Trabajo de Investigación Cuerpos Geométricos

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1 Saint George s College Área de Matemáticas y sus Aplicaciones Tercera Unidad Trabajo de Investigación Cuerpos Geométricos Integrantes: -Stefan Jercic -Ignacio Larrain -Cristian Majluf Curso: 10 E Profesora: Marta Joignant Fecha de entrega: 29 de octubre de 1999

2 CUERPOS GEOMÉTRICOS 1. Clasifique los cuerpos geométricos. Dos grupos de sólidos geométricos del espacio presentan especial interés: 1.1. Poliedros: Aquellos cuerpos geométricos totalmente limitados por polígonos, como por ejemplo, el prisma, la pirámide; etc Cuerpos redondos: aquellos cuerpos geométricos engendrados por la rotación de una figura plana alrededor de su eje, como la esfera, el cilindro, etc. 2. Clasifique los poliedros. Algunos poliedros reciben nombres especiales en función del número de caras que poseen. Así, se llama tetraedro a todo poliedro de cuatro caras; pentaedro, al poliedro de cinco caras; hexaedro, al poliedro de seis caras; heptaedro al de siete caras; octaedro, al de ocho; eneaedro, al poliedro de nueve caras; decaedro, al de diez caras; endecaedro, al de once, dodecaedro, al poliedro de doce caras; pentadecaedro, al de quince caras, e icosaedro, al poliedro de veinte caras. Los demás poliedros no reciben ningún nombre en particular; así por ejemplo, se habla de un poliedro de 17 caras, de 22 caras, etcétera. Conviene no confundir los poliedros (cuerpos geométricos cerrados) de los ángulos poliedros correspondientes, a pesar del gran parecido en las denominaciones de unos y otros, que únicamente se diferencian en la palabra ángulo que figura antepuesta cuando se trata de un ángulo poliedro y no figura cuando se trata del poliedro correspondiente. En el caso del ángulo triedro resulta indiferente la denominación ángulo triedro o la denominación triedro, ya que por no existir el poliedro de tres lados no es posible que se dé la confusión anterior. Se entiende por desarrollo de poliedro a la figura obtenida cuando se representan todas las caras del poliedro sobre un plano, de manera que cada cara del poliedro aparezca. Unida a sus adyacentes según la misma arista con la que lo estaba el poliedro. Se dice que un poliedro es convexo cuando cualquier recta puede cortar su superficie en dos puntos, lo que equivale a decir que el poliedro no tiene ningún diedro entrante. En el caso contrario, es decir, cuando alguna recta corta la superficie del poliedro en más de dos puntos, se dice que el poliedro es cóncavo. En este caso, como sé comprende fácilmente, el poliedro tiene algún ángulo diedro entrante.

3 Atendiendo a la regularidad de sus elementos se puede establecer otra clasificación de los poliedros en: 1) Poliedros Regulares. Cuando todas sus caras son polígonos regulares entre sí y todos sus ángulos diedros y poliedros son también iguales. Como se verá más tarde, existen únicamente cinco poliedros regulares. 2) Poliedros Irregulares. Cuando no son regulares, por no cumplirse algunas o todas las condiciones precisas para ello. Dentro de los poliedros existen tres grupos importantes: los prismas, los paralelepípedos y las pirámides. 3. Clasifique los cuerpos redondos. Los cuerpos redondos son todos aquellos cuerpos o sólidos geométricos formados por regiones curvas o regiones planas y curvas. Un cuerpo redondo se puede definir también como aquel volumen generado por la revolución de una determinada figura geométrica en torno a un eje imaginaria. De ahí que a esta figura imaginaria del espacio también se le denomina cuerpo de revolución. Los principales cuerpos redondos son: el cilindro, el cono, y la esfera. Los cuerpos redondos son: Cilindros Conos Esferas 4. Arista de un poliedro. Poliedros Son los lados de las caras del poliedro. 5. Vértice de un poliedro. Es la intersección de tres o más de sus aristas.

4 6. Diagonal de un poliedro. Son los segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara. 7. Dibujo de un poliedro con una de sus diagonales. 7. Seis poliedros regulares y sus dibujos correspondientes. (Son sólo 5 poliedros regulares) 9. Defina prisma. PRISMAS Se denomina prismas aquellos poliedros limitados por dos polígonos cualesquiera iguales y de dos lados paralelos llamados bases y por tantos paralelogramos como lados tienen las bases.

5 Dichos paralelogramos reciben el nombre de caras laterales del prisma. La distancia entre las dos bases se llama altura del prisma. Los lados de las bases constituyen las aristas básicas y los lados de las caras laterales, las aristas laterales, iguales y paralelas entre sí. Sección recta de un prisma es el polígono obtenido al cortar dicho prisma por un plano perpendicular a las aristas laterales. Tronco de prima es la porción de prisma comprendida entre una de las bases y una sección recta del prisma no paralela a las bases. Atendiendo al número de caras laterales del prisma, los prismas se clasifican en triangulares (cuando tienes tres caras laterales), cuadrangulares (si tienen cuatro), pentagonales, hexagonales, etc. Atendiendo a la perpendicular entre las bases y las caras laterales del prisma, un prisma puede ser recto, cuando las aristas laterales son perpendiculares a las bases; oblicuo, cuando no se cumplen las condiciones para que sea recto. Atendiendo a la regularidad de sus bases y al carácter de recto u oblicuo del prisma, los prismas se clasifican en: regulares, cuando son rectos y además las bases son polígonos regulares, e irregulares, caso de que no reúnan las condiciones anteriores. 10. Dibuje un prisma recto y uno oblicuo. 11. Definición área lateral de un prisma Se entiende por área lateral de un prisma a la suma de las áreas de las caras laterales del mismo. El área lateral se obtiene, cuando se trata de un prisma recto, multiplicando el perímetro de la base por la altura del prisma. Área lateral del prisma recto = p * a

6 Si se trata de un prisma oblicuo, el área lateral del prisma se obtiene multiplicando el perímetro de la sección recta por la arista lateral del prisma. Área lateral del prisma oblicuo = p r * a 12. Definición área total del prisma El área total de un prisma se obtiene sumando al área lateral y el área de las dos bases Área total del prisma = p * a + 2B p: perímetro de la base o bien perímetro de la sección recta, cuando se trate de un prisma oblicuo; a: altura, o bien arista lateral, cuando el prisma sea oblicuo; B: el área de una de las bases del prisma CUBO 13. Defina y dibuje un cubo. Es un paralelepípedo cuyas seis caras son cuadradas. Se trata además de un poliedro regular, ya que todos los ángulos poliedros son también iguales. Es un poliedro regular de 6 caras. Se le denomina Hexaedro (hexa = 6, edro = caras)

7 14. Dibuje la red de un cubo. 15. Qué es el área lateral de un cubo y cómo se calcula? El área lateral de un cubo es igual a la suma de las áreas de las caras laterales de un cubo. Se obtiene elevando al cuadrado la arista y el producto de eso se multiplica por 4. A = arista área lateral = A² x Qué es el área total de un cubo y cómo se calcula? El área total de un cubo es igual a la suma del área lateral y el área de las regiones básales. Se obtiene elevando al cuadrado la arista y el producto de eso se multiplica por 2. A todo eso se le suma el área lateral antes mencionada. A = arista área total = A² x 2 + área lateral. 17. Qué es el volumen del cubo y cómo se calcula? El volumen de un cubo es la medida del espacio que ocupa. Se obtiene elevando al cubo la arista del cubo. V = A³ A = arista 18. Con lo investigado resuelva: a) Calcule el área total de un cubo de arista 6 cm. 6 x 6 = 36cm² = área de cara. 36 x 6 = 216 cm² = área total del cubo. b) Calcule el área basal de un cubo de arista 17 cm.

8 17 x 17 = 289cm² = área de cara 289 x 2 = 578cm2 = área basal. c) Cuánto mide la arista de un cubo si su área total es 150cm²? 156 : 6 = 25cm² = área de cara 25 = 5cm = arista. d) Calcule el volumen de un cubo de arista 6 cm. 6 x 6x 6 = 216cm² = volumen del cubo. e) Calcule la arista de un cubo si su volumen es 343 cm². ³ 343 = 7cm = arista. 19. Defina y dibuje un paralelepípedo Se denomina paralelepípedos a aquellos prismas cuyas bases son paralelogramos como por ejemplo una caja de cerillas, un dado, etc. Se comprende fácilmente que un paralelepípedo tiene seis caras (2 correspondientes a las bases que son paralelogramos y 2 a las caras laterales). 20. Con lo investigado resuelva. a) Calcule el área total de un prisma recto cuya base es un cuadrado cuya arista basal mide 8 cm y la arista lateral 20 cm. 8 x 8 = 64cm² = área cara basal 64 x 2 = 128cm² = área basal 20 x 8 = 160cm² = área cara lateral 160 x 4 = 640cm²= área lateral = 768 cm² = área total del prisma

9 b) Calcule el área total de un paralelepípedo que tiene 16 cm de largo, 8 cm de ancho y 3 cm de alto. 8 x 3 = 24cm²= área arista basal 24 x 2 = 48cm² = área basal 16 x 3 x 2 = 96cm² = parte de área lateral 16 x 8 x 2 = 256cm² = parte de área lateral = 352cm² = área lateral = 400cm² = área total del paralelepípedo PIRÁMIDE 21. Defina pirámide. Se denomina pirámides a aquellos poliedros limitados por un polígono cualquiera llamado base y por tantos triángulos como lados tiene la base que concurren a un vértice común, llamado cúspide o vértice de la pirámide. Las pirámides se pueden clasificar según la región poligonal que tienen por base y según si esta es regular o no regular. Además, toda pirámide puede ser recta u oblicua, según el pie de su altura coincida o no con el centro de su región basal. 22. Defina cada uno de los elementos de una pirámide. Vértice: Es el punto donde convergen todos los triángulos que componen las caras de la pirámide. Apotema: Es la altura de cada uno de los triángulos que componen las caras de la pirámide. Altura: Es la perpendicular que baja desde la cúspide de la pirámide. 23. Dibuje 4 pirámides que tengan bases distintas y al menos una de ellas sea oblicua.

10 24. Defina área lateral de una pirámide. Se denomina área lateral de una pirámide a la suma de las áreas de las caras laterales de la misma El área lateral de una pirámide regular se obtiene hallando la mitad del producto del perímetro de la base por la apotema de la pirámide. 25. Defina área total de una pirámide El área total de una pirámide es igual a la suma del área lateral y el área basal de una pirámide. 26. N/A 27. Cómo se calcula el volumen de una pirámide? Se calcula multiplicando la arista basal por la altura y el resultado de eso se divide en tres. V (pirámide) = 1/3 Ab x h Ab = arista basal y h = altura. 28. Calcula: a) El área lateral de una pirámide de base cuadrada de arista basal 12 cm y su altura es de 16 cm. (12 x 16) : 2 =192 : 2 = 96cm² = área de cara lateral 96 x 4 = 384cm² = área lateral b) El área total de una pirámide de base cuadrada si su arista basal es de 6 cm y la altura es de 4 cm. 6 x 6 = 36 cm² = área basal (6 x 4) : 2 =24 : 2 = x 4 = 48cm² = área lateral = 84cm² = área total de la pirámide.

11 c) El volumen de la pirámide anterior. (6 : 3) x 4 = 2 x 4 = 8 cm³ CUERPOS REDONDOS 29. Defina cuerpo redondo. Son todos aquellos cuerpos o sólidos geométricos formados por regiones curvas o regiones curvas y planas. También se puede definir como aquel volumen generado por la revolución de una determinada figura geométrica en torno a un eje imaginario (cuerpos de revolución). 30. Cuáles son los principales cuerpos redondos? Los principales son el cilindro, el cono y la esfera. 31. Defina cada uno de ellos y dibújelos. Cilindro: Un cilindro circular recto es aquel cuerpo o sólido geométrico generado por la revolución de una región rectangular en torno a uno de sus lados o también en torno a uno de sus ejes de simetría. Cono: Un cono circular recto es aquel cuerpo o sólido geométrico generado por la revolución de una región triangular en torno a uno de sus catetos o en torno a su eje de simetría. Esfera: es aquel cuerpo o sólido geométrico generado por la revolución de un semicírculo en torno a su diámetro.

12 32. Dibuja la red del cilindro recto y del cono recto. Cilindro 33. Cómo se calcula el área total de un cilindro? Si abrimos un cilindro recto a lo largo de una generatriz, y lo extendemos en un plano, obtenemos dos círculos y una región rectangular. De esta manera se obtiene la red del cilindro recto. CD: radio AD: generatriz BC: altura BC: eje A partir de ella podemos ver que el área lateral de cilindro esta determinada por el área de la región rectangular, cuyo largo corresponde a su perímetro basal, es decir a 2πr, y cuyo ancho es la medida de la altura del cilindro, o sea h. Ál (cilindro) = 2πr h

13 Si a la expresión anterior le sumamos el área de las dos regiones circulares básales, obtenemos el área total del cilindro. Át = Ál + πr² + πr² Entonces, Át = 2πrh + 2πr² Por lo tanto: Át (cilindro) = 2πr ( h + r ) (Sé factoriza) -Ejemplo: Un cilindro recto tiene un radio basal de 4cm y su altura mide el doble del diámetro de esa base. Calculemos el área total del cilindro. Se sabe que: r = 4cm y h = 2 (diámetro) = 2 8cm = 16cm Át (cilindro) = 2π 4cm(16cm + 4cm) = 8πcm(20cm) = 160πcm² 34. Cómo se calcula el volumen de un cilindro? Como hemos visto, podemos considerar un cilindro como un prisma que tiene por base una región poligonal de lados infinitamente pequeños. Por lo tanto, también para un cilindro circular, su volumen es igual al producto del área del circulo basal por su altura. Es decir: V (cilindro) = Áb h V (cilindro) = πr² h -Ejemplo: El volumen de un cilindro circular cuyo radio basal es de 6cm y cuya altura mide 8cm, es: V (cilindro) = π(6cm)² 8cm 288πcm³ 904,78cm³ 35. Calcule: a) el área total de un cilindro si su radio basal mide 10cm y su altura mide 20cm. Se sabe que: r = 10cm y h = 20cm

14 2π 10cm(20cm+10cm) = 20πcm(30cm) = 600πcm² Át (cilindro) = 600πcm² b) el volumen del cilindro anterior. Se sabe que: r = 10cm y h = 20cm π (10cm)² 20cm 2000πcm³ 6283cm³ V (cilindro) = 6283cm³ c) si el volumen de un cilindro recto es 144πcm³. Si el diámetro de su región basal mide 12cm, cuál es su área total? Se sabe que: r = 12cm y h = incógnita π (12cm)² h = 144πcm³ 144πcm² h = 144πcm³ h = 144πcm³ 144πcm² h = 1cm 2π 12cm(1cm+12cm) = 24πcm(13cm) = 312πcm² Át (cilindro) = 312πcm² Cono 36. Qué es la generatriz de un cono? Es una línea lateral imaginaria que es por donde se abre el cono para quedar como el manto. 37. Qué es el manto de un cono? Es la figura abierta que representa el área lateral del cono.

15 38. Cómo se calcula el área lateral de un cono? Se puede deducir la siguiente porción: Área sector circular = Longitud arco sector circular Área círculo Longitud de la circunferencia Es decir: Ál = 2πr Ál = πrg² (g: generatriz) πg² 2πg g Ál (cilindro) = πrg Existe otra relación para calcular el área lateral del cono en función de su altura. Esto es: El área lateral de un cono es igual al producto de su altura por el perímetro del circulo cuyo radio es la medida del segmento perpendicular a la generatriz en su punto medio. Ál = 2π ED h 39. Cómo se calcula el área total de un cono? Luego si al área lateral del cono le sumamos el área basal, obtenemos el área total: Át (cono) = πrg + πr² Át (cono) = πr (g + r) 40. Cómo se calcula el volumen de un cono? Si consideramos al cono como una pirámide regular cuya base es una región poligonal de lados infinitamente pequeños, entonces se tiene que el volumen de un cono es igual al volumen de una pirámide regular, donde el área basal (Áb) se confunde con el área de una región circular (πr²). Sabemos que: V (pirámide) = 2 Áb h Por lo tanto:

16 V (cono) = V (pirámide) = 2 πr² h V (cono) = 2 πr² h 41. Calcula: a)el área lateral de un cono recto cuya generatriz mide 9cm y cuya altura mide lo mismo que el diámetro basal. Se sabe que: g = 9cm y 2r = h x² + (2x)² = 81cm x² + 4x² = 81cm 5x² = 81cm x² = 81cm 5 x² = 16,2 cm x = 4,02 cm Ál (cono) = 3,1416 4,02cm 8,04cm Ál (cono) = 101,5 cm² b) Cuál es el área lateral de un cono recto cuya región basal tiene 25πcm² y su altura es de 12cm? Se sabe que: h = 12cm y que Áb = 25πcm² Áb (cono) = πr² πr² = 25πcm² r² = 25cm² r = 25cm² r = 5cm (5cm)² + (12cm)² = x² 25cm² + 144cm² = x² 169cm² = x² 169cm² = x 13cm = x g = 13cm Ál (cono) = πrg πrg = 3,1416 5cm 13cm πrg = 204,20cm² Ál (cono) = 204,20cm² c) Las papas fritas tienen el mismo precio si se entregan en un envase cónico o en uno rectangular. El cono tiene un radio de 6cm y una altura de 15cm, y las medidas del envase rectangular son 8cm de ancho, 6cm de alto y 9cm de largo. Cuál de los dos envases trae mas papas fritas? (Cono) Se sabe que: r = 6cm y que h = 15cm

17 V (cono) = π r² h 3 π r² h = 3,1416 (6cm)² 15cm 3 3 π r² h = 1696,4cm³ 3 3 π r² h = 565,4cm³ V (cono) = 565,4cm³ (Rectángulo) Se sabe que: a = 8cm, b = 9cm y c = 6cm V (rectángulo) = a b c a b c = 8cm 9cm 6cm a b c = 432cm³ V (rectángulo) = 432cm³ Respuesta: El envase que trae más papas fritas es el cónico. ESFERA 42. Cómo se calcula el área de una esfera? El área de la superficie esférica se obtiene multiplicando por 4 el área de un círculo máximo de la esfera. Superficie esférica = 4πR Cómo se calcula el volumen de una esfera? El volumen de la esfera se obtiene hallando los cuatro tercios del producto del número π por el cubo del radio de la esfera. Volumen de la esfera = 4/3 π * R Calcula: a) El área de una esfera de radio 6 cm. 4 * π * 6 2 = 452, cm 3

18 b) El área de una esfera que se encuentra inscrita en un cubo de arista de 60 cm. 4 * π * (60/2) 2 = ,73355 cm 3 c) La superficie total y volumen de la Tierra si el radio es aproximadamente de km. 4 * π * = ,8 cm Haga un esquema con la clasificación de los cuerpos en general. Poliedros regulares Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro Poliedros no regulares Prismas Pirámides Otros en General Cuerpos redondos Cilindros Conos Esferas

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