DERIVADAS INTRODUCCIÓN 1. MEDIDA DEL CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN 1.1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA

Transcripción

1 INTRODUCCIÓN DERIVADAS La observación de un fenóeno, un cabio, conduce a una función. Observaos, por ejeplo, la inflación a lo largo del iepo en una econoía paricular. Observaos en un ebalse coo el nivel del agua va variando, creciendo en iepo lluvioso, decreciendo en sequía Coo crece o decrece la función que represena el fenóeno es el aspeco que, probableene, ás nos ineresa desde un puno de visa prácico a fin de acer previsiones y oar las edidas oporunas cuando la agniud que esudiaos se acerca a valores que consideraos peligrosos. La fora naural de edir la variación de una agniud Y que cabia al cabiar ora X es: Y varía (crece o decrece) ano cuando X varía ano. Por ejeplo, la fora de edir el epinaieno de una escalera será en dos eros edidos en el suelo la escalera asciende un ero. Eso esá bien cuando la variación es unifore, pero para una escalera que uviese el perfil coo el de una onaña rusa no valdría de uco. El epinaieno es uy disino según donde nos enconreos. Esa dificulad conduce de fora naural a la noción de variación en un puno o variación insanánea. En érinos aeáicos eso nos lleva a la noción de derivada de una función. Ése es el caino naural y relaivaene sencillo que seguireos en ese ea. Aprender a anejar bien la derivada es esencial para obener uca inforación ineresane sobre el fenóeno represenado por la función que consideraos.. MEDIDA DEL CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN.. TASA DE VARIACIÓN MEDIA Tano la gráfica coo la expresión analíica de una función dan los valores de una variable en relación con los de ora. La variación, el cabio de una variable con respeco a la ora puede producirse de fora ás o enos rápida. y y x x

2 En esas dos gráficas y auena al auenar x, pero en la segunda lo ace ás deprisa. Cóo se ide eso? Para conseguir edir la rapidez de cabio de una variable con respeco a la ora endreos que referirnos a lo que varía y con relación a lo que varía x, es decir, a la variación relaiva. DEFINICIÓN Se define la TASA DE VARIACIÓN MEDIA de una función ( denoa por T.V.M [ a, b] coo: f en un inervalo [ b] a, y se T.V.M.[ a, b] f ( b) b a Es decir, la T.V.M.[ a, b] es el cociene enre el increeno que experiena la función en el inervalo, y f ( b), y la apliud del inervalo, x b a. Con frecuencia al inervalo se le designa ediane la expresión [ a a + ] variación edia se obiene así:,. En al caso, la asa de T.V.M.[ a, a + ] f ( a + )

3 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA TASA DE VARIACIÓN MEDIA Sea y f ( una función real de variable real y sean P ( a, f ( ) y P ( a +, f ( a + )) dos punos de la curva. Trazaos la reca secane a la curva que pasa por P y P.

4 f ( a + ) La pendiene de esa reca es: PP gα T.V.M.[ a, a + ] Es decir, la T.V.M.[ a, a + ] es la pendiene de la reca secane a la gráfica de f ( en los punos P ( a, f ( ) y P ( a +, f ( a + )) EJEMPLO: Supongaos un óvil que se desplaza según la ecuación f ( ) 4 donde iepo (en segundos) y f () espacio recorrido (en eros) Calcular la velocidad edia en los inervalos [ 0,],[,4] y [ 4,6] v v v f () f (0) [ 0,] T.V.M. [ 0,] /s f (4) f () 4 0 ( 4) [,4] T.V.M. [,4] /s f (6) f (4) [ 4,6] T.V.M. [ 4,6] 6 /s.. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO: DERIVADA La asa de variación edia da una priera idea de la rapidez conque la función crece o decrece en un inervalo, pero ucas veces la inforación que proporciona no es suficiene para ener oalene caracerizada a la función. En la ayoría de las ocasiones es ineresane y úil conocer la variación que experiena la función en cada puno, es decir, la variación insanánea de la función. El siguiene ejeplo pone de anifieso ese eco: La velocidad edia de un veículo, que se desplaza por una auovía (velocidad áxia periida 0 k/) enre dos punos A y B a sido de 90 k/ y sin ebargo le an pueso una ula por exceso de velocidad, cóo explicaos ese eco? Aunque la velocidad edia a sido de 90 k/, en un insane deerinado del recorrido el veículo a sobrepasado los 0 k/, es decir, su velocidad insanánea era superior a 0 k/, y por eso le an ulado. Si se quiere deerinar la variación insanánea de una función en un puno (proceso que equivale a calcular la velocidad insanáne los exreos del inervalo de variación [ a a + ] infiniaene, es decir, deberá ender a cero, 0., deberán aproxiarse Por ano, el creciieno de una función en un puno se obiene ediane el siguiene líie: T.V.I. ( 0 T.V.M.[ a, a + ] f ( a + ) li 0 f ( El nobre que se le da en aeáicas a ese liie es derivada de f( en a y se designa por f (.

5 DEFINICIÓN Se llaa derivada de una función f( en el puno a y se designa por f ( al siguiene líie, si exise y es finio: 0 f ( a + ) La derivada de una función en un puno, si exise, es un núero real. Si exise la derivada de una función en un puno se dice que dica función es derivable en ese puno. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Sea y f ( una función real de variable real y sean P ( a, f ( ) y P ( a +, f ( a + )) dos punos de la curva. Trazaos la reca secane a la curva que pasa por P y P. f ( a + ) La pendiene de esa reca es: PP T.V.M.[ a, a + ] Qué sucede cuando 0?

6 P, P, P3,..., Pn... P 0 PP PP PP P f,, 3... reca angene a la curva en el puno ( T. V. M. [ a, a + ], T. V. M. [ a, a + ], T. V. M.[ a, a + ]... PP PP PP 3 3 Es decir, la derivada de una función en un puno es la pendiene de la reca angene a la curva en ese puno, f (, y ide el creciieno de la función en ese lugar. Por ano, la ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA y f ( EN EL PUNTO DE ABSCISA x a es: y f ( + ( x OBSERVACIÓN Coo se puede observar en la figura, la pendiene de la reca angene a la gráfica de una función en un puno, es decir, la derivada de una función en un puno, ide el creciieno de la función en dico puno. Si la pendiene de la reca angene es posiiva, > 0 f ( es creciene en x a Si la pendiene de la reca angene es negaiva, < 0 f ( es decreciene en x a Es decir, el esudio de la derivada de una función nos proporciona su onoonía.

7 .3. FUNCIÓN DERIVADA Se define la función derivada de f ( y se denoa por coo la función que asocia a cada x Do( f ) el valor de su derivada si exise. 0 f ( x + ) f ( EJEMPLO: Dada la función f ( x 3x calcula: La derivada de f ( en el puno x, ). b) La función derivada de f (,. c) La ecuación de la reca angene a f ( en x. d) La ecuación de la reca angene a f ( paralela a la reca r : 5x y 6 0. f ( + ) f () ) ( + ) li [( + ) 3 ( + ) ] [ 3 ] ( + ) ) b) f ( x + ) f ( x 3 ( + x 3) li [( x + ) 3 ( x + ) ] [ x 3x] x x + ( + x 3) x 3 x 3 3x 3 x + 3x c) Reca angene a f ( en x a Po P ( a, f ( ) Pendiene y f ( + ( x ) En prier lugar allaos el puno de angencia enre reca y función. P (, f () ) P(, ) º) Aora allaos la pendiene de la reca angene y uilizaos para ello la inerpreación geoérica de la derivada de una función en un puno.

8 f () x 3 3º) Finalene (uilizando la ecuación puno-pendiene de una rec deerinaos la ecuación de la reca angene pedida: Reca angene a f ( en x : : y ( x ) : y x d) Ecuación de la reca angene a f ( paralela a la reca r : 5x y 6 0. ) En prier lugar allaos la pendiene de la reca angene y uilizaos para ello el eco de que si dos recas son paralelas enonces sus pendienes son iguales r : 5x y 6 0 r : y 5x 6 Si dos recas son paralelas ienen la r 5 isa pendiene r ) Aora deerinaos el puno de angencia y uilizaos para ello la inerpreación geoérica de la derivada. 5 Inerpreación geoérica de la derivada 5 Es decir, el puno de angencia es aquél en el que la derivada ( x 3) vale 5: x 4 (4) f f ( x 3x 5 5 x 3 5 x 8 x 4 Por ano, el puno de angencia es P( 4, f (4)) P(4,4) 3) Finalene (uilizando la ecuación puno-pendiene de una rec deerinaos la ecuación de la reca angene pedida: Po P ( 4,4) Pendiene : y ( x 4) : y 5x 6 5

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10 OBSERVACIÓN: El esudio de la derivada de una función nos proporciona su onoonía. f ( x 3x Do( f ) R f ( es coninua y derivable en odo su doinio x 3 0 x 3 0 x 3 x,5,5 Signo de + f ( es decreciene creciene + 0

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