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1 VARIABLE ALEATORIA

2 Definición: Se llama variable aleatoria a toda función X que asigna a c/u de los elementos del espacio muestral S, un número Real X(s). X : S S s s X () s X(s) Rx Rx es el recorrido o Imagen de la variable. Son los posibles valores de X Si X(s)= S Rx =S

3 Ejemplo Se lanzan tres monedas y se considera el espacio muestral asociado: s= CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS Se define la variable aleatoria X: número de caras que se obtienen en los tres lanzamientos Determina Rx, que es el conjunto de valores que toma la variable. A y B son sucesos equivalentes si sólo si ocurren simultáneamente Son A = { ccs, csc, scc } y B = { 2} equivalentes?

4 Cálculo de la probabilidad de cada valor que toma la variable P(X=0) =P(SSS) = P(x=1) = P(CSS) + P(SCS) + P(SSC)= P(x=2) = P(CCS) + P(CSC) + P(SCC)= P(x=3) = P(CCC)= P(X<3) = P(0<X 2)=

5 Clasificación La variable aleatoria puede ser discreta o continua. Variable discreta: Se dice que una variable aleatoria X es discreta, si a cada valor posible xi que toma la variable se le puede asociar un número real p(xi )= P (X=xi) llamado probabilidad de xi, que satisface las siguientes condiciones: a) p (x ) 0 i b) p(x ) 1 i1 i i La función p definida se llama función de probabilidad de X o función de peso. El conjunto de pares (xi, p(xi)) es la distribución de probabilidades de X.

6 Interpretación Geométrica P(x3) P(x1) P(x2) X1 X2 X3 xi

7 Función de probabilidad de la variable aleatoria X Suma de los puntos obtenidos al arrojar dos dados P 5/36 6/36 5/36 4/36 4/36 3/36 3/36 2/36 2/36 1/36 1/ X Observa que cumple las dos condiciones: es siempre positiva y la suma de sus probabilidades da 1.

8 Ejemplos de variable aleatoria Experimento Llamar a cinco clientes por teléfono Inspeccionar un embarque de 40 chips Funcionamiento de un restaurante durante un día discreta Variable aleatoria Cantidad de clientes que atendieron Cantidad de chips defectuosos Cantidad de clientes Valores posibles V.A 0, 1,2,3,4,5 0,1,2,.,40 0,1,2,3. Vender un automóvil Sexo Cliente 0 si es hombre y 1 si es mujer

9 Ejemplo Un lote de 8 calculadoras contiene 3 defectuosas. Se selecciona una calculadora al azar y se la prueba, repitiéndose la operación hasta que aparezca una calculadora no defectuosa. Hallar la distribución de probabilidades de X definida como el número de extracciones que se hacen xi P(xi) 1 P(x1)= 2 P(x2)= 3 P(x3)= 4 P(x4)=

10 Ejemplo 2 Supongamos que la variable aleatoria X toma valores posibles j =1,2,3, y además: 1 P(x=j)= 2 j a) Probar que es una legítima distribución de probabilidad b) Calcular P(X es par)

11 Variable aleatoria continua Se dice que X es una variable aleatoria continua si: existe una función f(x), llamada función de densidad de probabilidad de X, (fdp) que satisface las siguientes condiciones: a) f(x) 0 x b) f(x)dx 1 c) Para cualquier intervalo (a,b)/ - a b P( a x b) f(x)dx b a

12 Interpretación Geométrica f(x) P(a<x<b) a b

13 P(a<x<b)= Consideraciones 1. P(X=Xo) = 0 porque P(X = Xo)= x x 0 0 f(x)dx 0 La probabilidad cero no significa que el suceso sea imposible, ya que Si A es vacio, la P(A) = 0 pero la recíproca no es cierta. Por lo tanto P(a x<b)= P(a x b)= P(a<x b) 2. Si f*(x) es mayor o igual que cero para todo x de su dominio, y f*(x) dx = k R f*(x) no es una fdp legítima. Pero puede convertirse en tal si f*(x) f(x)= k x

14 Ejemplos de variable aleatoria continua Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A Funcionamiento de un banco Llenar una lata de bebida (máx = 360 cm 3 ) Proyecto para construir un biblioteca Ensayar un nuevo proceso químico Tiempo en minuto, entre llegadas de clientes Cantidad de cm 3 Porcentaje terminado del proyecto Temperatura cuando se lleva a cabo la reacción deseada (min 150º F; máx 212ºF) x 0 0 x x x 212

15 Consideraciones 3. Si X toma sólo valores en el intervalo [a,b] podemos decir que f(x) = 0 para todo x que no pertenece al intervalo [a,b], entonces la integral entre a y b de f(x) es 1. Ejemplo: Hallar el valor de k de modo que f(x) sea una fdp legítima, y luego graficar, siendo: kx(1-x) si x 0,1 f( x) 0 si x (0,1) 4. f(x) no representa ninguna probabilidad. Sólo cuando la función se integra entre dos límites expresa alguna probabilidad.

16 Ejemplo Con la función f( x) kx(1-x) si x 0,1 0 si x (0,1) Hallar : a) P(1/4 <x<1/2) = b) P(x >1/3 / 1/4< x <1/2)=

17 Función de distribución acumulativa FDA Dada una variable aleatoria discreta o continua X se llama función de distribución a la función F definida como: F : [0,1] F( x) P( X x) 1. Si X es VAD entonces F(x) P X x p( x ) x j x j x 2. Si X es una VAC entonces F(x)=P(X x)= f(s)ds

18 Ejemplo: Grafica la función de probabilidad f(x) y la función de distribución F(x) (FDA) de una variable discreta X definida como: Puntos obtenidos en la cara de un dado. X tiene como posibles valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada uno con probabilidad 1/6 xi P(xi) 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 x F(x) X<1 0 [1,2) 1/6 [2,3) 2/6 [3,4) 3/6 [4,5) 4/6 [5,6) 5/6 x 6 1

19 Para variables discretas 1 6 f(x) 1 F(x) x Función de probabilidad f(x) Función de distribución acumulada F(x) x

20 Para variables continuas Hallar y graficar la FDA de la variable aleatoria cuya fdp está dada por: 6x(1-x) si 0 x 1 f(x)= 0 si x (0,1)

21 Propiedades de la función de distribución acumulada FDA 1) F es no decreciente, es decir, si x1 x2 F(x 1) F(x 2) 2) lim F( x) lim P( X x) P( S) 1 x x lim F( x) lim P( X x) P( ) 0 x x 3) P( x1 X x2) F( x2) F( x1 ) 4) Si F(x) es la FDA de X, entonces f(x) = F (x) para todo x donde F es diferenciable.

22 Cuestionario 1) Qué es una variable aleatoria? 2) Cómo se define una variable aleatoria discreta? Y una continua? 3) En qué se diferencia una función de probabilidad de una función de densidad de probabilidad? Cuáles son las propiedades de cada una? 4) Cómo se representa gráficamente la probabilidad en una variable aleatoria discreta y en una variable aleatoria continua? 5) Cómo se define la función de probabilidades acumuladas en una variable aleatoria discreta y en una continua? Cómo se representan gráficamente cada una? Cuáles son sus propiedades? 6) Cuando se habla de una función de distribución de probabilidades. A qué función se refiere? 7) Cómo se interpreta F(a)? (Expresa F(a) de todas las formas posibles y grafica F(a) )

23 CARACTERÍSTICAS NUMÉRICAS DE VARIABLES ALEATORIAS

24 Momentos El momento k-ésimo para una variable aleatoria discreta respecto del origen, es n k E(x ) x k i.p xi i 1 Definición : Sea X una variable aleatoria discreta con la distribución de probabilidades (Xi, P(Xi)) para i =1,2,3,.n,..Se llama valor esperado de X o esperanza matemática de X a: E(X) = i 1 i x p x i El primer momento centrado en el origen (k=1) es la esperanza matemática de X

25 Valor esperado o Esperanza Matemática para variable discreta 1) Si X toma un número finito de valores, entonces: E(X) = n i 1 i x p x i Es el promedio ponderado de los valores posibles de X 2) Si todos los valores posibles son igualmente probables, entonces E(X) = n 1 x n i 1 i Es el promedio aritmético de los n valores posibles.

26 E ( X ) Ejemplo1: Calcular la esperanza de la variable aleatoria X :suma de los puntos obtenidos al arrojar dos dados: 12 i P 3 ( X... x i 6 ) 36 x i Se espera que la suma de los puntos obtenidos al arrojar dos dados sea 7ó que la esperanza de la suma sea 7 Ejemplo 2: Calcular la esperanza de la va n de extracciones en el ej de las calculadoras Observación:Si el valor esperado tuviera cifras decimales, la interpretación estaría dada entre los enteros comprendidos, ya que la variable es discreta.

27 Momentos alrededor de otro punto fijo 2 De 2do orden alrededor de E(X) E x E x 2 ( ) El momento de 2do orden centrado en la esperanza, es la varianza de X. De 3er orden alrededor de E(X) Determina la asimetría de la distribución : 3 E x As 3 Determina el grado de agudeza o curtosis: Si K= 3, mesocúrtica. Si K>3, leptocúrtica. Si K< 3, platicúrtica 3 3 K 4 4

28 Valor esperado o Esperanza Matemática para variable continua Sea X una variable aleatoria continua con fdp f(x) para todo x real, se llama valor esperado de X o esperanza matemática de X, a: E(X) x.f(x) dx E(X) existe si x.f(x) dx < Hallar la E(X) para 6x(1-x) si 0 x 1 f(x) 0 enotro caso

29 Ejercicio: Un instrumento electrónico tiene una duración X, (en unidades de 100 hs) que es una VAC con la fdp: f(x) 0 si x 0 -x e si x >0 Suponiendo que el costo de fabricación de tal artículo es $20 y que el fabricante vende el artículo por $50, pero garantiza un reembolso total si x 0,2 y devuelve la mitad si 0,2 x 0,4 Cuál es la utilidad neta esperada por artículo?

30 Interpretación Si se produce un gran número de instrumentos electrónicos, perderá $20 alrededor del 18% de las veces, ganará 5 $ alrededor del 15 % de las veces y ganará $30 alrededor del 67% de las veces. El fabricante espera ganar, a la larga, $17,25 por artículo. Ui P(Ui) -20 0,18 5 0, ,67

31 Propiedades del valor esperado en V.A.C 1) Si X = C entonces E(X) = C 2) E(C.X)= C.E(X) 3) E (X+Y) = E (X) + E(Y) 4) E (X-Y) = E (X) - E(Y) 5) E (X.Y) = E (X). E(Y) si X ey son Variables aleatorias independientes

32 Medidas de variabilidad: Desviación, Varianza y Desviación estándar o Dispersión Desviación: Llamamos desviación a la variable aleatoria X E(X) Propiedad de la desviación: E [ X E(X)] = 0 Varianza: La varianza de una variable aleatoria X es la esperanza matemática del cuadrado de la desviación de X respecto de su esperanza. V(X) = Dispersión: X V(X) 2 X E X-E X Ambas miden la dispersión de los datos. Observar que la dispersión lo hace con las mismas unidades que los datos. 2

33 Otra forma de expresar la varianza VAD VAC Demostrar 2 V( x) E( x ) E x 2 n 2 ( ) ( i ( )). ( i) i 1 V x x E x p x 2 2 V( x) x E( x). f ( x) dx x. f ( x) dx x. f ( x) dx Ejemplo 1 (de la clase anterior) Del lote de calculadoras donde hay 3 defectuosas. Se selecciona una calculadora al azar y se la prueba, repitiéndose la operación hasta que aparezca una calculadora no defectuosa. Calcular la V(x) de dos maneras. 2

34 Ejemplo 1 x i P ( X = x i ) x i E(x) (x i E(x) ) 2 (x i E(x) ) 2. P (x i ) 1 5/ = / = / = / = i i i ( x E( x)) P( x ) V( X)

35 Ejemplo 2) Calcula la varianza y dispersión de la variable aleatoria X cuya fdp es 2x si 0 x 1 f(x)= 0 si x 0,1 V( X) 1 18 V(X) 1/

36 Propiedades de la varianza 1) Si x = C entonces V(x) = 0 2) V (x+c) = V (x) 2 3) V(cx) c V(x) 4) V (x+y) =V(x) + V(y) si x e y son variables independientes 5) V (x-y) = V (x) + V (y) si x e y son variables independientes.

37 Mediana Es el valor de X para el cual P( X me ) P( X me ) f(x)dx ó P( X me ) Ejercicio: hallar la me de la variable X tal que m e x 2 si o < x 1 2 f( x) si 1 < x si x > 2

38 Modo Modo: Mo es el valor de x para el cual f(x) toma su valor máximo. (Si la fdp tiene un solo máximo). Ejemplo: Calcular el modo de 6x(1-x) si 0 x 1 f(x)= 0 si x (0,1)

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