Estadística Actuarial I. Prácticas de Simulación con Excel. Enunciados de las prácticas y guía para su realización

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Estadística Actuarial I. Prácticas de Simulación con Excel. Enunciados de las prácticas y guía para su realización"

Transcripción

1 Estadística Actuarial I Prácticas de Simulación con Excel Enunciados de las prácticas y guía para su realización

2 Introducción Este documento contiene los enunciados de las prácticas a resolver por los alumnos de la asignatura ESTADÍSTICA ACTUARIAL I de la LICENCIA- TURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS. El formato de presentación será Excel, en concreto en un único libro que contendrá una única hoja para cada uno de los problemas que se hayan resuelto. El nombre de fichero Excel será: apellido_apellido_nombre_ea.xls sin acentos ni mayúsculas, por ejemplo: gomez_perez_macarena_ea.xls cada hoja se nombrará como P# siendo # el nº del problema que se resuelve en dicha hoja. el enunciado concreto del problema dependerá del nº del DNI del alumno. Los enunciados que hay que resolver aparecen en la tabla siguiente: Enunciados Carácter Del nº al nº (ambos incluidos) Obligatorio Del nº al nº 7 (ambos incluidos) Hay que elegir 5 Nº 8 Los que opten a Matricula de Honor De manera que, quien presente las prácticas completas, deberá haber presentado 5 problemas (o 6 si opta a MH). El fichero que contenga las prácticas se entregara en un CD-ROM rotulado con el nombre y DNI del alumno a la entrega del examen, el día en que se haga éste. LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS

3 ) Generar una muestra de tamaño n= de la distribución enunciada. Obtener la función de probabilidad, la función de distribución, el histograma de ambas, y comparar las frecuencias observadas (empíricas) con las que cabría esperar (teóricas). Caso a resolver DNI acabado en Uniforme discreta U[;6], Poisson (media=),3 Poisson (tasa= cada minutos) 4,5 Binomial (n=; p=,35) 6,7 Binomial negativa (r=, p=/) 8,9 Poisson (media=) Modelo Guía: Excel cuenta con una función para la distribución y densidad de Poisson, cuenta también con la posibilidad de obtener muestras aleatorias así distribuidas (Herramientas + Análisis de Datos + Generación de números aleatorios). En cualquier caso es posible obtener números que se distribuyan según una Poisson aleatorios utilizando la fórmula siguiente: BINOM.CRIT(λ/,;,;ALEATORIO()) Utilizaremos la primera opción llamando al módulo de Análisis de Datos LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 3

4 Una vez obtenidos los números aleatorios (que hemos colocado en la columna A) procedemos al análisis de la muestra usando la función Frecuencia. Antes creamos la columna X, que recogerá los posibles valores de la variable: empezamos en y arrastramos creando una serie hasta un número suficiente de valores, por ejemplo 3 sigmas a la derecha de la media, es decir + (3,5 ) LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 4

5 Creamos también la columna N, en la que pondremos el resultado de usar Frecuencia, para que recoja la frecuencia absoluta de los datos A continuación creamos una nueva columna (f) para recoger las frecuencias relativas, lo que haremos dividiendo las absolutas entre el número total de observaciones que habremos calculado en un celda aparte sumando las frecuencias relativas. Con estos datos ya podemos crear los gráficos de la muestra. 4 N LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 5

6 Falta compararlos con las frecuencias teóricas. Para saberlas usamos la función que tiene Excel relacionada con la probabilidad de una v.a. de Poisson: Recordamos que la función de cuantía de la distribución Poisson(λ) es: e p = x x! ( ) La función de distribución es: λ X λ n= X n λ λ F = e ( x) n= n! La función de Excel que nos da ambas es: POISSON(x ; media ; acumulado) x el valor que toma la variable; media, el parámetro λ; acumulado es un valor lógico que determina la forma de la función. Si el argumento acumulado es VERDADERO, devuelve la función de distribución; si es FALSO, devuelve la función de masa de probabilidad. LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 6

7 Para calcular las frecuencias absolutas multiplicamos las relativas por el tamaño de la muestra. El resultado final será parecido al siguiente: X N f f Teó N teór,,,,,,4 3,,8 4 9,9, ,6, ,3, ,37, ,77, ,7, ,96, ,88,44 3,,44 3 3,, ,89, ,6, ,6, ,4, ,, ,4,6 6 9,9,97 6,6, Comparación Si bien, debido a los diferentes números aleatorios generados en cada ordenador, los resultados no serán nuca idénticos a los anteriores. LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 7

8 ) Generar una muestra de tamaño n= de la distribución enunciada. Obtener la función de probabilidad, la función de distribución, el histograma de ambas, y comparar las frecuencias observadas (empíricas) con las que cabría esperar (teóricas). Caso a resolver DNI acabado en Uniforme continua U[-;], Exponencial (media=),3 Exponencial (tasa= cada minutos) 4,5 Beta (,3) 6,7 Gamma (r=, s=3) 8,9 Normal (μ=; σ=) Modelo Guía: A diferencia del ejemplo anterior, aunque podríamos hacerlo también puesto que el módulo de números aleatorios también tiene la distribución Normal, generaremos nosotros la muestra aleatoria usando la función inversa que tiene Excel. Así en la primera celda de la primera columna introduciremos la fórmula correspondiente y la iremos arrastrando hasta la fila, para generar la muestra de ese tamaño. Haremos como en el ejercicio anterior la distribución de frecuencias observadas en la muestra, para lo cual crearemos la columna N de posibles valores: μ ± 3σ y utilizaremos la función Frecuencia para contar las frecuencias relativas X N f 6, 3,3 6,5 3,3 7,, 7,5 5,5 8,, 8,5 9,9 9, 9,9 9,5 4,4, 53,53,5 8,8, 69,69,5 93,93, 79,79,5, 3, 89,89 3,5 96,96 4, 64,64 4,5 5,5 5, 39,39 5,5 3,3 6, 4,4 6,5, 7, 8,8 7,5, 8, 3,3 8,5, 9,, 9,5,,, LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 8

9 Para obtener la distribución de las frecuencias teóricas, utilizaremos la función DISTR.NORM que tiene Excel: Sin embargo, a diferencia de como haríamos en el caso de las discretas calculamos primero la función de distribución (Acumulado=TRUE) para estimar la función de densidad a partir de los valores de esta: LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 9

10 Una vez hecho esto tendremos tanto la distribución empíricas como la teórica:, X N f F f N(Teó) 6, 3,3,3,3,3 6,5 3,3,3,6,6 7,,,6,3 3, 7,5 5,5,,6 6, 8,,,8,5,5 8,5 9,9,4,73 7,3 9, 9,9,668,67 6,7 9,5 4,4,56,388 38,8, 53,53,587,53 53,,5 8,8,66,68 68,, 69,69,385,89 8,9,5 93,93,43,98 9,8, 79,79,5,987 98,7,5,,5987,987 98,7 3, 89,89,695,98 9,8 3,5 96,96,7734,89 8,9 4, 64,64,843,68 68, 4,5 5,5,8944,53 53, 5, 39,39,933,388 38,8 5,5 3,3,9599,67 6,7 6, 4,4,977,73 7,3 6,5,,9878,5,5 7, 8,8,9938,6 6, 7,5,,997,3 3, 8, 3,3,9987,6,6 8,5,,9994,8,8 9,,,9998,3,3 9,5,,9999,,,,,,, con lo cual ya podremos hacer la comparación gráfica de una y otras, tanto en frecuencias absolutas: LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS

11 como en frecuencias relativas: o en las Funciones de distribución sin más que añadir una nueva columna, F, a las frecuencias empríricas que recoja las sumas de éstas:, X N f F F f N(Teó) 6,,,,3,3,3 6,5,,,3,6,6 7, 4,4,6,6,3 3, 7,5,,8,,6 6, 8,,,,8,5,5 8,5,,4,4,73 7,3 9, 4,4,64,668,67 6,7 9,5 4,4,6,56,388 38,8, 55,55,6,587,53 53,,5 65,65,6,66,68 68,, 85,85,3,385,89 8,9,5 94,94,45,43,98 9,8, 94,94,499,5,987 98,7,5 7,7,66,5987,987 98,7 3, 88,88,694,695,98 9,8 3,5 8,8,776,7734,89 8,9 4, 57,57,833,843,68 68, 4,5 56,56,889,8944,53 53, 5, 4,4,93,933,388 38,8 5,5 3,3,96,9599,67 6,7 6, 4,4,985,977,73 7,3 6,5 7,7,99,9878,5,5 7, 3,3,995,9938,6 6, 7,5 3,3,998,997,3 3, 8,,,999,9987,6,6 8,5,,999,9994,8,8 9,,,999,9998,3,3 9,5,,,9999,,,,,,,,,,9,8,7,6,5,4,3,,, LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS

12 3) Sea X una variable aleatoria definida de la forma siguiente ( λ ) ( λ ) ( λ ) X Poisson X = X + X + X3 X Poisson X3 Poisson 3 a) Generar valores de X. b) Ajustar a Poisson y comparar ambas distribuciones empírica y ajustada de forma gráfica. c) Comparar la ajustada con la que se deduce de la propiedad aditiva de Poisson. Caso a resolver DNI acabado en λ λ λ 3 nº par 5 nº impar modelo 3 4 Guía Recordamos lo siguiente sobre la Poisson: Generación. Excel cuenta con una función para la distribución y densidad de Poisson, cuenta también con la posibilidad de obtener muestras aleatorias así distribuidas (Herramientas + Análisis de Datos + Generación de números aleatorios). En cualquier caso es posible obtener números aleatorios que se distribuyan según una Poisson de parámetro λ, utilizando la fórmula siguiente: BINOM.CRIT(λ/,;,;ALEATORIO()) Caracterización. El parámetro λ puede ser estimado fácilmente de la forma siguiente: λ= ˆ x (n) Simulamos las 3 variables usando la fórmula anterior Tabulamos X desde hasta y calculamos las frecuencias empíricas F con la función Frecuencia: Calculamos la función de probabilidad estimada de X Emp dividiendo la frecuencia de cada valor por el numero total de observaciones. Calculamos primero la media de los datos y calculamos después las frecuencias teóricas de X usando la función Poisson : LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS

13 Finalmente tenemos todos los datos necesarios para poder representar ambas funciones X F Emp Teo Teo,,,,,,5 5 3,, ,43, ,66, ,8, ,7, ,7, ,9,3 3 5,5,9 9 97,97, ,73, ,45, ,3, ,4, 6,, 7 7,7, ,6, ,3,,, Con lo que ya podemos obtener los gráficos correspondientes: 4 Emp Teo LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 3

14 4) Sea X una variable aleatoria definida de la forma siguiente Y ( a X ) a = 5 = = ( ) X Exponencial media 4 Caso a resolver DNI acabado en a Media nº par nº impar 6 6 modelo 5 4 a) Generar valores de Y. b) Ajustar a Exponencial y comparar de forma gráfica los resultados obtenidos en la simulación con los teóricos. Generación. Excel no cuenta con una función para la inversa de la función de distribución, sin embargo, la generación de variables aleatorias puede hacerse utilizando la fórmula siguiente: Media* -LN(ALEATORIO()) Media 4 Media*a a 5 X N f f f,, 97,7,45,4 4, 95,4,4,3 6, 83,,37,93 8, 67,8,34,84, 68,8,3,76, 47,57,7,69 4, 49,59,5,63 6, 6,7,,57 8, 45,54,,5, 3,36,8,46, 9,35,7,4 4, 3,39,5,38 6, 5,3,4,34 8,,7,,3 3, 6,3,,8 3, 6,3,,5 34, 5,8,9,3 36, 4,7,8, 7 83,397 Definimos los nombres Media y a y empleamos la fórmula para generar los valores de Y LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 4

15 Generamos la tabla de frecuencias empíricas relativas (f) y de frecuencias teóricas (f) usando FRECUENCIA, DISTR.EXP teniendo en cuenta que: Si X Exp(λ) ax Exp(λ a) será necesario ajustar f, dividiendo por su suma para pasar de discreto a continuo así la probabilidad teórica que usamos para la comparación es f f ( X) f ( X) ( ) = f X Finalmente utilizamos gráficos de dispersión para dibujar las frecuencias teóricas y empíricas. El resultado será parecido al siguiente: Media 4 Media*a a 5 X N f f f,, 8,96,45,4 4, 78,93,4,3 6, 89,6,37,93 8, 66,78,34,84, 68,8,3,76, 56,66,7,69 4, 73,87,5,63 6, 49,58,,57 8, 4,5,,5, 4,5,8,46, 5,3,7,4 4, 3,38,5,38 6, 3,38,4,34 8, 6,3,,3 3,,4,,8 3, 6,3,,5 34, 9,3,9,3 36, 9,3,8, ,397,,,8,6,4,, f f 4 LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 5

16 5) Sea X una variable aleatoria definida de la forma siguiente X = min { Y ; Y } Y Y Exponencial Exponencial ( m ) ( m ) DNI acabado en m m nº par nº impar 6 6 modelo 5 4 a) Generar valores de Y. b) Ajustar a Exponencial y comparar de forma gráfica los resultados obtenidos en la simulación con los teóricos. y va- Definimos los nombres Media y Media empleamos la fórmula para generar los lores de Y usando la función MIN X N f f f,,,5 36,7,45,5, 56,44,359,64,5 53,4,87,3, 8,99,9,4,5 83,76,83,83 3, 9,83,46,67 3,5 54,5,7,53 4, 47,43,93,4 4,5 35,3,74,34 5, 3,,59,7 5,5,8,47, 6, 5,4,38,7 6,5 8,7,3,4 7, 3,,4, 7,5 4,3,9,9 8,,,5,7 8,5 4,4,,6 9, 6,6,,4 4 86,9 Generamos la tabla de frecuencias empíricas relativas (f) y de frecuencias teóricas (f) usando FRECUENCIA, DISTR.EXP y teniendo en cuenta que Y Y Exp ( λ ) Exp ( ),5,,5 min{ Y, Y} Exp λ + λ λ f f Al compensar f, igual que en el ejercicio anterior, obtendremos las dos frecuencias a comparar, las que hemos llamado f y f.,,5, LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 6

17 6) Sea X una variable aleatoria definida de la forma siguiente Y = ( Y + Y ) Y Y Gamma Gamma ( 5; ) ( 4; ) a) Generar valores de Y. b) Ajustar a Gamma y comparar de forma gráfica los resultados obtenidos en la simulación con los teóricos. Generación. Excel cuenta con una función para la inversa de la función de distribución Gamma, la generación de variables aleatorias puede hacerse utilizando la fórmula siguiente: DISTR.GAMMA.INV(ALEATORIO();r,β) Definimos los parámetros del problema r+r 9 r 4 r 5 Lambda Generamos los valores de Y e Y y los sumamos para obtener Y Construimos la tabla de frecuencias como en los anteriores teniendo en cuenta que : Y Y Gamma Gamma ( r ; ) ( r ; ) ( Y + Y ) Gamma( r + r ; ) X N f f f,,,,,,,,,, 3,,,, 4, 7,7,8,8 5, 5,5,3,3 6, 95,95,65,66 7, 9,3,3,4 8,,,3,3 9, 38,39,4,4, 37,38,3,33, 86,86,3,4, 83,83,89,9 3, 47,47,66,66 4, 34,34,46,46 5,,,3,3 6, 6,6,9, 7,,,, 8, 6,6,7, ,99 LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 7

18 Para calcular la frecuencia teórica usamos la función DISTR.GAMMA Como en los problemas anteriores es necesario normalizar f, calculada como ( X) ( X) ( ) = f X Finalmente realizamos el gráfico de dispersión de ambas frecuencias f f,6 f f,4,,,8,6,4,, LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 8

19 7) Se tienen urnas A={5r,3b,8a} y B={3r,5b}. Se lanza un dado, si sale un o un 6 se elige la urna B, en caso contrario la A. a) Qué probabilidad hay de elegir una bola roja?. b) Simular veces, estimar P(roja) y comparar con los resultados teóricos. Guía: Este problema fue resuelto en clase Por comodidad crearemos una variable U=Aleatorio() en Nombre> Definir para usarla en los cálculos posteriores Para calcular el resultado podemos usar SI anidados Una vez hechas las réplicas sólo queda contar y dividir: Roja 48 "=SUMA(A:A)" Total 5 "=CONTAR(A:A)" Probabilidad,3 LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 9

20 8) Sea el siguiente juego: el jugador elige un número del conjunto {,, 3, 4, 5, 6}. Se lanza tres veces un dado equilibrado. Si el número elegido aparece, o 3 veces entonces gana, 3 o 4. Si su número no sale pierde. Resolver primero en teórico después simular y comparar los resultados. a) Calcular la distribución de la ganancia b) Calcular la ganancia media. c) Calcular la varianza de la ganancia. Guía: La variable X= nº de veces que sale nuestro número, es B(n=3;p=/6). Calculamos la función de cuantía usando: a partir de ella calculamos la ganancia G(x) y la ganancia al cuadrado G(x) para calcular la media y la varianza: X P(x) G(x) G(x),5787 -,347 4, , para la media usaremos la función Sumaproducto: para la varianza hacemos los cálculos teniendo en cuenta que V (X) =E(X )-[E(X)] LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS

21 Simulamos los dados mediante: Una forma rápida de hacer el cálculo del beneficio es media fórmulas matriciales: y usando la función Indice le asignamos el beneficio calculado anteriormente Como alternativa a la fórmula matricial podemos usar SI anidados Si suponemos que el número elegido es el, el resultado final debe ser parecido a este: Media Varianza Teórica 34,6 Estimada 4,3 Teórica 549,97 Estimada 637,8 aunque, debido a los diferentes número aleatorios generados, los resultados no serán exactamente los mismos. LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS

22 9) Una acción tiene un precio inicial de. Cada día su cotización puede subir o bajar esa misma cantidad. La probabilidad de subir es del 35%. a) Calcular la distribución de su precio al cabo de 3 días. b) Comparar el resultado de la simulación con el teórico, de forma gráfica y por la comparación de la media y la varianza observada y teórica. Guía Hay al menos dos formas distintas de abordar el problema: se puede simular cada uno de los 3 dias, usando Aleatorio() y comparando con,35, o se puede considerar que el número de subidas durante 3 días es una v.a. binomial B(n=3, p=,35). El precio final será +x-(3-x)=69+x, siendo x la realización de la v.a. binomial o la suma de la Bernouilli individuales. El resultado gráfico, análogo al explicado en el problema, podría ser de la forma siguiente: Para comparar la media y varianza observada con las teóricas recordamos que la media y varianza de una binomial B(n,p) son (respectivamente): también que: E( x) = n p ; Var( x) = n p ( p) ( + ) = ( ) + ( + ) = ( ) E ax b a E x b ; Var ax b a Var x LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS

23 ) Una compañía de seguros tiene una cartera con tres tipos de pólizas A, B y C. Cada una de ellas tiene una reclamación media diferente aunque las tres siguen una distribución uniforme U [a,b]. Los datos de los parámetros y del número de clientes en cada tipo de póliza se dan en la tabla siguiente: Póliza A B C a 5 b 5 5 Clientes 5 3 a) Calcular la distribución de la reclamación total. b) Comparar el resultado de la simulación con el teórico. Guía Este problema se puede abordar de varias formas. En primer lugar se puede intentar simular cada una de las reclamaciones individuales y sumar los importes para calcular la reclamación total, para ello necesitaríamos columnas que habría que sumar, lo cual no es práctico. Se recomienda, bien usar una combinación de las funciones FILA e INDIREC- TO que, junto con SUMA y SI, al ser combinadas en una fórmula matricial en la forma siguiente: =SUMA(SI(FILA(INDIRECTO(":"));ALEATORIO()*5;)) proporcionan, en una única operación, tantos sumandos uniformes como indique el rango de INDIRECTO ( en el ejemplo); bien usar una aproximación basada en TCL. LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 3

24 ) Un comerciante vende calendarios. Cada calendario se compra a, y se vende a un precio de,4. Por cada calendario comprado pero no vendido se recupera un importe de,6. La demanda diaria de calendarios sigue una distribución uniforme entre y 3. a) Calcular el pedido óptimo de calendarios que debe hacer el comerciante. b) Una vez determinado éste, calcular la distribución, la media y la varianza del beneficio obtenido. Guía Calcular el Beneficio (B) en función de lo demandado y lo fabricado ( Dev ) ( Ven ) ( ) Si pedido > demandado B = NO Vendido * P + Vendido * P Si pedido demandado B = Vendido * PVen siempre B = B ( pedido * PCom ) A continuación ponderar B para cada posible demanda y estimar el beneficio para cada cifra de pedido LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 4

25 ) (Hossack) Un periódico publica la noticia de que los hombres tienen una propensión a sufrir accidentes de tráfico que resulta ser el doble de la que tienen las mujeres. Intentando demostrar la falsedad de tal afirmación un marido pacta con su mujer el siguiente juego: Durante los próximos diez años llevaremos cuenta de los accidentes de tráfico que tengamos cada uno, al final de ese período te pagaré por cada accidente que yo haya tenido más que vosotras dos (refiriéndose a ella y a la hija de ambos). Supóngase que los datos que ofreció el periódico fueron los siguientes: Guía: Accidentes de hombres Poisson de media cada años, Accidentes de mujeres Poisson de media cada años (Como ocurre en la más cruda realidad, el marido sólo paga, no recibe dinero en caso de que las mujeres tengan más accidentes que él). a) Cómo es la distribución del pago esperado del marido?. b) Cuál será el pago medio?. c) Resolver el problema teóricamente y comparar los resultados teóricos y los obtenidos mediante simulación. Para resolver el apartado c) téngase en cuenta que: Y Y Poisson Poisson ( λ ) ( λ ) ( Y + Y ) Poisson( λ + λ ) y que es lógico suponer que ambos accidentes los del marido y los de ambas mujeres son independientes de manera que la distribución conjunta será: ( Mar,AcMuj ) f Ac AcMar 7 Poisson( λ) Poisson( λ) = AcMuj 7 resto a partir de lo anterior es posible determinar la función de probabilidad de la variable pedida: Y = max ;Ac Ac ( Mar Muj ) LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 5

26 Para los apartados a) y b) basta con simular un número suficiente de veces: para el apartado c) se puede crear la distribución conjunta de frecuencias de ambas variables y calcular la distribución de la diferencia LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 6

27 3) El número mensual de reclamaciones de un determinado grupo de pólizas sigue una distribución Poisson de parámetro 4; a su vez, cada una de esas posibles reclamaciones tiene un importe que se distribuye según una exponencial de parámetro (media) igual a. a) Calcular la distribución del total de reclamaciones mensuales. b) Calcular el resultado teórico y comparar 4 8 El resultado a) debería ser parecido a este: 6 4,,9,8,7,6,5,4,3,,, El resultado b) debería ser parecido a este: LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 7

28 Guía: para el apartado a) Simular primero la Poisson, En columnas siguientes un número suficiente de exponenciales. Usar la función de Excel DESREF junto con SUMA para calcular la suma mensual de las exponenciales dadas por la Poisson. para el apartado b) Por la teoría sabemos que la suma de exponenciales es una distribución Gamma. ( Rec Mensual Λ = s) Gamma( s, λ) y Λ Poisson( υ) El número de sumandos que integran la Gamma es el resultado de una Poisson, de manera que habrá que: ) Calcular la densidad de la Gamma para un rango razonable del importe de las reclamaciones, para cada una de los posibles valores del parámetro s: s Poisson (4). ) Ponderar estos valores por los de la función de cuantía de la Poisson. 3) Agregarlos todos para obtener la función de distribución de la reclamación mensual. λ y Y Poisson( λ ) F( Y ) = p( y) λe dy i= Y Poisson( λ ) LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 8

29 LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 9

30 4) El número de reclamaciones de un determinado grupo de pólizas sigue una distribución Poisson (λ), donde λ es a su vez una variable aleatoria que se distribuye según una Gamma (5 ; ): a) Calcular la distribución de la variable aleatoria número de reclamaciones. b) Realizar el test de bondad del ajuste a una Binomial Negativa que se deduce de los datos anteriores. c) Realizar el test de bondad del ajuste a la Binomial Negativa teóricamente esperada. Guía Para realizar el apartado a): Simular primero la gamma para obtener un valor. Utilizar este valor para simula la Poisson. Para realizar el apartado b): Calcula media μ y varianza σ de la distribución simulada. Calcular los parámetros de la BN(r,p) de la forma siguiente: μ ˆr = ; pˆ = μ σ μ σ Calcular la función de probabilidad usando la fórmula correspondiente : ( ) Para realizar el apartado c): La teoría nos dice que: Si, entonces : Γ ( r + x) ( r) ( x ) ( ) x r p x = p p Γ Γ + ( X Λ = λ) Poisson( λ) y Λ Gamma( r, α) α X BN r, α + Para calcular la función Gamma en Excel hay que usar dos funciones concatenadas EXP y GAM- MA.LN de esta forma: Ln ( x) x EXP GAMMA.LN x e Γ Γ = ( ) ( ) ( ) ya que Excel no tiene una función Gamma pero si el logaritmo neperiano de ésta, por lo que hay que deshacerlo. LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 3

31 El resultado final debería ser parecido al siguiente (en el, por comodidad, se han utilizado gráficas continuas para representar distribuciones de probabilidad de variables aleatorias de carácter discreto): 9 Emp Teo Ajus LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 3

32 5) Sea la siguiente cartera de pólizas de vehículos: 5 5 <5 <5 Familiar Deportivo Familiar Deportivo r 6,,6,95,54 α,97,89,987,978 N siendo: 5 el asegurado tiene 5 años o más de edad, <5 el asegurado tiene 4 años o menos edad, Familiar, Deportivo tipo de vehículo, (r,α) los parámetros de la distribución Binomial negativa que describe la distribución del número de reclamaciones anuales que hace cada uno de los asegurados, N el número de pólizas suscritas, es decir el número de asegurados en esas condiciones concretas, la reclamación media por asegurado. a) Estimar la distribución del monto total anual de las reclamaciones LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 3

33 6) Una compañía de seguros tiene una cartera con 3 tipos de pólizas: La primera cubre un máximo de. y tiene una franquicia de 6, es decir que los pagos P por reclamaciones de este tipo de póliza, D, son de la forma siguiente: si R 6 P = R 6 si 6 < R <..4 si R. La segunda cubre un máximo de.5 y paga las /3 partes del daño D : 3R si R < 5. 4 P =.5 si R 5. La tercera es de la forma siguiente: si R3 < 5 P3 = R3 si R3 5 Por experiencia anterior se sabe que las distribuciones de los daños son de la forma siguiente: D Exp ( λ = 5) D Exp ( λ = 6) D3 Exp ( λ = ) Se esperan 5 reclamaciones: 8 de D, 4 de D y 3 de D 3. a) A qué cantidad debe ascender la reserva de la compañía para que la probabilidad de que pueda hacer frente a la reclamación total sea del 8%? Guía Se trata de una aplicación típica del TCL, las v.a.s. de los pagos son modificaciones de una exponencial, de la media de ésta: λx [ ] = x λe dx E x podríamos deducir la media de cada una de ellas, por ejemplo la de P seria 6 [ ] = λx λx ( ) + λ + λ λx E P 8 e dx x 6 e dx.4 x λe dx 6 Podríamos también deducir, con un mayor esfuerzo, la varianza y una vez hechas las operaciones correspondientes, deducir la media y la varianza de la normal a la que se aproxima - en virtud del TCL - la distribución del pago total. LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 33

34 Aún así, la aproximación a la distribución Normal no sería demasiado buena: se trata de una suma de pocas variables aleatorias y éstas son muy sesgadas. En estas situaciones el recurso a la simulación del pago es la mejor solución. La simulación es muy sencilla, basta simular primero las exponenciales de las reclamaciones iniciales (R, R y R 3 ) y a partir de éstas, aplicando los criterios de pago de la compañía, calcular los pagos (P, P y P 3 ) que finalmente se harán. Para responder a la pregunta sobre la reserva necesaria para afrontar los pagos bastará aplicar la función PERCENTIL sobre los datos simulados. LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 34

35 7) Una empresa sabe que la demanda diaria en kilogramos del producto que fabrica sigue una distribución Pareto(3,) mientras que la oferta de ese mismo producto se distribuye según una distribución Normal(3;,5). Tiene un coste de,5 por kilo fabricado y no vendido y de,5 por kilo demandado y no servido: a) Calcular la distribución de la diferencia entre demanda (D) y oferta (O) es decir de la variable D-O. b) Calcular la distribución de las ganancias o pérdidas. Guía: Generación de Pareto: La notación habitual es X Par(α,β), ambos parámetros son de escala. En la literatura aparecen descritos diversos métodos para generar v.a. de Pareto. En Excel es posible obtener v.a. a través de cualquiera de las fórmulas siguientes: =β*((/(-aleatorio()))^(/α)) =β*(aleatorio()^(-/α)) Generación de Normal: Excel cuenta con la función inversa de la distribución: =DISTR.NORM.INV(ALEATORIO();μ;σ) LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 35

36 LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 36

37 8) Una compañía de seguros de automóviles tiene un sistema bonus-malus, o de descuento por buen conductor. Hay varios tramos de descuento para el pago anula de una póliza por la que se comienza pagando 5 : % % % 3% 4% 5% 6% si durante un plazo de un año no se hace ninguna reclamación, se aumenta un tramo de descuento al año siguiente, hasta el descuento máximo del 6% que se alcanza al llegar al 7º tramo. Mientras que si, durante un plazo de un año, se hace una única reclamación (o más de una) se vuelve al comienzo de la escala, es decir, al % de descuento del primer tramo. Se está en proceso de decidir si cambiar o no este sistema por otro análogo. Este nuevo sistema tendría sólo 4 tramos de descuento: 3 4 % % 4% 6% Pero, a diferencia del anterior, sólo se retrocede un puesto en la escala por reclamación, es decir si durante un año no hay reclamaciones se gana un % de descuento, si hay una reclamación se pierde un % de descuento. El descuento no puede ser superior al 6% ni negativo. También sería diferente la prima que pasaría de 5 a (5+75). Se sabe que el número de accidentes que ocurren anualmente sigue una distribución de Poisson de parámetro, por año, mientras que la distribución del importe de las reclamaciones se distribuye de forma LogNormal(μ = 6, ; σ =,79). También hay que tener en cuenta que las reclamaciones que no le interesan al cliente no se realizan, por ejemplo en el primer sistema, un cliente que éste en el tramo 4 (3%) perdería este descuento si hiciera una reclamación así que si el daño que recibe es inferior a lo que pierde no le interesa reclamar. Las pérdidas mínimas por sistema y tramo son las siguientes: Tramo Importe Tramo 3 4 Importe a) Decidir qué sistema es el mejor para la compañía, si la póliza está suscrita por clientes. LICENCIATURA EN CC. ACTUARIALES Y FINANCIERAS 37

DISTRIBUCIONES DISCRETAS CON EXCEL Y WINSTATS

DISTRIBUCIONES DISCRETAS CON EXCEL Y WINSTATS DISTRIBUCIONES DISCRETAS CON EXCEL Y WINSTATS A) INTRODUCCIÓN Una distribución de probabilidad es una representación de todos los resultados posibles de algún experimento y de la probabilidad relacionada

Más detalles

Departamento de Matemática Aplicada Matemáticas Licenciatura en CC. Químicas (Curso 2008-09) Estadística unidimensional con EXCEL.

Departamento de Matemática Aplicada Matemáticas Licenciatura en CC. Químicas (Curso 2008-09) Estadística unidimensional con EXCEL. Departamento de Matemática Aplicada Matemáticas Licenciatura en CC. Químicas (Curso 2008-09) Estadística unidimensional con EXCEL. Práctica 6 1. Introducción El programa EXCEL del paquete Microsoft Office

Más detalles

Capítulo 7: Distribuciones muestrales

Capítulo 7: Distribuciones muestrales Capítulo 7: Distribuciones muestrales Recordemos: Parámetro es una medida de resumen numérica que se calcularía usando todas las unidades de la población. Es un número fijo. Generalmente no lo conocemos.

Más detalles

todas especialidades Soluciones de las hojas de problemas

todas especialidades Soluciones de las hojas de problemas Universidad Politécnica de Cartagena Dpto. Matemática Aplicada y Estadística Ingeniería Técnica Industrial Métodos estadísticos de la ingeniería Métodos estadísticos de la ingeniería Ingeniería Técnica

Más detalles

Simulación, Método de Montecarlo

Simulación, Método de Montecarlo Simulación, Método de Montecarlo Área de Estadística e Investigación Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragón Marzo 2011 Introducción 2 Introducción............................................................

Más detalles

Tema 1: Test de Distribuciones de Probabilidad

Tema 1: Test de Distribuciones de Probabilidad Tema 1: Test de Distribuciones de Probabilidad 1.- Una compañía de seguros tiene 1000 asegurados en el ramo de accidentes. Si la el modelo mejor para el número de siniestros en un año es: a) Normal (5;,3).

Más detalles

Taller de Probabilidad y Simulación

Taller de Probabilidad y Simulación Taller de Probabilidad y Simulación Probabilidad I Departamento de Matemáticas UAM, curso 2007-2008 Pablo Fernández Gallardo (pablo.fernandez@uam.es) 1. Una breve introducción a Excel 1.1. Introducción

Más detalles

RELACIÓN DE EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA. PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA: PROBABILIDAD

RELACIÓN DE EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA. PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA: PROBABILIDAD 1 UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Facultad de Químicas. RELACIÓN DE EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA. PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA: PROBABILIDAD Ejercicio 1º.- Se lanzan dos monedas y un dado. Se pide: 1) Describir

Más detalles

MATEMÁTICAS 1º BACH CCSS - DISTRIBUCIÓN BINOMIAL = 0 3125.

MATEMÁTICAS 1º BACH CCSS - DISTRIBUCIÓN BINOMIAL = 0 3125. MATEMÁTICAS º BACH CCSS - DISTRIBUCIÓN BINOMIAL ˆ EJERCICIO En una ciudad se han elegido al azar 7 habitantes. ¾Cuál es la probabilidad de que cuatro de ellos hayan nacido el 7 de mayo? p = P (haber nacido

Más detalles

Explicación de la tarea 3 Felipe Guerra

Explicación de la tarea 3 Felipe Guerra Explicación de la tarea 3 Felipe Guerra 1. Una ruleta legal tiene los números del 1 al 15. Este problema corresponde a una variable aleatoria discreta. La lectura de la semana menciona lo siguiente: La

Más detalles

8. Estimación puntual

8. Estimación puntual 8. Estimación puntual Estadística Ingeniería Informática Curso 2009-2010 Estadística (Aurora Torrente) 8. Estimación puntual Curso 2009-2010 1 / 30 Contenidos 1 Introducción 2 Construcción de estimadores

Más detalles

Estadística Actuarial I. Material para las prácticas. Introducción a la Simulación con Excel

Estadística Actuarial I. Material para las prácticas. Introducción a la Simulación con Excel Material para las prácticas Introducción a la Simulación con Excel ÍNDICE 0 Introducción... 3 Funciones estadísticas y relacionadas... 4. Genéricas... 4. Números aleatorios.... 4.3 Descriptivas de datos...

Más detalles

Guías Excel 2007 Matrices Guía 77

Guías Excel 2007 Matrices Guía 77 MATRICES Las hojas de cálculo poseen prestaciones interesantes la gestión de matrices de tipo matemático. Unas consisten en facilitar los cálculos matriciales y otras están orientadas a cálculos estadísticos.

Más detalles

Práctica 3 Distribuciones de probabilidad

Práctica 3 Distribuciones de probabilidad Práctica 3 Distribuciones de probabilidad Contenido 1 Objetivos 1 2 Distribuciones de variables aleatorias 1 3 Gráficas de funciones de distribución, densidad y probabilidad 6 4 Bibliografía 10 1 Objetivos

Más detalles

Proyecto de Innovación Docente: Guía multimedia para la elaboración de un modelo econométrico.

Proyecto de Innovación Docente: Guía multimedia para la elaboración de un modelo econométrico. 1 Primeros pasos en R. Al iniciarse R (ver Figura 16), R espera la entrada de órdenes y presenta un símbolo para indicarlo. El símbolo asignado, como puede observarse al final, es > Figura 16. Pantalla

Más detalles

Curso. Análisis Estadístico de Datos Climáticos

Curso. Análisis Estadístico de Datos Climáticos Curso I-1 Análisis Estadístico de Datos Climáticos Distribuciones de Probabilidad Mario Bidegain (FC) Alvaro Diaz (FI) Universidad de la República Montevideo, Uruguay 2011 I-2 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Más detalles

Estadística aplicada y modelización. 10 de septiembre de 2005

Estadística aplicada y modelización. 10 de septiembre de 2005 Estadística aplicada y modelización. 10 de septiembre de 005 SOLUCIÓN MODELO A 1. Una persona se está preparando para obtener el carnet de conducir, repitiendo un test de 0 preguntas. En la siguiente tabla

Más detalles

Estadística I. Finanzas y Contabilidad

Estadística I. Finanzas y Contabilidad Estadística I. Finanzas y Contabilidad Práctica 1: INTRODUCCIÓN AL USO DE SOFTWARE ESTADÍSTICO OBJETIVO: Los estudiantes deberán conocer el funcionamiento de la Hoja de Cálculo EXCEL y utilizarla para

Más detalles

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA. LA BINOMIAL

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA. LA BINOMIAL DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA. LA BINOMIAL Página 4 REFLEXIONA Y RESUELVE Recorrido de un perdigón Dibuja los recorridos correspondientes a: C + C C, + C + C, + C C C, + + + +, C+CC

Más detalles

Empresarial y Financiero

Empresarial y Financiero Curso de Excel Empresarial y Financiero SESIÓN : REGRESIÓN Rosa Rodríguez Relación con el Mercado Descargue de yahoo.com los Datos de precio ajustado de cierre de las acciones de General Electric (GE),

Más detalles

PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA (C) Práctica 2

PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA (C) Práctica 2 PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA (C) Práctica 2 1. Se eligen tres autos al azar y cada uno es clasificado N si tiene motor naftero o D si tiene motor diesel (por ejemplo, un resultado posible sería NND). a)

Más detalles

SIMULACION. Formulación de modelos: solución obtenida de manera analítica

SIMULACION. Formulación de modelos: solución obtenida de manera analítica SIMULACION Formulación de modelos: solución obtenida de manera analítica Modelos analíticos: suposiciones simplificatorias, sus soluciones son inadecuadas para ponerlas en práctica. Simulación: Imitar

Más detalles

ÍNDICE DE CONTENIDOS. Capítulo 1 Presentación

ÍNDICE DE CONTENIDOS. Capítulo 1 Presentación ÍNDICE DE CONTENIDOS Capítulo 1 Presentación Capítulo 2 Introducción al proceso de decisión bajo riesgo e incertidumbre 2.1. Resumen del capítulo 2.2. Introducción 2.3. El concepto de riesgo e incertidumbre

Más detalles

Determinación de primas de acuerdo al Apetito de riesgo de la Compañía por medio de simulaciones

Determinación de primas de acuerdo al Apetito de riesgo de la Compañía por medio de simulaciones Determinación de primas de acuerdo al Apetito de riesgo de la Compañía por medio de simulaciones Introducción Las Compañías aseguradoras determinan sus precios basadas en modelos y en información histórica

Más detalles

Statgraphics Centurión

Statgraphics Centurión Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales. Universidad de Valladolid 1 Statgraphics Centurión I.- Nociones básicas El paquete Statgraphics Centurión es un programa para el análisis estadístico que

Más detalles

Manual y Aplicaciones de Funciones Estadísticas y Análisis de Datos en Microsoft Excel 2007. Por: Jhorland José Ayala García 1

Manual y Aplicaciones de Funciones Estadísticas y Análisis de Datos en Microsoft Excel 2007. Por: Jhorland José Ayala García 1 Manual y Aplicaciones de Funciones Estadísticas y Análisis de Datos en Microsoft Excel 2007 Por: Jhorland José Ayala García 1 Richard Henry Deán Arnedo 2 José Antonio Mola Ávila 3 Universidad Tecnología

Más detalles

Tema 3 VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. PRINCIPALES DISTRIBUCIONES

Tema 3 VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. PRINCIPALES DISTRIBUCIONES Tema 3 VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. PRINCIPALES DISTRIBUCIONES 1.- Definición de variable aleatoria discreta. Normalmente, los resultados posibles (espacio muestral Ω) de un experimento aleatorio no son

Más detalles

Problemas. Variables Aleatorias. Modelos de Probabilidad

Problemas. Variables Aleatorias. Modelos de Probabilidad Problemas. Variables Aleatorias. Modelos de Probabilidad Ejemplos resueltos y propuestos Variables Aleatorias Discretas Una variable aleatoria discreta X de valores x 1, x 2,..., x k con función de probabilidad

Más detalles

MATEMÁTICAS CON LA HOJA DE CÁLCULO

MATEMÁTICAS CON LA HOJA DE CÁLCULO MATEMÁTICAS CON LA HOJA DE CÁLCULO Podemos dar a esta aplicación un uso práctico en el aula de Matemáticas en varios sentidos: Como potente calculadora: sucesiones, límites, tablas estadísticas, parámetros

Más detalles

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA. LA BINOMIAL

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA. LA BINOMIAL 0 DISTRIUIONES DE PROILIDD DE VRILE DISRET. L INOMIL Página PR EMPEZR, REFLEXION Y RESUELVE Problema Dibuja los recorridos correspondientes a: +, + +, +, + + + +, + + + + + + + + + + Problema Observa que

Más detalles

CURSO P para ti examen P SoA CAS repaso agilidad inscripción necesidades inglés calculadora Curso P

CURSO P para ti examen P SoA CAS repaso agilidad inscripción necesidades inglés calculadora Curso P 1 CURSO P Este curso es para ti si deseas fortalecer tus conocimientos prácticos de probabilidad y realizar el examen P (Probability) de la SoA (Society of Actuaries), a veces llamado examen 1/P por ser

Más detalles

Informática Aplicada a la Administración de Fincas Microsoft Excel

Informática Aplicada a la Administración de Fincas Microsoft Excel 08/11/2003 1 Graduado en Estudios Inmobiliarios Informática Aplicada a la Administración de Fincas Microsoft Excel Octubre 2003 David Bueno Vallejo 1. Conceptos Básicos B de hojas de calculo 08/11/2003

Más detalles

CASO PRÁCTICO GESTIÓN DE PEDIDOS

CASO PRÁCTICO GESTIÓN DE PEDIDOS CASO PRÁCTICO GESTIÓN DE PEDIDOS Tenemos una tabla con los precios unitarios de los productos de nuestra empresa por categorías de clientes. Los clientes están clasificados en categorías de 1 a 4- en función

Más detalles

Universidad del País Vasco

Universidad del País Vasco Universidad del País Vasco eman ta zabal zazu Euskal Herriko Unibertsitatea INSTRUCCIONES. El examen consta de 50 cuestiones. Hay una única respuesta correcta para cada cuestión. Las cuestiones respondidas

Más detalles

PROBABILIDAD. 1. a) Operaciones con sucesos. Propiedades. Sucesos compatibles.

PROBABILIDAD. 1. a) Operaciones con sucesos. Propiedades. Sucesos compatibles. OPCION A: 1. a) Operaciones con sucesos. Propiedades. Sucesos compatibles. k t si t [0,2] b) Sea f(t)= 0 en el resto Calcular k para que f sea de densidad, calcular la función de distribución. 2. a) De

Más detalles

Curso: Métodos de Monte Carlo. Unidad 1, Sesión 2: Conceptos básicos

Curso: Métodos de Monte Carlo. Unidad 1, Sesión 2: Conceptos básicos Curso: Métodos de Monte Carlo. Unidad 1, Sesión 2: Conceptos básicos Departamento de Investigación Operativa Instituto de Computación, Facultad de Ingeniería Universidad de la República, Montevideo, Uruguay

Más detalles

CURSO HERRAMIENTAS ESTADISTICAS PARA IMPLEMENTACION DE SIX SIGMA EN EMPRESAS DE PRODUCCION, LOGISTICA Y SERVICIOS

CURSO HERRAMIENTAS ESTADISTICAS PARA IMPLEMENTACION DE SIX SIGMA EN EMPRESAS DE PRODUCCION, LOGISTICA Y SERVICIOS CURSO HERRAMIENTAS ESTADISTICAS PARA IMPLEMENTACION DE SIX SIGMA EN EMPRESAS DE PRODUCCION, LOGISTICA Y SERVICIOS Cnel. R.L. Falcón 1435 C1406GNC 35 Buenos Aires, Argentina Tel.: 054-15-4492-6252 Fax:

Más detalles

SOLUCIONES AL BOLETÍN DE EJERCICIOS Nº 3

SOLUCIONES AL BOLETÍN DE EJERCICIOS Nº 3 Sloan School of Management 15.010/15.011 Massachusetts Institute of Technology SOLUCIONES AL BOLETÍN DE EJERCICIOS Nº 3 1. a. FALSO Los bienes duraderos son más elásticos a corto plazo que a largo (esto

Más detalles

Problemas resueltos del Tema 3.

Problemas resueltos del Tema 3. Terma 3. Distribuciones. 9 Problemas resueltos del Tema 3. 3.1- Si un estudiante responde al azar a un examen de 8 preguntas de verdadero o falso Cual es la probabilidad de que acierte 4? Cual es la probabilidad

Más detalles

MATEMÁTICAS A 4º ESO IES LOS CARDONES 2014-2015 PLAN DE RECUPERACIÓN. Contenidos Mínimos. I. Estrategias, habilidades, destrezas y actitudes generales

MATEMÁTICAS A 4º ESO IES LOS CARDONES 2014-2015 PLAN DE RECUPERACIÓN. Contenidos Mínimos. I. Estrategias, habilidades, destrezas y actitudes generales MATEMÁTICAS A 4º ESO IES LOS CARDONES 2014-2015 PLAN DE RECUPERACIÓN Contenidos Mínimos I. Estrategias, habilidades, destrezas y actitudes generales II. Números: Resolución de problemas utilizando toda

Más detalles

Aplicaciones de Estadística Descriptiva

Aplicaciones de Estadística Descriptiva Aplicaciones de Estadística Descriptiva Contenidos de la presentación Funciones estadísticas en Excel. Gráficos. El módulo de análisis de datos y las tablas dinámicas de Excel. Información Intentaremos

Más detalles

Unidad 4: Variables aleatorias

Unidad 4: Variables aleatorias Unidad 4: Variables aleatorias Logro de la unidad 4 Al finalizar la unidad 4, el alumno aplica el concepto de variable aleatoria, valor esperado y probabilidad para la toma de decisiones en un trabajo

Más detalles

Programación en R para Estadística. Simulación

Programación en R para Estadística. Simulación Programación en R para Estadística 1 de 2 Programación en R para Estadística Simulación J. Elías Rodríguez M. Facultad de Matemáticas Universidad de Guanajuato XXIII Foro Nacional de Estadística 11 de

Más detalles

NT8. El Valor en Riesgo (VaR)

NT8. El Valor en Riesgo (VaR) NT8. El Valor en Riesgo (VaR) Introducción VaR son las siglas de Valor en el Riesgo (Value at Risk) y fue desarrollado por la división RiskMetric de JP Morgan en 1994. es una manera de medir el riesgo

Más detalles

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. VARIABLE DISCRETA

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. VARIABLE DISCRETA UNIDD 0 DISTRIUIONES DE PROILIDD. VRILE DISRET Página 28. Imita el recorrido de un perdigón lanzando una moneda veces y haciendo la asignación: R derecha RUZ izquierda Por ejemplo, si obtienes + el itinerario

Más detalles

Prácticas de Simulación (Sistemas) Autor: M. en C. Luis Ignacio Sandoval Paéz

Prácticas de Simulación (Sistemas) Autor: M. en C. Luis Ignacio Sandoval Paéz 1 Prácticas de Simulación (Sistemas) Autor: M. en C. Luis Ignacio Sandoval Paéz 2 ÍNDICE Introducción 3 Aplicaciones de la Simulación 3 La Metodología de la Simulación por Computadora 5 Sistemas, modelos

Más detalles

Breve introducción a Excel c para simulación

Breve introducción a Excel c para simulación Breve introducción a Excel c para simulación 1. Introducción Curso 2013-2014 Departamento de Matemáticas, UAM Pablo Fernández Gallardo (pablo.fernandez@uam.es) Excel c es una aplicación 1 de hojas de cálculo

Más detalles

TABLAS DINAMICAS DE MORTALIDAD Y SUPERVIVENCIA

TABLAS DINAMICAS DE MORTALIDAD Y SUPERVIVENCIA TABLAS DINAMICAS DE MORTALIDAD Y SUPERVIVENCIA Ana Debón 1 Ramón Sala 2 Universitat de Valencia Resumen: Es una realidad que la esperanza de vida está aumentando en todos los países desarrollados. Así

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES ALUMNO: CONTENIDOS PARA LA RECUPERACION DE ÁREA EN SEPTIEMBRE

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES ALUMNO: CONTENIDOS PARA LA RECUPERACION DE ÁREA EN SEPTIEMBRE TRABAJO DE VERANO 2014 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES ALUMNO: ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA CONTENIDOS PARA LA RECUPERACION DE ÁREA EN SEPTIEMBRE Números: reales, irracionales, racionales.

Más detalles

Una breve introducción a Excel c

Una breve introducción a Excel c Una breve introducción a Excel c Martes 22 de febrero de 2005 Curso de Formación continua en Matemáticas UAM Curso 2004/2005 1. Introducción Excel c es una aplicación de hojas de cálculo electrónicas:

Más detalles

Análisis estadístico con Microsoft Excel

Análisis estadístico con Microsoft Excel Análisis estadístico con Microsoft Excel Microsoft Excel ofrece un conjunto de herramientas para el análisis de los datos (denominado Herramientas para análisis) con el que podrá ahorrar pasos en el desarrollo

Más detalles

El valor esperado de una variable aleatoria discreta se representa de la siguiente manera:

El valor esperado de una variable aleatoria discreta se representa de la siguiente manera: INTRODUCCIÓN AL VALOR ESPERADO Y VARIANZA (5 MINUTOS) Cuando nos hablan del promedio de que ocurra un evento, cómo sabemos con certeza qué tan cerca estamos de alcanzar ese promedio? Esta pregunta nos

Más detalles

Imagen de Rosaura Ochoa con licencia Creative Commons

Imagen de Rosaura Ochoa con licencia Creative Commons Imagen de Rosaura Ochoa con licencia Creative Commons Durante el primer tema hemos aprendido a elaborar una encuesta. Una vez elaborada la encuesta necesitamos escoger a los individuos a los que se la

Más detalles

PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA (C) Práctica 2

PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA (C) Práctica 2 7 PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA (C) Práctica 2 1. Se eligen tres autos al azar y cada uno es clasificado N si tiene motor naftero o D si tiene motor diesel (por ejemplo, un resultado posible sería N N D).

Más detalles

2. Seleccionar Insertar función:

2. Seleccionar Insertar función: Estadística I Curso 2014/2015 Guión de la Práctica 1 Introducción a la Estadística con Excel; Estadística Descriptiva En el siguiente guión vamos a ver cómo realizar Estadística Descriptiva con el software

Más detalles

Generación de valores de las variables aleatorias

Generación de valores de las variables aleatorias Generación de valores de las variables aleatorias Juan F. Olivares-Pacheco * 14 de junio de 007 Resumen En todo modelo de simulación estocástico, existen una o varias variables aleatorias interactuando.

Más detalles

Introducción a la Estadística con Excel

Introducción a la Estadística con Excel Introducción a la Estadística con Excel En el siguiente guión vamos a introducir el software Excel 2007 y la manera de trabajar con Estadística Descriptiva. Cargar o importar datos En Excel 2007 podemos

Más detalles

Algunas Distribuciones de Probabilidad

Algunas Distribuciones de Probabilidad Relación de problemas 7 Algunas Distribuciones de Probabilidad 1. En un hospital se ha comprobado que la aplicación de un tratamiento en enfermos de cirrosis produce una cierta mejoría en el 80 % de los

Más detalles

INDICADORES POR ENCUESTA. Cuaderno Práctico -1 -

INDICADORES POR ENCUESTA. Cuaderno Práctico -1 - INDICADORES POR ENCUESTA Cuaderno Práctico -1 - ÍNDICE Elaboración del CUESTIONARIO...- 4 - Selección de la MUESTRA...- 5 - APLICACIÓN del cuestionario...- 7 - MECANIZACIÓN de datos...- 8 - Cálculo de

Más detalles

F3 La temperatura media máxima F4 La temperatura media mínima F5 La media de las temperaturas media del mes

F3 La temperatura media máxima F4 La temperatura media mínima F5 La media de las temperaturas media del mes Realizar los siguientes ejercicios en hojas independientes del mismo fichero. Modificar el nombre de cada hoja según el ejercicio con el que se corresponda. Ejercicio 1. Se dispone de la temperatura media

Más detalles

Ejemplo: Ing. Raúl Canelos. Solución CONFIABILIDAD SEP 1

Ejemplo: Ing. Raúl Canelos. Solución CONFIABILIDAD SEP 1 Ejemplo: Basándose en ciertos estudios una compañía a clasificado de acuerdo con la posibilidad de encontrar petróleo en tres tipos de formaciones. La compañía quiere perforar un pozo en determinado lugar

Más detalles

Ejercicios Resueltos de Teorema Central de Límite (TCL) Ejercicios 1 y 2: Resolución de Ejercicios propuestos del Tema 5.

Ejercicios Resueltos de Teorema Central de Límite (TCL) Ejercicios 1 y 2: Resolución de Ejercicios propuestos del Tema 5. EJERCICIOS DE PROBABILIDAD EJERCICIOS ADECUADOS PARA SECUNDARIA O BACHILLER TITULO: AUTOR: Ejercicios Resueltos de Teorema Central de Límite (TCL) JUAN VICENTE GONZÁLEZ OVANDO Ejercicio 15: Ejercicios

Más detalles

Tema 1 con soluciones de los ejercicios. María Araceli Garín

Tema 1 con soluciones de los ejercicios. María Araceli Garín Tema 1 con soluciones de los ejercicios María Araceli Garín Capítulo 1 Introducción. Probabilidad en los modelos estocásticos actuariales Se describe a continuación la Tarea 1, en la que se enumeran un

Más detalles

NOCIONES FUNDAMENTALES SOBRE EXCEL

NOCIONES FUNDAMENTALES SOBRE EXCEL Hojas de cálculo Fuente: http://trevinca.ei.uvigo.es/~jvelasco/curso_excel.pdf NOCIONES FUNDAMENTALES SOBRE EXCEL Una hoja de cálculo es un programa informático que permite realizar operaciones complejas

Más detalles

Se podría entender como una matriz de filas y columnas. Cada combinación de fila y columna se denomina celda. Por ejemplo la celda A1, B33, Z68.

Se podría entender como una matriz de filas y columnas. Cada combinación de fila y columna se denomina celda. Por ejemplo la celda A1, B33, Z68. Departamento de Economía Aplicada: UDI de Estadística. Universidad Autónoma de Madrid Notas sobre el manejo de Excel para el análisis descriptivo y exploratorio de datos. (Descriptiva) 1 1 Introducción

Más detalles

Números aleatorios. Contenidos

Números aleatorios. Contenidos Números aleatorios. Contenidos 1. Descripción estadística de datos. 2. Generación de números aleatorios Números aleatorios con distribución uniforme. Números aleatorios con otras distribuciones. Método

Más detalles

-100 0.10 0 0.20 50 0.30 100 0.25 150 0.10 200

-100 0.10 0 0.20 50 0.30 100 0.25 150 0.10 200 ESTADISTICA Y PROBABILIDAD Orientadores:. Arch. Taller3_est.doc 1. El siguiente es un ejemplo de experimentos y variables aleatorias asociadas. Identifique en cada caso los valores que la variables aleatoria

Más detalles

EJERCICIOS EXCEL. Guardar el libro en tu pen drive, con el nombre PRACTICA1_ALUMNO_GRUPO.

EJERCICIOS EXCEL. Guardar el libro en tu pen drive, con el nombre PRACTICA1_ALUMNO_GRUPO. EJERCICIOS EXCEL EJERCICIO DEL PRECIO CON IVA Crear un libro para saber cuál es el precio de un artículo aplicándole el 16% de IVA. El precio sin IVA es un valor que se tendrá que introducir, así como

Más detalles

La Probabilidad. Heraldo Gonzalez S.

La Probabilidad. Heraldo Gonzalez S. La Probabilidad Heraldo Gonzalez S. 2 Plan de Regularización, Estadistica I LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Quizás es la más importante de las distribuciones continuas, se usa profusamente en Inferencia Estadística

Más detalles

Capítulo 1: Introducción al análisis técnico y conceptos básicos de un gráfico de precios

Capítulo 1: Introducción al análisis técnico y conceptos básicos de un gráfico de precios Capítulo 1: Introducción al análisis técnico y conceptos básicos de un gráfico de precios 6 Las acciones Las acciones son títulos emitidos por una empresa que representa parte de lo que vale (en dinero)

Más detalles

CAPACITACIÓN EN EXCEL EMPRESARIAL (40 Hs.)

CAPACITACIÓN EN EXCEL EMPRESARIAL (40 Hs.) CAPACITACIÓN EN EXCEL EMPRESARIAL (40 Hs.) A quien va dirigido: Este curso está dirigido a todo profesional que desee poseer conocimientos intermedio/avanzados en Excel 2007 relacionado a la gestión empresarial.

Más detalles

Simulación Computacional. Tema 1: Generación de números aleatorios

Simulación Computacional. Tema 1: Generación de números aleatorios Simulación Computacional Tema 1: Generación de números aleatorios Irene Tischer Escuela de Ingeniería y Computación Universidad del Valle, Cali Typeset by FoilTEX 1 Contenido 1. Secuencias pseudoaleatorias

Más detalles

Pablo Fernández. IESE. Valoración de opciones por simulación 1 VALORACIÓN DE OPCIONES POR SIMULACIÓN Pablo Fernández IESE

Pablo Fernández. IESE. Valoración de opciones por simulación 1 VALORACIÓN DE OPCIONES POR SIMULACIÓN Pablo Fernández IESE Pablo Fernández. IESE. Valoración de opciones por simulación 1 VALORACIÓN DE OPCIONES POR SIMULACIÓN Pablo Fernández IESE 1. Fórmulas utilizadas en la simulación de la evolución del precio de una acción

Más detalles

Un juego de cartas: Las siete y media

Un juego de cartas: Las siete y media Un juego de cartas: Las siete y media Paula Lagares Federico Perea Justo Puerto * MaMaEuSch ** Management Mathematics for European Schools 94342 - CP - 1-2001 - DE - COMENIUS - C21 * Universidad de Sevilla

Más detalles

Estadística con Excel Informática 4º ESO ESTADÍSTICA CON EXCEL

Estadística con Excel Informática 4º ESO ESTADÍSTICA CON EXCEL 1. Introducción ESTADÍSTICA CO EXCEL La estadística es la rama de las matemáticas que se dedica al análisis e interpretación de series de datos, generando unos resultados que se utilizan básicamente en

Más detalles

0 en el resto. P 2 X 4 c) Obtener x tal que P( X x)=0.3. Se pide: a) La variable aleatoria es discreta o x si 0 x 4

0 en el resto. P 2 X 4 c) Obtener x tal que P( X x)=0.3. Se pide: a) La variable aleatoria es discreta o x si 0 x 4 .- Sea la función de probabilidad de una variable aleatoria: i 4 5 Probabilidad k P X. Se pide. A) La función de distribución. B) Primer cuartil. C) k si,. Si la función de densidad de una v. a. continua

Más detalles

Ejercicio de estadística para 3º de la ESO

Ejercicio de estadística para 3º de la ESO Ejercicio de estadística para 3º de la ESO Unibelia La estadística es una disciplina técnica que se apoya en las matemáticas y que tiene como objetivo la interpretación de la realidad de una población

Más detalles

R PRÁCTICA II. Probabilidad-Variables Aleatorias. Probabilidad

R PRÁCTICA II. Probabilidad-Variables Aleatorias. Probabilidad R PRÁCTICA II Probabilidad-Variables Aleatorias Sección II.1 Probabilidad 15. En el fichero sintomas.dat se encuentran 9 columnas con los resultados de una estadística médica. Cada columna corresponde

Más detalles

Análisis de los datos

Análisis de los datos Universidad Complutense de Madrid CURSOS DE FORMACIÓN EN INFORMÁTICA Análisis de los datos Hojas de cálculo Tema 6 Análisis de los datos Una de las capacidades más interesantes de Excel es la actualización

Más detalles

Tema 10. Estimación Puntual.

Tema 10. Estimación Puntual. Tema 10. Estimación Puntual. Presentación y Objetivos. 1. Comprender el concepto de estimador y su distribución. 2. Conocer y saber aplicar el método de los momentos y el de máxima verosimilitud para obtener

Más detalles

SOLUCIÓN CASO GESTIÓN DE COMPRAS

SOLUCIÓN CASO GESTIÓN DE COMPRAS SOLUCIÓN CASO GESTIÓN DE COMPRAS Comenzamos por abrir un libro de trabajo y lo guardaremos con el nombre Compras. 1) En primer lugar resolveremos el primer apartado en la hoja 1 del libro de trabajo procediendo

Más detalles

Clase 5: Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad

Clase 5: Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad Clase 5: Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad Variables Aleatorias Una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento del EM. Ejemplo 1: El EM que da una

Más detalles

Tema 2 - Introducción

Tema 2 - Introducción Tema 2 - Introducción 1 Tema 1. Introducción a la inferencia estadística Planteamientos y objetivos. Revisión de distribuciones multivariantes. Esperanza y varianza de sumas de v.a. independientes. Tema

Más detalles

SIMULACION. Modelos de. Julio A. Sarmiento S. http://www.javeriana.edu.co/decisiones/julio sarmien@javeriana.edu.co

SIMULACION. Modelos de. Julio A. Sarmiento S. http://www.javeriana.edu.co/decisiones/julio sarmien@javeriana.edu.co SIMULACION Modelos de http://www.javeriana.edu.co/decisiones/julio sarmien@javeriana.edu.co Julio A. Sarmiento S. Profesor - investigador Departamento de Administración Pontificia Universidad Javeriana

Más detalles

Se pide: 1. Calcular las principales medidas de posición y dispersión para los datos anteriores.

Se pide: 1. Calcular las principales medidas de posición y dispersión para los datos anteriores. 2.2.- Ha sido medida la distancia de frenado (en metros) de una determinada marca de coches, según el tipo de suelo y velocidad a la que circula, los resultados en 64 pruebas aparecen en el listado siguiente:

Más detalles

2. Modelo de colas poissoniano con un servidor M/M/1. 3. Modelo con un servidor y capacidad finita M/M/1/K

2. Modelo de colas poissoniano con un servidor M/M/1. 3. Modelo con un servidor y capacidad finita M/M/1/K CONTENIDOS 1. Introducción a las colas poissonianas. 2. Modelo de colas poissoniano con un servidor M/M/1 3. Modelo con un servidor y capacidad finita M/M/1/K 4. Modelo con varios servidores M/M/c. Fórmula

Más detalles

CAPÍTULO 2: MARCO TEÓRICO. El término inversión significa la asignación de fondos para la adquisición de valores o de

CAPÍTULO 2: MARCO TEÓRICO. El término inversión significa la asignación de fondos para la adquisición de valores o de CAPÍTULO 2: MARCO TEÓRICO 2.1. Valores El término inversión significa la asignación de fondos para la adquisición de valores o de bienes reales con el fin de obtener una utilidad o un interés. [2] Los

Más detalles

Riesgos y seguros. José Luis Fernández: UAM, AFI. (jlfernandez@afi.es)

Riesgos y seguros. José Luis Fernández: UAM, AFI. (jlfernandez@afi.es) José Luis Fernández: UAM, AFI (jlfernandez@afi.es), 1 de Diciembre de 2010 Qué es una compañía de seguros (con ojos matemáticos)?... desde primas; tarificación de pólizas.... hasta reservas/capital; fondos

Más detalles

Variables aleatorias continuas

Variables aleatorias continuas Variables aleatorias continuas Hemos definido que una variable aleatoria X es discreta si I X es un conjunto finito o infinito numerable. En la práctica las variables aleatorias discretas sirven como modelos

Más detalles

SOLUCIÓN CASO CÁLCULO DE GASTOS DE VIAJE

SOLUCIÓN CASO CÁLCULO DE GASTOS DE VIAJE SOLUCIÓN CASO CÁLCULO DE GASTOS DE VIAJE La cumplimentación del parte de dietas requerirá de la introducción de algunos datos como: el nombre del empleado, la fecha de inicio del viaje, la fecha de finalización,

Más detalles

Teoría de la Decisión Estadística Ejercicios

Teoría de la Decisión Estadística Ejercicios Teoría de la Decisión Estadística Ejercicios 1. Una librería debe decidir cuántas revistas pedir. Las compra a 20 euros y las vende a 25. Las revistas que no vende al final del día no tienen valor. La

Más detalles

Tratamiento y Transmisión de Señales Ingenieros Electrónicos SEGUNDA PRÁCTICA

Tratamiento y Transmisión de Señales Ingenieros Electrónicos SEGUNDA PRÁCTICA Tratamiento y Transmisión de Señales Ingenieros Electrónicos SEGUNDA PRÁCTICA NOTA: en toda esta práctica no se pueden utilizar bucles, para que los tiempos de ejecución se reduzcan. Esto se puede hacer

Más detalles

Relación de problemas: Distribuciones de probabilidad

Relación de problemas: Distribuciones de probabilidad Estadística y modelización. Ingeniero Técnico en Diseño Industrial. Relación de problemas: Distribuciones de probabilidad 1. Un jugador de dardos da justo en la diana 2 de cada cinco veces que lanza. Si

Más detalles

Cómo AHORRAR gastos BANCARIOS

Cómo AHORRAR gastos BANCARIOS [.estrategiafinanciera.es ] Dossier Banca Cómo AHORRAR gastos BANCARIOS La empresa Zamabar llevó a cabo un estudio comparativo de los gastos bancarios que tenía la empresa. Gracias al análisis de todos

Más detalles

Riesgos financieros. Introducción. Josechu Fernández. AFI, UAM. (jlfernandez@afi.es) Universidad de Murcia, Marzo de 2010

Riesgos financieros. Introducción. Josechu Fernández. AFI, UAM. (jlfernandez@afi.es) Universidad de Murcia, Marzo de 2010 Riesgos financieros Introducción Josechu Fernández. AFI, UAM (jlfernandez@afi.es) Universidad de Murcia, Marzo de 2010 Reservas/capital/fondos que se precisan para cubrir variaciones negativas extremas

Más detalles

Tema 9 Estadística Matemáticas B 4º E.S.O. 1 TABLAS DE FRECUENCIAS Y REPRESENTACIONES GRÁFICAS EN VARIABLES DISCRETAS

Tema 9 Estadística Matemáticas B 4º E.S.O. 1 TABLAS DE FRECUENCIAS Y REPRESENTACIONES GRÁFICAS EN VARIABLES DISCRETAS Tema 9 Estadística Matemáticas B º E.S.O. TEMA 9 ESTADÍSTICA TABLAS DE FRECUENCIAS Y REPRESENTACIONES GRÁFICAS EN VARIABLES DISCRETAS EJERCICIO : En un grupo de personas hemos preguntado por el número

Más detalles

Ejercicio 1 (Formatos personalizados):

Ejercicio 1 (Formatos personalizados): 807-6 La sexta práctica, y la última sobre hojas de cálculo Excel, no tiene ningún tema especial, más que ser un repaso de los conceptos vistos en las previas prácticas. La única novedad es de la creación

Más detalles

Charla No 3: Fórmulas de mayor uso.

Charla No 3: Fórmulas de mayor uso. 1 Charla No 3: Fórmulas de mayor uso. Objetivos generales: Explicar el uso de las funciones de mayor uso en MS-Excel Objetivos específicos: Autosuma. Asistente de fórmulas. Max y Min. Buscarv Contar Si

Más detalles

TEMA 7: Análisis de la Capacidad del Proceso

TEMA 7: Análisis de la Capacidad del Proceso TEMA 7: Análisis de la Capacidad del Proceso 1 Introducción Índices de capacidad 3 Herramientas estadísticas para el análisis de la capacidad 4 Límites de tolerancia naturales 1 Introducción La capacidad

Más detalles

Modelos de distribuciones discretas y continuas

Modelos de distribuciones discretas y continuas Modelos de distribuciones discretas y continuas Discretas En la versión actual de Rcdmr podemos encontrar las distribuciones discretas estudiadas en este curso y para cada una de ellas están disponibles

Más detalles