Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 02 - Problemas 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10

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1 página 1/20 Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 02 - Problemas 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10 Hoja 2. Problema 2 Resuelto por Carmen Jiménez Cejudo (diciembre 2014) 2. Estudia y representa f ()= 5 Dom f() = R + - {5} Intersecciones con los ejes OX: y=0 f()=0 (0, 0) OY: =0 f(0)=0 (0, 0) Simetrías f() f (-) f() - f (-) Asíntotas A.V. lim 5 5 = 5 0 =? lim f ( )=+ 5 + lim f ( )= 5 A.H. lim 5 =0 y = 0 Cómo hay asíntota horizontal no hay asíntota oblicua. Máimos y mínimos. f ( )= f ' 2 2 ( 5) ( 5) ( )= = ( 5) 2 2 = ( 5) 2 ( 5) 2 2 ( 5) 2 = ( 5) 2 = 5 2 ( 5) 2

2 página 2/20 Igualo f () a cero para sacar los puntos críticos. 5 =0 ; 5=0 ; = ( 5) El valor = -5 no pertenece al dominio de la función, por lo que: (0,5) (5,+ ) f () f() decrece crece Concavidad y conveidad f ( )= 5 2 ( 5) 2 [ 2 ( 5) ] ( 5)[ ( +2 5)2 2( 5)] f ( )= [2 ( 5) 2 ] 2 [2 ( 5)] ( 5)[ ( 5) +4 ] f ' ' ()= = (2 ) 2 ( 5) 3 4 ( 5) ( 5) = =0 30 ± = Sólo tomamos el valores positivo de la solución porque evaluamos en los reales (+). (0, ) ( ,5) (5,+ ) f () f() U U

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4 página 4/20 Hoja 2. Problema 4 Resuelto por Carmen Martín Rubio (enero 2015) 4. Estudia y representa f ( )= + 2 Dominio Todo R ecepto donde se anula el denominador o hay raíz de un número negativo. Es decir: D f = (0, ). Continuidad Función continua en todo su dominio. Puntos de corte con los ejes Eje X Para y=0 0= = + No corta eje de abscisas, ya que = 0 no pertenece al dominio de la función. Eje Y Para =0 no pertenece al dominio de la función no hay corte con eje OY Simetría No tiene. Asíntotas Asíntota vertical lim = 0 0 Dividimos todo por 2 el límite tiende a + No hacemos límite por 0 - porque la función no está definida para dicho valor. Hay asíntota vertical en =0 Asíntota horizontal lim + =0 2 Hay asíntota horizontal en y = 0. Asíntota oblicua No hay porque eiste asíntota horizontal. Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos Hallamos la primera derivada y la igualamos a 0 para hallar los puntos críticos. ( 1 f ( )= + 2 ) +1 2 ( ( + )2 1 f ' ( )= f ' ( )= 2 4 f ' ( ) = ( 2 + ) f ' ( ) = f ' ( ) = 2 ) +1 ( + )

5 página 5/20 f ' ( ) = Igualamos a 0 0= 2 3 0= ( 2 3 ) = 0 La función no está definida en ese punto. + 3 El valor positivo de una raíz no puede ser igual a un número negativo, por lo que 2 es un absurdo matemático. Por lo tanto, no tenemos puntos candidatos a etremos relativos. Si evaluamos la derivada en un punto cualquiera del dominio, por ejemplo = 10, comprobamos que es negativa, por lo que la función es decreciente en todo su dominio.

6 página 6/20 Hoja 2. Problema 5 Resuelto por María Moreno Lemos (enero 2015) 5. Estudia y representa f ()= 2 1 Dominio de f(): Todo que pertenece al intervalo (-,-1), (1, ) porque el radicando tiene que ser 0 Puntos de corte con los ejes: Eje OX: y = 0 2 1=0 = 0 no pertenece al intervalo. 2 1=0 Los puntos serían (-1,0) y (1,0) Eje OY: = 0 no pertenece al dominio de la función Asíntotas: Asíntota vertical: lim f ( )= = k k l i m( 2 1) no eiste porque no hay ningún numero para esta función que k haga al limite infinito. Asíntota horizontal: lim f ( )=k y = k 2 1 = lim Asíntota oblicua: y = m + n por tanto no eiste asíntota horizontal. m=lim f ( ) n=lim [ f ( ) m ] m=lim 2 1 oblicua. lim 2 1 = no eiste asíntota Etremos relativos, crecimiento y decrecimiento: f () = 0 f ' ()= =0 2 1 f ' ()= =0 2 2 =1 = ± 1 2 Estos puntos no pertenecen al dominio de f(): no eisten etremos relativos.

7 Para 1 cuando crece f() crece por lo tanto es creciente. Para 1 cuando decrece f() decrece por lo tanto es creciente. Puntos de infleión, concavidad y conveidad: f () = 0 f ' ' ()= ( 2 2 1) = f ' ' ()= ( 1) 2 1 =0 2 2 =3 =± 3 2 página 7/20 Para valores inferiores a 3 2 f ' ' ()>0 cóncava Para valores pertenecientes a ( 3, 1) f ' ' ()<0 convea 2 Para valores pertenecientes a (1, 3 ) f ' ' ()>0 cóncava 2 Para valores mayores a 3 2 f ' ' ()<0 convea Simetría: f() = -f(-) simétricaa respecto al origen (0,0)

8 página 8/20 Hoja 2. Problema 6 Resuelto por Sara Aparicio (enero 2015) 6. Estudia y representa f ( )= Dominio todo R (por ser polinómica) Puntos de corte: Eje OY f(0) = 0 (0,0) Eje OX =0 (0, 0), (0, 4/3) Signo de la función: (,0)>0 ( 0, 4 3 ) <0 ( 4, 3 ) >0 Simetría: No es simétrica No periódica Asíntotas: Verticales: No hay al estar definida en todo R y ser continua en todo su dominio Horizontales: No hay por ser polinómica diverge en el infinito Oblicua: lim f ( ) = lim = no hay asíntota oblícua Máimos y mínimos: f ' ( )= (,0) ( 0, 4 3 ) ( 4 3, ) f '() < 0 f '() < 0 f '() > 0 f() decreciente f() decreciente f() creciente

9 página 9/20 f(4/3) = 64/9 Hay un mínimo en el punto ( 4 3,64 9 ) Concavidad y conveidad: f ' ' ()= =0 = 0, = 2 3 (,0) ( 0, 2 3) ( 2 3, ) f ''() > 0 f ''() < 0 f ''() > 0 Convea Cóncava Convea

10 página 10/20 Hoja 2. Problema 7 Resuelto por Ignacio Roldán (diciembre 2014) 7. Estudia y representa f ( )= Dominio de la función Df= R ya que es una función polinómica Continuidad de la función Continuidad= R ya que es una función polinómica Puntos de corte(ox,oy) Puntos de corte eje OY (=0) Puntos de corte eje OX (y=0) y= y=2 A(0,2) =0 Como no tengo la solución aproimamos por el teorema de Bolzano, buscando un intervalo cerrado donde la función sea continua y cambie de signo al ser evaluada en los etremos del intervalo g ( )= =0 [0,-2] cojo el valor -1= g()<0 [0,-1] cojo el valor -0.5= g()<0 [0,-0.5] cojo el valor-0.4= g()<0 0,3 [0,-0.3] cojo el valor -0.3=g()<0 [0,-0.2] cojo el valor -0.2=g()>0 g ( )= =0 [-2,-4] cojo el valor-3=g()>0 [-2,-3] cojo el valor -2.8=g()>0 2,7 [-2,-2.8] cojo el valor -2.7=g()<0 Al ser un polinomio de grado cuatro, como máimo, tendra cuatro soluciones (cuatro

11 página 11/20 raíces). Con los dos puntos de corte obtenidos, por ahora, tenemos suficiente para seguir estudiando nuestra función y poder pintarla. Asintotas Asintota vertical(a.v) No eiste ya que la función no se anula en ningun punto Asintota horizontal(a.h) No eiste A.H lim = X = lim X 0 Asintota oblicua(a.o) lim X =0 No eiste A.O lim = Crecimiento, máimos y mínimos Realizo la primera derivada: f ' ( )= f ' ( )=0 g ( )= =0 Aplicamos de nuevo el teorema de Bolzano, para obtener la aproimación de los candidatos a puntos críticos: = -1.9, =0.4, =1.5 (,-1.9) -1.9 (-1.9,0.4) 0.4 (0.4,1.5) 1.5 (1.5, ) f (-2)=- (0,- 16,13) f (0)=+ (0,3.07) f (1)=- (0,1.06) f (2)=+

12 página 12/20 Decreciente Creciente Decreciente Creciente Mín Má Mín Concavidad, conveidad y puntos de infleión f ' ' ( )= f ' ' ( )= =0 2 =±1 (,-1) -1 (-1,1) 1 (1, ) f (-2)=+ (0,-8) f (0)=- (0,2) f (2)=+ Convea Punto de infleión Cóncava Punto de infleión Convea

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14 página 14/20 Hoja 2. Problema 8 Resuelto por Isabel Navarro-Pelayo Torres (diciembre 2014) 8. Estudia y representa f ( )= Estudio de la función: ( +1) 2 Dominio: Dom f()= R { 1 } Todo R salvo donde se anula el denominador Asíntota Vertical (A.V.): Para que eista A.V. se debe cumplir que lim a En =-1 el denominador vale cero, por tanto: lim 1 lim 1 + ( +1) 2 = = ( +1) 2= 0 =+ + Eiste asíntota vertical en =-1 f ( )= Asíntota Horizontal (A.H.): Para que eista A.H. se debe cumplir que lim f ( )=k lim ( +1) 2 =lim =lim Eiste asíntota horizontal en y=0 Asíntota oblicua (A.O.): Asíntota oblicua: y= m + n f ( ) m= lim = lim 2= lim ( +1) ( +1) 2 =0 = = 0 1 =0 Como m debe dar un número finito y distinto de 0, no hay asíntota oblicua.

15 página 15/20 Crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos: Calculamos la primera derivada y, a continuación, la igualamos a cero para calcular los puntos críticos (valores en los que la primera derivada se anula): f ( )= ( +1) 2 f ' ( )= ( +1)2 2 ( +1) ( +1) 4 = ( +1) 2 ( +1) 3 = 1 ( +1) 3 f ' ( )=0 1 =0 =1 Estudiemos el comportamiento de la primera derivada a la izquierda y a la derecha de ese valor crítico =1, y así sabremos el crecimiento o decrecimiento de la función. Recordamos que la función no está definida en =-1. (, 1) ( 1, 1) 1 (1, ) y Negativa Positiva 0 Negativa y Decreciente Creciente MÁXIMO Decreciente Concavidad, conveidad y puntos de infleión: Calculamos la segunda derivada e igualamos a cero para calcular los puntos de infleión: f ' ( )= 1 ( +1) 3

16 página 16/20 f ' ' ( )= ( +1)3 3 ( +1) 2 (1 ) 1 3 (1 ) = = = 2 4 ( +1) 6 ( +1) 4 ( +1) 4 ( +1) 4 f ' ' ( )=o 2 4=0 =2 Estudiemos el comportamiento de la segunda derivada a la izquierda y a la derecha de ese valor =2, y así sabremos la concavidad o conveidad de la función. Recordamos que la función no está definida en =-1. (, 1) ( 1, 2) 2 (2, ) y Negativa Negativa 0 Positiva y Cóncava Cóncava Punto de infleión Convea Para ratificar que en =2 hay un punto de infleión hacemos la tercera derivada, la cual evaluada en ese punto debe darnos distinto de 0. f ' ' ' ( )= 2( +1)4 4( +1) 3 (2 4) = = 6+18 ( +1) 8 ( +1) 5 ( +1) 5 f ' ' ' (2)= Por tanto, X=2 es un punto de infleión. Representación de la función

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18 página 18/20 Hoja 2. Problema 10 Resuelto por María Olivares Guerrero (enero 2015) 10. Estudia y representa f ()=+ 1 e Dominio de la función: R Puntos de corte: Con el eje OX y=0 e +1 =0 e e +1=0 Estudiamos el comportamiento de esta función, que llamaremos solución. g( )=e +1 g ( ), para comprobar que no tiene g ' ()=e (1+ ) g ' ()=0 e (1+ )=0 = 1 f ( 1)= 1+e>0 Evaluamos la derivada a la izquierda y a la derecha del punto crítico ( 1,e 1) para determinar si es máimo o mínimo: g ' ( 10)<0 g ' (0)>0 Por lo tanto ( 1,e 1) es un mínimo ==> g( )=e +1 nunca corta al eje horizontal OX ==> nuestra función de partida no corta al eje OX Con el eje OY = 0 (0,1) Asíntotas No hay asíntota vertical por ser la función continua en todo R. lim + 1 e = lim + 1 e = Por lo tanto, no hay asíntota horizontal. m=lim f ( ) = lim + 1 e = L'Hôpital lim 1 e e 2 1 =1 m = 1

19 página 19/20 n=lim f ( ) m=lim 1 e =0 Tenemos asíntota oblícua y = (si tiende a infinito; si tiende a menos infinito, no hay asíntota oblícua ya que ahí la función tiende a infinito). Crecimiento f ()=+ 1 e f ' ( )=1 1 e f ' ( )=0 1= 1 e =0 (0,1) Tenemos un punto crítico (0,1) candidato a etremos relativo. Evaluamos la derivada a izquierda y derecha de = 0. f ' ( 10)=1 1 <0 10 e f ' (10)=1 1 >0 10 e Por lo tanto en (0,1) tenemos un mínimo relativo Curvatura Realizamos la segunda derivada f ' ' ()= 1 e La segunda derivada nunca se anula, por lo que no eisten puntos de infleión. Con esta información, ya podemos representar nuestra gráfica.

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