Aplicaciones de la integral indefinida

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1 Aplicciones_de_l_integrl.n Aplicciones de l integrl indefinid Práctic de Cálculo, E.U.A.T,Grupos ºA y ºB, 2005 Est práctic muestr cómo clculr lguns áres y volúmenes utilizndo integrles. En cd cso dremos fórmuls pr clculr el áre o el volumen del que se trte; l justificción de ests fórmuls se h visto (o se verá pronto) en l clse de teorí. Pr diujr lguns de ls funciones que precen en l práctic usremos lguns órdenes gráfics nuevs: FilledPlot y PrmetricPlot3D. Ests órdenes no son necesris pr los cálculos que hremos, pero son muy útiles pr mostrr gráficmente superficies o volúmenes. En lguns de ls órdenes siguientes no se muestr el diujo de slid, pero podéis verlo ejecutndo ls órdenes en Mthemtic. Áre de un región pln limitd por dos curvs Áre entre un función y el eje horizontl Como séis, el áre entre l gráfic de un función positiv y el eje horizontl en un ciert región es l integrl indefinid de dich función en es región. Si l función no es siempre positiv, l integrl indefinid cuent el áre "con signo": positiv si qued por encim del eje y negtiv si qued por dejo. Entonces, pr clculr el áre entre l gráfic de un función y el eje horizontl lo que hcemos es clculr l integrl del vlor soluto de dich función. El áre entre l gráfic de un función y el eje horizontl en un intervlo es l integrl del vlor soluto de l función en ese intervlo. Por ejemplo: clculemos el áre jo l siguiente función en el intervlo [,2]: In[]:= f x_ : x^2 2 In[2]:= NIntegrte As f x, x,, 2 Out[2]= In[3]:= Supongmos que queremos clculr el áre entre l siguiente función y el eje horizontl, pero sólo en el trozo en que l función es positiv:

2 Aplicciones_de_l_integrl.n 2 In[3]:= f x_ : x^3 3 x^2 ; Plot f x, x,, 3 ; Primero tenemos que ser en qué intervlo es positiv; pr eso podemos hllr los puntos de corte con NSolve: In[5]:= Out[5]= corte NSolve f x 0, x x , x , x Vemos que nos interes l integrl entre el primer y el segundo corte: In[6]:= Out[6]= x. corte x. corte Out[7]= Podemos somrer el áre que se quiere clculr: In[8]:= Grphics FilledPlot FilledPlot f x, x,, ; Su vlor es: In[0]:= NIntegrte f x, x,, Out[0]= (Aquí no hce flt el vlor soluto porque l función es positiv en este intervlo) Si queremos hllr el áre entre l mism función y el eje horizontl, pero hor entre el primer corte y el segundo, podemos hcer lo mismo cmindo los extremos:

3 Aplicciones_de_l_integrl.n 3 In[]:= c x. corte 3 Out[]= In[2]:= NIntegrte As f x, x,, c NIntegrte::ncv : NIntegrte filed to converge to prescried ccurcy fter 7 recursive isections in x ner x Out[2]= In[3]:= FilledPlot f x, x,, c Out[3]= -3 Grphics Oservd que Integrte se equivoc unque pongmos el vlor soluto, porque no se clculr correctmente primitivs de funciones con picos: In[4]:= Out[4]= MAL, Integrte no se hcer est integrl Integrte As f x, x,, c Áre entre dos funciones Clculr el áre del trozo que qued entre ls gráfics de dos funciones f y g es lo mismo que clculr el áre entre l función f g y el eje horizontl, sí, que podemos clculrl como l integrl indefinid del vlor soluto de f g. Por ejemplo, clculemos el áre del trozo que qued entre ests dos funciones entre sus dos cortes: In[5]:= f x_ : Cos x ; en rojo g x_ : x^2 x ; en zul Plot f x, g x, x, 3, 3, PlotStyle RGBColor, 0, 0, RGBColor 0, 0, ;

4 Aplicciones_de_l_integrl.n 4 Primero clculmos los cortes (est vez necesitmos usr FindRoot): In[8]:= Out[8]= In[9]:= Out[9]= In[20]:= Out[20]= In[2]:= sol FindRoot f x g x, x, 0 x x. sol sol2 FindRoot f x g x, x, x x. sol2 Out[2]= In[22]:= NIntegrte As f x g x, x,, Out[22]= El trozo del que hemos clculdo el áre es éste: In[23]:= FilledPlot f x, g x, x,, ; Longitud de un curv dd como gráfic de un función Podemos clculr l longitud de l curv que result l diujr l gráfic de l función f de [,] en R usndo l siguiente fórmul (que no justificremos quí): longitud de l gráfic f x 2 x Un ejemplo:

5 Aplicciones_de_l_integrl.n 5 In[24]:= f x_ : Tn x elegimos el intervlo.3,.3 Plot f x, x,.3,.3 ; longitud NIntegrte Sqrt f x ^2, x,.3, Out[26]= Áre de un superficie de revolución Girndo en torno OX Dd un función positiv f definid en [,], pensmos en l superficie que se gener si girmos es función un vuelt complet lrededor del eje horizontl. El áre de l superficie que qued viene dd por l fórmul siguiente: áre l girr en torno OX 2 Π f x f x 2 x In[27]:= f x_ : 5.6 x 2 Cos x ; Plot f x, x, 0, 5, PlotRnge 0, 3, AspectRtio Automtic ; PrmetricPlot3D x, f x Cos u, f x Sin u, x, 0, 5, u, Pi 2, 3 Pi 2 ; El áre se otiene usndo l fórmul nterior: In[30]:= re 2 Pi NIntegrte f x Sqrt f x ^2, x, 0, 5 Out[30]= Girndo en torno OY Si hor tenemos un función f definid en [,] con >0 (hor no hce flt que f se positiv), podemos girrl en torno l eje OY y generr sí un superficie. Su áre viene dd por: áre l girr en torno OY 2 Π x f x 2 x Un ejemplo (medi esfer): In[3]:= f x_ : Sqrt x^2 ; Plot f x, x, 0,, PlotRnge 0,, AspectRtio Automtic ; PrmetricPlot3D x Cos u, x Sin u, f x, x, 0,, u, Pi 2, 3 Pi 2 ;

6 Aplicciones_de_l_integrl.n 6 In[34]:= Out[34]= re 2 Pi Integrte x Sqrt f x ^2, x, 0, 2 Π (Oservd que en este cso prticulr hemos podido clculr l integrl exct usndo Integrte). Volumen de un sólido de revolución Girndo en torno OX Dd un función positiv f definid en [,], genermos un sólido de revolución girndo 360º l región que qued jo l gráfic de f entre ls sciss y en torno l eje OX. El volumen de l figur sí construid puede clculrse usndo l siguiente fórmul, llmd fórmul de los discos: volumen l girr en torno OX Π f x 2 x Un ejemplo: In[35]:= f x_ : 5.6 x 2 Cos x ; FilledPlot f x, x, 0, 5, PlotRnge 0, 3, AspectRtio Automtic ; PrmetricPlot3D x, f x Cos u, f x Sin u, 5, f 5 x 5 Cos u, f 5 x 5 Sin u, x, 0, 5, u, 0, 2 Pi ; Su volumen es: In[38]:= volumen Pi NIntegrte f x ^2, x, 0, 5 Out[38]= L fórmul se llm de los discos porque se otiene "sumndo" ls áres de los discos que gener cd líne verticl de l región como vemos en l siguiente ilustrción. (Recordmos quí que un integrl es en esenci un "sum infinit",por ello l "sum" de tods ls áres de cd disco, Π rdio 2 = Π f x 2, d lugr l integrl nterior). Lo siguiente es sólo pr que se ve est ide: In[39]:= PrmetricPlot3D x, 0, f x u 2 Pi, 2, f 2 x 5 Cos u, f 2 x 5 Sin u, 4, f 4 x 5 Cos u, f 4 x 5 Sin u, x, 0, 5, u, 0, 2 Pi, AspectRtio Automtic, ViewPoint 3.6, 3.6,, PlotRnge All ; Girndo en torno OY Dd un función f definid en [,] con >0, genermos un sólido girndo como ntes l región entre l gráfic de f y el eje horizontl, est vez lrededor del eje OY. El volumen del cuerpo que result está ddo por l siguiente fórmul: volumen l girr en torno OY 2 Π x f x x Si f es negtiv en lgún punto hce flt poner el vlor soluto de f en l fórmul nterior en lugr de f pr no contr como negtivo el volumen que qued por dejo del eje horizontl.

7 Aplicciones_de_l_integrl.n 7 In[40]:= El volumen es: f x_ : 4 Sqrt 4 x ^2 ; intervlo 0.5,.5 FilledPlot f x, x, 0.5,.5, PlotRnge 0,, AspectRtio Automtic ; PrmetricPlot3D x Cos u, x Sin u, f x, 0.5 Cos u, 0.5 Sin u, x 0.5 f.5,.5 Cos u,.5 Sin u, x 0.5 f.5, x, 0.5,.5, u, 0, 2 Pi, AspectRtio Automtic, ViewPoint 0.5, 3, 2, PlotRnge All ; In[43]:= volumen 2 Pi NIntegrte x f x, x, 0.5,.5 Out[43]= L fórmul se llm de los tuos porque se otiene "sumndo" ls áres de los tuos que gener cd líne verticl de l región (recordmos quí que un integrl es en esenci un "sum infinit", sí que l "sum" de tods ls áres de cd tuo, 2Π (se) (ltur) = 2Π x f(x), d lugr l integrl). El siguiente diujo muestr esto: In[44]:= PrmetricPlot3D x, 0, f x u 2 Pi, 0.5 Cos u, 0.5 Sin u, x 0.5 f 0.5, 0.9 Cos u, 0.9 Sin u, x 0.5 f 0.9, x, 0.5,.5, u, 0, 2 Pi, AspectRtio Automtic, ViewPoint.069, 2.776, 2.5, PlotRnge All ; Ejercicios Clculr el áre de l región del plno limitd por ls curvs siguientes entre ls sciss x= 2 y x=2: y = x sen(x+2), y=4 cos(x) 2 Clculr l longitud del rco de l curv f(x) = 6 log(x) + 7 x 3 entre los puntos de sciss x= y x=3. 3 Hll el áre de l región del plno entre l curv y = 6 3x x 2 y l rect x+y 3=0. 4 Hll el volumen del sólido que result l girr el áre jo l prte positiv de l gráfic de y = x en torno l eje OX. 5 Hll el áre de l superficie que result l girr l curv del ejercicio nterior en torno l eje OX. 6 Hll el volumen del cuerpo que qued l girr l región jo l gráfic de l función coseno entre 0 y Π/2, primero en torno l eje OX y luego en torno l eje OY. 7 Con l función nterior, clcul el áre de l superficie resultnte l girr en torno los dos ejes. 8 Clcul un fórmul explícit pr el volumen de un esfer. 9 Encuentr un fórmul que dé el volumen de un cono de revolución.