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1 FUNCIONES. DEFINICIONES: Toda relación de A en B tal que cada valor de la variable independiente (dominio) le corresponde uno sólo un valor de la variable dependiente (rango). Conjunto de pares ordenados en el que dos pares distintos nunca tienen la misma primera componente. Siendo A B conjuntos, diremos que f es función si se cumplen: ) f AB. ) (,) f (,z) f = z ó D f ;! R f / (,) f = f(). De donde: A: Conjunto de Partida. B: Conjunto de Llegada. Dominio de f: D f = { A/! B = f() } Rango de f o Codominio: R f = { = f() B/ A} OBSERVACION: ) Para que dos diagramas representen función de cada elemento de A debe salir sólo sólo una flecha hacia B. ) Una ecuación graficada en el Plano Cartesiano, se dice que es función, si cualquier vertical trazada a la gráfica la corta en un solo punto. ) Toda función es una relación, pero no toda relación es una función. 4) f: A B. = f () Regla de correspondencia. Esta regla de correspondencia nos da la definición de Notación Funcional.. NOTACIÓN FUNCIONAL Es un operador que emplea la variable para indicar el dato que ingresa f() para indicar el resultado. Se denota por f() se lee f de. Ejemplo: Si. Calcular: E = f() + f() Si = entonces: f() = (+)/ = Si = entonces: f() = (+)/ = Luego: E = f() + f() = ( + ) = 8. PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES REALES: Si f es una función real de variable real si solamente si todo recta vertical corta a su grafica a lo mas en un punto. Ejemplo: De acuerdo a esta propiedad se tiene que las circunferencias las rectas verticales no corresponden a funciones.

2 4. APLICACIÓN Dado f A B, f es aplicación sí sólo sí D f = A. OBSERVACION: Toda función es una relación, pero no toda relación es una función. Toda aplicación es función, pero no toda función es aplicación.. F. LINEAL: FUNCIONES ESPECIALES Regla de Correspondencia: =f()=a+b a, b son constantes. D f = R R f = R. F. CONSTANTE: Regla de Correspondencia: =f()=b D f = R R f = {b}. F. IDENTIDAD: 4. F. VALOR ABSOLUTO: Regla de Correspondencia: =f()= Es una función lineal donde a=, b=0 D f = R R f = R Regla de Correspondencia: =f()= ; si 0 f() ; si 0 5. F. RAÍZ CUADRADA:

3 Regla de Correspondencia: =f()= D f = R 0 R f = R 0. F. CUADRÁTICA: Regla de correspondencia: = f() = a + b + c. La gráfica es una parábola. Para hallar su vértice, la ecuación es llevada completando cuadrados a la forma: = a(-h) + k EJEMPLOS DE APLICACIÓN. Indicar cuáles de las siguientes relaciones son funciones. f, R / 9 4 g, R / h, R / j, R / 4 f, R / 9 Donde: 9 Como esta elevado a una potencia par Luego: f no es función 4 g, R / 4 Donde: g si es función porque la potencia de la variable es impar. h, R /

4 , 0, 0, 0, 0 Luego: Para cada, tiene dos valores por lo tanto h no es función. j, R / 4 4 Luego: j no es función. Dado el conjunto de pares ordenados g,,,5,,,4,,7,, 4,, Hallar e para que g sea función dar como respuesta Dom (g) Ran(g) g,,,5,,,,4,,7,,,, 4,, De Se tiene que: 4 De Se tiene que: 4 Luego: se tiene el sistema de ecuaciones 4 4 () 4

5 8 8 ( ) 4 4 g,4,,5,,,,7, 4,,, 4 D R D g g g,,,, 4, 4,5,,7, 4 R g,4. Hallar el Dominio de: f ( ) 5 / 5 f f / / 5 f Donde: Para: Para:,,

6 R- {-,-} Luego: el dominio de la función es: Dom(f)= {(-,-)U(-,+ )} [R- {-,-}] Dom(f)= (-,-)U(-,+ ) ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACIÓN I. Analice cada uno de los siguientes ejercicios.. Sea la función F = {(, ) / = + }, hallar el dominio, el rango de F graficar.. Para la función F = {(,)/ = }, hallar el dominio, el rango de F graficar.. Hallar el dominio, el rango esbozar la gráfica de las siguientes funciones con valores en R. a) f ( ) b) g ( ) 4 c) h ( ) 5 4. La utilidad por fabricar una cantidad de cierto producto viene dada por la función: f ( ) 0, 0. Graficar f 5. Sea la función f definida por f ( ), [, ]. Hallar el Ran( f ). Graficar la función: h () - si < - si si < < 4 si

7 7. Si F representa una función: F = {(; 7a+b), (; 5) (; a+), (; 5b-a)} Cual o cuales de los siguientes conjuntos son funciones? A = {(a;b), (b-a; 5), ( 5; b-a), ( a+b ; 5)} B = {;b),(b;),(;8),(9;a-b)} C = {(;5),(9,7),(b;a),(5a+b)} 8. Sean los conjuntos: A= {,,} B= {a,b,c,d,e},entonces: F= {(,b);(,b);(,d)} es una función de A en B F= {(,b);(,c);(,a); (,e)} es una función de A en B F= {(,b);(,c)} es una función de A en B F= {(,c);(,c);(,c)} es una función de A en B Representar cada caso en un diagrama sagital. 9. Hallar la regla de correspondencia de en cada caso que se presenta: a) b) c) d) II. Hallar el dominio, rango graficar cada uno de las siguientes funciones: ( 4) ( ) CLASES DE FUNCIONES F. INYECTIVA (UNIVALENTE ó -) f: A B, es inectiva, Df f () f (); es decir, cuando los elementos se relacionan uno a uno. OBSERVACIÓN:

8 Una función es inectiva cuando cada elemento del conjunto de partida tiene una imagen diferente, es decir, cuando los elementos del conjunto de llegada tienen una o ninguna contraimagen. A f -a -b -c -d B Ejemplos:. f () - es inectiva.. g() = ² + no es inectiva, pues g() = g(-) = 4 F. SURYECTIVA, SOBREYECTIVA O SOBRE: f: A B, es surectiva si: B, A / (.) f ó = f() Regla de correspondencia ; es decir, el Rango es igual al conjunto de llegada. OBSERVACIÓN: Una función es sobreectva cuando el rango es igual al conjunto de llegada, es decir, cuando todos los elementos del conjunto de llegada tienen una o más contraimagen. A f -a -b -c B Ejemplo: f() = + 5 es sobreectiva. g() = ² + no es sobreectiva, pues - no pertenece al recorrido de g, g() D g F. BIYECTIVA: f: A B, es biectiva si f es inectiva surectiva a la vez.

9 OBSERVACIÓN: Una función es biectiva cuando es sobreectiva e inectiva a la vez, es decir, que cada uno de los elementos del conjunto de llegada tiene una, nada más que una, contrimagen. A f -a -b -c -d B Ejemplo: Dado A = {,,,4} B = {a,b,c} f = {(,b), (,a), (,a), (4,c)} a) f no es inectiva b) f es surectiva por (,a), (,a) pues R f = B. c) f no es biectiva, pues no es inectiva surectiva a la vez. 4 FUNCIÓN INVERSA (f - ó f*) Una función f tiene inversa si sólo sí es inectiva. OBSERVACION: Para toda f - se cumple: Si f A B f* B A. * D f = R f R f = D * f. Ejemplo: Hallar la inversa de: f () - Despejando : Luego: Ejemplo: f - ( ) F = {(,4), (4,), (,8)}

10 f - = {(4,), (,4), (8,)} es inectiva. Luego: tiene f -. F = {(5,), (,), (7,)} Se tiene que no es inectiva Luego: no tene f-. Ejemplo: Una función f: A B, se ha representado mediante un diagrama sagital obteniéndose: A 5 7 B Según esto, entonces: f es una aplicación, f es inectiva, f es surectiva, f es biectiva. f no es aplicación por que sobra el elemento 8 f no es inectiva por que al le corresponde tres imágenes f es surectiva por que en el conjunto de llegada no sobran elementos f no es biectiva por que f no es inectiva. OPERACIONES CON FUNCIONES. Suma resta de funciones Para obtener la función f + g, resultado de sumar dos funciones, f g, sumamos, punto a punto, los valores de sus ordenadas. Es decir: h()=(f+g)()=f()+g() Ejemplo: Sean f()= g()=. Calcular f()+g() h()=f()+g()= +

11 De forma análoga se encuentra la resta de funciones f - g Es decir: h()=(f-g)()=f()-g(). Multiplicación división de funciones Para obtener la función f*g, resultado de multiplicar dos funciones, f g, multiplicamos, punto a punto, los valores de sus ordenadas. Es decir: h()=(f*g)()=f()*g() Ejemplo: Sean f()= g()=0.5 h()=f()*g()=*0.5= Para obtener la función f/g, resultado de dividir dos funciones, f g. Es decir: h()=(f/g)()=f()/g() Ejemplo: Sean f()= g()=0.5 h()=f()/g()= /0.5= 4. Composición de funciones En general, dadas dos funciones f g f f() g g[f()] g º f La función g f es la función compuesta de f g, que transforma en g[f()] Ejemplo: Sean: Cuánto vale f(4)? g()? Calcula g[f(4)] g[f(0.5)] Cuál es la función g f()? f(4) = g() = ½ g[f(4)] = g() = / g[f(0.5)] = g(-4) = -/4

12 g f() = g(-5) = ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACIÓN I. Analice cada uno de los siguientes ejercicios.. Esbozar la gráfica de las siguientes funciones con valores en R diga la clase de función que es. a) f ( ) b) g( ) 4. Si f ( ) 4 g ( ) 4. Determinar el dominio regla de correspondencia de: a) f g b) ( f g) c) f g d) f / g e) g f. Sea la función f definida por f () =, [, ]. Hallar el Ran( f ) qué clase de función es. 4. La función dada por f() = + 9 es biectiva? 5. La función: f ( ) 9 es biectiva. Verificar si su inversa también lo es.. Para f() = ; g() = +, obtener: a) (f + g)() b) (f g)() c) (f * g)() f ( ) d) g( ) e) (f g)() f ( ) 9 7. Para f ( ) a) ( f + g )() g b) () f c) ( fg )( ) d) ( f g)( ) ; g ( ), encuentre: 8. Hallar la función inversa para cada una de las siguientes funcione g( ) 4 ( ) g( ) g g( )

13 ) ( g g ) ( ) ( g 9. Indicar la clase de funciones que representan los siguientes gráficos: a) b) c) d) e) f) 0. Dar un ejemplo de una función de R en R: a) Inectiva pero no sobreectiva. b) Sobreectiva pero no inectiva. c) Biectiva d) No inectiva ni sobreectiva.. Graficar las siguientes funciones analizar si son biectivas. Justificar. a. si si si ) ( f 4 a b c A B A B f a b c A f B A f B

14 b. 8 9 g ( ) si si si c. h ( ) ( 4) si si si si 0 d. k ( ) si 0. Una empresa de productos químicos determina que, su producción de unidades de un artículo sus funciones de ingreso de costo son, respectivamente: I() = + 0 C() = Calcular: La función utilidad (U); dada por U() = I() - C() Qué clase de función es U(), indicar su dominio, su rango graficar. L función casto medio (Q), dada por Q() = C() / Qué clase de función es Q(), indicar su dominio, su rango graficar.. Una empresa eportadora determina que en la fabricación venta de unidades de un producto, sus funciones de ingreso de costo son: I() = (800 + ) C() = Calcular: La función utilidad (U); dada por U() = I() - C() Qué clase de función es U(), indicar su dominio, su rango graficar. L función casto medio (Q), dada por Q() = C() / Qué clase de función es Q(), indicar su dominio, su rango graficar. 4. Analice lo siguiente: Supongamos ahora el mercado de carne de pollo de un supermercado es el siguiente: cuando el precio del kg. es de S/7.00 no ha demanda, cuando el precio es S/.00, la demanda es de 00. Identifique las coordenadas de los puntos a los que hace referencia el enunciado. Determine la función demanda. Qué precio dará por resultado una demanda de 45 unidades?. Interprete la pendiente de la función. Grafique. II. Analice cada uno de los siguientes ejercicios. 5. Esbozar la gráfica de las siguientes funciones con valores en R diga la clase de función que es. a) f ( )

15 b) g ( ) 4 Walter Orlando Gonzales Caicedo. Si f ( ) 4 g ( ) 4. Determinar el dominio regla de correspondencia de: a) f g b) ( f g) c) f g d) f / g e) g f 7. Sea la función f definida por f () =,,. Hallar el Ran( f ) qué clase de función es. 8. La función dada por f() = + 9 es biectiva? 9. La función: f ( ) 9 es biectiva. Verificar si su inversa también lo es. f ( ) 9 0. Para f() = ; g() = +, obtener: a) (f + g)() b) (f g)() c) (f * g)() f ( ) d) g( ) e) (f g)(). Para f ( ) ; g ( ), encuentre: ( f + g )() g ( )( ) f ( fg )( ) ( f g)( ). Hallar la función inversa para cada una de las siguientes funcione g( ) ( ) 4 g( ) g( ) g ( ) g( ) g( ) g LAS FUNCIONES Y SUS APLICACIONES. Graficar las siguientes funciones luego determinar dominio, rango e intersección con los ejes a) a)

16 - - / -4 Donde: Dom(g) = < -, 0] U < 0, ] = < -, ] Ran (g) = [-4, + > b) -4 Donde: Dom(g) = R Ran (g) [-4, + >. Un fabricante de envases de cartón desea construir cajas sin tapa a partir de piezas rectangulares de cartón de 4 cm por cm, recortando cuadrados

17 iguales de las cuatro esquinas doblando los lados hacia arriba siguiendo las líneas segmentadas. a) Si cm es la longitud de cada lado del cuadrado que debe recortarse, epresa en cm, el volumen v de la caja por fabricar, como función de. b) Esboce una grafica de la función obtenida, el dominio el rango. cm - 4 cm 4 4- a) El volumen de la caja esta dado por: V = a.b.h V = (4-)(-) f() = V f() = b) La grafica de la función f() es: f(). En el siguiente grafico: C D A O B Se tiene el triangulo ABC es isósceles, calcular: a) La diferencia entre sus áreas de los triángulos ABC ABD en función de. b) Esboce una grafica de la función obtenida, el rango el dominio.

18 a) El área del triangulo ABC es: A = ( ) A = El área del triangulo ABD es: A = ()( ) A = La diferencia entre áreas esta dado por: D = A - A D() = - D() = b) La grafica de la función D() es: D() Dom(D) = R Ran(D) = [0, + > 4. En el siguiente grafico, la función f está representado por la figura adjunta. Halle su regla de correspondencia: Y 0 45º 45º X

19 / A B C 45º 45º 9 D Del punto A a B se tiene: f() =, 0 Del punto B a C se tiene: f() =, 9 Del punto C a D se tiene: f() =, 9 la función está dada por: ; 0 f() = ; 9 ; 9 5. De una larga pieza de hoja de lata de 5 cm. de ancho se va a hacer un canalón para lluvia, doblando hacia arriba sus orillas para formar sus lados. Epresar el área de la sección transversal del canalón para lluvia como una función de su altura. 5 Si representamos por la altura en cm. del canalón para lluvia, podemos epresar el área de la sección transversal A en cm por medio de la fórmula

20 A = (5 ). Un lote rectangular va a cercarse en tres de sus lados. Si el área del lote es de 0 metros cuadrados, eprese la longitud de la cerca como una función de la longitud del lado no cercado. Donde,, son las longitudes de los lados del lote. Longitud de la cerca = + Luego: el área esta dado por: = 0 Resolviendo esto para obtenemos: = 0/ que reemplazamos entonces en la fórmula de la longitud de la cerca. Esto decir: f() = + 0/ en donde f denota la longitud de la cerca. La función f() está definida para todos los valores de ecepto = 0 representa la longitud de la cerca si es positiva. 7. Se desea construir un recipiente con la forma de un cilindro circular sin tapa con un volumen de 4π centímetros cúbicos. El precio del material que se usa para el fondo es el triple que el del material que se usa para la parte curva. Eprese el costo del recipiente en función del radio de la base del cilindro. h

21 Denotamos por r el radio de la base del recipiente por h la altura (en centímetros). Como el volumen de un cilindro circular es V = πr h el volumen del recipiente pedido es de 4π cm, entonces tenemos: Donde: πr h = 4π El costo total del recipiente es igual al costo de la parte curva más el costo de la base del cilindro. Es decir: Si P denota el precio por cm del material que se usa para la parte curva, entonces el precio por cm del material que se usa para el fondo será P. El costo de la parte curva del cilindro es igual al costo del área del rectángulo de base πr altura h, es decir: Cc = P(πr)h pero h = 4/r Así: h πr Cc = P(πr)(4/r ) = 48Pπ/r El costo de la base del cilindro es: r Cb = P (πr ) Luego: El costo total es: C = Cc + Cb = 48Pπ /r + Pπr C = Pπ(r + 48 /r) ; r > 0