ESTALMAT-Andalucía Actividades 06/07 Sesión: 19 Fecha: 14/04/07 Título: Aritmética modular Segundo Curso. Aritmética modular

Transcripción

1 Recordando... Aritmética modular División entera (o euclídea). División exacta Definición.- Dados dos numeros naturales a (dividendo) y b 0 (divisor), llamamos división entera entre ellos a la operación que consiste en encontrar otros dos números q (cociente) y r (resto) tales que se cumpla: a = b q + r siendo 0 r < b Se demuestra que q y r existen siempre y son únicos. Cuando el resto es nulo, r = 0, diremos que la división es exacta. Máximo común divisor Definición.- El máximo común divisor de dos números naturales a, b es otro número natural d tal que : 1. d a y d b. 2. Si e N, e a y e b, entonces e d. 3. Se escribe d = m c d (a, b). Esto es lo mismo que decir que el máximo común divisor de dos números es el mayor de sus divisores comunes. Lo calculamos tomando, en la descomposición en factores primos de ambos, los factores primos comunes a a y b elevados a los menores exponentes. Mínimo común múltiplo Definición.-El mínimo común múltiplo de dos números naturales a y b es otro número natural M tal que: 1. a M y b M. 2. Si p N, a p y b p, entonces M p. 3. Se escribe M = m c m (a, b). Esto es lo mismo que decir que el mínimo común múltiplo de dos números es el menor de sus múltiplos comunes. Se calcula tomando, en la descomposición en factores primos de ambos números, los factores primos comunes y no comunes elevados a los mayores exponentes. Antonio Aranda, José M Chacón, Antonio Pozo 1

2 Actividad Descomponer en producto de factores primos los números a = 36 y b = Hallar el m c d (a, b) y el m c m (a, b). 3. Si llamamos d = m c d (a, b) y M = m c m (a, b), comprueba que se verifica la igualdad a b = d M (El producto de dos números coincide con el producto de su m c d por su m c m). 4. Intenta demostrar esta propiedad para cualesquiera números a y b naturales. Algoritmo de Euclides Este algoritmo sirve para hallar el m c d de dos números y se basa en los siguientes hechos: 1. Si r es el resto de la división de a entre b, entonces m c d (a, b) = m c d (b, r). 2. Si a es múltiplo de b, entonces m c d (a, b) = b. 3. Se dividen los dos números iniciales colocando el cociente encima del divisor y el resto debajo del dividendo. Luego el resto pasa a hacer el papel de divisor. Y así, repitiendo la división, llegamos necesariamente a un resto 0. Entonces, el último resto distinto de 0 es el máximo común divisor buscado. Ejemplo: En la práctica hacemos el siguiente esquema, que aplicamos aquí para el caso concreto de hallar el máximo común divisor de 32 y 20 Por tanto, m c d (32, 20) = 4 Actividad Por qué en el algoritmo anterior se llega necesariamente a un resto 0? 2. Aplicar el Algoritmo de Euclides a 33 y 10 para calcular su máximo común divisor. 3. Repetir el algoritmo para 456 y 108. Antonio Aranda, José M Chacón, Antonio Pozo 2

3 Identidad de Bézout Dados dos números naturales a, b, sea d = m c d (a, b). Entonces existen números enteros x, y tales que d = a x + b y El cálculo de los enteros x, y que aparecen en la identidad de Bézout se basa en el algoritmo de Euclides para hallar el máximo común divisor de dos números, debiendo tener presente que los enteros que se obtienen no son únicos. Ejemplo: Hacemos el caso particular a = 33 y b = 10. El máximo común divisor de 33 y 10 es 1: Entonces: esto es, 1 = = 10 3 ( ) = = ( 3) de donde x = 10 e y = 3. 1 = ( 3) Actividad Encontrar una solución a la identidad de Bézout para 456 y Aplicar el caso particular anterior para resolver el siguiente problema de medir el tiempo con relojes de arena: qué puedes hacer para medir un período de 1 minuto si tienes un reloj de 33 minutos y otro de 10 minutos? Antonio Aranda, José M Chacón, Antonio Pozo 3

4 Congruencias Definición.- Fijemos un entero positivo n y sean a, b Z. Se dice que a es congruente con b (módulo n) si a y b dan el mismo resto al dividirlos por n. Ejemplo: (mod 6) porque al dividir 82 entre 6 da resto 4 y al dividir 34 entre 6 da resto 4. Observa que la diferencia = 48 es múltiplo de 6. Actividad 4. Decir que a y b dan el mismo resto al dividirlos entre n es equivalente a decir que a b es múltiplo de n. En notación simbólica: a b (mod n) a b Zn (Zn representa el conjunto de los múltiplos de n) Trata de demostrar esta equivalencia. Recuerda que hay que hacerlo en los dos sentidos. Propiedades: 1. a) Reflexiva a a (mod n), a Z. b) Simétrica Si a b (mod n), entonces b a (mod n). c) Transitiva Si a b (mod n) y b c (mod n), entonces a c (mod n). 2. Si a a (mod n) y b b (mod n), entonces a + b a + b (mod n) y ab a b (mod n). Actividad 5. Las demostraciones de estas propiedades son muy sencillas. Intenta hacer alguna de ellas. Puedes utilizar el resultado de la Actividad 4. Actividad 6. Probar las siguientes afirmaciones. 1. Los números pares son congruentes dos a dos, módulo Los números impares son congruentes dos a dos, módulo Los múltiplos de n son congruentes con 0, módulo n. 4. Todo número es congruente, módulo n, con el resto de su división por n. Antonio Aranda, José M Chacón, Antonio Pozo 4

5 Criterios de divisibilidad Divisibilidad entre 3 Vamos a ver, utilizando congruencias, que un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es divisible entre 3. Consideremos, por ejemplo, el número Sabemos que su representación en base decimal es: 7542 = Calculemos los restos, módulo 3, de las sucesivas potencias de 10 (restos potenciales): (mod 3) (mod 3) (mod 3) (mod 3) Multiplicando la primera congruencia por 2, la segunda por 4, la tercera por 5 y la última por 7, resulta: (mod 3) de donde 7542 será divisible por 3, si es divisible por 3. Como = 18 es divisible por 3, entonces 7542 es divisible por 3. En general, si a = a a a k 10 k se tiene (mod 3) (mod 3) (mod 3) k 1 (mod 3) Por tanto, a a 0 + a a k (mod 3), de donde: Un número es divisible por tres si la suma de sus cifras es divisible por tres. Actividad 7. Halla, utilizando congruencias, los criterios de divisibilidad para: 9, 2, 5, 11 y 7. Antonio Aranda, José M Chacón, Antonio Pozo 5

6 Actividad 8. Un enigma: emulando a Sherlock Holmes. La escena transcurre en Granada en junio de Hace poco he tenido que ir a renovarme el carnet de identidad, que llevaba ya un par de meses caducado. Es una de esas cosas que tiene uno que hacer tarde o temprano, así que el otro día iba yo todo dispuesto a plantar allí la huella de mi pulgar y marcharme, hasta que me encontré en la comisaría con una cola de unas quince personas, todas ellas esperando a renovar su carnet o hacerse el pasaporte. Una verdadera pesadez. En fin, paciencia. Delante de mí iba una mujer con un bolso naranja que aparentemente se aburría tanto o más que yo, así que empezamos a quejarnos por pasar el rato: Yo no sé por qué no pueden poner a más gente, si ven que ahora, antes de las vacaciones, todo el mundo quiere renovarse el carnet. Hacernos esperar aquí, con este calor..., decía ella. Desde luego, desde luego, contesté, porque yo me tengo que ir y podían darse un poco de prisa. Claro que hay que entenderlos, todo el día rellenando lo mismo... Dije eso porque tampoco me gusta meterles mucha prisa a los pobres. Pues por eso mismo. Si llevan todo el día así, podían tener ya un poco más de práctica, no? Que yo me tengo que ir esta tarde a Chiclana con mi hermana y todavía no tengo ni las maletas hechas, sabes? Al decirlo, me fijé en que tenía acento de Cádiz y le pregunté por eso. Sí, en mi familia somos todos de Cádiz! Yo estuve allí hasta los catorce años y luego me vine a Granada, y mi hermana se fue a Málaga. Desde entonces alternamos las visitas cada tres años: uno me voy yo a Málaga, otro la invito yo aquí a mi casa, y el tercero nos vamos las dos a Chiclana a ver a mis padres. Hemos hecho eso desde que nos fuimos de Cádiz; recuerdo el verano que pasamos con mis padres cuando yo tenía diecisiete años... Me encanta esa playa... En ese momento pareció acordarse de la cola, y dijo A ver si terminan ya y puedo irme de una vez! Sólo quedaban tres personas delante de nosotros; tres o cuatro minutos más. Sabes? Cuando tenía dieciocho años me hice el carnet de identidad. Desde entonces lo he renovado puntualmente cada cinco años, como debe ser, y nunca he tenido que esperar tanto. Hoy todo el mundo se ha puesto de acuerdo para venir eh? Sí, eso parece. Estuvimos esperando un poco más y cuando sólo quedaba una persona delante de nosotros nos dieron el impreso para poner nuestros datos ( rellenen esto, y firmen aquí, aquí y aquí ).. Mientras escribíamos, vi casualmente que la mujer con la que había estado hablando se llamaba Amparo y que había nacido un 29 de febrero. Vaya, curioso día, pensé. Terminamos, entregamos los impresos y las fotos, pusimos la huella donde correspondía y nos limpiamos con la toallita que nos dieron. Le dije a la mujer que hasta luego, le deseé que se lo pasara bien en la playa con su hermana y me quedé pensando mientras me iba a casa que, verdaderamente, Amparo parecía mucho más joven de lo que en realidad era. Cuántos años tenía Amparo? Intenta resolver lógicamente el enigma. Antonio Aranda, José M Chacón, Antonio Pozo 6

7 Actividad 9. Comprueba que la solución del enigma se halla resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones modulares, donde x es la edad de Amparo: x 17 (mod 3) x 18 (mod 5) 2005 x 0 (mod 4) o, equivalentemente, Vamos a ver cómo se resuelve: (S) x 2 (mod 3) x 3 (mod 5) x 1 (mod 4) 1. Intenta resolver primero el siguiente sistema modular: a 1 (mod 3) (S 1 ) a 0 (mod 5) a 0 (mod 4) Solución.- Como m.c.d. (3, 20) = 1, por la identidad de Bézout, tenemos que = 1. Esto es, 20 = 3 ( 7) + 1, lo que nos dice que 20 (que da resto 0 al dividirlo entre 20) da resto 1 al dividirlo entre 3. Así, tenemos una solución: 2. Haz lo mismo con: Indicación: Utiliza Bézout con 5 y Haz lo mismo con: Indicación: Utiliza Bézout con 4 y 15. (S 2 ) (S 3 ) 20 1 (mod 3) 20 0 (mod 5) 20 0 (mod 4) b 0 (mod 3) b 1 (mod 5) b 0 (mod 4) c 0 (mod 3) c 0 (mod 5) c 1 (mod 4) 4. Comprueba que x = 2a + 3b + c = 127 es una solución del sistema (S). 5. Demuestra que, sumando múltiplos enteros de 60 = 3 5 4, se obtienen otras soluciones, entre ellas las del enigma inicial. Antonio Aranda, José M Chacón, Antonio Pozo 7