MATE 3013 RAZON DE CAMBIO INSTANTANEO Y LA DERIVADA DE UNA FUNCION
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- Ana Isabel Aranda Hidalgo
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1 MATE 3013 RAZON DE CAMBIO INSTANTANEO Y LA DERIVADA DE UNA FUNCION
2 Resumen razón de cambio promedio La pendiente de la recta secante que conecta dos puntos en la gráfica de una función representa la razón de cambio promedio en el intervalo (x, f(x)). Esta razón se puede determinar con el cociente de diferencias f x + f(x) = y x = y y 1 x x 1
3 Razón de cambio promedio -aplicaciones Una piedra cae desde una altura de 50 metros. Cuál es la rapidez promedio a) durante los primeros segundos de la caída b) del segundo 1 al segundo? si la caída esta gobernada por la siguiente ecuación f(t) = 5.1t, donde f(t) se mide en metros? y t a) los primeros segundos: y t b) del segundo 1 al : m/s 15.3 m/s
4 Razón de cambio promedio -aplicaciones (1)Determinar la razón de cambio promedio de f x entre x = - y x = -1. y y 1 x x 1 f = f 1 = = ( 9) -1
5 Razón de cambio promedio -aplicaciones () Determinar la ecuación de la recta secante a f x = x 3 + x 5x + 3 entre x = - y x = -1. Como la razón de cambio promedio que calculamos en la parte 1 de este ejercicio es la pendiente de la recta secante, tenemos que y = mx + b y = -x + b Sustituimos uno de los puntos: 9 = -(-) + b 9 = + b 9 = b b = 7 La ecuación de la recta secante es: y = x + 7 o y = 7 x
6 Razón de cambio instantáneo Exploración 1: Un submarino lanza un proyectil,. f (x) = -1x + 7x 60 donde x es el tiempo en segundos. a) Cuál es la razón de cambio instantáneo en x =? Hasta aora emos mirado razón de cambio promedio. Para mirar la razón de cambio instantánea, calculemos la razón de cambio promedio en una vecindad pequeño alrededor de, por la izquierda.
7 Razón de cambio instantáneo Exploración 1: Un submarino lanza un proyectil,. f (x) = -1x + 7x 60 donde x es el tiempo en segundos. a) Cuál es la razón de cambio instantáneo en x =? Razón de cambio promedio en una vecindad pequeño alrededor de, por la izquierda : f(1.97) f(1.95) 0.0 = 4.96 f(1.999) f(1.99) = 4.13 f(1.98) f(1.97) 0.01 = 4.6 f(1.9999) f(1.999) = f(1.99) f(1.98) 0.01 = 4.36
8 Razón de cambio instantáneo Exploración 1: : Un submarino lanza un proyectil,. f (x) = -1x + 7x 60 donde x es el tiempo en segundos. a) Cuál es la razón de cambio instantáneo en x =? Calculemos la razón de cambio promedio en una vecindad pequeño alrededor de, por la dereca. f(.1) f(.15) 0.05 = 1 f(.001) f(.01) = 3.87 f(.05) f(.1) 0.05 =. f(.0001) f(.001) = 3.99 f(.01) f(.05) 0.04 = 3.8
9 Razón de cambio instantáneo Exploración 1: : Un submarino lanza un proyectil,. f (x) = -1x + 7x 60 donde x es el tiempo en segundos. a) Cuál es la razón de cambio instantáneo en x =? La razón promedio en una vecindad pequeña alrededor de x= (por la izquierda y por la dereca) se acerca al mismo número. Por lo tanto, la razón de cambio instantáneo en x= es 4 metros/segundo.
10 El Límite de la cociente de diferencias DEFINICION: La razón de cambio instantánea de f(x) en x es un límite. m lim 0 f x f x. La razón de cambio instantánea de f(x) es la pendiente de la recta tangente en (x, f(x)).
11 Rectas tangentes DEFINICION: Una línea que toca un círculo en exactamente un punto que se llama una línea tangente. Esta noción se puede extender a cualquier curva suave: una línea tangente toca una curva en un solo punto. L es una recta tangente a la curva. M no es una recta tangente a la curva.
12 Rectas tangentes Identifique las rectas tangentes en la figura.. Si una curva es suave (no tiene esquinas), entonces cada punto de la curva tendrá una línea tangente única, es decir, exactamente una línea tangente es posible en cualquier punto dado.
13 Rectas tangentes m=0 En los puntos de máximo o mínimo, la recta tangente es orizontal ( es decir, la pendiente es 0) m>0 m<0 m<0 m=0 En los tramos de crecimiento la recta tangente tiene pendiente positiva, en los de decrecimiento la tiene negativa.
14 Calcular razón de cambio instantánea Una piedra cae desde una altura de 50 metros. si la caída esta gobernada por la ecuación, f t = 5.1t, donde f(t) se mide en m. Hallar la velocidad de la piedra en t =. La velocidad es La velocidad promedio en el intervalo es La velocidad instantánea en t = es Como no se puede resolver el limite por sustitución por que no podemos dividir entre 0, acemos una tabla con = 0.05, 0.1, 0.01, y para explorar el límite. cambio en distancia cambio en tiempo f t + f(t) lim t 5.1t t t Los valores tienden 0.4, por lo tanto la velocidad instantánea en t = es 0.4 m seg 0 5.1
15 Calcular razón de cambio instantánea Una piedra cae desde una altura de 50 metros. si la caída esta gobernada por la ecuación, f t = 5.1t, donde f(t) se mide en m. Hallar la velocidad instantánea de la piedra en t =. La velocidad promedio en el intervalo es La velocidad instantánea en t = es Podemos también investigar el límite con métodos algebraicos: 0 0 lim lim lim t f t + f(t) lim 0 t 5.1t 5.1 t 5.1t 10.() = 0.4, por lo tanto la velocidad instantánea en t = es 0.4 m seg 5.1 t t 5.1t 10.t t 5.1 lim0 5.1t 10.t t
16 El Límite de la cociente de diferencias Ejemplo 1: Para f x = 3x + 1 allar. Luego, allar f 3 y f 4. f x f x f x 3 x (3x + 1) = lim 0 3(x + x (3x + 1) = lim 0 f x f x 3x + 6x x 1 = lim 0 3x + 6x x 1 = lim 0
17 El Límite de la cociente de diferencias Ejemplo 1: Para f x = 3x + 1 allar. Luego, allar f 3 y f 4. f x f x f x f x = lim 0 (6x + 3 ) = lim 0 6x + = 6x f 3 = 6 3 = 18 f 4 = 6 4 = 4
18 El Límite de la cociente de diferencias DEFINICION: Para una función y = f (x), la pendiente de la recta tangente en un valor de x=a se conoce como la derivada de f(x) en x=a. Se denota f (x) (f prima de x). f x lim 0 f x f x siempre y cuando el límite exista. Si f (x) existe, entonces se dice que f es diferenciable en x=a.
19 Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto con coordenada en x = a. La derivada de la función f en a se denota con el símbolo f a que se lee f prima de a y=-3/x-4 y=1.x+1.5 y=-4 y=3 f 4.5 = 3 porque la tangente en x = 4.5 tiene pendiente 3. y=-1.3x+13 f = 0 f = 1. f 4 = 0 f 6 = 1.3
20 Determinar la pendiente de la recta tangente a f x = 4 x en x = 3. Derivada -aplicaciones Necesitamos la razón de cambio instantánea en x = 3. Necesitamos el 4 ( x ) 4 x lim0 Simplificar este límite algebraicamente envuelve álgebra pesada. De qué otra forma podemos investigar el límite?
21 Determinar la pendiente de la recta tangente a f x = 4 x en x = 3. Derivada -aplicaciones Utilicemos una tabla con, la distancia de x = 3 aproximando a 0: f(x) lim0 4 ( x ) x 4 (3 0.5) (3 0.1) (3 0.1) lim0 4 ( x ) 4 x 0.5
22 Derivada -aplicaciones Es diferenciable la función f x = x en x = 0? Solución: Según la definición de derivada una función es diferenciable en un punto si la derivada existe en el punto. f x f x f x lim 0 lim f(x) x x f(x) lim 0 x x 1 lim 0 x x 1
23 Derivada -aplicaciones Es diferenciable la función f x = x en x = 0? lim 0 x x 1 lim 0 x x 1 Solución: (continuación) Según la definición de derivada una función es diferenciable en un punto si la derivada existe en el punto. x x lim0 No existe ya que los límites y por la dereca son diferentes. por la izquierda Por lo tanto, la función no es diferenciable en x = 0.
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