X. LA ELIPSE DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO. La recta que pasa por el punto medio del segmento el, se llama EJE MENOR de la elipse.

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1 X. LA ELIPSE DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definiión Se llm elipse l lugr geométrio de un punto P que se mueve en el plno, de tl modo que l sum de ls distnis del punto P dos puntos fijos F ' F (llmdos foos), mntienen l sum onstnte. Siendo P un punto ritrrio de l elipse, se onviene indir l sum onstnte omo PF' PF. L ret que ontiene los foos F ' F se llm EJE FOCAL o EJE MAYOR de l elipse. L ret que ps por el punto medio del segmento el, se llm EJE MENOR de l elipse. F' F es perpendiulr El punto donde se ortn el eje mor el eje menor es el CENTRO C de l elipse. Los puntos en los que l elipse ort sus ejes A, VÉRTICES de l elipse. A ', B B ' se llmn Mgnitudes: Eje mor AA' ; Eje menor BB' ; Semieje mor CA ; Semieje menor CB ; Distni fol F' F ; Por el teorem de Pitágors en el triángulo CFB se tiene ; luego > CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE CON REGLA Y COMPÁS Un form de onstruir un elipse on regl ompás puede logrrse siguiendo el siguiente proedimiento: ) Se suponen onoidos los semiejes mor menor. 6

2 ) Se trzn irunferenis on entro omún l de l elipse, de rdios r 1 r. ) Por el entro de l elipse C se trzn vrios rdios que ortrán ls irunferenis en los puntos P Q. d) Por los puntos P se trzn rets prlels l eje menor por los puntos Q rets prlels l eje mor, el punto de rue M de ests rets prlels, son puntos de l elipse. e) Repitiendo el pso nterior tnts vees omo se re onveniente, se tendrán tntos puntos de l elipse que l unirlos on líne ontinu se otendrá un osquejo stnte eptle de l urv FORMA ORDINARIA DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL SOBRE ALGUNO DE LOS EJES COORDENADOS ( ) ( 0) ( ) ( 0) Eje fol oinidiendo on el eje. Siendo FF', ls oordends de F ' F son: ',0 F,0. F ( ), ( ) Si el punto ( ) P, es un punto ritrrio de l elipse, se dee umplir por definiión que PF' PF. Aplindo l fórmul de l distni entre puntos del plno: 7

3 8 L epresión represent l euión de l elipse on ls rterístis ntes epuests, pr hllr un form más simple de est euión, se efetún operiones lgeris omo sigue: islndo el primer rdil elevndo l udrdo mos miemros ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ; omo ; dividiendo l euión entre 1 L euión es l FORMA ORDINARIA de l euión de l elipse on entro en el origen eje fol sore el eje. Los ELEMENTOS de l elipse de euión referidos l sistem de oordends, son:

4 L uerd que ps por d foo es perpendiulr l eje mor, se llm LADO RECTO ( LR ) de l elipse ls oordends de los puntos L R los podemos lulr hiendo en l euión : 1 despejndo l se tiene: 1 ; ; omo ; ; ± ± por lo tnto L,, R,, L ',, R', Un oservión importnte es l siguiente, omo l euión ontiene sólo potenis pres en ls vriles, esto indi que l elipse es SIMÉTRICA on respeto d uno de los ejes oordendos l origen tmién, por lo que undo se diuje su gráfi, es sufiiente onsiderr solmente l prte que está situd en el primer udrnte oordendo donde los vlores de 0 provehndo l simetrí de l elipse se puede ompletr su gráfi. 9

5 Si el eje fol oinide on el eje, l euión de l elipse en form ordinri on entro en el origen se otiene en form similr l nterior, siendo su euión sus elementos: 1 Euión del eje fol: 0 Euión de eje menor: 0 del mor deno min dor de del menor deno min dor de ; LR L EXCENTRICIDAD de un elipse determin l form de est urv, l rzón onstnte e indi que tn iert o errd es l elipse. Si e 0 permnee onstnte, entones 0 omo ; ;, esto indi que los dos foos oiniden on el entro de l elipse l euión 1 se onvierte en l euión de un irunfereni on entro en el origen rdio r o se 1;. Conforme el vlor de e ree, los foos de l elipse se seprn lejándose del entro deree, esto es, que si e 1 entones por lo tnto 0 por lo que 0 l euión 1 no se puede plir l gráfi de l elipse degener en el segmento de ret que onet los foos. Por onsiguiente, hrá elipse rel si l eentriidd vrí dentro del intervlo 0 < e < 1. () 3 () 3 EJEMPLOS 1) Otener l euión de l elipse uos foos son F '( 5,0), ( 5,0) mor es 1. Soluión F l mgnitud del eje De uerdo on l informión dd, ls oordends del entro son C ( 0,0) l euión de l elipse es de l form 1, l longitud del eje mor es 1 ; 1 ; 6, 50

6 10 l distni fol FF', si 10 ; ; 5, omo ; ( 6) ( ) 5 ; 36 5 ; 11; , sustituendo los vlores de en l euión : 1 que es l euión pedid ) Bosquejr l gráfi de l elipse Soluión Pr osquejr l gráfi de l euión de l elipse dd, es neesrio otener sus elementos, siendo que se trt de un elipse on entro en el origen C 0,0 eje mor oinidiendo on el eje, ( ) 16 ; ; 9 ; 3 ; ; ; 7. 6 ; F ( 0, 7 ), F '( 0, 7 ); ' 0, 3,0 B ' 3,0, nho fol: A ( 0,), ( ) A ; B ( ), ( ) ( 9) LR ; L, 7, R, 7, 9 9 L ', 7, R ', 7, eentriidd: 7 e ) Bosquejr l gráfi de l elipse Soluión L elipse tiene entro en el origen de oordends C 0,0, el eje mor oinide ( ) on el eje, 36 ; 6 ; 16 ; ; ; ; F 5,0, ( ) F '( 5,0) ; A ( 6,0), '( 6,0) B ( 0,), B '( 0, ) ( 16) A ;, nho fol: 16 LR

7 8 8 L 5, ; R 5, ; L ' 5, ; R ' 5,, eentriidd: e ) L eentriidd de un elipse on entro en el origen es on el eje, otener su euión osquejr su gráfi. 5 e su eje fol oinide 8 Soluión 5) Un elipse on entro en el origen tiene un vértie ( 0,6) 10, otener su euión osquejr su gráfi. Soluión De uerdo on l informión dd, l euión de l elipse es de l form 1 A 0,6 ; 6, l longitud del eje menor Si ( ) 10 ; 5 ; 11; ; 36 5 ; 0,0 B 5,0, ; A ( 0, 6) ; C ( ); ( ) B '( 5,0) ; nho fol: ( 5) LR ; ( 0, 11) F, 5 Si e ; 5; 8 8 ; 6 5 ; ; nho fol: ( 39) 39 LR ; A ( 8,0) 8 B 0, 39, B '( 0, 39) 39 F ; L 5, 8 39 R 5, ; 39 L ' 5, R ' 5, ; e 0. 63; A '( 8,0) ; ( ) F ( 5,0), '( 5,0) A l longitud de su eje menor es 5

8 ( 0, 11) F ' ; L, 11, R, 11, L ', 11, R ', 11 ; e euión: EJERCICIOS 1) Oteng los elementos de l elipse 1 osqueje su gráfi. 5 ) Hllr l euión de l elipse uos foos son F '( 6,0), F ( 6,0) tiene vérties B ( 0,), B '( 0, ). 1 3) Oteng l euión de un elipse on entro en el origen, nho fol igul, su 5 eje mor oinide on el eje, osquejr su gráfi. ) Un elipse horizontl, on entro en el origen tiene longitud de los semiejes mor menor 6 5 respetivmente, oteng su euión osqueje su gráfi. 5) Un elipse on entro en el origen tiene longitud del eje mor sore el eje igul 8 uniddes longitud del eje menor uniddes, otener su euión osquejr su gráfi ELIPSE CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN Y EJE FOCAL PARALELO A ALGUNO DE LOS EJES COORDENADOS Anlizndo l euión de l elipse en form ordinri on entro en el origen C ( 0,0) eje fol oinidiendo on el eje, 1 se oserv l siguiente propiedd esenil: el oiente indi que: ( ) Dis tn i de un punto ulquier de l elipse l semieje menor Mgnitud del semieje mor el oiente ( ) indi que: ( Dis tn i de un punto ulquier de l elipse l semieje mor ) ( Mgnitud del semieje menor) Aplindo est propiedd esenil de l elipse, podemos otener l euión en form ordinri de ulquier elipse en el plno oordendo, vemos los siguientes sos: C, eje fol prlelo l eje. Si P (, ) es un punto ulquier de l elipse, plindo l propiedd esenil se tiene: ( ) ( ) PM PN 1, omo PM h PN k ) Coordends del entro de l elipse ( h k). ( h) ( k) 1 53

9 . es l euión de l elipse en form ordinri on entro ( h k) ) Coordends del entro de l elipse ( h k) C, eje fol prlelo l eje. Siendo ( ) C, eje fol prlelo l eje P, un punto ulquier de l elipse, plindo PM l propiedd esenil se tiene: ( ) ( ) 1 PN, omo PM k PN h k ( ) ( ) ; 1 h es l euión de l elipse en form ordinri on C h, k eje fol prlelo l eje. entro ( ) En ls euiones, ls ntiddes, tienen el mismo signifido que en ls nteriores euiones, por lo que pr osquejr l gráfi de ulquier de ls forms o no dee presentr mor difiultd l otenión de sus elementos: Ls oordends A ', B ', L ', R ', F ', R son fáiles de otener provehndo l simetrí de l elipse. ( h) ( k) 1 Ls oordends A ', B ', R, R ', L ', F ', se pueden otener on filidd provehndo l simetrí de l elipse. ( k) ( h) 1 5

10 EJEMPLOS ) Bosquejr l gráfi de l elipse ( ) ( ) 1 Soluión L euión dd es de l form ( h) ( k) 1 (elipse horizontl). Donde prtir del onoimiento de ls oordends del entro C ( h, k ) (, 3) de los vlores de 16 ; 9 3 ; 7 podemos otener todos los elementos de l elipse. Nos onretmos l otenión de los elementos del primer setor de l elipse provehndo su simetrí, se otendrán el resto de sus elementos: 3 A ( h, k) ( 6, 3) ; ( h, k ) (,0) F ; L h, k 7,. 1 3 A, 3 ; F '( 7, 3) ; R 7, ; L ' 7, ; 1 7 R ' 7, ; e ; E. eje mor: 3 ; E. eje menor: B ; ( h, k) ( 7, 3) Por simetrí: B '(, 6) ; '( ) ) Otener l euión de l elipse uos foos son F (,), '(, ) A (,6), osquejr su gráfi. Soluión F uno de sus vérties El entro de l elipse se loliz l mitd del segmento F' F o se: F F ' F F ' C h, k (,0) ; CF ; ; CA ; 6 ; ; 5 A ( h, k ) (,6) ; B ( h, k) ( 5,0) ; ( h, k ) (,) Por simetrí: '( 5,0) B ; A '(, 6) ; ( ) E. eje mor: ; E. eje menor: 0 ; E. elipse: 16 F ; L h, k, F ', ; R, ; L ', ; R ', ; e ; ( )

11 3) Otener l euión de l elipse de vérties A ( 1,3), '( 5,3) osquejr su gráfi. A eentriidd e, 3 56 Soluión E. eje mor: 3 ; E. eje menor: El entro de l elipse se loliz l mitd del segmento AA ' o se: A A' A A' C h, k (,3) ; CA ; 3; si e ; e 3 ; ; 3 5 h, k 1,3 B h, k,3 5 ; ; ( ) ( ) A ; ( ) ( ) 1 F ( h, k) ( 0,3) ; L h, k 0, 3 ',3 5 ' 5,3 F ; Por simetrí: ( ) B ; A ( ); '(,3) R 0, ; 1 L ', 3 3 ; R ', 3 ; ; E. elipse: ( ) ( ) 1 e ; 3

12 ) Otener l euión de l elipse on entro C (,), foo F (,7), vértie '(, 5) osquejr su gráfi. Soluión CF ; 5; CA ; 7 ; 6 A h, k,9 ; ( ) ( ) B h, k 6, ; F ( h, k ) (,7) ( ) ( ) A 5 h, k, 7 B ' 6, 7 5 A '(, 5) ; F '(, 3) ; R,7 ; L ',3 ; R ', e 0.71 ; E. eje mor: 7 E. eje menor: ; E. elipse: ( ) ( ) 1 9 L. Por simetrí: ( ) 5) Prolem: Un ro semielíptio de onreto rmdo, tiene un lro (distni entre los poos) de 10 metros un ltur máim de metros (ver figur). Pr onstruir diho ro, es neesrio puntlrlo distnis d metros, se pide otener l ltur de d puntl. Soluión Pr otener mgnitudes de l elipse poder otener su euión, uimos el ro semielíptio en un sistem de ejes oordendos omo se muestr en l figur: su euión es de l form ( h) ( k) 1. Longitud del eje mor 10 ; 5; longitud del semieje menor C 5,0, ; oordends del entro ( ) ( 5) euión de l elipse 1. L 5 16 ltur de los puntles se otienen despejndo l vrile de l euión de l elipse onsiderndo solo l prte positiv: 57

13 10 5 lo mismo en 6 metros:. Por simetrí de l elipse, los puntles en 8 metros son de igul longitud, si metros metros ; ( ) ( ) si ; ( ) ( ) EJERCICIOS ) Bosquejr l gráfi de l elipse ( ) ( ) 1 ) Los foos de un elipse son F '(,), F (,10) uno de sus vérties A (,1) euión osquejr su gráfi. 3) Los vérties de un elipse son A '(, 3), ( 8, 3), otener su A l mgnitud de su ldo reto 3 LR, oteng su euión osquejr su gráfi. 5 ) Un elipse tiene entro C ( 1, ), foo F ( 1,6) vértie B '(, ) osqueje su gráfi., oteng su euión 5) Un ro de entrd un tetro es un semielipse omo se muestr en l figur, oteng su euión. 58

14 10.. FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON EJE FOCAL PARALELO A ALGUNO DE LOS EJES COORDENADOS ( h) ( k) k h Si en ls euiones 1 1 multiplimos por, desrrollmos los udrdos, trsponemos ordenmos términos, se otiene l euión de l elipse en FORMA GENERAL A C D E F 0 uos ejes son prlelos los oordendos, los oefiientes A C son distintos de ero, diferentes numérimente del mismo signo, los oefiientes de primer grdo D E indin que el entro de l elipse está fuer del origen, si D 0 el entro se loliz sore el eje, si E 0 estrá sore el eje, el término independiente F indi que l elipse no ps por el origen si F 0 l elipse si ps por el origen. ( ) ( ) Reípromente, undo un elipse es dd en su form generl, puede otenerse su form ordinri plindo el método de ompletr udrdos on esto osquejr su gráfi. EJEMPLOS En d iniso se d l euión de un elipse en form generl, se pide otener su form ordinri, sus elementos osquejr su gráfi. 1) 1 0 Soluión Pr plir el método de ompletr udrdos es neesrio ordenr l euión: ( 3 ) se omplet el trinomio udrdo perfeto: 3 3 () 1 3 () 1 ( 1) dividiendo todo entre 8 : ( ) 1 3 FORMA ORDINARIA 59

15 Elementos: 8; ; 3 ; ; 8 ; ; C 1, ; A 1, ; A ' 1, ; B 1, ; B ' 1, ; F 1, ; F ' 3, ; L 1, ; L ' 3, ; R 1, ; R ' 3, ; LR ; e 0. 7 ) Soluión Agrupndo términos: ftorizndo ompletndo udrdos: [ ()] 9 ( 1) 36 9( 1) dividiendo entre 36 : ( 1) ( 1) 9 1 Elementos: ( 1,0 ) FORMA ORDINARIA C ; 9 ; 3; ; 9 5; 5 A ( 1,3) A '( 1, 3) ; B ( 3,0) ; '( 1,0 ) F 1, 5 ( 1, 5) B ; ( ) 7 7 F ' ; ; L, 5 ; L ', R, 5 ; R ', 5 ; LR e

16 3) Soluión Agrupndo términos ftorizndo: ( ) 0 ompletndo udrdos: [ ( ) ] 0 16 ( ) 36 dividiendo entre 36 : ( ) ( ) 9 Elementos: ( 0, ) 1 FORMA ORDINARIA C ; 36 ; 6 ; 9 ; 3 ; ; 3 3 A '( 6, ) ; B ( 0,1) ; '( 0, 5) B ; F ( 3 3, ) ; '( 3 3, ) F ; R 3 3, ; R ' 3 3, ; LR 3 ; e ) Soluión ; A ( 6, ) 1 1 ; L 3 3, ; L ' 3 3, Agrupndo términos ftorizndo: 16( ) 6 0 ompletndo udrdos: 16( 1) 6 ( 3) ( 1) ( 3) 5 dividiendo entre 5 : ( ) ( ) 1 Elementos: ( 1, 3) 1 3 FORMA ORDINARIA C ; 5 ; 5; ; ; ; A ( 1, ); A '( 1, 8) ; B, B ', 3 ; F 1, 3 ; F ' 1, 3 ; ; L 16,

17 1 375 L ', 3 ; R, 3 ; R ', 3 ; LR ; e ) Soluión Ordenndo términos: dividiendo entre 1 : FORMA ORDINARIA 9 16 C 0,0 ; 16 ; ; 9 ; 3 Elementos: ( ) ; 7 B '( 3,0) ; ( 0, 7 ) F ; '( 0, 7 ) ; A ( 0,) ; A '( 0, ) ; B ( 3,0) 9 9 F ; ; L, L ', 7 ; R, 7 ; R ', 7 ; LR e EJERCICIOS En d iniso se d l euión de un elipse en form generl, oteng su euión en form ordinri, sus elementos osquejr su gráfi. 1) ) ) ) )

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