Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Ejercicios con solución de todo hasta probabilidad

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Ejercicios con solución de todo hasta probabilidad"

Transcripción

1 Ejercicios con solución de todo hasta probabilidad Problema 1: Se considera la función siendo a y b parámetros reales. a) Determina los valores de los parámetros a y b para que f(2) = 4 y la recta tangente a la gráfica de f(x) en x = 6 es horizontal. b) Para a = 1 y b = 1 Razona cuál es el dominio de f(x) y la existencia de asíntotas verticales. Determina los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de f(x) Problema 2: Los beneficios anuales B(x), en miles de euros, previstos por una empresa para los próximos años vienen dados por la siguiente función, donde x representa el número de años a partir del actual: a) Cuántos años han de transcurrir para que la empresa obtenga el máximo beneficio y cuál es el valor de dicho beneficio? Justifica que es máximo. b) Puede esta empresa tener pérdidas algún año? Por qué? Problema 3: Una inmobiliaria está interesada en adquirir unos terrenos que pueden ser representados en un determinado plano como la superficie encerrada entre la parábola f(x) = x 2 + 2x + 4 y la recta g(x) = 2x a) Halla la representación gráfica simultánea de estas dos funciones. b) Si una unidad de área en este plano equivale a 1 km 2 y el precio del km 2 es de 30 millones de euros, qué importe debe pagar la inmobiliaria por esos terrenos? Problema 4: Dada la función a) Representa gráficamente f(x) b) Estudia su continuidad. Problema 5: Tres hermanos quieren reunir 26 euros para comprar un regalo a sus padres. Después de una larga discusión han decidido que el mediano debe poner el doble que el pequeño y el mayor debe poner dos terceras partes de lo que ponga el mediano. Cuánto debe poner cada uno? Problema 6: Resuelve las siguientes cuestiones a) Representa gráficamente el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones:

2 x 3(y 3); 2x + 3y 36; x 15; x 0; y 0 b) Calcula los vértices del recinto. c) Obtén el valor máximo de la función F(x, y) = 8x + 12y en este recinto e indica dónde se alcanza. Problema 7: Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = e 2 x en el punto donde ésta corta al eje de ordenadas. Problema 8: Sean A y B dos matrices de tamaño 2 x 2. Es cierta la igualdad (A + B)(A B) = A 2 B 2? Pruébalo si es cierto o busca un contraejemplo si es falso. Problema 9: Se considera la función real de variable real definida por: a) Halla sus asíntotas. b) Calcula sus máximos y mínimos relativos, si existen. c) Con los datos anteriores haz un esbozo de la gráfica. Problema 10: La función f definida por f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c verifica que su gráfica pasa por el punto ( 1, 0) y tiene un máximo relativo en el punto (0, 4). Determina la función f (calculando a, b y c). Problema 11: Halla la integral entre 2 y 3 de la función f(x) = 2x 3 3x + 2 Problema 12: Se considera la curva de ecuación. Calcula sus asíntotas. Problema 13: La suma de las tres cifras de un número es 6 y si se intercambian la primera y la segunda, el número aumenta en 90 unidades. Finalmente si se intercambian la segunda y la tercera, el número aumenta en 9 unidades. Calcular dicho número. Problema 14:

3 Una empresa de equipos informáticos produce dos tipos de microprocesadores: A y B. El trabajo necesario para su producción se desarrolla en dos fases, la de fabricación y la de montaje. Cada microprocesador A requiera 3 minutos de fabricación y 2 minutos de montaje y cada microprocesador B requiere 2 minutos de fabricación y 4 minutos de montaje. Si sólo se dispone diariamente de 4 horas para la fabricación y 4 horas para el montaje, siendo el beneficio obtenido de 160 euros por cada microprocesador A y de 190 euros por cada microprocesador B, se pide justificando la respuesta. Cuántos microprocesadores hay que producir de cada tipo para obtener unos beneficios máximos? Cuál será el valor de dichos beneficios máximos? Problema 15: Si f es la derivada de la función dada por f ( 0,5) calcula Problema 16: Sea la matriz Problema 17: Representa gráficamente la función f(x) = x 3 3x estudiando: intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativo, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión. Problema 18: Se quiere fabricar una caja de volumen máximo que sea el doble de larga que de ancha en la que, además, la suma del ancho más el largo más el alto sea igual a un metro. a) Qué medidas debe tener la caja? b) Qué volumen tendrá? Problema 19: Dada la función a) Encuentra la primitiva de f que en el 2 valga 5 b) Dibuja la función f. Halla el área limitada por la curva y el eje de abscisas entre los puntos de abscisa x = 1 y x = 4 Problema 20: Un inversor utiliza la siguiente función para reinvertir en Bolsa parte del capital que obtiene mensualmente. R(x) representa la cantidad reinvertida cuando el capital obtenido es x (tanto la cantidad como el capital en euros):

4 Es la cantidad reinvertida una función continua del capital obtenido? Problema 21: Tres constructoras invierten en la compra de terrenos de la siguiente forma: la primera invirtió medio millón de euros en terreno urbano, euros en terreno industrial y euros en terreno rústico. La segunda, invirtió , y euros en terreno urbano, industrial y rústico, respectivamente, y la tercera, , y euros en estos mismos tipos de terreno, respectivamente. Transcurrido un año, venden todos los terrenos. La rentabilidad que obtiene la primera constructora es del 13,75%, la de la segunda del 11,25% y, finalmente, la de la tercera es del 10%. Determina la rentabilidad de cada uno de los tipos de terreno por separado. Problema 22: En una confiteria se dispone de 24 kg de polvorones y 15 kg de mantecados, que se envasan en dos tipos de caja del modo siguiente: Caja tipo 1: 200 g de polvorones y 100 g de mantecados. Precio: 4 euros Caja tipo 2: 200 g de polvorones y 300 g de mantecados. Precio 6 euros Cuántas cajas de cada tipo se tendrán que preparar y vender para obtener el máximo de ingresos? Cuál es el importe de la venta? Problema 23: Se considera la función f(x) = ax 3 + b ln x siendo a y b parámetros reales. Determina los valores de a y bsabiendo que f(1) = 2 y que la derivada de f(x) es nula en x = 1 Problema 24: Sean las matrices: Halla el producto de A por B Problema 25: Se considera la función Calcula sus asíntotas y el dominio de definición de la función. a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Representa gráficamente la función f(x) Problema 26:

5 La función representa, en miles de euros, el beneficio neto de un proceso de venta, siendo x el número de artículos vendidos. Calcula el número de artículos que deben venderse para obtener el máximo beneficio y determina dicho beneficio máximo. Problema 27: Dada la función gráfica de f y el eje de abscisas. calcula el área del recinto limitado por la Problema 28: Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua en todo punto: Problema 29: Un agricultor compra semillas de garbanzos a 1,30 euros el kilo, de alubias a 1,20 euros el kilo y de lentejas a 0,80 euros el kilo. En total compra 45 kilos de semillas y paga por ellas 43 euros. Sabiendo que el peso de las lentejas es el doble que lo que pesan, conjuntamente, los garbanzos y las alubias, calcula qué cantidad de semillas ha comprado de cada legumbre. Problema 30: Una refinería de petróleo adquiere dos tipos de crudo, ligero y pesado, a un precio de 70 euros y 65 euros por barril, respectivamente. Con cada barril de crudo ligero la refinería produce 0,3 barriles de gasolina 95; 0,4 barriles de gasolina 98 y 0,2 barriles de gasoil. Asimismo, con cada barril de crudo pesado produce 0,1; 0,2 y 0,5 barriles de cada uno de estos tres productos, respectivamente. La refinería debe suministrar al menos barriles de gasolina 95, barriles de gasolina 98 y barriles de gasoil. Determina cuántos barriles de cada tipo de crudo debe comprar la refinería para cubrir sus necesidades de producción con un coste mínimo y calcula éste. Problema 31: Calcula y simplifica la derivada de la función Problema 32: Una empresa fabrica juguetes de tres tipos diferentes T 1, T 2 y T 3. Los precios de costo de cada juguete y los ingresos que obtiene la empresa por cada juguete vendido vienen dados por la siguiente tabla:

6 T1 T2 T3 Precio de costo 4 euros 6 euros 9 euros Ingresos 10 euros 16 euros 24 euros Los números de ventas anuales son de 4500 juguetes T 1, 3500 juguetes T 2 y 1500 juguetes T 3. Sabiendo que la matriz de costos (C) y la matriz de ingresos (I) son matrices diagonales y que la matriz de ventas anuales (V) es una matriz fila. a) Determina las matrices C, I y V b) Obtén, utilizando las matrices anteriores, la matriz de costos anuales, la matriz de ingresos anuales y la matriz de beneficios anuales, correspondientes a los tres tipos de juguetes. Problema 33: Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad, en euros viene dada por: R(x) = 0,01x 2 + 5x , siendo x la cantidad que se invierta. a) Qué rentabilidad obtiene un inversor que invierte 1000 euros? b) Cuánto ha de invertir si quiere obtener una rentabilidad máxima? c) Calcula esa rentabilidad máxima. Problema 34: Dentro del triángulo limitado por los ejes X, Y y la recta 2x + y = 8, se inscribe un rectángulo de vértices (0,0), (a,0), (a,b) y (0,b). Determina el punto (a, b) al que corresponde un área máxima. Problema 35: Dibuja la región limitada por las parábolas y = x 2 4x + 4, y = x 2 + 2x + 4 y calcula el área de la región limitada por ambas curvas. Problema 36: Se considera la función f (x) = x 3 + ln x. Calcula: Problema 37: La edad, en años, de Juan es el doble que la suma de las edades de sus dos hijos: Pedro y Luis. A su vez, Pedro es 3 años mayor que Luis. Si, dentro de 10 años, la edad del padre sobrepasa en 11 años a la suma de las edades de los hijos: a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. b) Determinar la edad de cada uno de ellos. Problema 38: Un mayorista de frutos secos tiene almacenados 1800 kg de avellanas y 420 kg de almendras para hacer dos tipos de mezclas que embala en cajas como se indica a continuación: La caja A tiene 6 kg de avellanas y 3 kg de almendras y las vende a 80 euros La caja B tiene 10 kg de avellanas y 1 kg de almendras y las vende a 90 euros

7 Representar la región factible. Cuántas cajas de cada tipo le conviene hacer para que el beneficio sea máximo? Problema 39: Sea la función f definida por a) Estudia la continuidad y derivabilidad de f b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = 1 Problema 40: Sean las matrices Calcula la matriz C = B A A t B t

8 Soluciones Problema 1: que nunca se anula, por tanto no tiene puntos de inflexión. Curvatura: f (0) = 2 > 0 (+) Problema 2: a) B (x) = 0 25x = 0 x = 4, x = 4 (la solución negativa no tiene sentido) En el cuarto año se alcanza el máximo que es 3125 euros b) Como Luego la empresa no puede tener pérdidas ningún año. Problema 3:

9 a) Representación gráfica: Abscisas de los puntos de corte de las dos curvas: f(x) = g(x) x 2 + 2x + 4 = 2x x = 2, x = 2 Función diferencia: f(x) g(x) = x F( 2) = 16/3; F(2) = 16/3 b) Precio = 32/ = euros Problema 4: a) b) La función f(x) está definida por tres funciones polinómicas que son continuas en sus dominios. Solo debemos estudiar los valores x = 1, x = 2 Para que sea continua en Se estudian los límites laterales: Para que sea continua en Se estudian los límites laterales:

10 Problema 5: Dinero que pone el pequeño: x Dinero que pone el mediano: y Dinero que pone el mayor: z El pequeño pone 6 euros, el mediano, 12 euros y el mayor, 8 euros Problema 6: a) Región factible. b) Vértices de la región factible: O(0, 0); A(15, 0); B(15, 2); C(9, 6); D(0, 3) c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. El máximo es F(15, 2) = F(9, 6) = 144. La solución óptima se alcanza en B(15, 2) y C(9, 6); por tanto en todos los puntos del segmento BC Problema 7: El punto en que corta al eje de ordenadas es para x = 0, f(0) = e 2 P(0, e 2 ) La derivada es f (x) = e 2 x m = f (0) = e 2 Ecuación punto pendiente: y f(a) = f (a)(x a) y e 2 = e 2 (x 0) y = e 2 x + e 2 Problema 8: Es falso, contraejemplo Problema 9: a) Asíntotas Verticales: son las raíces del denominador, x = 3, x = 3 Horizontales:

11 Tiene una asíntota horizontal en y = 1 Asíntotas oblicuas: no tiene porque el grado del numerador no es uno más que el grado del denominador. b) Máximos y mínimos relativos c) Gráfica de la función Problema 10: Como f( 1) = a b + c = 0 (1) f (0) = 0 f (x) = 3x 2 + 2ax + b b = 0 (2) f(0) = 4 c = 4 (3) Resolviendo el sistema formado por (1), (2) y (3), se tiene: Problema 11: Problema 12: Asíntotas verticales: no tiene Asíntotas horizontales: no tiene. Asíntotas oblicuas: se realiza la división y se obtiene la asíntota oblicua: y = x

12 Problema 13: Cifra de las centenas (1ª cifra): x Cifra de las decenas (2ª cifra): y Cifra de las unidades (3ª cifra): z El número es 123 Problema 14: a) Tabla con los datos del problema. Microp. A Microp. B Restricciones Nº microprocesadores x y x 0; y 0 Fabricación 3x 2y 3x + 2y 240 Montaje 2x 4y 2x + 4y 240 Beneficios 160x 190y f(x, y) = 160x + 190y Máximo b) Región factible. c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. O(0, 0); A(80, 0); B(60, 30); C(0, 60). El máximo es f(60, 30) = euros d) La solución óptima es B(60, 30), es decir, x = 60 microprocesadores del tipo A e y = 30 microprocesadores del tipo B. Beneficios = euros Problema 15: Problema 16: Problema 17: Máximos y mínimos

13 f (x) = 3x 2 6x 3x 2 6x = 0 x = 0, x = 2 raíces reales simples. f(0) = 4, A(0, 4) f (x) = 6x 6 f (0) = 6 < 0 A(0, 4) Máximo relativo. f(2) = 0, B(2, 0) f (2) = 6 > 0 B(2, 0) mínimo relativo. Monotonía o crecimiento f (1) = 3 < 0 ( ) Punto de inflexión f (x) = 6x 6 6x 6 = 0 x = 1 f(1) = 2, C(1, 2) f (x) = 6 f (1) = 6 0 C(1, 2) punto de inflexión. Curvatura: f (0) = 6 < 0 ( ) Problema 18: a) Datos, incógnita y dibujo. Función que hay que maximizar es: f(x, y) = 2x 2 y sujeta a la restricción: 3x + y = 1 y = 1 3x Se escribe la función con una sola variable f(x) = 2x 2 (1 3x) = 2x 2 6x 3 Se calculan los máximos y los mínimos f (x) = 4x 18x 2 ; 4x 18x 2 = 0 x = 2/9, x = 0 (x = 0 no tiene sentido) Se comprueba en la 2ª derivada f (x) = 4 36x f (2/9) = 4 < 0 ( ) Para x = 2/9 se alcanza el máximo. Solución Para x = 2/9, y = 1/3, se tiene que las dimensiones de la caja son 2/9 m de ancho, 4/9 m de largo y 1/3 m de alto. b) El volumen será:

14 Problema 19: b) Dibujo de la función f Raíces de Se tiene el intervalo [1, 4] F(1) = 7/2; F(4) = 7 Problema 20: La función R(x) está definida por una función polinómica que es continua en su dominio y por una función racional que es continua en su dominio siempre que el denominador sea distinto de cero. Como el denominador es distinto de cero para todo x 600, se estudia el caso en x = 600 Para que sea continua en Se estudian los límites laterales: continua en x = 600 no es Problema 21: Rentabilidad del terreno urbano en %: x Rentabilidad del terreno industrial en %: y Rentabilidad del terreno rústico en %: z

15 La rentabilidad del terreno urbano es del 20%, la del industrial, 10%, y la del rústico, 5% Problema 22: a) Tabla con los datos del problema. Caja tipo 1 Caja tipo 2 Restricciones Nº de cajas x y x 0; y 0 Polvorones 0,2x 0,2y 0,2x + 0,2y 24 Mantecados 0,1x 0,3y 0,1x + 0,3y 15 Ingresos 4x 6y f(x, y) = 4x + 6y Máximo b) Región factible. c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. O(0, 0); A(120, 0); B(105, 15); C(0, 50). El máximo es f(105, 15) = 510 euros d) La solución óptima es B(105, 15), es decir, x = 105 cajas tipo 1 e y = 15 cajas tipo 2. Ingresos = 510euros Problema 23: f(1) = 2 a b ln 1 = 2 a 1 + b 0 = 2 a = 2 f (x) = 3ax 2 + b/x, como f (1) = 0 3a b/1 = 0 3a + b = 0 b = 3a b = 6 Problema 24: Problema 25: La gráfica es una hipérbola, porque el grado del denominador es uno y el del denominador es uno o cero, en este caso uno.

16 a) Asíntotas: x = 2, y = 1, b) Intervalos de crecimiento, como k = 2 > 0 es siempre decreciente. c) Representa gráficamente: Problema 26: tiene sentido) B(4) = 1 A(4, 1) (el resultado negativo no es un máximo relativo. Para 4 artículos vendidos se obtiene el máximo beneficio que son 1000 euros Problema 27: a) Puntos de corte de la gráfica con el eje X: x = 0 x = 2, x = 2; (x = 2 no es válida) x 2 = 0 x = 2 b) c) F( 1) = 11/3; F( 2) = 16/3; G( 1) = 5/2; G(2) = 2

17 Problema 28: La función f(x) está definida por una función racional que es continua en su dominio y por una polinómica que es continua siempre. El único valor que debemos estudiar es x = 2 La función es continua en f(2) = k Para k = 12 la función es continua. Problema 29: Nº de kg de semillas de garbanzos: x Nº de kg de semillas de alubias: y Nº de kg de semillas de lentejas: z Compra 10 kg de semillas de garbanzos, 5 kg de semillas de alubias y 30 kg de semillas de lentejas. Problema 30: a) Tabla con los datos del problema. Crudo ligero Crudo pesado Restricciones Nº de barriles x y x 0; y 0 Gasolina 95 0,3x 0,1y 0,3x + 0,1y Gasolina 98 0,4x 0,2y 0,4x + 0,2y Gasoil 0,2x 0,5y 0,2x + 0,5y Coste 70x 65y f(x, y) = 70x + 65y Mínimo b) Región factible.

18 c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. A(147500, 0); B(90000, 23000); C(60000, 83000); D(0, ). El mínimo es f(90000, 23000) = euros d) La solución óptima es B(90000, 23000), es decir, x = barriles de crudo ligero e y = euros barriles de crudo pesado. Coste = euros Problema 31: Es la derivada de un cociente: Problema 32: a) Matrices C, I y V b) Matriz de costos anuales Matriz de ingresos anuales Matriz de beneficios anuales V I V C = ( ) ( ) = ( ) Problema 33: a) R(1000) = 0, = 2500 euros, pierde dinero. b) R (x) = 0,02x + 5 0,02x + 5 = 0 x = 250 R(250) = 3125, A(250, 3125) R (x) = 0,02; R (250) = 0,02 < 0 A(250, 3125) Máximo relativo. c) La rentabilidad máxima es 3125 euros

19 Problema 34: a) Datos, incógnitas y dibujo. b) Función que hay que maximizar f(a, b) = a b sujeta a la restricción: 2a + b = 8 b = 8 2a c) Se escribe la función con una sola variable f(a) = a (8 2a) = 8a 2a 2 d) Se calculan los máximos y los mínimos f (a) = 8 4a; 8 4a = 0 a = 2 e) Se comprueba en la 2ª derivada f (a) = 4 f (2) = 4 < 0 ( ) Para a = 2 se alcanza el máximo. f) Solución El área máxima se alcanza para a = 2, b = 4. El punto es (2, 4) Problema 35: a) Abscisas de los puntos de corte de las dos curvas: x 2 4x + 4 = x 2 + 2x + 4 2x 2 6x = 0 x = 0, x = 3 b) Función diferencia: f(x) g(x) = 2x 2 6x c) d) F(0) = 0; F(3) = 9

20 e) Problema 36: Problema 37: Edad actual Dentro de 10 años Juan x x + 10 Pedro y y + 10 Luis z z + 10 La edad actual de Juan es 42 años, la de Pedro, 12 años y la de Luis, 9 años. Problema 38: a) Tabla con los datos del problema. Caja A Caja B Restricciones Nº de cajas x y x 0; y 0 Avellanas 6x 10y 6x + 10y 1800 Almendras 3x y 3x + y 420 Beneficios 80x 90y f(x, y) = 80x + 90y Máximo b) Región factible. c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. O(0, 0); A(140, 0); B(100, 120); C(0, 180). El máximo es f(100, 120) = euros d) La solución óptima es B(100, 120), es decir, x = 100 cajas A e y = 120 cajas B. Beneficio = 18800euros Problema 39: a) Continuidad

21 La función está definida por una función racional y una polinómica que no tienen puntos de discontinuidad en sus dominios de definición. El único punto problemático es x = 0 Para que la función sea continua, los límites laterales deben existir y ser iguales al valor de la función. Derivabilidad Para que sea derivable en x = 0, las derivadas laterales deben ser iguales. f (0 ) f (0 + ) La función no es derivable en x = 0 b) Ecuación de la recta tangente: Ecuación punto pendiente: y f(a) = f (a)(x a) x = 1 f(1) = = 2 P(1, 2) f (x) = 2x + 1 f (1) = = 3 y 2 = 3(x 1) y 2 = 3x 3 y = 3x 1 Problema 40: Se hacen las traspuestas, los productos parciales y luego la diferencia

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis, y programación lineal resueltos.

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis, y programación lineal resueltos. Análisis, y programación lineal resueltos. Problema 1: Se considera la función f(x) = ax 3 + b ln x siendo a y b parámetros reales. Determina los valores de a y bsabiendo que f(1) = 2 y que la derivada

Más detalles

Colegio Portocarrero. Departamento de matemáticas. 50 ejercicios de todo. Sistemas de ecuaciones, matrices, Programación lineal y funciones.

Colegio Portocarrero. Departamento de matemáticas. 50 ejercicios de todo. Sistemas de ecuaciones, matrices, Programación lineal y funciones. 50 ejercicios de todo Sistemas de ecuaciones, matrices, Programación lineal y funciones. Problema 1: La gráfica de la función derivada de una función f es la parábola de vértice (0, 2) que corta al eje

Más detalles

Colegio Portocarrero. Departamento de matemáticas. Repaso de la 2ª evaluación. (Con solución)

Colegio Portocarrero. Departamento de matemáticas. Repaso de la 2ª evaluación. (Con solución) Repaso de la 2ª evaluación (Con solución) Problema 1: Se considera la función f (x) = 2x 3 2ln x. Calcula: Problema 2: Una empresa fabrica juguetes de tres tipos diferentes T 1, T 2 y T 3. Los precios

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas)

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Análisis (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Problema 1: Sea la función Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Matrices, programación lineal, límites, asíntotas, continuidad.

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Matrices, programación lineal, límites, asíntotas, continuidad. Matrices, programación lineal, límites, asíntotas, continuidad. Problema 1: Sean A y B dos matrices de tamaño 2 x 2. Es cierta la igualdad (A + B)(A B) = A 2 B 2? Pruébalo si es cierto o busca un contraejemplo

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Repaso con solución

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Repaso con solución Repaso con solución Problema 1: Sea la función. Determina las asíntotas si existen. Problema 2: Sean las matrices: Halla el producto de A por B Problema 3: La función representa, en miles de euros, el

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis, matrices, programación lineal y probabilidad

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis, matrices, programación lineal y probabilidad Análisis, matrices, programación lineal y probabilidad Problema 1: Se considera la curva de ecuación cartesiana y = x 2 + 8x, calcular las coordenadas del punto en el que la recta tangente a la curva es

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. 50 ejercicios para que repaséis

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. 50 ejercicios para que repaséis 50 ejercicios para que repaséis Problema 1: Los beneficios anuales B(x), en miles de euros, previstos por una empresa para los próximos años vienen dados por la siguiente función, donde x representa el

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Sistemas, matrices, programación lineal resueltos.

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Sistemas, matrices, programación lineal resueltos. Sistemas, matrices, programación lineal resueltos. Problema 1: Sean las matrices Encuentra el valor o valores de x de forma que B 2 = A Problema 2: En la remodelación de un centro de enseñanza se quiera

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis Análisis Problema 1: La función f definida por f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c verifica que su gráfica pasa por el punto ( 1, 0) y tiene un máximo relativo en el punto (0, 4). Determina la función f (calculando

Más detalles

Colegio Portocarrero. Departamento de matemáticas. Tarea navideña.

Colegio Portocarrero. Departamento de matemáticas. Tarea navideña. Dadas las circunstancias, será obligatorio realizar, en lugar del trabajo sobre la película Una mente maravillosa, la siguiente relación de ejercicios de forma obligatoria para entregar el día 7 de enero.

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Derivadas; aplicaciones de las derivadas

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Derivadas; aplicaciones de las derivadas Derivadas; aplicaciones de las derivadas Problema 1: La función f(t), 0 t 10, en la que el tiempo t está expresado en años, representa los beneficios de una empresa (en cientos de miles de euros) entre

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Matrices y programación lineal

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Matrices y programación lineal Matrices y programación lineal Problema 1: En una confiteria se dispone de 24 kg de polvorones y 15 kg de mantecados, que se envasan en dos tipos de caja del modo siguiente: Caja tipo 1: 200 g de polvorones

Más detalles

Colegio Portocarrero. Departamento de matemáticas. Álgebra, análisis y probabilidad. (ejercicios 1, 2 y 3 de selectividad) (con solución)

Colegio Portocarrero. Departamento de matemáticas. Álgebra, análisis y probabilidad. (ejercicios 1, 2 y 3 de selectividad) (con solución) Álgebra, análisis y probabilidad (ejercicios 1, 2 y 3 de selectividad) (con solución) Problema 1: Se considera el experimento consistente en lanzar una moneda equilibrada y un dado equilibrado. Se pide:

Más detalles

Colegio Portocarrero. Departamento de matemáticas. PL con solución

Colegio Portocarrero. Departamento de matemáticas. PL con solución PL con solución Problema 1: Un mayorista de frutos secos tiene almacenados 1800 kg de avellanas y 420 kg de almendras para hacer dos tipos de mezclas que embala en cajas como se indica a continuación:

Más detalles

Colegio Portocarrero. Departamento de matemáticas. Ejercicios con solución. sobre álgebra, análisis y probabilidad

Colegio Portocarrero. Departamento de matemáticas. Ejercicios con solución. sobre álgebra, análisis y probabilidad Ejercicios con solución sobre álgebra, análisis y probabilidad (ejercicios 1,2 y 3 de selectividad) Problema 1: Se considera la curva de ecuación cartesiana y = x 2 + 8x, calcular las coordenadas del punto

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Sistemas de ecuaciones. Matrices

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Sistemas de ecuaciones. Matrices Sistemas de ecuaciones. Matrices Problema 1: Sea la matriz Problema 2: La suma de las tres cifras de un número es 6 y si se intercambian la primera y la segunda, el número aumenta en 90 unidades. Finalmente

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. Análisis y programación lineal

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. Análisis y programación lineal Análisis y programación lineal Problema 1: La gráfica de la función derivada de una función f es la parábola de vértice (0, 2) que corta al eje de abscisas en los puntos ( 3, 0) y (3, 0). A partir de dicha

Más detalles

Departamento de matemáticas

Departamento de matemáticas Análisis con solución (Límites, derivadas y aplicaciones) Problema 1: Determina los valores de a y b para los cuales Problema 2: Calcula Problema 3: Una persona camina a la velocidad constante de 3 m/s

Más detalles

Colegio Agave Matemáticas I

Colegio Agave Matemáticas I Derivadas y aplicaciones de la derivada (con solución) Problema 1: Se considera la función definida por a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f(x) b) Estudia la posición de la gráfica de f(x) respecto

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Limites, asíntotas y continuidad

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Limites, asíntotas y continuidad Limites, asíntotas y continuidad Problema 1: Sea la función. Determina las asíntotas si existen. Problema 2: Dada la función a) Representa gráficamente f(x) b) Estudia su continuidad. Problema 3: Un inversor

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. Repaso de todo. Con solución

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. Repaso de todo. Con solución Repaso de todo Con solución Gauss, matrices, programación lineal, límites, continuidad, asíntotas, cálculo de derivadas. Problema 1: En una confiteria se dispone de 24 kg de polvorones y 15 kg de mantecados,

Más detalles

Colegio Portocarrero. Departamento de matemáticas. Repaso de todo con su solución

Colegio Portocarrero. Departamento de matemáticas. Repaso de todo con su solución Repaso de todo con su solución Problema 1: Un estudio revela que el 10 % de los oyentes de radio sintoniza a diario las cadenas Music y Rhythm, que un 35 % sintoniza a diario Music y que el 55 % de los

Más detalles

Colegio Portocarrero. Departamento de matemáticas. El clásico. (Entregar el jueves 14 de enero)

Colegio Portocarrero. Departamento de matemáticas. El clásico. (Entregar el jueves 14 de enero) El clásico (Entregar el jueves 14 de enero) Problema 1: En una factoría, se desean producir al menos 4 unidades del producto B. Cada unidad de producto B ocupa un metro cúbico de espacio de almacenamiento,

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2000 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2000 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 000 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva,

Más detalles

BLOQUE II- ANALISIS PROBLEMAS SELECTIVIDAD (PAU) CANTABRIA I.E.S. LA MARINA. CURSO 2014/2015. MATEMÁTICAS CC.SS.

BLOQUE II- ANALISIS PROBLEMAS SELECTIVIDAD (PAU) CANTABRIA I.E.S. LA MARINA. CURSO 2014/2015. MATEMÁTICAS CC.SS. BLOQUE II- ANALISIS PROBLEMAS SELECTIVIDAD (PAU) CANTABRIA 001-014 I.E.S. LA MARINA. CURSO 014/015. MATEMÁTICAS CC.SS. Ejercicio [3,5 PUNTOS] 6 1 Dada la función f(x) 1 1 A. ( 1,75 PUNTOS) Determinar los

Más detalles

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD . Sea la función f ( ) = 6 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD a. Determine sus puntos de corte con los ejes. b. Calcule sus etremos relativos y su punto de infleión. c. Represente gráficamente la función.. Sea

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Repaso de todo con solución

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Repaso de todo con solución Repaso de todo con solución Problema 1: El precio p de compra de un artículo está en función del nº de unidades x que se compran. El número de unidades que se compran depende del nº del día del año d (

Más detalles

Colegio Portocarrero. Departamento de matemáticas. 80 problemas de repaso de todo, con solución.

Colegio Portocarrero. Departamento de matemáticas. 80 problemas de repaso de todo, con solución. 80 problemas de repaso de todo, con solución. Problema 1: Una empresa de equipos informáticos produce dos tipos de microprocesadores: A y B. El trabajo necesario para su producción se desarrolla en dos

Más detalles

-, se pide: b) Calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica, el eje horizontal y la vertical que pasa por el máximo relativo de la curva.

-, se pide: b) Calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica, el eje horizontal y la vertical que pasa por el máximo relativo de la curva. EJERCICIOS PARA PREPARAR EL EXAMEN GLOBAL DE ANÁLISIS ln ) Dada la función f ( ) = +, donde ln denota el logaritmo - 4 neperiano, se pide: a) Determinar el dominio de f y sus asíntotas b) Calcular la recta

Más detalles

Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 5. Estudio de funciones

Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 5. Estudio de funciones Apuntes Tema 5 Estudio de funciones 5.1 Dominio Hay que determinar para qué intervalos de números reales, o puntos aislados, la función existe o está definida. Para ello tenemos que prestar atención a

Más detalles

EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ANDALUCÍA Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.

EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ANDALUCÍA Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress. FUNCIONES I: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVAVILIDAD 1- Sea : definida por a) Halla a, b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = 1/2 y que la recta tangente en el punto de

Más detalles

Apuntes de Análisis Curso 2017/2018 Esther Madera Lastra REPASO INICIAL

Apuntes de Análisis Curso 2017/2018 Esther Madera Lastra REPASO INICIAL REPASO INICIAL 1 1. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE FUNCIONES Definición: Una función real de variable real la primera le corresponde un único valor de la segunda. es una relación entre dos variables, de tal manera

Más detalles

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS 1 1.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de una función f por la izquierda de un punto x = a. Es el valor al

Más detalles

(1-mx)(2x+3) x 2 +4 = 6. x > -1

(1-mx)(2x+3) x 2 +4 = 6. x > -1 . [04] [EXT-A] Sea la función f(x) = e x +ax+b a) Calcular a y b para que f(x) tenga un extremo en el punto (,). b) Calcular los extremos de la función f(x) cuando a = 0 y b = 0.. [04] [EXT-B] En la figura

Más detalles

6 si x -4 (x+2) 2 si -4 < x -1 4 si x > x+1 si 0 x 1 x si 1 < x < 3 6-x si 3 x 4

6 si x -4 (x+2) 2 si -4 < x -1 4 si x > x+1 si 0 x 1 x si 1 < x < 3 6-x si 3 x 4 . Calcula la derivada de las siguientes funciones:. y = 2-2 +2 2. y = 2-2 2 +2. y = 2 -ln +e 4. y = 2 e 2 5. y = e 6. y = 2 ln 2 7. y = 2-8. y = e. y = 2 + 4. y = ln 2-5. y = 2 2 2 6. y = 2-9. y = e 2

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso 2015-2016. Departamento de matemáticas. Álgebra, programación lineal y análisis. (con solución)

Colegio Portocarrero. Curso 2015-2016. Departamento de matemáticas. Álgebra, programación lineal y análisis. (con solución) Álgebra, programación lineal y análisis (con solución) Problema 1: Dada la función a) Representa gráficamente f(x) b) Estudia su continuidad. Problema 2: Sea la función f definida por a) Estudia la continuidad

Más detalles

MATEMÁTICAS CC.SS. I ACTIVIDADES PAU Y CURVATURA TEMA 8. 1 Estudia la curvatura de las siguientes funciones: 1 f(x) x b) (x)

MATEMÁTICAS CC.SS. I ACTIVIDADES PAU Y CURVATURA TEMA 8. 1 Estudia la curvatura de las siguientes funciones: 1 f(x) x b) (x) MATEMÁTICAS CC.SS. I ACTIVIDADES PAU Y CURVATURA TEMA 8 1 Estudia la curvatura de las siguientes funciones: 1 f() 1 f() Estudia la curvatura de las siguientes funciones: 5 7 Estudia la curvatura de las

Más detalles

c) Demuestra que la función f(x) anterior y g(x) = 2x 1 se cortan al menos en un punto. (1 punto) 2

c) Demuestra que la función f(x) anterior y g(x) = 2x 1 se cortan al menos en un punto. (1 punto) 2 Junio 010 1A. a) Enuncia el teorema de Bolzano. (0,5 puntos) 1 b) Se puede aplicar dicho teorema a la función f ( x) 1 x en algún intervalo? (1 punto) c) Demuestra que la función f(x) anterior y g(x) =

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Ejercicio 2.- [2 5 puntos] Sea f : ( 2, + ) R la función

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 06 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva,

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 008 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva,

Más detalles

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 009 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2017 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2017 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 07 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva,

Más detalles

, hallar su dominio, los puntos de corte con los ejes y la pendiente de la recta x 2-4 tangente a la gráfica de la función en x = 1.

, hallar su dominio, los puntos de corte con los ejes y la pendiente de la recta x 2-4 tangente a la gráfica de la función en x = 1. . [04] [ET-A] El beneficio semanal (en miles de euros) que obtiene una fábrica por la producción de aceite viene dado por la función B(x) = -x +6x-8, donde x representa los hectolitros de aceite producidos

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1. [2 5 puntos] Calcula lim x 0 siendo Ln(1 + x) el logaritmo neperiano de 1 + x. Ln(1 + x) sen x, x sen x Ejercicio 2. Sea f : R R la función definida por f(x) = e x/3. (a) [1 punto]

Más detalles

Matemáticas II TEMA 9 Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Problemas Propuestos

Matemáticas II TEMA 9 Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Problemas Propuestos Matemáticas II TEMA 9 Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Problemas Propuestos Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos relativos; puntos de infleión

Más detalles

1. [2014] [EXT] Sean las funciones f(x) = eax +b

1. [2014] [EXT] Sean las funciones f(x) = eax +b 1. [01] [ET] Sean las funciones f(x) = eax +b y g(x) = + 3x+. a) Determine el dominio y el recorrido de la función g. b) Calcule para qué valores de a y b las gráficas de las dos funciones son tangentes

Más detalles

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1.- Sea f : (0,+ ) R la función definida por f(x) = 3x + 1 x. (a) [1 5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde

Más detalles

1. Función de primer grado. La recta.

1. Función de primer grado. La recta. Cálculo 1. Función de primer grado. La recta. Consideremos una función definida mediante una línea recta: Y X(x,y) y y 0 P (x 0,y 0) B(0,b) x x 0 O X Sea P (x 0, y 0 ) un punto de la recta que suponemos

Más detalles

x = 1 Asíntota vertical

x = 1 Asíntota vertical EJERCICIO Sea la función f ( ). a) Indique el dominio de definición de f, sus puntos de corte con los ejes, sus máimos mínimos, eisten, sus intervalos de crecimiento decrecimiento. b) Obtenga las ecuaciones

Más detalles

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS Ejercicio 1 De la función se sabe que tiene un máximo en, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa y tiene un punto de inflexión en el punto

Más detalles

2. [2014] [JUN] Sean x e y dos números reales tal que x+y = 10. Cuál es el máximo valor posible para el producto (x+1)(y-1)?

2. [2014] [JUN] Sean x e y dos números reales tal que x+y = 10. Cuál es el máximo valor posible para el producto (x+1)(y-1)? [04] [ET] Supongamos que queremos construir un gallinero rectangular (como el que se muestra en la figura de la derecha) apoyado sobre dos muros formando un ángulo recto de longitudes y metros, respectivamente

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 011 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 009 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,

Más detalles

PROPIEDADES GLOBALES DE LAS FUNCIONES. =, para x 0.

PROPIEDADES GLOBALES DE LAS FUNCIONES. =, para x 0. PROPIEDADES GLOBALES DE LAS FUNCIONES Ejercicio. Sea f: R R la función definida por f ( ) Ln( + ), siendo Ln la función logaritmo neperiano. (a) [ punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento

Más detalles

TEMA 9. Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Problemas Resueltos

TEMA 9. Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Problemas Resueltos 64 TEMA 9. Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Problemas Resueltos Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos relativos; puntos de infleión. Dada la función

Más detalles

Examen de Análisis Matemático. a) (1 punto) Calcula las derivadas de las siguientes funciones: (1 + 3x) 1 2

Examen de Análisis Matemático. a) (1 punto) Calcula las derivadas de las siguientes funciones: (1 + 3x) 1 2 Curso º Bachillerato 16/05/017 Ejercicio 1 a) (1 punto) Calcula las derivadas de las siguientes funciones: f() = 1+3 ; g() = ln(1 5) + e7 b) (1 punto) Estudia la derivabilidad de la función dada por: a)

Más detalles

PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. BLOQUE ANÁLISIS

PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. BLOQUE ANÁLISIS PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. BLOQUE ANÁLISIS 1. Dada la función continua a) Calcula sus máximos absolutos y mínimos absolutos, razonando que, efectivamente, lo son. b) Calcula el valor de la integral de

Más detalles

Examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II (Marzo 2015) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos. mx+ 2y+ mz = 4 mx y+ 2z = m 3x+ 5z = 6

Examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II (Marzo 2015) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos. mx+ 2y+ mz = 4 mx y+ 2z = m 3x+ 5z = 6 Examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II (Marzo 2015) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos Problema 1 (3 puntos)dado el sistema mx+ 2y+ mz = 4 mx y+ 2z = m 3x+ 5z = 6 1. (2 puntos). Discutir

Más detalles

Tema 8: Aplicaciones de la derivada

Tema 8: Aplicaciones de la derivada 1. Introducción Tema 8: Aplicaciones de la derivada En la unidad anterior hemos establecido el concepto de derivada de una función f(x) en un punto x 0 de su dominio y la hemos interpretado geométricamente

Más detalles

FUNCIONES. Calcule las derivadas de las siguientes funciones (no es necesario simplificar el resultado):

FUNCIONES. Calcule las derivadas de las siguientes funciones (no es necesario simplificar el resultado): FUNCIONES EJERCICIO Calcule las funciones derivadas de las guientes: L a punto f L indica logaritmo neperiano de b punto g cos c punto h EJERCICIO e Calcule las derivadas de las guientes funciones no es

Más detalles

Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com FUNCIONES

Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com FUNCIONES FUNCIONES 1- a) Dibuje el recinto plano limitado por la parábola y=4x-x 2 y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje de las abscisas. b) Halle el área del recinto dibujado en a).

Más detalles

1. Halla la derivada de la función f(x)= en el punto x=3, aplicando la definición de derivada. Solc:

1. Halla la derivada de la función f(x)= en el punto x=3, aplicando la definición de derivada. Solc: ANÁLISIS 1. Halla la derivada de la función f(x)= en el punto x=3, aplicando la definición de derivada. Solc: 2. Comprueba que la siguiente función es continua y derivable y halla f (0),f (3) y f (1).

Más detalles

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS TEMA 5 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Ejercicios para Selectividad de Detalladamente resueltos Curso 2000 / 2001 José Álvarez Fajardo bajo una licencia Reconocimiento NoComercial CompartirIgual 2.5 Spain

Más detalles

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 5 Septiembre Reserva_ tan(x) - sen(x) [2 5 puntos] Calcula lim

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 5 Septiembre Reserva_ tan(x) - sen(x) [2 5 puntos] Calcula lim IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 014 Reserva 1 (Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 5 Septiembre Reserva_1 014 tan(x) - sen(x) [ 5 puntos] Calcula lim

Más detalles

RESUMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II

RESUMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II RESUMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II 1. DOMINIO DE DEFINICIÓN Y CONTINUIDAD 1.1. FUNCIONES ELEMENTALES (No tienen puntos angulosos) Tipo de función f (x) Dom (f) Continuidad Polinómicas P(x) R Racional P(x)/Q(x)

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REFLEXIONA Y RESUELVE Descripción de una gráfica Traza unos ejes coordenados sobre papel cuadriculado y representa una curva, lo más sencilla posible, que cumpla las siguientes

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 009 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,

Más detalles

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD / COMUNIDAD DE MADRID MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II BLOQUE: ANÁLISIS

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD / COMUNIDAD DE MADRID MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II BLOQUE: ANÁLISIS EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD / COMUNIDAD DE MADRID MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II BLOQUE: ANÁLISIS. Septiembre( 00 / OPCIÓN B / EJERCICIO ) (puntuación máima puntos) Se considera

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO Opción A Ejercicio 1.- Sea la función f : (0, + ) R definida por f(x) = 1 +ln(x) donde ln denota la función x logaritmo neperiano. (a) [1 75 puntos] Halla los [ extremos ] absolutos de f (abscisas donde

Más detalles

Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas

Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas 6 º) Interpreta geométricamente el área que define la integral (x + 6)dx 6 Geométricamente, la integral (x + 6) dx representa el área de la región

Más detalles

Ejemplo: Por ejemplo, para la función f cuya gráfica es Y

Ejemplo: Por ejemplo, para la función f cuya gráfica es Y º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS TEMAS 0,,.- FUNCIONES-(ª PARTE).- CONCEPTO DE FUNCIÓN. CARACTERÍSTICAS Definición de función Una función real de variable real es una forma de hacerle corresponder

Más detalles

1. Completar la siguiente tabla escribiendo o bien el símbolo o la expresión matemática o su significado según proceda.

1. Completar la siguiente tabla escribiendo o bien el símbolo o la expresión matemática o su significado según proceda. 1. Completar la siguiente tabla escribiendo o bien el símbolo o la expresión matemática o su significado según proceda. Símbolo o expresión = A B x A A B Significado para todo A y B son conjuntos disjuntos

Más detalles

EVALUACION: 1ª CURSO: 2º B.C.T. FECHA: 13/11/14 EXAMEN: 1º. ( Resuélvelo por el método de Gauss )

EVALUACION: 1ª CURSO: 2º B.C.T. FECHA: 13/11/14 EXAMEN: 1º. ( Resuélvelo por el método de Gauss ) EVALUACION: 1ª CURSO: 2º B.C.T. FECHA: 13/11/14 EXAMEN: 1º 1) a) Un especulador adquiere tres objetos de arte por un precio de 20 monedas de oro. Vendiéndolas espera obtener unas ganancias del 20 %, del

Más detalles

Unidad 14. Integral definida

Unidad 14. Integral definida Unidad 4. Integral definida. Integral definida Piensa y calcula Halla, contando, el área de la figura que tiene un signo + dentro. Cada cuadradito es una unidad cuadrada. Tiene exactamente 7,5 u y = x

Más detalles

PONENCIA DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II. RELACIÓN DE EJERCICIOS Curso

PONENCIA DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II. RELACIÓN DE EJERCICIOS Curso PONENCIA DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II RELACIÓN DE S Curso 2018-2019 El documento de Directrices y Orientaciones para las Pruebas de Acceso y Admisión a la Universidad presenta diferentes

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1.- Sea f la función definida por f(x) = ex x 1 a) [1 punto] Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de f. para x 1. b) [1 5 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m, halla las dimensiones del marco

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2000 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2000 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 000 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio 1, Opción B Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES

INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES COLEGIO SAN ALBERTO MAGNO MATEMÁTICAS II INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES. 008 MODELO OPCIÓN A. Ejercicio. [ 5 puntos] Dadas las funciones f : [0,+ ) R y g : [0, + ) R definidas por y calcula el área del

Más detalles

2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN

2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN 2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN 1.) Resuelve las siguientes derivadas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) f(x) = arcsen 2.) Resuelve la siguiente derivada, simplificando

Más detalles

1. [ANDA] [SEP-B] En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina. La superficie afectada, en km 2, viene dada por

1. [ANDA] [SEP-B] En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina. La superficie afectada, en km 2, viene dada por Selectividad CCSS 202. [ANDA] [SEP-B] En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina. La superficie afectada, en km 2, viene dada por la función f(t) = t+20, siendo t el tiempo transcurrido

Más detalles

Modelo 3. Ejercicio 1 de la Opción A de Sobrantes de 2010

Modelo 3. Ejercicio 1 de la Opción A de Sobrantes de 2010 Modelo 3. Ejercicio 1 de la Opción A de Sobrantes de 2010 [2 5 puntos] Sea la función f : R R dada por f(x) = Calcula las constantes a, b y c sabiendo que f es derivable y que la recta tangente a la gráfica

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1.- Sea f : R R definida por f(x) = x 3 +ax 2 +bx+c. a) [1 75 puntos] Halla a,b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = 1 2 y que la recta tangente en

Más detalles

Inecuaciones y sistemas de inecuaciones

Inecuaciones y sistemas de inecuaciones 6 Inecuaciones y sistemas de inecuaciones 1. Inecuaciones de 1 er grado Escribe todos los números enteros que verifiquen a la vez: 5 < x Ì 6 P I E N S A C A L C U L A 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 1

Más detalles

Departamento de matemáticas

Departamento de matemáticas Problema 1: Departamento de matemáticas La terna (0, 0, 0) es siempre solución del sistema Independientemente del valor del parámetro a a) Indica para qué valores del parámetro la citada terna es la única

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Funciones 008 EJERCICIO 1A f definida mediante 1 f ( ) 1 a) (05 puntos) Determine los puntos de corte con los ejes b) (1 punto) Estudie su curvatura c) (1 punto) Determine sus asíntotas d) (05 puntos)

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2002 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2002 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 00 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio 1, Opción A Junio, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Funciones 008 EJERCICIO 1A f definida mediante 1 f ( ) 1 a) (05 puntos) Determine los puntos de corte con los ejes b) (1 punto) Estudie su curvatura c) (1 punto) Determine sus asíntotas d) (05 puntos)

Más detalles

EVALUACION: 1ª CURSO: 2º B.C.T. FECHA: 10/11/11 EXAMEN: 1º. b) Comprueba aplicando las propiedades de los determinantes, la siguiente identidad:

EVALUACION: 1ª CURSO: 2º B.C.T. FECHA: 10/11/11 EXAMEN: 1º. b) Comprueba aplicando las propiedades de los determinantes, la siguiente identidad: EVALUACION: 1ª CURSO: 2º B.C.T. FECHA: 10/11/11 EXAMEN: 1º 1) Un tren transporta 520 viajeros y la recaudación del importe de sus billetes asciende a 3150. Calcula cuántos viajeros han pagado el importe

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2005 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2005 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 005 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A xcos(x)+b sen(x) Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Sabiendo que lím x 0 x 3 es finito, calcula b y el valor del límite. Ejercicio 2.- Sean f : R R y g : R R las funciones definidas mediante f(x) = x(x

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 009 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva,

Más detalles

Montesion. Examen final 2ª evaluación Tel.:

Montesion. Examen final 2ª evaluación Tel.: Montesion. Eamen final ª evaluación Tel.: 665.516.510 1º Los gastos de mantenimiento de la maquinaria de una determinada empresa, G () (en miles de euros), vienen dados en función del tiempo, en meses,

Más detalles

SOCIALES II JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN A

SOCIALES II JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN A si < 0 Sea la unción ( ) = si 0 a) Analice la continuidad y derivabilidad de la unción en su dominio. b) Determine la asíntota horizontal, si la tiene. c) Determine la asíntota vertical, si la tiene. SOCIALES

Más detalles