 1 ( 1)

55 Ejercicios de Práctica

56 Instrucciones En tu libreta, realiza los ejercicios a continuación. Luego, haz clic para ver resultados.

57 Ejercicios de Práctica Divide los polinomios a continuación y 7 0y 5y 15y 9y 5 y (a b 1a b a b) (a b) 16a b 7ab 11

58 Ejercicios de Práctica Divide los polinomios a continuación. ( 10 1) ( ) 7 ( a 8a 16) ( a ) ( a ) a (y 6y 1) (y ) (y y ) 6 y ( 5 6) ( ) ( 9) 1

59 Ejercicios de Práctica Divide los polinomios a continuación. ( 5) ( 1) ( 1) 1 ( a 11a 19) ( a ) ( a 7) a 7 ( 5 18) ( ) ( 9 6) ( y 16) ( y ) ( y y y 8)