Estadística Actuarial I. Prácticas de Simulación con Excel. Enunciados de las prácticas y guía para su realización

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1 Estadística Actuarial I Prácticas de Simulación con Excel Enunciados de las prácticas y guía para su realización

2 Introducción Este documento contiene los enunciados de las prácticas a resolver por los alumnos de la asignatura ESTADÍSTICA ACTUARIAL I de la LICENCIA- TURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS. El formato de presentación será Excel, en concreto en un único libro que contendrá una única hoja para cada uno de los problemas que se hayan resuelto. El nombre de fichero Excel será: apellido_apellido_nombre_ea.xls sin acentos ni mayúsculas, por ejemplo: gomez_perez_macarena_ea.xls cada hoja se nombrará como P# siendo # el nº del problema que se resuelve en dicha hoja. el enunciado concreto del problema dependerá del nº del DNI del alumno. Los enunciados que hay que resolver aparecen en la tabla siguiente: Enunciados Carácter Del nº al nº (ambos incluidos) Obligatorio Del nº al nº 7 (ambos incluidos) Hay que elegir 5 Nº 8 Los que opten a Matricula de Honor De manera que, quien presente las prácticas completas, deberá haber presentado 5 problemas (o 6 si opta a MH). El fichero que contenga las prácticas se entregara en un CD-ROM rotulado con el nombre y DNI del alumno a la entrega del examen, el día en que se haga éste. LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS

3 ) Generar una muestra de tamaño n= de la distribución enunciada. Obtener la función de probabilidad, la función de distribución, el histograma de ambas, y comparar las frecuencias observadas (empíricas) con las que cabría esperar (teóricas). Caso a resolver DNI acabado en Uniforme discreta U[;6], Poisson (media=),3 Poisson (tasa= cada minutos) 4,5 Binomial (n=; p=,35) 6,7 Binomial negativa (r=, p=/) 8,9 Poisson (media=) Modelo Guía: Excel cuenta con una función para la distribución y densidad de Poisson, cuenta también con la posibilidad de obtener muestras aleatorias así distribuidas (Herramientas + Análisis de Datos + Generación de números aleatorios). En cualquier caso es posible obtener números que se distribuyan según una Poisson aleatorios utilizando la fórmula siguiente: BINOM.CRIT(λ/,;,;ALEATORIO()) Utilizaremos la primera opción llamando al módulo de Análisis de Datos LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 3

4 Una vez obtenidos los números aleatorios (que hemos colocado en la columna A) procedemos al análisis de la muestra usando la función Frecuencia. Antes creamos la columna X, que recogerá los posibles valores de la variable: empezamos en y arrastramos creando una serie hasta un número suficiente de valores, por ejemplo 3 sigmas a la derecha de la media, es decir + (3,5 ) LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 4

5 Creamos también la columna N, en la que pondremos el resultado de usar Frecuencia, para que recoja la frecuencia absoluta de los datos A continuación creamos una nueva columna (f) para recoger las frecuencias relativas, lo que haremos dividiendo las absolutas entre el número total de observaciones que habremos calculado en un celda aparte sumando las frecuencias relativas. Con estos datos ya podemos crear los gráficos de la muestra. 4 N LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 5

6 Falta compararlos con las frecuencias teóricas. Para saberlas usamos la función que tiene Excel relacionada con la probabilidad de una v.a. de Poisson: Recordamos que la función de cuantía de la distribución Poisson(λ) es: e p = x x! ( ) La función de distribución es: λ X λ n= X n λ λ F = e ( x) n= n! La función de Excel que nos da ambas es: POISSON(x ; media ; acumulado) x el valor que toma la variable; media, el parámetro λ; acumulado es un valor lógico que determina la forma de la función. Si el argumento acumulado es VERDADERO, devuelve la función de distribución; si es FALSO, devuelve la función de masa de probabilidad. LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 6

7 Para calcular las frecuencias absolutas multiplicamos las relativas por el tamaño de la muestra. El resultado final será parecido al siguiente: X N f f Teó N teór,,,,,,4 3,,8 4 9,9, ,6, ,3, ,37, ,77, ,7, ,96, ,88,44 3,,44 3 3,, ,89, ,6, ,6, ,4, ,, ,4,6 6 9,9,97 6,6, Comparación Si bien, debido a los diferentes números aleatorios generados en cada ordenador, los resultados no serán nuca idénticos a los anteriores. LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 7

8 ) Generar una muestra de tamaño n= de la distribución enunciada. Obtener la función de probabilidad, la función de distribución, el histograma de ambas, y comparar las frecuencias observadas (empíricas) con las que cabría esperar (teóricas). Caso a resolver DNI acabado en Uniforme continua U[-;], Exponencial (media=),3 Exponencial (tasa= cada minutos) 4,5 Beta (,3) 6,7 Gamma (r=, s=3) 8,9 Normal (μ=; σ=) Modelo Guía: A diferencia del ejemplo anterior, aunque podríamos hacerlo también puesto que el módulo de números aleatorios también tiene la distribución Normal, generaremos nosotros la muestra aleatoria usando la función inversa que tiene Excel. Así en la primera celda de la primera columna introduciremos la fórmula correspondiente y la iremos arrastrando hasta la fila, para generar la muestra de ese tamaño. Haremos como en el ejercicio anterior la distribución de frecuencias observadas en la muestra, para lo cual crearemos la columna N de posibles valores: μ ± 3σ y utilizaremos la función Frecuencia para contar las frecuencias relativas X N f 6, 3,3 6,5 3,3 7,, 7,5 5,5 8,, 8,5 9,9 9, 9,9 9,5 4,4, 53,53,5 8,8, 69,69,5 93,93, 79,79,5, 3, 89,89 3,5 96,96 4, 64,64 4,5 5,5 5, 39,39 5,5 3,3 6, 4,4 6,5, 7, 8,8 7,5, 8, 3,3 8,5, 9,, 9,5,,, LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 8

9 Para obtener la distribución de las frecuencias teóricas, utilizaremos la función DISTR.NORM que tiene Excel: Sin embargo, a diferencia de como haríamos en el caso de las discretas calculamos primero la función de distribución (Acumulado=TRUE) para estimar la función de densidad a partir de los valores de esta: LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 9

10 Una vez hecho esto tendremos tanto la distribución empíricas como la teórica:, X N f F f N(Teó) 6, 3,3,3,3,3 6,5 3,3,3,6,6 7,,,6,3 3, 7,5 5,5,,6 6, 8,,,8,5,5 8,5 9,9,4,73 7,3 9, 9,9,668,67 6,7 9,5 4,4,56,388 38,8, 53,53,587,53 53,,5 8,8,66,68 68,, 69,69,385,89 8,9,5 93,93,43,98 9,8, 79,79,5,987 98,7,5,,5987,987 98,7 3, 89,89,695,98 9,8 3,5 96,96,7734,89 8,9 4, 64,64,843,68 68, 4,5 5,5,8944,53 53, 5, 39,39,933,388 38,8 5,5 3,3,9599,67 6,7 6, 4,4,977,73 7,3 6,5,,9878,5,5 7, 8,8,9938,6 6, 7,5,,997,3 3, 8, 3,3,9987,6,6 8,5,,9994,8,8 9,,,9998,3,3 9,5,,9999,,,,,,, con lo cual ya podremos hacer la comparación gráfica de una y otras, tanto en frecuencias absolutas: LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS

11 como en frecuencias relativas: o en las Funciones de distribución sin más que añadir una nueva columna, F, a las frecuencias empríricas que recoja las sumas de éstas:, X N f F F f N(Teó) 6,,,,3,3,3 6,5,,,3,6,6 7, 4,4,6,6,3 3, 7,5,,8,,6 6, 8,,,,8,5,5 8,5,,4,4,73 7,3 9, 4,4,64,668,67 6,7 9,5 4,4,6,56,388 38,8, 55,55,6,587,53 53,,5 65,65,6,66,68 68,, 85,85,3,385,89 8,9,5 94,94,45,43,98 9,8, 94,94,499,5,987 98,7,5 7,7,66,5987,987 98,7 3, 88,88,694,695,98 9,8 3,5 8,8,776,7734,89 8,9 4, 57,57,833,843,68 68, 4,5 56,56,889,8944,53 53, 5, 4,4,93,933,388 38,8 5,5 3,3,96,9599,67 6,7 6, 4,4,985,977,73 7,3 6,5 7,7,99,9878,5,5 7, 3,3,995,9938,6 6, 7,5 3,3,998,997,3 3, 8,,,999,9987,6,6 8,5,,999,9994,8,8 9,,,999,9998,3,3 9,5,,,9999,,,,,,,,,,9,8,7,6,5,4,3,,, LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS

12 3) Sea X una variable aleatoria definida de la forma siguiente ( λ ) ( λ ) ( λ ) X Poisson X = X + X + X3 X Poisson X3 Poisson 3 a) Generar valores de X. b) Ajustar a Poisson y comparar ambas distribuciones empírica y ajustada de forma gráfica. c) Comparar la ajustada con la que se deduce de la propiedad aditiva de Poisson. Caso a resolver DNI acabado en λ λ λ 3 nº par 5 nº impar modelo 3 4 Guía Recordamos lo siguiente sobre la Poisson: Generación. Excel cuenta con una función para la distribución y densidad de Poisson, cuenta también con la posibilidad de obtener muestras aleatorias así distribuidas (Herramientas + Análisis de Datos + Generación de números aleatorios). En cualquier caso es posible obtener números aleatorios que se distribuyan según una Poisson de parámetro λ, utilizando la fórmula siguiente: BINOM.CRIT(λ/,;,;ALEATORIO()) Caracterización. El parámetro λ puede ser estimado fácilmente de la forma siguiente: λ= ˆ x (n) Simulamos las 3 variables usando la fórmula anterior Tabulamos X desde hasta y calculamos las frecuencias empíricas F con la función Frecuencia: Calculamos la función de probabilidad estimada de X Emp dividiendo la frecuencia de cada valor por el numero total de observaciones. Calculamos primero la media de los datos y calculamos después las frecuencias teóricas de X usando la función Poisson : LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS

13 Finalmente tenemos todos los datos necesarios para poder representar ambas funciones X F Emp Teo Teo,,,,,,5 5 3,, ,43, ,66, ,8, ,7, ,7, ,9,3 3 5,5,9 9 97,97, ,73, ,45, ,3, ,4, 6,, 7 7,7, ,6, ,3,,, Con lo que ya podemos obtener los gráficos correspondientes: 4 Emp Teo LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 3

14 4) Sea X una variable aleatoria definida de la forma siguiente Y ( a X ) a = 5 = = ( ) X Exponencial media 4 Caso a resolver DNI acabado en a Media nº par nº impar 6 6 modelo 5 4 a) Generar valores de Y. b) Ajustar a Exponencial y comparar de forma gráfica los resultados obtenidos en la simulación con los teóricos. Generación. Excel no cuenta con una función para la inversa de la función de distribución, sin embargo, la generación de variables aleatorias puede hacerse utilizando la fórmula siguiente: Media* -LN(ALEATORIO()) Media 4 Media*a a 5 X N f f f,, 97,7,45,4 4, 95,4,4,3 6, 83,,37,93 8, 67,8,34,84, 68,8,3,76, 47,57,7,69 4, 49,59,5,63 6, 6,7,,57 8, 45,54,,5, 3,36,8,46, 9,35,7,4 4, 3,39,5,38 6, 5,3,4,34 8,,7,,3 3, 6,3,,8 3, 6,3,,5 34, 5,8,9,3 36, 4,7,8, 7 83,397 Definimos los nombres Media y a y empleamos la fórmula para generar los valores de Y LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 4

15 Generamos la tabla de frecuencias empíricas relativas (f) y de frecuencias teóricas (f) usando FRECUENCIA, DISTR.EXP teniendo en cuenta que: Si X Exp(λ) ax Exp(λ a) será necesario ajustar f, dividiendo por su suma para pasar de discreto a continuo así la probabilidad teórica que usamos para la comparación es f f ( X) f ( X) ( ) = f X Finalmente utilizamos gráficos de dispersión para dibujar las frecuencias teóricas y empíricas. El resultado será parecido al siguiente: Media 4 Media*a a 5 X N f f f,, 8,96,45,4 4, 78,93,4,3 6, 89,6,37,93 8, 66,78,34,84, 68,8,3,76, 56,66,7,69 4, 73,87,5,63 6, 49,58,,57 8, 4,5,,5, 4,5,8,46, 5,3,7,4 4, 3,38,5,38 6, 3,38,4,34 8, 6,3,,3 3,,4,,8 3, 6,3,,5 34, 9,3,9,3 36, 9,3,8, ,397,,,8,6,4,, f f 4 LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 5

16 5) Sea X una variable aleatoria definida de la forma siguiente X = min { Y ; Y } Y Y Exponencial Exponencial ( m ) ( m ) DNI acabado en m m nº par nº impar 6 6 modelo 5 4 a) Generar valores de Y. b) Ajustar a Exponencial y comparar de forma gráfica los resultados obtenidos en la simulación con los teóricos. y va- Definimos los nombres Media y Media empleamos la fórmula para generar los lores de Y usando la función MIN X N f f f,,,5 36,7,45,5, 56,44,359,64,5 53,4,87,3, 8,99,9,4,5 83,76,83,83 3, 9,83,46,67 3,5 54,5,7,53 4, 47,43,93,4 4,5 35,3,74,34 5, 3,,59,7 5,5,8,47, 6, 5,4,38,7 6,5 8,7,3,4 7, 3,,4, 7,5 4,3,9,9 8,,,5,7 8,5 4,4,,6 9, 6,6,,4 4 86,9 Generamos la tabla de frecuencias empíricas relativas (f) y de frecuencias teóricas (f) usando FRECUENCIA, DISTR.EXP y teniendo en cuenta que Y Y Exp ( λ ) Exp ( ),5,,5 min{ Y, Y} Exp λ + λ λ f f Al compensar f, igual que en el ejercicio anterior, obtendremos las dos frecuencias a comparar, las que hemos llamado f y f.,,5, LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 6

17 6) Sea X una variable aleatoria definida de la forma siguiente Y = ( Y + Y ) Y Y Gamma Gamma ( 5; ) ( 4; ) a) Generar valores de Y. b) Ajustar a Gamma y comparar de forma gráfica los resultados obtenidos en la simulación con los teóricos. Generación. Excel cuenta con una función para la inversa de la función de distribución Gamma, la generación de variables aleatorias puede hacerse utilizando la fórmula siguiente: DISTR.GAMMA.INV(ALEATORIO();r,β) Definimos los parámetros del problema r+r 9 r 4 r 5 Lambda Generamos los valores de Y e Y y los sumamos para obtener Y Construimos la tabla de frecuencias como en los anteriores teniendo en cuenta que : Y Y Gamma Gamma ( r ; ) ( r ; ) ( Y + Y ) Gamma( r + r ; ) X N f f f,,,,,,,,,, 3,,,, 4, 7,7,8,8 5, 5,5,3,3 6, 95,95,65,66 7, 9,3,3,4 8,,,3,3 9, 38,39,4,4, 37,38,3,33, 86,86,3,4, 83,83,89,9 3, 47,47,66,66 4, 34,34,46,46 5,,,3,3 6, 6,6,9, 7,,,, 8, 6,6,7, ,99 LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 7

18 Para calcular la frecuencia teórica usamos la función DISTR.GAMMA Como en los problemas anteriores es necesario normalizar f, calculada como ( X) ( X) ( ) = f X Finalmente realizamos el gráfico de dispersión de ambas frecuencias f f,6 f f,4,,,8,6,4,, LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 8

19 7) Se tienen urnas A={5r,3b,8a} y B={3r,5b}. Se lanza un dado, si sale un o un 6 se elige la urna B, en caso contrario la A. a) Qué probabilidad hay de elegir una bola roja?. b) Simular veces, estimar P(roja) y comparar con los resultados teóricos. Guía: Este problema fue resuelto en clase Por comodidad crearemos una variable U=Aleatorio() en Nombre> Definir para usarla en los cálculos posteriores Para calcular el resultado podemos usar SI anidados Una vez hechas las réplicas sólo queda contar y dividir: Roja 48 "=SUMA(A:A)" Total 5 "=CONTAR(A:A)" Probabilidad,3 LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 9

20 8) Sea el siguiente juego: el jugador elige un número del conjunto {,, 3, 4, 5, 6}. Se lanza tres veces un dado equilibrado. Si el número elegido aparece, o 3 veces entonces gana, 3 o 4. Si su número no sale pierde. Resolver primero en teórico después simular y comparar los resultados. a) Calcular la distribución de la ganancia b) Calcular la ganancia media. c) Calcular la varianza de la ganancia. Guía: La variable X= nº de veces que sale nuestro número, es B(n=3;p=/6). Calculamos la función de cuantía usando: a partir de ella calculamos la ganancia G(x) y la ganancia al cuadrado G(x) para calcular la media y la varianza: X P(x) G(x) G(x),5787 -,347 4, , para la media usaremos la función Sumaproducto: para la varianza hacemos los cálculos teniendo en cuenta que V (X) =E(X )-[E(X)] LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS

21 Simulamos los dados mediante: Una forma rápida de hacer el cálculo del beneficio es media fórmulas matriciales: y usando la función Indice le asignamos el beneficio calculado anteriormente Como alternativa a la fórmula matricial podemos usar SI anidados Si suponemos que el número elegido es el, el resultado final debe ser parecido a este: Media Varianza Teórica 34,6 Estimada 4,3 Teórica 549,97 Estimada 637,8 aunque, debido a los diferentes número aleatorios generados, los resultados no serán exactamente los mismos. LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS

22 9) Una acción tiene un precio inicial de. Cada día su cotización puede subir o bajar esa misma cantidad. La probabilidad de subir es del 35%. a) Calcular la distribución de su precio al cabo de 3 días. b) Comparar el resultado de la simulación con el teórico, de forma gráfica y por la comparación de la media y la varianza observada y teórica. Guía Hay al menos dos formas distintas de abordar el problema: se puede simular cada uno de los 3 dias, usando Aleatorio() y comparando con,35, o se puede considerar que el número de subidas durante 3 días es una v.a. binomial B(n=3, p=,35). El precio final será +x-(3-x)=69+x, siendo x la realización de la v.a. binomial o la suma de la Bernouilli individuales. El resultado gráfico, análogo al explicado en el problema, podría ser de la forma siguiente: Para comparar la media y varianza observada con las teóricas recordamos que la media y varianza de una binomial B(n,p) son (respectivamente): también que: E( x) = n p ; Var( x) = n p ( p) ( + ) = ( ) + ( + ) = ( ) E ax b a E x b ; Var ax b a Var x LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS

23 ) Una compañía de seguros tiene una cartera con tres tipos de pólizas A, B y C. Cada una de ellas tiene una reclamación media diferente aunque las tres siguen una distribución uniforme U [a,b]. Los datos de los parámetros y del número de clientes en cada tipo de póliza se dan en la tabla siguiente: Póliza A B C a 5 b 5 5 Clientes 5 3 a) Calcular la distribución de la reclamación total. b) Comparar el resultado de la simulación con el teórico. Guía Este problema se puede abordar de varias formas. En primer lugar se puede intentar simular cada una de las reclamaciones individuales y sumar los importes para calcular la reclamación total, para ello necesitaríamos columnas que habría que sumar, lo cual no es práctico. Se recomienda, bien usar una combinación de las funciones FILA e INDIREC- TO que, junto con SUMA y SI, al ser combinadas en una fórmula matricial en la forma siguiente: =SUMA(SI(FILA(INDIRECTO(":"));ALEATORIO()*5;)) proporcionan, en una única operación, tantos sumandos uniformes como indique el rango de INDIRECTO ( en el ejemplo); bien usar una aproximación basada en TCL. LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 3

24 ) Un comerciante vende calendarios. Cada calendario se compra a, y se vende a un precio de,4. Por cada calendario comprado pero no vendido se recupera un importe de,6. La demanda diaria de calendarios sigue una distribución uniforme entre y 3. a) Calcular el pedido óptimo de calendarios que debe hacer el comerciante. b) Una vez determinado éste, calcular la distribución, la media y la varianza del beneficio obtenido. Guía Calcular el Beneficio (B) en función de lo demandado y lo fabricado ( Dev ) ( Ven ) ( ) Si pedido > demandado B = NO Vendido * P + Vendido * P Si pedido demandado B = Vendido * PVen siempre B = B ( pedido * PCom ) A continuación ponderar B para cada posible demanda y estimar el beneficio para cada cifra de pedido LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 4

25 ) (Hossack) Un periódico publica la noticia de que los hombres tienen una propensión a sufrir accidentes de tráfico que resulta ser el doble de la que tienen las mujeres. Intentando demostrar la falsedad de tal afirmación un marido pacta con su mujer el siguiente juego: Durante los próximos diez años llevaremos cuenta de los accidentes de tráfico que tengamos cada uno, al final de ese período te pagaré por cada accidente que yo haya tenido más que vosotras dos (refiriéndose a ella y a la hija de ambos). Supóngase que los datos que ofreció el periódico fueron los siguientes: Guía: Accidentes de hombres Poisson de media cada años, Accidentes de mujeres Poisson de media cada años (Como ocurre en la más cruda realidad, el marido sólo paga, no recibe dinero en caso de que las mujeres tengan más accidentes que él). a) Cómo es la distribución del pago esperado del marido?. b) Cuál será el pago medio?. c) Resolver el problema teóricamente y comparar los resultados teóricos y los obtenidos mediante simulación. Para resolver el apartado c) téngase en cuenta que: Y Y Poisson Poisson ( λ ) ( λ ) ( Y + Y ) Poisson( λ + λ ) y que es lógico suponer que ambos accidentes los del marido y los de ambas mujeres son independientes de manera que la distribución conjunta será: ( Mar,AcMuj ) f Ac AcMar 7 Poisson( λ) Poisson( λ) = AcMuj 7 resto a partir de lo anterior es posible determinar la función de probabilidad de la variable pedida: Y = max ;Ac Ac ( Mar Muj ) LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 5

26 Para los apartados a) y b) basta con simular un número suficiente de veces: para el apartado c) se puede crear la distribución conjunta de frecuencias de ambas variables y calcular la distribución de la diferencia LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 6

27 3) El número mensual de reclamaciones de un determinado grupo de pólizas sigue una distribución Poisson de parámetro 4; a su vez, cada una de esas posibles reclamaciones tiene un importe que se distribuye según una exponencial de parámetro (media) igual a. a) Calcular la distribución del total de reclamaciones mensuales. b) Calcular el resultado teórico y comparar 4 8 El resultado a) debería ser parecido a este: 6 4,,9,8,7,6,5,4,3,,, El resultado b) debería ser parecido a este: LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 7

28 Guía: para el apartado a) Simular primero la Poisson, En columnas siguientes un número suficiente de exponenciales. Usar la función de Excel DESREF junto con SUMA para calcular la suma mensual de las exponenciales dadas por la Poisson. para el apartado b) Por la teoría sabemos que la suma de exponenciales es una distribución Gamma. ( Rec Mensual Λ = s) Gamma( s, λ) y Λ Poisson( υ) El número de sumandos que integran la Gamma es el resultado de una Poisson, de manera que habrá que: ) Calcular la densidad de la Gamma para un rango razonable del importe de las reclamaciones, para cada una de los posibles valores del parámetro s: s Poisson (4). ) Ponderar estos valores por los de la función de cuantía de la Poisson. 3) Agregarlos todos para obtener la función de distribución de la reclamación mensual. λ y Y Poisson( λ ) F( Y ) = p( y) λe dy i= Y Poisson( λ ) LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 8

29 LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 9

30 4) El número de reclamaciones de un determinado grupo de pólizas sigue una distribución Poisson (λ), donde λ es a su vez una variable aleatoria que se distribuye según una Gamma (5 ; ): a) Calcular la distribución de la variable aleatoria número de reclamaciones. b) Realizar el test de bondad del ajuste a una Binomial Negativa que se deduce de los datos anteriores. c) Realizar el test de bondad del ajuste a la Binomial Negativa teóricamente esperada. Guía Para realizar el apartado a): Simular primero la gamma para obtener un valor. Utilizar este valor para simula la Poisson. Para realizar el apartado b): Calcula media μ y varianza σ de la distribución simulada. Calcular los parámetros de la BN(r,p) de la forma siguiente: μ ˆr = ; pˆ = μ σ μ σ Calcular la función de probabilidad usando la fórmula correspondiente : ( ) Para realizar el apartado c): La teoría nos dice que: Si, entonces : Γ ( r + x) ( r) ( x ) ( ) x r p x = p p Γ Γ + ( X Λ = λ) Poisson( λ) y Λ Gamma( r, α) α X BN r, α + Para calcular la función Gamma en Excel hay que usar dos funciones concatenadas EXP y GAM- MA.LN de esta forma: Ln ( x) x EXP GAMMA.LN x e Γ Γ = ( ) ( ) ( ) ya que Excel no tiene una función Gamma pero si el logaritmo neperiano de ésta, por lo que hay que deshacerlo. LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 3

31 El resultado final debería ser parecido al siguiente (en el, por comodidad, se han utilizado gráficas continuas para representar distribuciones de probabilidad de variables aleatorias de carácter discreto): 9 Emp Teo Ajus LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 3

32 5) Sea la siguiente cartera de pólizas de vehículos: 5 5 <5 <5 Familiar Deportivo Familiar Deportivo r 6,,6,95,54 α,97,89,987,978 N siendo: 5 el asegurado tiene 5 años o más de edad, <5 el asegurado tiene 4 años o menos edad, Familiar, Deportivo tipo de vehículo, (r,α) los parámetros de la distribución Binomial negativa que describe la distribución del número de reclamaciones anuales que hace cada uno de los asegurados, N el número de pólizas suscritas, es decir el número de asegurados en esas condiciones concretas, la reclamación media por asegurado. a) Estimar la distribución del monto total anual de las reclamaciones LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 3

33 6) Una compañía de seguros tiene una cartera con 3 tipos de pólizas: La primera cubre un máximo de. y tiene una franquicia de 6, es decir que los pagos P por reclamaciones de este tipo de póliza, D, son de la forma siguiente: si R 6 P = R 6 si 6 < R <..4 si R. La segunda cubre un máximo de.5 y paga las /3 partes del daño D : 3R si R < 5. 4 P =.5 si R 5. La tercera es de la forma siguiente: si R3 < 5 P3 = R3 si R3 5 Por experiencia anterior se sabe que las distribuciones de los daños son de la forma siguiente: D Exp ( λ = 5) D Exp ( λ = 6) D3 Exp ( λ = ) Se esperan 5 reclamaciones: 8 de D, 4 de D y 3 de D 3. a) A qué cantidad debe ascender la reserva de la compañía para que la probabilidad de que pueda hacer frente a la reclamación total sea del 8%? Guía Se trata de una aplicación típica del TCL, las v.a.s. de los pagos son modificaciones de una exponencial, de la media de ésta: λx [ ] = x λe dx E x podríamos deducir la media de cada una de ellas, por ejemplo la de P seria 6 [ ] = λx λx ( ) + λ + λ λx E P 8 e dx x 6 e dx.4 x λe dx 6 Podríamos también deducir, con un mayor esfuerzo, la varianza y una vez hechas las operaciones correspondientes, deducir la media y la varianza de la normal a la que se aproxima - en virtud del TCL - la distribución del pago total. LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 33

34 Aún así, la aproximación a la distribución Normal no sería demasiado buena: se trata de una suma de pocas variables aleatorias y éstas son muy sesgadas. En estas situaciones el recurso a la simulación del pago es la mejor solución. La simulación es muy sencilla, basta simular primero las exponenciales de las reclamaciones iniciales (R, R y R 3 ) y a partir de éstas, aplicando los criterios de pago de la compañía, calcular los pagos (P, P y P 3 ) que finalmente se harán. Para responder a la pregunta sobre la reserva necesaria para afrontar los pagos bastará aplicar la función PERCENTIL sobre los datos simulados. LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 34

35 7) Una empresa sabe que la demanda diaria en kilogramos del producto que fabrica sigue una distribución Pareto(3,) mientras que la oferta de ese mismo producto se distribuye según una distribución Normal(3;,5). Tiene un coste de,5 por kilo fabricado y no vendido y de,5 por kilo demandado y no servido: a) Calcular la distribución de la diferencia entre demanda (D) y oferta (O) es decir de la variable D-O. b) Calcular la distribución de las ganancias o pérdidas. Guía: Generación de Pareto: La notación habitual es X Par(α,β), ambos parámetros son de escala. En la literatura aparecen descritos diversos métodos para generar v.a. de Pareto. En Excel es posible obtener v.a. a través de cualquiera de las fórmulas siguientes: =β*((/(-aleatorio()))^(/α)) =β*(aleatorio()^(-/α)) Generación de Normal: Excel cuenta con la función inversa de la distribución: =DISTR.NORM.INV(ALEATORIO();μ;σ) LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 35

36 LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 36

37 8) Una compañía de seguros de automóviles tiene un sistema bonus-malus, o de descuento por buen conductor. Hay varios tramos de descuento para el pago anula de una póliza por la que se comienza pagando 5 : % % % 3% 4% 5% 6% si durante un plazo de un año no se hace ninguna reclamación, se aumenta un tramo de descuento al año siguiente, hasta el descuento máximo del 6% que se alcanza al llegar al 7º tramo. Mientras que si, durante un plazo de un año, se hace una única reclamación (o más de una) se vuelve al comienzo de la escala, es decir, al % de descuento del primer tramo. Se está en proceso de decidir si cambiar o no este sistema por otro análogo. Este nuevo sistema tendría sólo 4 tramos de descuento: 3 4 % % 4% 6% Pero, a diferencia del anterior, sólo se retrocede un puesto en la escala por reclamación, es decir si durante un año no hay reclamaciones se gana un % de descuento, si hay una reclamación se pierde un % de descuento. El descuento no puede ser superior al 6% ni negativo. También sería diferente la prima que pasaría de 5 a (5+75). Se sabe que el número de accidentes que ocurren anualmente sigue una distribución de Poisson de parámetro, por año, mientras que la distribución del importe de las reclamaciones se distribuye de forma LogNormal(μ = 6, ; σ =,79). También hay que tener en cuenta que las reclamaciones que no le interesan al cliente no se realizan, por ejemplo en el primer sistema, un cliente que éste en el tramo 4 (3%) perdería este descuento si hiciera una reclamación así que si el daño que recibe es inferior a lo que pierde no le interesa reclamar. Las pérdidas mínimas por sistema y tramo son las siguientes: Tramo Importe Tramo 3 4 Importe a) Decidir qué sistema es el mejor para la compañía, si la póliza está suscrita por clientes. LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 37

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