Semana 6. Factorización. Parte I. Semana Productos 7 notables. Parte II. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es...

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1 Semana Productos 7 notables. Parte II Semana 6 Empecemos! El tema que estudiarás en esta sesión está muy relacionado con el de productos notables, la relación entre estos y la factorización, dado que son operaciones inversas. Así como la resta es la operación contraria de la adición, la factorización es una herramienta que permite simplificar expresiones algebraicas complejas. La comprensión de la factorización, conjuntamente con su práctica constante, te permitirá: Identificar expresiones algebraicas que puedan factorizarse. Reconocer los diferentes casos de factorización. Aplicar correctamente los métodos de factorización en las expresiones algebraicas. Qué sabes de...? 1. Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 3y-5 2. Qué significan las soluciones de una ecuación de segundo grado? 3. Desarrolla el siguiente producto notable: (12x-5)(12x-5) El reto es... Con el estudio de esta semana podrás resolver problemas como el siguiente: un acuario en forma de prisma rectangular tiene un volumen de 2x 3-20x 2 +50x Cuál es la longitud del prisma en función de x de la longitud de la caja? 195

2 Semana 7 Vamos al grano Los números pueden ser expresados como producto de dos o más números, así 60 se puede escribir de diversas maneras como: 60= = =(-10) (-6) 60= = El proceso de factorización puede considerarse como inverso al proceso de multiplicar. Factorizar una expresión (un número, polinomio ) significa descomponerla como producto de dos o más expresiones (factores). Cuando se factoriza una expresión, se obtiene una expresión equivalente a la original. Los polinomios, al igual que los números, pueden ser expresados como el producto de dos o más factores algebraicos (polinomios de menor grado). Casos de factorización Para realizar la factorización se pueden utilizar varias técnicas: sacar factor común, productos notables o aplicar la regla de Ruffini (esta última no será abordada en este semestre). A continuación esbozaremos algunos métodos; cabe agregar que estos son los más elementales y que no todas las expresiones pueden factorizarse con los citados en esta guía. Caso 1. Factor común Recordarás que en la multiplicación de un monomio con un polinomio utilizamos la propiedad distributiva para multiplicar cada término del monomio por el polinomio. Al factorizar hacemos lo contrario, sacamos el factor común: número, letra o ambos (monomios) que aparecen en cada uno de los términos del polinomio. Detalla los siguientes ejemplos: a) 5x2y+5xy 3 b) -2a 2 b+4a 2 b+6b 2 ax c) 3z 4-6z 3 +18z 2-9z d) 6x+18 Observa que en el ejercicio a) en todos los monomios aparece el 5, la x y la y, así 5xy es un factor común; en el b) el factor común es 2ab, por qué? En el caso c) determina cuál es el factor común; en d) a simple vista pareciera que no tiene términos comunes, pero el 18 se puede descomponer como 6 3=18, reescribimos la expresión 6x+18=6x+3 6 y observamos que el 6 es común a los dos términos. 196 En general, cómo factorizamos este tipo de expresiones?

3 Semana 7 Se debe transformar la expresión polinómica dada en un producto, donde uno de los factores es común entre todos los términos y el otro se obtiene al dividir cada término del polinomio original entre el factor común. Fíjate en la factorización del siguiente polinomio: 7m 3 z-21m 2 nz-56m 2 z El M.C.D. de (7, 21, 56)=7, luego el factor común es 7m 2 z Observa que m 2 z está en cada término, además los coeficientes son múltiplos de 7. Así el factor común es 7m 2 z. Otra manera es calcular el máximo común divisor de los coeficientes y multiplicarlo por la menor potencia de mz (en este caso es m 2 z). (7m 3 z)/(7m 2 z) (21m 2 nz)/(7m 2 z) (56m 2 z)/(7m 2 z)= m 3n 8 Se divide cada término del polinomio entre el factor común. 7m 3 z-21m 2 nz-56m 2 z = 7m 2 z (m-3n-8) El polinomio es igual al producto del factor común por el polinomio obtenido en el paso anterior. Relacionemos este caso con algunas de las formas de la función cuadrática, por ejemplo y=6x 2 +24x. Si tienes que hallar el punto de corte con el eje de las x, qué tienes que hacer? Debes sustituir y=0 en la función, obteniendo así la ecuación de segundo grado: 0=6x 2 +24x. Cuando estudiamos la función cuadrática resolvimos esta ecuación mediante la fórmula general: -b± x = b 2-4ac 2a Esta fórmula fue abordada en semestres anteriores. Veamos que es posible resolverla aplicando factor común: 0=6x(x+4). Cuando el producto de los factores es cero, al menos una de las cantidades es cero, así 6x=0 o x+4=0; al despejar la x de ambas ecuaciones, resulta que x=0 o x=-4. Es importante observar que en 6x 2 +24x=6x(x+4) el miembro derecho es la factorización y está expresado como el producto de dos factores de menor grado, 1, que el polinomio original, cuyo grado es

4 Semana 7 Caso 2. Factorización por grupos Observa la siguiente expresión3xy+15x-4y-20 Hay factor común? Puede darse el caso que aunque no aparece factor común en todos sus términos, es posible factorizarlo en grupos iguales de términos y luego se aplica el caso 1. El polinomio de 4 términos puede factorizarse en dos grupos, se eligen de tal manera que los polinomios que quedan al factorizarlos (factor común) sean iguales, como se muestra a continuación: (3xy+15x)+(-4y-20) 3x(y+5)-4(y+5) (3x-4) (y+5) Otro ejemplo más: a(m+4n)+bm+4bn Agrupamos los términos: =a(m+4n)+b(m+4n) Factor común a y b =(a+b)(m+4n) Factorizamos (m+4n) Caso 3. Diferencia de cuadrados Dado el siguiente polinomio: 9z 2-16 es posible escribirlo como el producto de dos factores? Revisa la semana 5, donde abordamos productos notables en este semestre. El caso del producto notable de la suma por su diferencia es igual a la diferencia de cuadrados, es decir: (x-a) (x+a) = x 2 -a 2 (1) Suma por su diferencia Diferencia de cuadrados La expresión 9z 2-16 es una diferencia de cuadrados. Al reescribirla (3z) 2-4 2, se corresponde con el miembro derecho de la igualdad notable (1), así que su factorización de (3z) viene dada por el miembro izquierdo: (3z-4)(3z+4). En general, para factorizar diferencia de cuadrados se halla la raíz cuadrada de cada término, y se escriben estos dos valores como el producto de la suma por su diferencia. 121n 2-169m 2 = (11n+13m)(11n+13m) 121n 2 =11n x11n 169m 2 =13mx13m 198 Se obtiene la raíz cuadrada

5 Semana 7 Observa otro ejemplo más: 1 a 4-64b 6 = ( 1 a 2 ) 2 - (8b 3 ) 2 Re-escribiendo = ( a 2 +8b 3 ) ( a 2-8b 3 ) Aplicando la diferencia de cuadrados. 3 3 Caso 4. Trinomios cuadrados perfectos De acuerdo a lo estudiado en el tema de productos notables, sabes que el cuadrado de un binomio es (a±b) 2 =a 2 ±2ab+b 2, donde el lado derecho de la igualdad se denomina trinomio cuadrado perfecto y se puede escribir como un cuadrado de una suma o diferencia. Cómo identificar si el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto? Observa el procedimiento a través del siguiente ejemplo: 4y 2 +81z 2 +36yz. 4y 2-36yz+81z 2 Ordenas el trinomio en forma decreciente con respecto a una variable. 4y 2 81z 2 Raiz 2y 9z El primer y el segundo término son cuadrados perfectos. 2 2y 9z= 36yz Y si el segundo término es el doble producto de las raices cuadradas de los términos, entonces el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto. Un número cuadrado perfecto es aquel cuya raíz cuadrada es un número entero. Por ejemplo, 9 es un número cuadrado perfecto, ya que 9=3 199

6 Semana 7 Cómo se factorizan? Se extrae la raíz cuadrada del primer y el tercer término (ordenado). Factoricemos el siguiente polinomio: 49x 2-140x+100 Se ordena 49x 2-140x+100 La raíz cuadrada de 49x 2, es 7x. La raiz de 100, es 10. Verificar que el producto doble de las raices sea igual al segundo término. Se forma una suma (o resta) de las raices elevada al cuadrado, si el segundo término del trinomio es positivo (es negativo). El doble producto de ambas 2 7x 10=140x A= (7x-10) 2 =(7x-10)(7x-10) La expresion factorizada es: 49x 2-140x+100=(7x-10) 2 La función cuadrática puede aparecer también como trinomio cuadrado perfecto. Por ejemplo, la función y=x 2 +12x+36, puede factorizarse así: y=x 2 +12x+36=(x+6) 2. Esta forma es muy útil para buscar el punto de corte con el eje x, 0=(x+6) 2. No tienes necesidad de aplicar la fórmula general. Observa que el único valor que anula al miembro derecho es -6, con lo cual la parábola tiene un punto de corte con el eje x. Simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias Las fracciones algebraicas son aquellas en que su numerador y denominador son polinomios. 200 Para simplificar una expresión algebraica fraccionaria, primero se factorizan numerador y denominador, de acuerdo a los casos estudiados y luego se dividen (o cancelan) las expresiones iguales que aparecen en el numerador y denominador. Veamos algunos ejemplos simplificando las siguientes expresiones algebraicas: 1. (a 3-36a) (2a 2-20a+72) (a 3-36a) (2a 2-20a+72) = Trinomio cuadrado perfecto Diferencias de cuadrados a(a 2-36) 2(a 2-10a+36) Se sacó factor común tanto en el numerador como en el denominador.

7 Semana 7 a(a-6)(a+6) = = 2(a 2-10a+36) a(a-6)(a+6) 2(a-6) 2 Se identifica los casos de factorización y se procede a resolver. a(a-6)(a+6) = = 2(a-6)(a-6) a(a+6) 2(a-6) Se usaron propiedades de la potencia (a-6) para cancelar: =(a-6) (a-6) 1-1 =(a-6) 0 =1 x xy x(x+2y) x(x+2y) x(x+2y) = = = = x 2 +2xy-4x-8y (x 2 +2xy)-(4x+8y) x (x+2y)-4(x+2y) (x-4) (x+2y) Justifica cada uno de los pasos indicando los casos de factorización empleados. 3. Halla las soluciones de 2z 3-16z 2 +32z=0 La ecuación está igualada a cero. Hay que factorizar e igualar sus factores a cero y resolver en términos de z. 2z (z 2-8z+16)=0 z(z 4) 2 =z(z 4)(z-4)=0 z=0, z-4=0 z=4 Justifica cada uno de los pasos indicando los casos de factorización empleados. Para saber más En la siguiente dirección web puedes visualizar cómo resolver las ecuaciones cuadráticas por medio de la factorización. x x-4 Aplica tus saberes Retoma el problema propuesto al inicio, pues tienes los conocimientos necesarios para darle solución, factorizando la expresión: 2x 3-20x 2 +50x. Observa que x aparece en los tres términos, qué casos aplicarías? Comprobemos y demostremos que 1. Entrega a tu facilitador estos ejercicios factorizando las expresiones, usando el caso más conveniente. a) 20x 3 y 2 +25x 2 y 3 b) 10a 4 b 5 x 3 +35a 2 b 7 x 2 c) x(3ª+1)+6a+2 d) y(5x+2)-15x-6 e) x 2-2x+1 f) y 2 +6xy+9x 2 g) 100y 6-49y 4 h)16a