Décimo y Undécimo Niveles de Abstracción MORENO

Transcripción

1 Álgebra 4 Décimo y Undécimo Niveles de Abstracción MORENO

2

3 Álgebra 4 Décimo y Undécimo Niveles de Abstracción José Luis Moreno Aranda

4 Álgebra 4 Décimo y Undécimo Niveles de Abstracción José Luis Moreno Aranda Grupo Mathematiké, SA de CV Prohibido Reproducir Todos los Derechos Reservados Impreso en México 2011 ISBN

5 Contenido Introducción La Pedagogía de la Espiral Ascendente Para la Enseñanza de las Matemáticas Material didáctico Mathematiké Objetivo del libro Cómo está organizado el libro Niveles en la apropiación del conocimiento matemático Nuestra página de Internet vii viii viii viii viii viii Capítulo 1 La Recta de los Números Reales Diagrama de la recta de los números reales 11 El cero no es un número como los demás 11 El cero es la bisagra del espejo de los números reales 11 El signo menos indica al número imagen 11 La inconmensurabilidad de los números reales 12 El infinito 12 Tiende a 12 Clasificación de los Números Números reales y números imaginarios 13 Números reales 13 Números racionales o fraccionarios 13 Números naturales 14 Números enteros 14 Números irracionales 14 Números irracionales algebraicos 14 Números trascendentes 14 Números imaginarios 14 Números complejos 15 Diagrama de conjuntos de la clasificación de los números 15 Propiedades de los Números Reales Definiciones, axiomas y teoremas 17 Primera Propiedad 18 Segunda Propiedad 19 Tercera Propiedad 19 Cuarta Propiedad 20 Quinta Propiedad 22 Sexta Propiedad 22 Séptima propiedad 28 Octava propiedad 31 Novena propiedad 32 Décima propiedad 36 V

6 Resumen de las propiedades de los números reales 45 Primera Propiedad 45 Segunda Propiedad 45 Tercera Propiedad 45 Cuarta Propiedad 45 Quinta Propiedad 45 Sexta Propiedad 45 Séptima propiedad 46 Octava propiedad 46 Novena propiedad 46 Décima propiedad 47 Capítulo 2 Notación Científica Definición de notación científica 51 Logaritmos Definición de logaritmo 53 Leyes de los logaritmos 55 Logaritmos base Tabla de Logaritmos Base Capítulo 3 Teorema de Newton o Teorema Binomial Definición de un binomio elevado a la potencia n 69 Desarrollo de un binomio aplicando la ley distributiva 69 Los coeficientes de un binomio a la potencia n. El triángulo de Pascal 70 Los coeficientes de un binomio a la potencia n usando el triángulo de Pascal 70 Desarrollo de un algoritmo para calcular los coeficientes de un binomio a la potencia n 71 Factorial de un número 72 Operaciones con factorial 72 Algoritmo para encontrar los coeficientes de (a + b) n usando la notación de factorial 73 Algoritmo para encontrar los exponentes de (a + b)n usando la notación de factorial 73 Fórmula para encontrar el término r (T r ) de (a + b) n 74 Sumatoria 75 Algoritmo para desarrollar el binomio (a + b) n usando la notación de sumatoria 75 Diferencia de Dos Términos Elevados a la Potencia n Desarrollo del algoritmo para calcular la diferencia de dos términos elevados a la potencia n 77 Capítulo 4 Ecuaciones Concepto de ecuación 81 Solución o raíz de una ecuación 81 Clasificación de las ecuaciones según el máximo exponente de su incógnita 82 Ecuaciones de Primer Grado o Lineales Definición de ecuación de primer grado 83 Solución o raíz 83 Ecuaciones lineales sin solución 83 Ecuaciones lineales que son identidades 83 Ecuaciones lineales con solución 84 Problemas de aplicación de ecuaciones lineales 86 Ecuaciones de Segundo Grado Definición de ecuación de segundo grado o cuadrática 95 Teorema del factor cero 95 Solución o raíces de una ecuación de segundo grado 95 Todas las ecuaciones de segundo grado se resuelven por factorización 96 Casos para la solución de una ecuación de segundo grado 96 VI Solución de una ecuación de segundo grado sin término independiente 96

7 Solución de una ecuación de segundo grado sin término lineal 97 Solución de una ecuación de segundo grado cuando la ecuación puede factorizarse en dos binomios 98 Solución de una ecuación de segundo grado completando el cuadrado para poder factorizarla 100 Solución de una ecuación de segundo grado usando la fórmula general 103 Problemas de aplicación de ecuaciones de segundo grado 105 Números Complejos Los números complejos 108 La unidad imaginaria 108 Los números imaginarios 108 Los números complejos y sus conjugados 109 Operaciones con números complejos 109 Suma de números complejos 109 Multiplicación de números complejos 109 División de números complejos 110 Propiedades de los números complejos 110 Ecuaciones cuadráticas cuyas raíces son complejas 111 Capítulo 5 Ecuaciones Con Valor Absoluto Definición de valor absoluto 115 Ecuaciones de Otros Tipos Ecuaciones que pueden agruparse 117 Ecuaciones que contienen exponentes racionales 118 Ecuaciones que contienen radicales 118 Ecuaciones tipo cuadráticas 120 Desigualdades Definición de desigualdad 122 Solución de una desigualdad 122 Propiedades de las desigualdades 122 Notación utilizada en las desigualdades 123 Solución de desigualdades lineales 123 Intervalos de solución 126 Sistemas de desigualdades lineales 127 Desigualdades de cocientes mayores o menores a cero 129 Desigualdades de otros tipos 131 Desigualdades con valor absoluto 137 Capítulo 6 Análisis de la Gráfica de Una Ecuación Gráfica de una ecuación 141 Variables dependientes y variables independientes 141 Sistema coordenado cartesiano 141 Gráfica de una ecuación 143 Tabular y graficar 143 Análisis de la gráfica de una ecuación 144 La Recta La ecuación de una gráfica 150 Un punto cualquiera que pertenece a una gráfica 150 Requisitos para que una recta esté determinada 150 Pendiente de una recta 151 Ecuación de una recta 153 Casos especiales de rectas 157 Distancia entre dos puntos 159 Coordenadas del punto medio entre dos puntos 160 Punto R(x R, y R ) a una distancia r (fracción) entre dos puntos 161 Rectas paralelas 163 Rectas perpendiculares 164 VII

8 El Círculo Definición del círculo 168 Ecuación del círculo con centro en el origen 168 Ecuación del círculo con centro en C(α, β) 169 Ecuación general del círculo 170 Recta Tangente al Círculo Definición de recta tangente al círculo 172 Capítulo 7 Sistemas de Ecuaciones Definición de un sistema de ecuaciones 177 Solución de un sistema de ecuaciones 177 Solución algebraica de un sistema de ecuaciones 178 Método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones 180 Sistemas de Ecuaciones Lineales Definición de un sistema de ecuaciones lineales 181 Condición necesaria para que un sistema de ecuaciones lineales tenga solución única 181 Sistemas de ecuaciones lineales equivalentes 183 Teorema de los sistemas equivalentes 183 Métodos de eliminación e igualación para resolver sistemas de ecuaciones lineales y no lineales 184 Definición de sistemas de ecuaciones lineales con dos variables 186 Sistemas de ecuaciones lineales en dos variables con un número infinito de soluciones 186 Sistemas de ecuaciones lineales en dos variables sin solución 187 Sistemas de ecuaciones lineales con tres o más incógnitas 188 Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos 189 Solución de un sistema lineal homogéneo 189 Sistemas de Ecuaciones Lineales con Matrices Definición de una matriz 191 Expresión de un sistema de ecuaciones lineales usando una matriz 191 Solución de un sistema de ecuaciones lineales usando una matriz 192 Método de eliminación de Gauss 192 Sistemas de Ecuaciones Lineales Utilizando Determinantes Definición de determinante 195 Orden de una matriz y su determinante 195 Definición de menores y cofactores 196 Teorema sobre la expansión de los determinantes 198 Caso especial. Expansión de un determinante de orden 3 (n = 3) 199 Teorema sobre la transformación de los renglones y las columnas de un determinante 200 Teorema sobre renglones o columnas idénticos en una matriz 203 Regla de Cramer Solución de sistemas de ecuaciones lineales usando determinantes 204 Fracciones Parciales Definición de fracciones parciales 208 Condición necesaria para que una expresión racional pueda ser descompuesta en fracciones parciales 209 Procedimiento para descomponer una expresión racional en fracciones parciales 209 Casos al descomponer una expresión racional en fracciones parciales 210 Apéndice Respuestas de los Ejercicios Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo 7 241

9 Introducción La Pedagogía de la Espiral Ascendente Para la Enseñanza de las Matemáticas Este libro de texto ha sido elaborado utilizando la Pedagogía de la Espiral Ascendente para la enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas. Esta pedagogía tiene como marco filosófico referencial una filosofía humanista, es decir, tiene como único objetivo promover las capacidades que identifican a un ser como humano: la imaginación, la inteligencia, la creatividad, la libertad, etcétera. Por lo cual, el plan estratégico de este libro ha sido diseñado pensando únicamente en la promoción humana de los estudiantes que ahora transitan por los salones de clase. Esta pedagogía ha sido enriquecida utilizando la epistemología de Bernard Lonergan 1. Esta metodología pedagógica consiste en un proceso de cinco pasos que se repiten cada vez que introducimos un nuevo concepto matemático. En nuestra página de Internet se encuentra una explicación detallada de esta novedosa metodología. La estrategia pedagógica consiste de cinco pasos: 1. Contextualizar el conocimiento. Explicitar claramente qué concepto matemático vamos a estudiar y colocarlo sobre la espiral ascendente del conocimiento. Verificar que el estudiante ya se ha apropiado de los conceptos previos necesarios y saber con precisión cuál será el siguiente concepto que estudiaremos, ya que los conceptos no son entes aislados que aparecen de repente, sino que son como ladrillos, que para poder formar una barda, se colocan para soportar a los que estarán encima de ellos. 2. Experimentar una realidad sensible utilizando los sentidos, para permitirle al estudiante entender el concepto. A través de una estrategia pedagógica adecuada, el estudiante utilizando sus sentidos, debe tocar, ver, oír, oler o gustar el concepto, para que extrayendo datos inquiera e imagine y así pueda captar la unidad inteligible de esos datos y por lo tanto entender. Usando la geometría como hilo conductor en el estudio de las matemáticas, hemos podido utilizar imágenes y material didáctico manipulable para la apropiación de los principales conceptos de las matemáticas. 3. Demostrar o verificar que lo entendido es cierto. Cuando el alumno ha entendido y por lo tanto, ha podido formular con sus propias palabras el concepto, entonces se pregunta si lo que ha entendido es verdadero. El estudiante utilizando el conocimiento matemático que hasta este momento ha adquirido, demuestra el concepto dándose así en él o ella la comprensión total. 4. Aplicar el conocimiento adquirido y desarrollar la habilidad al usarlo en la solución de diferentes tipos de problemas. Al aplicar el conocimiento, el alumno desarrolla o crea el algoritmo que le permite realizar operaciones o resolver problemas en forma ordenada y eficiente. Sin embargo, no basta sólo con que el alumno construya el algoritmo correspondiente, sino que también, es indispensable que desarrolle la habilidad y acumule la experiencia necesaria para el planteamiento y resolución de ese tipo de problemas. ix

10 5. Evaluar lo aprendido y la forma como fue aprendido. La evaluación la hacemos en dos sentidos. Primero, debemos verificar si el estudiante se ha apropiado del concepto matemático estudiado y ha desarrollado la habilidad y acumulado la experiencia necesaria en el planteamiento y resolución de problemas. Después, debemos evaluar la forma en la cual hemos expuesto al alumno al concepto, es decir, nuestro propio trabajo como maestros. Material didáctico Mathematiké El material didáctico Mathematiké ayuda a los estudiantes a aplicar sus sentidos para que en forma sencilla, amena y divertida entiendan y demuestren el concepto que estudian. El uso continuo de los juegos, posibilita a los alumnos a desarrollar la habilidad en la aplicación de los conceptos. Objetivo del libro El libro de texto Integración del Conocimiento Algebraico es un recorrido completo de toda el álgebra básica que un estudiante debe saber, antes de empezar la gran aventura del álgebra intermedia. Este libro de texto contiene todos los conceptos, algoritmos, aplicaciones y ejercicios de álgebra intermedia que todo estudiante de preparatoria debe conocer para completar su formación matemática antes de ingresar a la universidad. El primer capítulo presenta todas las propiedades de los números reales y sus demostraciones para que el estudiante pueda ver en forma integral la belleza y poder del álgebra. El último capítulo contiene las fracciones parciales que son el antecedente necesario para resolver problemas de cálculo integral. Cómo está organizado el libro Este libro corresponde al décimo y undécimo niveles de abstracción y ha sido organizado siguiendo la lógica y dinámica de la espiral ascendente del conocimiento. Sugerimos que el libro sea recorrido en el orden en el que aparecen los capítulos. Niveles en la apropiación del conocimiento matemático La Pedagogía de la Espiral Ascendente del Conocimiento para la enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas, propone que el alumno vaya consolidando niveles de abstracción y el desarrollo de las habilidades que el nivel requiere. Para que los estudiantes vayan penetrando en el fascinante mundo de la abstracción matemática, sin dar brincos y gozando el conocimiento que van adquiriendo, recomendamos fuertemente, no pasar al siguiente nivel de abstracción hasta que el maestro ya ha verificado que los alumnos están preparado para hacerlo. Nuestra página de Internet Con el objeto de tener una vía de comunicación directa entre los maestros, los alumnos y el grupo de investigadores que hacemos esta propuesta educativa, el proyecto de investigación en la enseñanza de las matemáticas Mathematiké tiene una página en el internet: www. mathematike.org En este sitio, presentamos con mucho más detalle la Pedagogía de la Espiral Ascendente del Conocimiento, la lista completa y actualizada del material didáctico y de los libros de texto y de trabajo. Es nuestro compromiso mantener siempre al día nuestra propuesta educativa, por lo cual, la comunicación con ustedes los maestros, nos es de vital importancia. 1. Lonergan, Bernard. Collected works of Bernard Lonergan. Insight. Volume 3. University of Toronto Press x