Tema 9 Cálculo integral de funciones reales de variable real

Transcripción

1 Tem 9 Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel Ojetivos: 1. Clculr funciones primitivs con wxmxim. 2. Prcticr con el concepto de función integrle y l integrl de un función. 3. Trjr con funciones definids medinte integrles 4. Clculr integrles de form proximd. 5. Estudir lguns plicciones de l integrl. 6. Estudir l generlizción de l integrl (integrles impropis). Contenidos: Antiderivds o primitivs de un función. Integrl indefinid Integrl de un función en un intervlo. Cálculo de integrles L función integrl. Aplicciones Cálculo proximdo de integrles. Integrción numéric Integrles impropis. Referencis AEM11 ALANINOS PRATS, J; EXTREMERA LIZANA, J; MUÑOZ RIVAS, P. (2011) Cálculo con wxmxim. APJ11 ALANINOS PRATS, J; APARICIO DEL PRADO, C; EXTREMERA LIZANA, J; MUÑOZ RIVAS, P.; VILLENA MUÑOZ, A.R. (2011) Práctics de ordendor con wxmxim. AP86 APOSTOL, T.M. (1986) Análisis Mtemático

2 BR09 BRUZÓN GALLEGO, M. DE LOS SANTOS; RAMÍREZ LABRADOR, JOSÉ (2009) Modelos mtemáticos con Mxim BU07 DE BURGOS, JUAN (2007) Cálculo Infinitesiml de un vrile (segund edición). ES08 ESTELA CARBONELL, M. ROSA; SAÀ SEOANE, JOEL (2008) Cálculo con soporte interctivo en moodle. ES02 ESTEP, DONALD (2002) Prcticl Anlysis in one vrile GV07 GONZÁLEZ VEGA, LAUREANO (2007) Lortorio de Mtemátics. Vol. 1: números y ecuciones GV07 GONZÁLEZ VEGA, LAUREANO (2007) Lortorio de Mtemátics. Vol. 2: límites y derivds JB01 JARAUTA BRAGULAT, EUSEBI (2001) Anàlisi Mtemàtic d un vrile. Fonments i pliccions. RR05 REDONDO NEBLE, M. VICTORIA; RODRÍGUEZ GALVÁN, J. RAFAEL (2005) Introducción Mxim RR08 RODRÍGUEZ RIOTORTO, MARIO (2008) Curso intensivo i-math de softwre lire orientdo Ciencis e Ingenierí RU80 RUDIN, WALTER (1980) Principios de Análisis Mtemático. SP95 SPIVAK, MICHAEL (1995) Clculus (Càlcul Infinitesiml). VR09 VALLEJO RODRÍGUEZ, JOSÉ ANTONIO (2009) Cálculo diferencil con Mxim 2 Tem 9: Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel

3 Antiderivds o primitivs de un función. Integrl indefinid. Los contenidos de este prtdo se desrrolln en el rchivo Tem_09-1.wxm. Definición. Si f :[, ] Ì es un función cotd en un intervlo [,, ] se llm ntiderivd o primitiv de culquier función F continu en [,, ] derivle 3 en ], [ y tl que DF( x) f ( x) pr todo x ], [. Así por ejemplo, F1( x) x 2 i 3 2 F2( x) x 6 son ntiderivds de l función f ( x) 3x en culquier intervlo Ì,. [ ] Si F es un ntiderivd de f, es inmedito rzonr que el conjunto de tods ls ntiderivds de f se llm integrl indefinid de f y se define medinte: { } - D 1 ( f( x)) = F( x) + C, DF( x) = f( x), C= constnt Tmién es hitul designr l integrl indefinid de un función con l notción clásic f ( xdx ), notción que se justificrá más delnte. L metodologí clásic pr l otención de l integrl indefinid de un función se fundment en dos resultdos importntes: l fórmul de integrción por prtes y el teorem del cmio de vrile, que enuncimos continución. Cálculos de primitivs por prtes. Si se trt de clculr l integrl indefinid de un función f(x), se puede escriir est función como el producto f ( x) = u( x) Dv( x) y entonces se puede clculr l integrl indefinid de f medinte l expresión: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D f x D uxdvx uxvxd Duxvx C L notción clásic de este método es: ò ò ò f ( xdx ) = uxdvxdx ( ) ( ) = uxvx ( ) ( )- Duxvxdx ( ) ( ) + C Cálculos de primitivs por cmio de vrile. Pr clculr l integrl indefinid de un función continu f :[, ] Ì se consider un función :[ cd, ] [, ] iyectiv y derivle en el intervlo ], cd [ tl que D () t 0 pr todo t ], c d[. Est función se llm función de cmio de vrile. Por lo tnto, si x () t esto equivle t 1 1 ( x) y demás l función invers es derivle en ],, [ verificándose que Tem 9: Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel 3

4 D ( x) D () t 1 1 Si se consider hor un ntiderivd G de l función g() t = f ( j()) t Dj() t se cumple que: D G ( x) DG ( x) D ( x) f ( t) D( t) f( x) D () t Así pues, el cálculo de un ntiderivd de f se puede llevr co clculndo un ntiderivd de l función g() t y entonces se cumple: D 1 f( x) D 1 g( t) 1 ( x) C expresión que se conoce como ntiderivción o primitivción por cmio de vrile o por sustitución. L notción clásic de este método es: 1 ( ) j - ò ò f ( xdx ) = f( gt ( )) Dgtdt ( ) ( x) + C Vmos ver cómo se desrroll el cálculo de ntiderivds o primitivs con wxmxim. En primer lugr hy que definir l función integrr y después l instrucción que hy que plicr es integrte especificndo l función y l vrile. Así, por ejemplo: El resultdo es l primitiv que podrímos llmr cnónic, y que l constnte de integrción es nul. Si se quiere un notción en l que se ve este proceso de form más clr, entonces: Tmién se puede clculr l integrl indefinid de funciones en l expresión de ls cules hy prámetros. Por ejemplo: 4 Tem 9: Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel

5 Vemos otro ejemplo: En ocsiones el progrm no d l respuest que se podrí esperr; sí, por ejemplo: Hy pues que evlur de lgun mner l integrl indefinid que prece en el segundo miemro. Vemos su cálculo; en primer lugr definimos l función integrr: Ahor clculmos un expresión de est función plicndo un simplificción lgeric de est función rcionl: Tem 9: Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel 5

6 Y hor y podemos expresrl como función y clculr su integrl indefinid: Finlmente y podemos expresr l integrl indefinid que se querí clculr: Verificmos l corrección de los cálculos, viendo que en efecto, l derivd de l función primitiv es l función inicil: Vemos lgunos ejemplos más: 6 Tem 9: Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel

7 En lgunos csos el cálculo de l integrl indefinid no se puede llevr co, y que pese que exist no se puede expresr en términos de funciones elementles. Vemos un ejemplo clásico l respecto: Tem 9: Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel 7

8 Integrl de un función en un intervlo. Cálculo de integrles. Los contenidos de este prtdo se desrrolln en el rchivo Tem_09-2.wxm. Si f : I [, ] = Ì es un función positiv y continu y, por lo tnto, cotd en el intervlo cerrdo [,, ] l integrl definid, o sencillmente l integrl, de l función en el intervlo se clcul medinte el Teorem fundmentl del Cálculo o regl de Brrow, el cul estlece que: [, ] ò ò [ ] f ( xdx ) º f( xdx ) = F ( )- F ( ) = Fx ( ) donde F es un ntiderivd o primitiv de f en [., ] Si f : I [, ] = Ì es un función positiv y continu trozos en el intervlo cerrdo [,, ] con discontinuiddes evitles o de slto en este intervlo, es decir, si Ik [ xk, xk 1], k 1,2,..., p, I1 Ip I, y los límites lterles de l función en los puntos fronter de estos intervlos son finitos, si indicmos por 1 f ( x) f ( x), x I, k 1,2,..., p D f ( x) F ( x), x I, entonces:, i si k k k k k [ xk, xk1 ] f ( xdx ) fk ( xdx ) [, ] k 1 [ xk, xk1 ] k k k1 k k p f ( xdx ) F( x ) F( x), k1, 2,..., p L sintxis pr el cálculo de l integrl de un función en un intervlo cerrdo con wxmxim es muy sencill y consiste en definir l función y plicr l instrucción integrte indicndo l función, l vrile y los límites inferior y superior del intervlo de integrción: 8 Tem 9: Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel

9 Sin emrgo, no siempre se otiene el resultdo que se esper: Es decir, el progrm no siempre clcul l integrl de culquier función y, por lo tnto, hy que desrrollr otrs metodologís que permitn este cálculo. L mejor es l que se denomin integrción numéric o cálculo proximdo de integrles, que se verá más delnte. Aquí podemos otener un primer proximción plicndo el Teorem del vlor medio integrl, el cul estlece que ò f ( xdx ) = m( - ), m= min f( x) m M= mx f( x) [, ] [, ] Se define el vlor medio integrl medinte: m = 1 ( - ) ò f ( xdx ) En el cso nterior nos yudmos de un representción gráfic: Tem 9: Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel 9

10 Se oserv que l función es decreciente y por lo tnto, su máximo se lcnz en el extremo inferior del intervlo y el mínimo en el extremo superior del intervlo: Tomndo como vlor intermedio l medi ritmétic del máximo y del mínimo, result: L representción gráfic es: En el cso de un función periódic sinusoidl, se llm vlor eficz de l función l ríz cudrd del vlor medio integrl del cudrdo de l función, es decir: V 1 ( ( )) 2 ef = f x dx ( -) ò 10 Tem 9: Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel

11 Ilustrémoslo gráficmente con un ejemplo: Tem 9: Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel 11

12 L función integrl. Aplicciones. Los contenidos de este prtdo se desrrolln en el rchivo Tem_09-3.wxm. Si f : I [, ] = Ì es un función integrle en un intervlo cerrdo y cotdo, se define l función integrl o función áre medinte: x ìï f () tdt, si < x F( x) = ï íò ïï ïî 0, si x= Est función tiene dos propieddes muy importntes:., Es continu en el intervlo [ ] Si l función f es continu en el intervlo [, ], entonces l función integrl F es derivle en ], [ verificándose que DF( x) f ( x), x,. Con wxmxim se puede definir l función integrl como se expone continución. En primer lugr definir l función, utilizndo un vrile diferente y continución clculr l integrl definid poniendo como límite inferior el extremo inferior del intervlo y como extremo superior l vrile que se signrá l función integrl. Vemos l sintxis: Ejemplo Considermos l función f : I =- [ 3,3] Ì definid por: f t t t t 2 () = , Î[ - 3,3] En primer lugr lo expresmos medinte un integrl: Ahor definimos l función integrl: 12 Tem 9: Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel

13 Un representción gráfic conjunt con ls dos funciones puede yudr l interpretción; osérvese que pr hcer l representción gráfic hy que redefinir l función f usndo l mism vrile que pr l función integrl. Así: Ddo que l función f es continu, l función integrl F es derivle y se h de cumplir l propiedd enuncid nteriormente. En efecto, clculmos est derivd: Osérvese que el vlor de l función integrl en el extremo superior del intervlo h de coincidir con l integrl de l función en el intervlo. En efecto: Tem 9: Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel 13

14 Ejemplo Considermos l función f : I = [ 0,4] Ì definid por: ì 6, si 0 x < 2 f( x) = ï í ï ïî 3, si 2 x 4 Est función no es continu y oservremos que l función integrl es continu pero no derivle en el intervlo de definición. En efecto: Aplicciones de l función integrl. L definición de l función integrl permite clculr derivds de funciones definids medinte integrles, es decir, funciones de l form: 14 Tem 9: Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel

15 u( x) Gx ( ) ftdt ( ) ; u( x) H ( x ) f ( t ) dt v( x) En efecto, plicndo l regl de l cden es inmedito estlecer que l derivd de ests funciones es: u( x) ( ) ( ) ( ) ( ) u( x) v( x) DG x D ftdt f ux Dux DH ( x ) D f ( t ) dt f u ( x ) Du ( x ) f v ( x ) Dv ( x ) Vemos como se hcen los cálculos con wxmxim. Ejemplo Se trt de clculr l derivd de l función definid por: Entonces: Gx ( ) x e 2 log(1 t) dt 2 2t Ejemplo Se trt de clculr l derivd de l función definid por: Entonces: 2 3x 2x1 t H ( x) 1e dt x1 Tem 9: Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel 15

16 16 Tem 9: Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel

17 Cálculo proximdo de integrles. Integrción numéric. Los contenidos de este prtdo se desrrolln en el rchivo Tem_09-4.wxm. Si f :[, ] Ì es integrle en este intervlo, el Teorem fundmentl del Cálculo permite clculr l integrl de l función en [ Ì, ]. Sin emrgo, hy funciones pr ls que el cálculo de su integrl indefinid es muy difícil o incluso no es expresle medinte funciones elementles, como es por ejemplo el cso de l función 2 exp( x ) Ì, y, por lo tnto, dmite un que es continu en culquier intervlo [ ] primitiv. Pr poder resolver el cálculo de l integrl en estos csos, se pueden plicr métodos proximdos, como los que se estudin en este prtdo. Si f :[, ] Ì es un función integrle en [, ] intervlo un conjunto de puntos P x0, x1,..., xn del intervlo, - h xk 1 xk, k 0,1,..., n 1. Nturlmente se cumple h =. n Ì, se denomin prtición del tl que El método de los trpecios. En cd uno de los intervlos Ik [ xk, xk 1], k 0,1,..., n 1 socidos l prtición se consider l función g k definid por l rect que ps por los puntos ( x, f( x )) y ( xk 1, f( xk 1)) ; Hecho esto, l integrl de l función dd en el intervlo I k se puede proximr por l integrl de est función linel en I k. Finlmente, l integrl de l función en [ Ì, ] se puede proximr por l sum de ls integrles de g k en I k : k k n1 x n1 k1 f( ) f( ) f ( xdx ) gk ( xdx ) h f( kh) x k k0 2 k1 expresión que se conoce como fórmul de los trpecios. Ejemplo Se quiere clculr proximdmente por l fórmul de los trpecios l cos( x) integrl de l función f( x) = 1+ en el intervlo [0,2] x Hremos los cálculos finndo sucesivmente l prtición del intervlo viendo en primer lugr que el progrm no nos d ningún resultdo si pedimos clculr l integrl: Tem 9: Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel 17

18 Hremos un representción gráfic de l función en el intervlo considerdo: Y hor y podemos comenzr ls iterciones: 18 Tem 9: Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel

19 El método de los rectángulos. En cd uno de los intervlos Ik [ xk, xk 1], k 0,1,..., n 1 socidos l prtición se consider l función constnte g k definid por el vlor de l función en el punto medio de este intervlo, es decir: æx x ö g x f + ç k n çè 2 ø * k k+ 1 k( k) =, = 0,1, 2,.., -1 Hecho esto, l integrl de l función dd en el intervlo I k se puede proximr por l integrl de est función constnte en I k. Finlmente, l integrl de l función en Ì, se puede proximr por l sum de ls integrles de g k en I k : [ ] n1 k1 * ( ) k( ) ( k) xk k 0 x f xdx g xdx hf x expresión que se conoce como fórmul de los rectángulos. Ejemplo Se quiere clculr proximdmente por l fórmul de los rectángulos cos( x) l integrl de l función f( x) = 1+ en el intervlo [0,2] x y semos que el progrm no clcul est integrl y tenemos l representción gráfic hech en el Ejemplo nterior. Y podemos comenzr directmente ls iterciones: Tem 9: Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel 19

20 El método de Simpson. Este método se s en l proximción de l función por un polinomio de segundo grdo. Pr poder llevr co est proximción se requiere que el número de intervlos se pr y, por lo tnto, que el número de puntos de l prtición se impr. Por lo tnto, indicremos n 2 p, h y los puntos de l prtición serán 2 p P x0, x1,..., x2p. L expresión que result es: p1 h f( x) dx f( x2k) 4 f( x2k 1) f( x2k2) 3 k 0 expresión que se conoce como fórmul de Simpson. Ejemplo Se quiere clculr proximdmente por l fórmul de los rectángulos cos( x) l integrl de l función f( x) = 1+ en el intervlo [0,2] x Y semos que el progrm no clcul est integrl y tenemos l representción gráfic hech ntes. Y podemos comenzr directmente ls iterciones: 20 Tem 9: Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel

21 Métodos implementdos en wxmxim. El progrm wxmxim tiene implementdo el llmdo método de Romerg, que es un método itertivo sdo en l fórmul de los trpecios (ver referencis). L sintxis es muy sencill: Tem 9: Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel 21

22 Integrles impropis. Los contenidos de este prtdo se desrrolln en el rchivo Tem_09-5.wxm. Ls integrles impropis son un generlizción de l integrl de un función en un intervlo, en los csos siguientes: 1) El intervlo no es cotdo y l función es cotd en este intervlo (integrles impropis de primer especie). 2) El intervlo es cerrdo y l función no es cotd en este intervlo (integrles impropis de segund especie). Pueden drse conjuntmente ls dos situciones nteriores, plicándose entonces un metodologí que contempl los dos csos Integrles impropis de primer especie. Considermos un función f :[, [ + que cumple: - L función es cotd en el su dominio; - L función es integrle en todo intervlo [ x, ] [, [ culquier que se x. En ests condiciones se define l integrl (impropi) de l función en el intervlo [, [ medinte el límite l infinito de su función integrl, es decir: + ò ò f () tdt= lim f() tdt x+ Si el límite existe y es finito se dice que l integrl (impropi) es convergente. En cso contrrio, se dice que es divergente. Se definen de form nálog: + ò - f () tdt= lim f() tdt x x- ò ò ò - f () tdt= lim f() tdt+ lim f() tdt x+ c ò x x x- x c Ejemplo Se consider l función f( x) = exp( - x), > 0 definid en el intervlo [0, [. Se trt de ilustrr el método de estudio de l convergenci de est integrl impropi y, si es convergente, clculrl. En primer lugr definimos l función: 22 Tem 9: Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel

23 Ahor clculmos l función integrl: Ahor clculremos el límite de l función integrl: Ddo que es finito, l integrl impropi es convergente y vle 1/. L sintxis de wxmxim que permite los cálculos directmente es: 1 Ejemplo Se consider l función f ( x) =, ³ 1 definid en el intervlo x 1,. Se trt de ilustrr el método de estudio de l convergenci de est integrl impropi y, si es convergente, clculrl. En primer lugr definimos l función: Dividiremos el estudio en dos csos: > 1 y = 1. Ahor clculmos l función integrl en el primer cso: Tem 9: Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel 23

24 Ahor clculremos el límite de l función integrl: Ddo que es finito, l integrl impropi es convergente y vle 1/-1. L sintxis de wxmxim que permite los cálculos directmente es: Vemos hor el cso = 1: En este cso l integrl impropi es divergente Integrles impropis de segund especie. Considermos un función f :], ] tl que: es integrle en todo intervlo cerrdo, ], ] culquier que se 0 ; se cumple lim f ( x) =+. x + Entonces, se define l integrl impropi de f en el intervlo [, ] medinte: 24 Tem 9: Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel

25 ò ò f () tdt= lim f() tdt d 0 + d Si este límite existe, l integrl impropi se dice que es convergente; en cso contrrio, se dice que es divergente. Se define de form nálog l integrl impropi de l función f en el intervlo [,, ] en los csos: L función es integrle en todo intervlo cerrdo, [, [ culquier que se 0 y lim f L función es integrle en los intervlos x, 0 0 mx x, x y lim f lim f. se 0 0 x0 x0 y x culquier que 0, Ejemplo Se trt de estudir l convergenci de l integrl impropi 2 ò 1 1 x-1 dx En primer lugr definimos l función: Ahor clculremos l función integrl: Y finlmente clculremos el límite lterl por l derech en el extremo inferior del intervlo: Tem 9: Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel 25

26 Por lo tnto, l integrl impropi es convergente. L sintxis pr clculrl con wxmxim es: Oservción. Considermos un función f :], ] tl que f es integrle en todo intervlo cerrdo, ], ] culquier que se 0 y se cumple lim f( x) =+. Si se consider el cmio de vrile definido por: x x = g() t = + ; Dg() t 2 t =- t entonces se cumple: f ( xdx ) f dt f dt t t tt es decir, l integrl impropi de segund especie se h trnsformdo en un integrl impropi de primer especie. 26 Tem 9: Cálculo integrl de funciones reles de vrile rel