CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMETRICAS Y COORDENADAS POLARES 2.1 CURVAS PLANAS Y ECUACIONES PARAMETRICAS

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1 CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMETRICAS Y COORDENADAS POLARES.1 CURVAS PLANAS Y ECUACIONES PARAMETRICAS Hasa ahora conocemos la represenación de una grafica mediane una ecuación con dos variables. En ese ema esudiaremos las siuaciones en las que se emplean res variables para represenar una curva en el plano. Anes de resolver algunos ejemplos de curvas en el espacio, inroducimos un nuevo ipo de funciones, que se denominan funciones vecoriales; las cuales se aplican en números reales y vecoriales. DEFICINION DE FUNCIONE VECTORIAL Se llama asi a cualquier funcion de la forma: r( ) f ( ) i g( ) j Plano r( ) f ( ) i g( ) j h( ) k Espacio DEFINICION DE UNA CURVA PLANA Si f y g son funciones coninuas en en un inervalo inervalo abiero I, enonces las ecuaciones x=f() y g() se les llama ecuaciones parámeros y a se le llama parámero. Al conjuno de punos (x,y) que se obienen cuando varia sobre el inervalo I se le llama grafica de las ecuaciones paraméricas. A las ecuaciones paraméricas y a la grafica juna, es a lo que se llama curva plana, que se denoa por C.

2 . ECUACIONES PARAMETRICAS DE ALGUNAS CURVAS Y SE REPRESENTACION GRAFICA Ejemplo: Trazar la curva dada por las ecuaciones paramericas x 4 y T Y -1-1/ 0 1/ 1 3/ y en: Esbozar la curva dada por la ecuación paraméricas: x 4 4 ; y desde T -1-1/ 0 1/ 1 3/ y -1-1/ 0 1/ 1 3/ 1 3

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4 Trace la curva represenada por encuenre ambién su ecuación paramérica. x 3 Cos e y 4 Sen cuando 0 y θ 0 π/ π 3π/ π Y x 3Cos y 4Sen Cos Sen Cos x 3 y 4 Sen Re escriviendo x y

5 .3 DERIVADA DE UNA FUNCION DADA PARAMETRICAMENTE DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCION VECTORIAL La derivada de una función vecorial r se define como: r'( ) r( lim 0 ) r( ) DEFINICION DE LA DERIVADA EN FORMA PARAMETRICA Si una curva suave C viene dada por las ecuaciones x f (), y g(), la pendiene de C en (x,y) es:, 0 Pariendo de la función general de derivación (regla general) demuesre la definición de derivada en forma paramerica. y x y x lim 0 g'( ) f '( ) g( f ( ) ) g( ) f ( ) dg df dg df Hallar para la curva dada por x Sen e y Cos

6 dcos dsen Sen Cos Tan Dada: 1 x e y 4 con 0, encuenre el valor de su pendiene d y d d Segunda Derivada 3 d y 3 d d y d d y Tercera Derivada

7 .4.- LONGITUD DE ARCO EN FORMA PARAMETRICA. LONGITUD DE ARCO EN FORMA PARAMÉTRICA. Si una corva suave dada por y no iene auo inersecciones en el inervalo, enonces la longiud de arco de en el inervalo vine dada por: Ejemplos: 1.- Encuenre la circunferencia del elipse dada por las ecuaciones paraméricas; En Se uiliza la idenidad: y enemos que:..- calcule la longiud de arco de un elicé circular descrio por: Desde

8 Se aplica la idenidad 3.- calcule la longiud de arco descrio por un puno erminal de la represenación de posición conforme incremena de 1 a 4.

9 4.- calcule la longiud de arco descrio por un puno erminal de la represenación de posición. 5.- Deermine la longiud de arco de una curva cuyas ecuaciones paraméricas son: y en cada uno de los siguienes casos. a) a b) a 6.-Hallar la longiud de arco de una elicé circular con ecuación vecorial Desde el puno al puno

10 7.- encuenre la longiud de la curva cuando Problemas para pracicar: (Obenidos de Larson vol. ll sexa edición; problemas del 3 al 1. Sección 9.3. pág. 934) Ecuaciones paraméricas puno

11 En los ejercicios 11 y1 enconrar una ecuación de la reca angene en cada uno de los punos indicados de la curva Y Y (Obenidos de Larson vol. ll sexa edición; problemas del 31 al 36. Sección 9.3. pág. 935) Ecuaciones paraméricas puno

12 Ejercicios del de cálculo mulivariable Sewar pág. 855 seccion13.3. Realizar al 4.

13 .5.- COORDENADAS POLARES Un sisema de coordenadas represena un puno en el plano por medio de un par ordenado de números, llamados coordenadas. Hasa el momeno en cursos aneriores hemos empleado el uso de coordenadas caresianas, que son disancias dirigidas a parir de dos ejes perpendiculares. En ese ema describiremos un sisema de coordenadas inroducido por newon llamado sisema de coordenadas polares. Para ello elegimos un puno al que llamaremos polo u origen y luego lo idenificamos con O. O Eje polar A coninuacion razamos un rayo que es una semireca que comiensa en O y se denomina eje polar. Por lo general, ese eje se raza con direccion orizonal hacia la derecha y corresponde al eje de las posiivas en las coordenadas caresianos. r P O Si P es cualquier oro puno en el plano sea r la disancia d O a P y el ángulo (medio habiualmene medido en radianes) formado por el eje polar y la reca OP. Enonces el puno P esa represenado por el par ordenado (r, ) y r, se conocen como coordenadas polares de P. En la siguiene figura se muesra la relación enre las coordenadas polares y las caresianas, cuando el polo corresponde al origen y el eje polar coincide con el eje de las posiivas. Y CARTESIANO POLAR P(r, )=P(x, y) r Profr. Julio Y Meléndez Pulido 010- x x

14 Ejemplos: 1.- Exprese el puno en coordenadas caresianas..- Represene en coordenadas polares el puno grafique los punos cuyas coordenadas polares se dan a coninuación

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16 4.- obenga una ecuación caresiana de la grafica que iene la ecuación polar: 5.-Reduzca la ecuación polar : Considere

17 .6.- GRAFICAS DE ECUACIONES POLARES. Una forma de represenar la grafica de una ecuación en polares consise en pasar a coordenadas recangulares y después dibujar la grafica de la ecuación recangular. Ejemplos: Describa la grafica de cada una de las siguienes ecuaciones en polares. Verifique cada descripción pasando a una ecuación recangular. r Circulo r Represenación polar: Represenación caresiana: π.- Y Reca radial x

18 3.- Y Reca verical 1 x 4.- Trace la curva cuya ecuación es

19 5.- Trace la grafica de la ecuación polar: a), b) deduzca la ecuación caresiana del comporamieno grafico obenido en el inciso anerior. a) Y x y r b) 6.- Demuesre cualquier consane dada: Y 3