CUERPOS REDONDOS. LA ESFERA TERRESTRE

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1 IES PEÑAS NEGRAS. Geometía. º ESO. CUERPOS REDONDOS. LA ESFERA TERRESTRE 1. CUERPOS REDONDOS. Un cuepo edondo es un sólido que contiene supeficies cuvas. Dento de los cuepos edondos los más inteesantes son los cuepos de evolución. Los cuepos de evolución son los cuepos geométicos que se foman al gia una figua plana alededo de un eje. Actividad 1. Cuáles de las siguientes figuas son cuepos edondos? Cuáles son cuepos de evolución? De cuáles conoces el nombe? Razona tus espuestas. A B C D E F G H I J. CILINDRO El cilindo es un cuepo edondo limitado po una supeficie cilíndica y dos bases paalelas. La supeficie cilíndica es una supeficie cuva fomada po infinitos segmentos paalelos. Los cilindos pueden se: - Rectos, si los segmentos que foman la supeficie cilíndica son pependiculaes a las bases. - Oblicuos, si los segmentos que foman la supeficie cilíndica no son pependiculaes a las bases. El cilindo de evolución ecto es un cuepo de evolución geneado po el gio de un ectángulo o cuadado alededo de uno de sus lados. Coloquialmente lo llamaemos cilindo. Los elementos del cilindo son: - Las bases, dos cículos iguales y paalelos. - La supeficie lateal o supeficie cilíndica que es la caa lateal no plana que une las bases. - El adio del cilindo que es el adio de las bases. - El eje es el lado del paalelogamo que, al gia sobe si mismo, genea la supeficie cilíndica. - La geneatiz, es el lado opuesto al eje que genea la supeficie cilíndica. - La altua, es la distancia ente las bases. Actividad : Indica los elementos del cilindo en la siguiente figua.

2 IES PEÑAS NEGRAS. Geometía. º ESO. Desaollo de un cilindo: Al desaolla un cilindo ecto obtenemos un ectángulo (o cuadado) y dos cículos iguales que son sus bases. La base del ectángulo es la longitud de la cicunfeencia de la base y la altua del ectángulo es la altua (que coincide con la geneatiz) del cilindo. Veáse la figua: Al desaolla un cilindo oblicuo obtenemos un omboide (o ombo) y dos cículos iguales que son sus bases. La base del omboide es la longitud de la cicunfeencia de la base y la altua del omboide es la altua (que no coincide con la geneatiz) del cilindo. Veáse la figua: Áea de un cilindo: o Áea lateal, el áea del paalelogamo que se obtiene en el desaollo. A L o Áea de la base, el áea del cículo. A B o Áea total del cilindo es la suma del áea lateal más el áea de las dos bases. AT AL AB donde es el adio de la base y es la altua del cilindo. Volumen de un cilindo: V AB Actividad : Responde a las siguientes cuestiones: a. Calcula el áea del cilindo. Actividad 4: Responde a las siguientes cuestiones, sabiendo que = dm, d = y = 5 dm a. Calcula el áea del cilindo.. CONO d Cuepo edondo limitado po una supeficie cónica y po una base plana. La supeficie cónica está fomada po infinitos segmentos con un punto común, llamado vétice. Los conos pueden se: - Rectos: cuando el vétice equidista de los puntos fontea de su base, un cículo. El eje de otación es pependicula a la base. - Oblicuos: cuando el vétice no equidista de los puntos fontea de su base, un cículo. El eje de otación no es pependicula a la base. El cono de evolución ecto es un cuepo de evolución geneado po el gio de un tiángulo ectángulo alededo de uno de sus catetos. Coloquialmente lo llamaemos cono ecto o cono. Los elementos del cono ecto son: - Las base que es un cículo. - La supeficie lateal o supeficie cónica que es la caa lateal no plana que une la base con el vétice.

3 IES PEÑAS NEGRAS. Geometía. º ESO. - El adio del cono es el adio de la base. - El eje es el cateto del tiángulo ectángulo que, al gia sobe él, genea la supeficie cónica. - La geneatiz, es la ipotenusa del tiángulo ectángulo que genea la supeficie cilíndica. - La altua, es la distancia ente la base y el vétice. Actividad 5: Indica los elementos del cono en la siguiente figua. Desaollo de un cono: Al desaolla un cono ecto obtenemos un secto cicula y un cículo. La longitud de aco del secto cicula es (con el adio del cono) y su adio es la geneatiz del cono. Veáse la figua: Áea de un cono: o Áea lateal, el áea del secto cicula que se obtiene en el desaollo. g A L o Áea de la base, el áea del cículo. A B o Áea total del cono es la suma del áea lateal más el áea de la base. A T AL AB donde es el adio de la base y g es la geneatiz del cono. Volumen de un cono: V AB Actividad 6: Responde a las siguientes cuestiones, siendo R = cm y = 4 cm. a. Calcula el áea del cono. Actividad 7: Responde a las siguientes cuestiones, siendo R = 6 cm y g = 10 cm a. Calcula el áea del cono, 4. TRONCO DE CONO Un tonco de cono ecto se foma al cota un cono ecto po un plano paalelo a la base. Los toncos de cono tienen dos bases ciculaes de difeente tamaño y una caa lateal cuva. Un tonco de cono ecto es un cuepo de evolución que se genea al ota un tapecio ectángulo alededo de su lado pependicula. Los elementos del tonco de cono ecto son: - Las bases que son los cículos (base mayo y base meno)

4 IES PEÑAS NEGRAS. Geometía. º ESO. - La supeficie lateal es la caa lateal no plana que une las dos bases. - Los adios del tonco de cono son los adios de las bases. - El eje, lado del tapecio ectángulo que, al gia sobe él, genea la supeficie cónica. - La geneatiz, es el lado del tapecio ectángulo que no es base ni el eje. - La altua, es la distancia ente las bases. La altua del tonco (), la difeencia de los adios (R-) y la geneatiz (g) foman un tiángulo ectángulo. Desaollo de un tonco de cono ecto: Al desaolla un tonco de cono ecto obtenemos un tapecio cicula y dos cículos. La longitudes de aco del tapecio cicula son: R y (con R es el adio mayo y es el adio meno) y su difeencia de adios es la geneatiz del tonco de cono. Veáse la figua: Áea de un tonco de cono: o Áea lateal: es el áea del secto cicula que se obtiene en el desaollo. A L ( R ) g o Áea de las bases: A B ( R ) o Áea total del cono es la suma del áea lateal más el áea de la base. A T AL AB donde R es el adio mayo, es el adio meno, g es la geneatiz y es la altua del cono. Volumen de un tonco de cono: V R R Actividad 8: Responde a las siguientes cuestiones: a. Calcula el áea del tonco de cono. 5. ESFERA. Una esfea es un cuepo edondo limitado po una supeficie esféica. La supeficie esféica es una supeficie cuva ceada cuyos puntos equidistan de oto inteio llamado cento de la esfea. Una esfea es un cuepo de evolución que se genea al ota un semicículo alededo de su diámeto. Los elementos de la esfea son: - El cento de la esfea, el punto que equidista de todos los puntos de la supeficie esféica que delimita a la esfea - El adio de la esfea, cada uno de los segmentos que unen un punto de la supeficie esféica con el cento. También se le llama así a la longitud común de estos segmentos. La esfea es un cuepo edondo cuya supeficie esféica que lo delimita no es desaollable en el plano. Es deci, no es posible extende la supeficie esféica en un plano de foma exacta. A lo lago de la istoia se an apotado difeentes tipos de epesentaciones planas de la supeficie esféica, todas ellas muy elacionadas con la epesentación plana del globo teeste. Áea de una esfea: A 4 donde es el adio de la esfea.

5 IES PEÑAS NEGRAS. Geometía. º ESO. 4 Volumen de una esfea: V donde es el adio de la esfea. Actividad 9: Responde a las siguientes cuestiones: a. Calcula el áea de una esfea de adio = cm. b. Calcula el volumen de dica esfea. Actividad 10: En tu vida cotidiana obseva a tu alededo y encuenta ejemplos de objetos (apaatos, utensilios, edificios, fomas de la natualeza, ) con foma de cuepo edondo. Anota el objeto y el tipo de cuepo edondo. OBJETO 1... TIPO DE CUERPO REDONDO 6. FIGURAS ESFERICAS Casquete esféico. Cada una de las pates que se foman en la supeficie esféica al cotala po un plano. Áea del casquete esféico: A casquete Volumen del casquete esféico: V casquete Actividad 11: Responde a las siguientes cuestiones: a. Calcula el áea del casquete esféico de adio, = 7 cm, y altua, = cm. b. Calcula el volumen de dico casquete esféico. 6.. Zona esféica. Pate de la supeficie esféica compendida ente dos planos paalelos. La poción de esfea delimitada po dos planos paalelos se denomina segmento esféico. Áea de la zona esféica: A zona Volumen de la zona esféica: V segmento R 6 Actividad 1: Responde a las siguientes cuestiones: a. Calcula el áea de la zona esféica de adios, R = 9 cm y = 7 cm, y altua, = cm. b. Calcula el volumen del segmento esféico. 6.. Huso esféico. Pate de la supeficie esféica compendida ente dos planos secantes que pasan po el cento de la esfea. La poción de esfea delimitada po dos planos secantes que pasan po el cento de la esfea se denomina cuña esféica. Áea del uso esféico: Áea de la cuña esféica: A uso V cuña α

6 IES PEÑAS NEGRAS. Geometía. º ESO. Actividad 1: Responde a las siguientes cuestiones: a. Calcula el áea del uso esféico de adio, = 8 cm, y amplitud α = 45º. b. Calcula el volumen de la cuña esféica. 7. LA ESFERA TERRESTRE Elementos de la esfea teeste. - Eje teeste: Eje imaginaio de la Tiea cuando gia sobe sí misma. Sus extemos son el Polo Note y el Polo Su. - Ecuado: Es la cicunfeencia máxima pependicula al eje de la Tiea. Divide a la Tiea en dos Hemisfeios, el Hemisfeio Note y el Hemisfeio Su. Los Polos están sepaados 90º del Ecuado. - Meidianos: Cicunfeencias que pasan po los Polos, y que son pependiculaes al Ecuado. Cada punto de la Tiea tiene su Meidiano, po lo tanto, ay un númeo infinito de ellos. El llamado "Meidiano Ceo", es aquél que sive de efeencia paa medi las Longitudes, también se le denomina Meidiano de Geenwic, ya que pasa po la ciudad inglesa de Geenwic. - Paalelos: Son las cicunfeencias paalelas y menoes al Ecuado. También ay un númeo infinitos de ellos, peo se destacan: el Tópico de Cánce, el Tópico de Capiconio, el Cículo Pola Ático y el Cículo Pola Antático. 7.. Coodenadas geogáficas. Los paalelos y meidianos foman una ed geogáfica de líneas imaginaias que pemiten ubica la posición de un punto cualquiea en la supeficie teeste. Las Coodenadas Geogáficas o Teestes son la Latitud y Longitud y se expesan en gados sexagesimales. - La Latitud: es la medida en gados, sobe el mismo meidiano, ente el Ecuado y el punto coespondiente. El Ecuado se toma como línea de base, y le coesponde la Latitud de 0º. Todos los puntos que estén ubicados en el mismo paalelo, les coesponden la misma Latitud. Puede medi de 0º a 90º, todos aquellos que se encuenten al Su del Ecuado, eciben la denominación Su (S), con signo negativo; y aquellos que se encuenten al Note del Ecuado, eciben la denominación Note (N), con signo positivo. - La Longitud: es la medida en gados, sobe el Ecuado, ente el Meidiano Ceo y el meidiano que pasa po el punto coespondiente. El llamado Meidiano de Geenwic se toma como línea de base, y le coesponde la Longitud de 0º. Todos los puntos que estén ubicados en el mismo meidiano, les coesponden la misma Longitud.

7 IES PEÑAS NEGRAS. Geometía. º ESO. Puede medi de 0º a 180º, todos aquellos que se encuenten al Oiente (Este) del Meidiano de Geenwic, eciben la denominación Este (E); y aquellos que se encuenten al Oeste del Meidiano de Geenwic, eciben la denominación Oeste (O). Los polos Note y Su no tienen Longitud.