Tema 6: Derivadas, Técnicas de Derivación

Transcripción

1 Matemáticas º Bacillerato CCNN Tema 6: Derivaas, Técnicas e Derivación.- Introucción.- Tasa e Variación Meia.- Derivaa e una unción en un punto..- Derivaas Laterales...- Interpretación geométrica e la erivaa..- Transormaciones e Funciones.- Límite e una unción...- En un Punto...- En el Ininito..- Límites ineterminaos. 6.- Continuia e una unción en un punto. 7.- Continuia e una unción en un intervalo. 8.- Ejercicios Resueltos. Raúl González Meina Derivaas. Técnicas e Derivación VI-

2 Matemáticas º Bacillerato CCNN 6..- Introucción Los orígenes el Cálculo estuvieron motivaos por el eseo e resolver iversos problemas vinculaos al movimiento e los cuerpos, así como problemas e tipo geométrico e importancia en Óptica y problemas e cálculo e valores máimos y mínimos e una unción aa. Simpliicano, poemos estacar os problemas principales: Determinar la tangente a una curva en un punto el problema e las tangentes. Determinar el área encerraa por una curva el problema e las cuaraturas. Son los conceptos e erivaa e integral, respectivamente, los que permiten resolver satisactoriamente icos problemas. Mientras que el concepto e integral tiene sus raíces en la antigüea clásica, la otra iea unamental el Cálculo, la erivaa, no se ormuló asta el siglo XVII. Fue el escubrimiento eectuao por Sir Isaac Newton 6-77 y Gottrie Wilelm Leibniz e la relación entre estas os ieas, tan ispares en apariencia, lo que inició el magníico esarrollo el Cálculo. Si bien los trabajos e Newton y Leibniz son ecisivos por sus aportaciones e inluencia, no ay que olviar que ellos son el punto culminante e un largo proceso en el que an participao cientíicos e la talla e Joannes Kepler 7-6, René Descartes 6-6, Pierre e Fermat 6-66, Jon Wallis 66-7 e Isaac Barrow entre otros Tasa e Variación Meia [T.V.M.] Como vimos el año pasao, la tasa e variación meia e una unción en un intervalo cerrao [a,b] se calculaba meiante el cociente entre la variación el valor e la variable epeniente entre la variación e la variable inepeniente. b a T. V. M. [ a, b ] b a Y se corresponía con el valor e la peniente e la recta que une los puntos a y b Derivaa e una unción en un punto Sea la unción einia en un punto o, ecimos que la unción es erivable en el punto o si o eiste el límite e cuano la unción tiene a o. o erivable en o o o o Si la unción es erivable en o, al límite anterior se le llama erivaa e la unción en el punto o, y se simboliza por o o por. o ' o o o Si acemos el cambio o, y espejamos : o, y reescribimos el límite, encontramos otra orma e calcular la erivaa e una unción en un punto: o o o ' o o Raúl González Meina Derivaas. Técnicas e Derivación VI- o o

3 Matemáticas º Bacillerato CCNN Ejemplo : Hallar la erivaa e la unción : einia por en el punto o = a a a a a a a a a ' a a a Derivaas laterales Como acabamos e ver la erivaa e una unción es un límite, y sabemos, por el tema anterior, que para que eista el límite e una unción einia a trozos en un punto, an e eistir los límites laterales y ambos eben e ser iguales, por tanto: La unción es erivable por la izquiera si eiste el límite por la izquiera e cuano tiene a. La erivaa por la izquiera se simboliza por a -. a a La unción es erivable por la ereca si eiste el límite por la ereca e la tiene a. La erivaa por la ereca se simboliza por a +. a a cuano Por tanto la unción es erivable en o si eisten los límites por la izquiera y por la ereca y ambos coincien. o o o o o o ' o ' o ' o Ejemplo : Estuiar la erivabilia en y - e la unción : Derivabilia en =- einia por: si si si Para que una unción sea erivable en un punto a e ocurrir que eistan las erivaas laterales y éstas sean iguales: Derivabilia en = [ ] [ ] ' - '- '- es erivable en - ' ' - ' ' no es erivable en ' Interpretación geométrica e la erivaa: La recta tangente en un punto El cálculo e la erivaa e una unción en un punto a, nos permite escribir la ecuación e la recta tangente a la gráica en el punto e abscisas a, utilizano la ecuación punto peniente: y m a b Done m es la peniente e la recta m ' a y b la orenaa en el origen. b a Raúl González Meina Derivaas. Técnicas e Derivación VI-

4 Matemáticas º Bacillerato CCNN Ejemplo : Calcular la ecuación e la recta tangente a la gráica e = + en el punto e abscisa =. Como la ecuación e la recta tangente es: y y m o Necesitamos y o y lo calculamos sustituyeno en la unción: y o= ' Así que con estos atos escribimos la ecuación e la recta tangente en =. La ecuación e la recta tangente es: y = - ' 6..- Relación entre continuia y erivabilia Una unción es erivable en un punto o, si es continua en ico punto. erivable en o continua en o no continua en o no erivable en o Hay unciones continuas que no son erivables, por ejemplo la unción valor absoluto. En general las unciones que tienen picos no son erivables en los picos Signiicao gráico e la erivaa. Suavia Una unción es continua en un punto, o, si su gráica atraviesa ico punto. Una unción es erivable en un punto, o, si su gráica lo atraviesa con suavia, es ecir, la gráica e no preta picos. Una unción no es erivable: En los puntos angulosos. En los puntos e tangente vertical. En los puntos e iscontinuia Función erivaa Si una unción es erivable en su ominio, es posible einir una nueva unción que asocie a caa número real el ominio la erivaa e la unción en ese punto. Esta unción se llama unción erivaa o simplemente erivaa. ' Ejemplo : Calcular la unción erivaa e = X Raúl González Meina Derivaas. Técnicas e Derivación VI-

5 Matemáticas º Bacillerato CCNN Toas las erivaas están calculaas, y poemos resumirlas en una tabla: Tipos Formas Función Simple Función Compuesta Constante K a k u a u u ' a a a a Potencial Raíz Cuaraa u Logarítmica ln log a lna u ' u ' ' lnu u log u u a u lna u Eponencial e e a a lna e u e u u ' a u a u u 'lna Seno cos Coo cos tg tg tg Tangente cos u cos u u ' cos u u u ' ' tg u tg u u ' tg u u cos u Cotangente cotg cotg c tg Cosec u ' c tg u u c tg u c tg u u ' Cosec u u ' Secante Sec Sec tg Cosecante Cosec Cosec Cotg Cotangente cotg Cosec Arco Seno Arc Arco Coo Arc cos Arco Tangente Arctg Arco Cotangente Arccotg Sec u Sec u tg u u ' Cosec u Cosec u Cotg u u ' cotg u Cosec u u ' u ' Arc u u ' Arc cos u u u u ' Arctg u u u ' Arccotg u u Álgebra e Derivaas Sean, g : S os unciones erivables en a y k. Entonces, se veriica: k ' a k ' a La erivaa e la suma es la suma e las erivaas. g a g ' a ' a La erivaa el proucto, es la erivaa el primero por el seguno sin erivar, más la primera sin erivar por la erivaa e la seguna. g' a ' a g a a g ' a Raúl González Meina Derivaas. Técnicas e Derivación VI-

6 Matemáticas º Bacillerato CCNN Si aemás ga, entonces y g son erivables en a. La erivaa el cociente, es la erivaa el primero por el seguno sin erivar, más la primera sin erivar por la erivaa e la seguna, iviio por la seguna al cuarao. ' g ' a a [ g a] ' ' ' a g a a a g a g [ g a] Regla e la Caena: Si g erivable en a y erivable en ga g es erivable en a g' a [ g a]' '[ g a] g ' a Derivación Logarítmica Cuano tenemos una unción elevaa a otra, la orma e calcular su erivaa es un poco especial. Para calcularla seguiremos los siguientes pasos: Sea g a Aplicamos logaritmos en ambos laos e la iguala: g g ln ln ln b Después erivamos: ' g ' ln ' g g c Despejamos : g ' ' ' ln g g Por último sustituimos por su valor: g ' ' g ' ln g g Ejemplo : Calcula la erivaa e la unción Aplicamos logaritmos: ln[ ] ln Derivamos: ' ln Despejamos: ' ln Y por último sustituimos: ' ln Raúl González Meina Derivaas. Técnicas e Derivación VI-6

7 Matemáticas º Bacillerato CCNN Derivabilia e una unción en un intervalo Decimos que :, Decimos que :, a b es una unción erivable en a,b, si es erivable en too punto o e a,b. a b es una unción erivable en [a,b], si es erivable en too punto o e a,b y es erivable en a por la ereca y en b por la izquiera Derivaas sucesivas Se llama erivaa seguna e con respecto a, y se simboliza ó erivaa e la unción, o a la erivaa e., a la erivaa e la Ejemplo : Calcular la erivaa tercera e la unción = n n De orma más general, se llama erivaa n-ésima o erivaa e oren n e y se simboliza por n ó a la erivaa e la unción n-. Para calcularla se utiliza la emostración por inucción, veamos un ejemplo. Ejemplo 6: Calcular la erivaa n-ésima e la unción e Empezamos calculano la primera erivaa: ' e Calculamos la seguna: '' e e Calculamos la tercera: ''' e Por lo tanto cabe esperar que la erivaa n-ésima sea: e Vamos a emostrarlo por inucción: n n e Sea n n e, entonces n n n n Por tanto quea emostrao que: e n e n n e e n, vamos a ver: n e Raúl González Meina Derivaas. Técnicas e Derivación VI-7

8 Matemáticas º Bacillerato CCNN Raúl González Meina Derivaas. Técnicas e Derivación VI-8.- A partir e la einición e erivaa e una unción en un punto, calcular la erivaa e las unciones X=X, en o=, y g en o=. ' '.- Estuiar la continuia y la erivabilia e la unción si si e en o=. Lo primero es estuiar la continuia: =; e e, por tanto la unción es contínua en =. Veamos aora si es erivable: e e e e Vemos que las erivaas laterales en = no coincien, por tanto la unción no es erivable en este punto. Así que la unción es contínua en cero, pero no es erivable..- Sea k un número real y una unción real einia sobre R, meiante si si k a Calcular la erivaa e en el punto o= b Calcular la unción erivaa a k k k k ' 6..- Ejercicios Resueltos

9 Matemáticas º Bacillerato CCNN cos k si k b ' k si cos k ' k si si k.- Estuiar la erivabilia e la unción si - si si - Para que una unción sea erivable en un punto, antes a e ser contínua, vemos a simple vista que la unción es contínua en =- porque sus límites laterales coincien y ambos coincien con el valor e la unción en el =-, veamos si es erivable en este punto: ' ' Por tanto la unción no es erivable en =- Ineterminao. Veamos en =, Veamos a simple vista que los límites laterales no coincien, por la izquiera es y por la ereca es -, por tanto la unción no es contínua, y por tanto tampoco es erivable en =. Así que poemos ecir que la unción no es erivable ni en =-, ni en =. En los restantes puntos e R si es contínua y erivable, por ser una unción einia a trozos con tres ramas ambas polinómicas. si -.- Calcular a y b para que la unción sea erivable. a b si - Como ya sabemos, para que una unción sea erivable, a e ser contínua, por tanto: Para que sea contínua, a=b a b a b Veamos si es erivable: Vamos a calcular las erivaas laterales en =-: ' ' a b a b a b a b a b a b Y para que sea erivable ambas erivaas an e ser iguales. Por tanto: Raúl González Meina Derivaas. Técnicas e Derivación VI-

10 Matemáticas º Bacillerato CCNN Raúl González Meina Derivaas. Técnicas e Derivación VI- b a b a a=b=- Por tanto es erivable para a=b=- 6.- Calcular las erivaas e las unciones: Arc I tg g cos cos ' ' tg tg tg tg g ' Para la última aplicaremos erivación logarítmica: Arc I cos ln ln ln ln Arc Cos I Derivamos: arc arc I I cos ln cos ' Operamos y espejamos I: cos ln ' arc arc I I De one: cos cos ln ' arc arc Arc I 7.- Derivar y simpliicar: Arc g Arctg Arctg ' arc arc arc arc g '

11 Matemáticas º Bacillerato CCNN 8.- Calcular la erivaa n-ésima e la unción e Empezamos calculano la primera erivaa: Calculamos la seguna: Calculamos la tercera: ' e '' e ''' e Por lo tanto cabe esperar que la erivaa n-ésima sea: Vamos a emostrarlo por inucción: Sea e n n n e, entonces n Por tanto quea emostrao que: n n n e e n e n e n n e e n, vamos a ver: n e.- Hallar un punto el intervalo [,], one la tangente a la curva paralela al eje e abscisas., sea Si la recta tangente es paralela al eje e abscisas, es porque su peniente es cero, entonces en ese punto la erivaa es cero: ' c Calculamos la erivaa : Y tiene que ser igual a cero. ' c c ' c c C Vemos que el punto one la curva e tiene una tangente e peniente cero, o paralela al eje OX, es en el =,, que por supuesto pertenece al intervalo [,]..- Hallar los puntos en los que la tangente a la curva sea: a Paralela el eje OX b Paralela a la recta: g c Perpenicular a la recta: a Si la recta tangente es paralela al eje OX, entonces su peniente es cero. m=. ' c c c c ' c c c c c Entonces la curva e tiene rectas tangentes paralelas al eje O en los puntos =- y =. b Si la recta tangente es paralela a otra, entonces su peniente es la misma que la e esta otra recta. Por tanto aquí m=. Así que: Raúl González Meina Derivaas. Técnicas e Derivación VI-

12 Matemáticas º Bacillerato CCNN ' c c c c c 8 ' c c c c c Entonces la curva e tiene rectas tangentes paralelas a la recta y=+ los puntos =- y =. c Si la recta tangente es perpenicular a otra recta, entonces su peniente es la opuesta e la inversa, es ecir: Si como en este caso la peniente e la recta es m, lo que acemos es invertirla: m ', y espués le cambiamos el signo: m ''. Por tanto: ' c c c c c ' c c c c c Entonces la curva e tiene rectas tangentes perpeniculares a la recta =. en los puntos = y.- Halla el punto e la curva ln en el que la tangente es perpenicular a la tangente trazaa por el punto e abscisa =. En este ejercicio lo primero es calcular la recta tangente en el punto =. Calculamos : ' ', por tanto la peniente e la recta tangente en = es m=. Como icen que es perpenicular, la invertimos y le cambiamos el signo: m ' Así que: ' c c c ' c c c c c c c c c Entonces la curva e tiene una recta tangente perpenicular a la recta tangente trazaa en el punto = en el punto e abscisa =-. Raúl González Meina Derivaas. Técnicas e Derivación VI-