UNIDAD 5: ÁLGEBRA. Nacho Jiménez ANT ÍNDICE SIG

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1 UNIDAD 5: ÁLGEBRA Nacho Jiménez

2 0. Conceptos previos ÍNDICE 1. Para qué sirve el álgebra? 2. Expresiones algebraicas 2.1 Monomios 2.2 Suma y resta de monomios 2.3 Multiplicación de monomios 2.4 División de monomios 3. Polinomios 3.1 Valor numérico 3.2 Suma de polinomios 3.3 Resta de polinomios 3.4 Producto de polinomios 4. Productos notables 4.1 Aplicación de los productos notables 4.2 Extracción de factor común

3 0. CONCEPTOS PREVIOS (I) Propiedades de las operaciones con números PROPIEDAD EJEMPLO EXP. GENERAL SUMA Conmutativa 2+5=5+2 a+b=b+a Asociativa 2+(3+5)=(2+3)+5 a+(b+c)=(a+b)+c 0 es elemento neutro 4+0=4 a+0=a Elemento opuesto 4+(-4)=0 a+(-a)=0 Distributiva suma respecto producto 2 (3+5)= a (b+c)=a b+a c PRODUCTO Conmutativa 2 3=3 2 a b=b a Asociativa 2 (3 5)=(2 3) 5 a (b c)=(a b) c 1 es elemento neutro 4 1=4 a 1=a 0 es elemento absorbente Elemento inverso 4 0=0 a 0=0 3 1 =1 3 a 1 a =1

4 0. CONCEPTOS PREVIOS (II) Supresión de paréntesis precedidos de +/- Si hay un signo + se quita el paréntesis, dejando los signos como están +(3-4+5)=3-4+5 Si hay un signo - se quita el paréntesis, cambiando los signos interiores -(3-4+5)= Propiedades de las potencias Producto de potencias de la misma base: se suman los exponentes Cociente de potencias de la misma base: se restan los exponentes a n a m =a n+m a n a m =an-m

5 1. PARA QUÉ SIRVE EL ÁLGEBRA? (I) Para expresar propiedades aritméticas Ejemplo: propiedad conmutativa del producto el orden de los factores no altera el producto a b = b a Para manejar números de valor indeterminado Un número natural n El siguiente número n+1 El triple del siguiente 3(n+1) El cuadrado del número menos su doble n 2-2n Un número par 2m El siguiente número par 2m+2

6 1. PARA QUÉ SIRVE EL ÁLGEBRA? (II) Para generalizar series numéricas n a n =3n+1 a a a a a Área de un triángulo de base b y altura a b a A= b a 2 Fórmulas Particularizando Área de un triángulo de base 3cm y altura 4cm 4cm 3cm A= = 6cm 2

7 2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Las expresiones algebraicas son expresiones formadas por números y por letras que representan números, relacionados por operaciones aritméticas EJEMPLOS 4x -2xy 2 +3xz -2xy 3 x+y x-y a+3b a-3b n+1 n-1 + x-y x+y Veamos a continuación las expresiones algebraicas más sencillas: LOS MONOMIOS

8 2.1. MONOMIOS (I) Un monomio es el producto indicado de un valor conocido (coeficiente), por uno o varios valores desconocidos representados por letras (parte literal) EJEMPLOS coeficiente 4x -5xy x3 y parte literal GRADO DE UN MONOMIO: Número de factores que forman la parte literal x x y y x x x y Monomio de grado 1 Monomio de grado 3 Monomio de grado 4 NOTA: En el caso de monomios con una sola letra el grado coincide con el exponente de dicha letra. Los números sin letra tienen grado 0.

9 2.1. MONOMIOS (II) VALOR NUMÉRICO DE UN MONOMIO Valor del monomio cuando las letras de la parte literal toman valores concretos EJEMPLOS 4x -5xy x3 y x=2 x=2 y=-3 x=-1 y= EXP. PAR (-3) (-1)3 (-3) -1 EXP. IMPAR MONOMIOS SEMEJANTES Dos monomios son semejantes si sus partes literales son idénticas 4x -2x SEMEJANTES 4x 4y NO SEMEJANTES 5x 2 y SEMEJANTES 4 3 x2 y 5xy x2 y NO SEMEJANTES

10 2.2. SUMA Y RESTA DE MONOMIOS Dos monomios sólo se pueden sumar o restar si son SEMEJANTES. En ese caso se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal EJEMPLOS 4x+5x = (4+5) x = 9x -x+2x =(-1+2) x =1x =x 3y 2-8y 2 =(3-8)y 2 =-5y x3 y+ 3 x3 y = 5 3 x3 y La suma se deja indicada 4x+5y -x+2x 2 3y 2-8xy x3 y+ 3 x2 y Si tenemos sumas y restas combinadas con paréntesis, quitamos los paréntesis y sumamos (4x+5x 2-2)-(3x 2 +2x-4) 2x 2 +2x+2 Quitamos paréntesis Sumamos monomios 4x+5x x 2-2x+4 5x 2-3x 2 +4x-2x-2+4 Agrupamos monomios semejantes

11 2.3. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS La multiplicación de monomios se puede hacer con dos monomios cualesquiera, sean o no semejantes, multiplicando los coeficientes y multiplicando las partes literales. EJEMPLOS 4x 5x = (4 5) x x = 20x 2 -x 2xy =(-1 2) x xy =-2x 2 y RECUERDA Producto de potencias de la misma base: se suman los exponentes 3y 2 (-8y 3 ) =3 (-8) y 2 y 3 =-24y a3 b 3 a4 b = = 4 9 a7 b a 4 b a 3 b El producto de dos monomios es otro monomio cuyo grado es la suma de los grados de los factores 3y 2 Grado 2 5y 4 Grado 4 Producto 3y 2 5y 4 =15y 6 Grado 6

12 2.4. DIVISIÓN DE MONOMIOS La división de monomios se puede hacer con dos monomios cualesquiera, sean o no semejantes, dividiendo los coeficientes y dividiendo las partes literales. EJEMPLOS 8x 5 :4x 3 = (8:4) (x 5 :x 3 )= 2x 2-15x 4 :3x 3 =(-15:3) (x 4 :x 3 ) =-5x 18x 3 :9x 3 = (18:9) (x 3 :x 3 ) = 2x 0 = 2 2x 3 :10x 5 = 2x3 10x 5 = 4xy 3 :2x 2 y 2 = 4xy3 2x 2 y 2 RECUERDA Cociente de potencias de la misma base: se restan los exponentes 2 x x x 2 5 x x x x x = 1 5x x y y y = 2 x x y y = 2y x El cociente de dos monomios puede ser un monomio, un número o una fracción algebraica

13 3. POLINOMIOS Un polinomio es la suma indicada de varios monomios no semejantes a los que se llama términos del polinomio. Si hay dos términos se le llama también binomio y si hay tres términos trinomio. EJEMPLOS 4x+12x 3 x+x 3 y-y -5x 2 +8x 3-7x 4 +8 x+2x 3-3x 2-1 Binomio Trinomio Usualmente ordenamos los monomios de mayor a menor grado Término independiente -7x 4 +8x 3-5x x 3-3x 2 +x-1 GRADO DE UN POLINOMIO: Mayor de los grados de los monomios que lo forman -5x 2 +8x 3-7x 4 +8 Polinomio de grado 4 x 3 +2x 7-3x 4 +8x Polinomio de grado 7

14 3.1. VALOR NUMÉRICO VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO Valor del polinomio cuando las letras de la parte literal toman valores concretos EJEMPLOS x 3 +2x 2-3x +2 x= = = 12 x 3 +2x 2-3x +2 x=-1 (-1) 3 +2 (-1) 2-3 (-1)+2 = = 6 x 3 +2x 2-3x +2 x= = = 2 x-2x 3 y-y x=2 y= (-1)-(-1) = = 19 NOTA: Los polinomios se nombran con letras mayúsculas seguidas de la variable o variables entre paréntesis. El valor numérico de un polinomio se representa con su letra y el valor o valores entre paréntesis. A(x)=x 3 +2x 2-3x +2 P(x,y)=x-2x 3 y-y A(2) =12 P(2,-1) =19

15 3.2. SUMA DE POLINOMIOS Para sumar polinomios tendremos en cuenta lo que ya sabemos para la suma de monomios, esto es, que sólo se pueden sumar los monomios semejantes EJEMPLO A(x)=2x 3-3x 2 +6 A(x)+B(x) B(x)=x 2-5x+4 = (2x 3-3x 2 +6) + (x 2-5x+4) = 2x 3-3x 2 +6+x 2-5x+4 = 2x 3 +x 2-3x 2-5x+6+4 Sumamos términos semejantes Quitamos paréntesis Agrupamos términos semejantes 2x 3-2x 2-5x+10 REGLA PRÁCTICA: Para sumar dos o más polinomios se colocan uno bajo el otro, haciendo coincidir, en la misma columna, los monomios semejantes A(x)=2x 3-3x 2 +6 B(x)= x 2-5x+4 A(x)+B(x)=2x 3-2x 2-5x+10

16 3.3. RESTA DE POLINOMIOS OPUESTO DE UN POLINOMIO: Es el polinomio que resulta de cambiar todos los signos de los términos de un polinomio. EJEMPLO EJEMPLOS A(x)=2x 3-3x 2 +6 B(x)=x 2-5x+4 Opuesto Opuesto -A(x)=-2x 3 +3x 2-6 -B(x)=-x 2 +5x-4 Para restar dos polinomios se suma el primero con el opuesto del segundo, es decir, se cambia el signo del sustraendo y se suma con el minuendo. A(x)=2x 3-3x 2 +6 B(x)=x 2-5x+4 A(x)-B(x) A(x)=2x 3-3x B(x)= -x 2 +5x-4 A(x)-B(x)=2x 3-4x 2 +5x+2

17 3.4. PRODUCTO DE POLINOMIOS (I) PRODUCTO DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO: aplicando la propiedad distributiva tenemos varios productos de monomios EJEMPLOS 2 (x 3-4x 2 +5x-1) -3x (x 3-4x 2 +5x-1) x 2 (x 3-4x 2 +5x-1) Propiedad Distributiva Prop. Distrib. Prop. Distrib. 2 x 3-2 4x x-2 1 Multiplicamos los monomios 2x 3-8x 2 +10x-2-3x x 3 -(-3x) 4x 2 +(-3x) 5x-(-3x) 1 Multiplicamos los monomios -3x 4 +12x 3-15x 2 +3x x 2 x 3 -x 2 4x 2 +x 2 5x-x 2 1 Multiplicamos los monomios x 5-4x 4 +5x 3 -x 2

18 3.4. PRODUCTO DE POLINOMIOS (II) PRODUCTO DE DOS POLINOMIOS: se multiplica cada monomio de uno de los factores por todos y cada uno de los monomios del otro factor y se suman los monomios obtenidos, reduciendo los que sean semejantes. EJEMPLOS FORMA 2 FORMA 1 (2x+1) (x 2 -x-1) =2x (x 2 -x-1)+1 (x 2 -x-1) =2x x 2-2x x-2x 1 +1 x 2-1 x-1 1 =2x 3-2x 2-2x+x 2 -x-1 = 2x 3 -x 2-3x -1 x 2 -x-1 2x+1 x 2 -x -1 2x 3-2x 2-2x 2x 3 -x 2-3x-1

19 4. PRODUCTOS NOTABLES (I) CUADRADO DE UNA SUMA es igual al cuadrado del primer sumando, más el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo sumando. (a+b)²= a+b a+b +ab +b² +a² +ab a²+2ab+b² a + b a + b a² ab ab b² Ejemplos (2+3)²= 2² ² = = 25 = 5² (x+5)²= x²+2 x 5+5² = x²+10x+25 (2x+y²)²= (2x)²+2 2x y²+(y²)² = 4x 2 +4xy 2 +y 4

20 4. PRODUCTOS NOTABLES (II) CUADRADO DE UNA RESTA es igual al cuadrado del primer sumando, menos el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo sumando. a (a-b)²= a-b a-b -ab +b² +a² -ab a²-2ab+b² (a-b)² a a²-ab b b b² Ejemplos (5-3)²= 5² ² = = 4 = 2² (x-5)²= x²-2 x 5+5² = x²-10x+25 (2x-y²)²= (2x)²-2 2x y²+(y²)² = 4x 2-4xy 2 +y 4

21 4. PRODUCTOS NOTABLES (III) SUMA POR DIFERENCIA: la suma de dos monomios por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados (a+b) (a-b)= a+b a-b -ab -b² +a² +ab a² -b² a b (a+b) (a-b) a a²+ab b b² Ejemplos (5-3)(5+3)= 5²-3² = 25-9 = 16 = 2 8 (x+5) (x-5)= x²-5² = x²-25 (2x-y²) (2x+y²)= (2x)²-(y²)² = 4x 2 -y 4

22 4.1 APLICACIÓN DE LOS PRODUCTOS NOTABLES Los productos notables se pueden utilizar para descomponer polinomios en factores y para simplificar fracciones algebraicas. Factorización de polinomios x²+6x+9= 4x²-25= x²+2 x 3+3² CUADRADO DEL PRIMERO DIFERENCIA DE CUADRADOS DOBLE DEL PRIMERO POR EL SEGUNDO (2x)²-5² CUADRADO DEL SEGUNDO = (x+3)² SUMA CUADRADO DE LA SUMA = (2x+5) (2x-5) DIFERENCIA Simplificación de fracciones algebraicas x²-6x+9 x²-9 CUADRADO DEL PRIMERO DOBLE DEL PRIMERO POR EL SEGUNDO CUADRADO DEL SEGUNDO CUADRADO DE LA RESTA x²-2 x 3+3² (x-3)² = = = x²-3² (x+3) (x-3) DIFERENCIA DE CUADRADOS SUMA DIFERENCIA x-3 x+3

23 4.2 Extracción de factor común La extracción de factor común es una aplicación directa de la propiedad distributiva de la suma respecto del producto: a (b+c) = a b + a c 12x 4 y 2 +18x 2 y 2-30x 3 y Descomponemos en factores Dentro del paréntesis queda cada sumando dividido entre el factor común 6x 2 y (2x 2 y +3y-5x) El factor común es el MCD de los coeficientes por las letras comunes al menor exponente con que aparecen Factor común 6x 2 y = x x x x y y x x y y x x x y 2 3 x x y Ejemplos 8x+8y = 8 (x+y) 2x 2 y-8x 3 y 3 = 2x 2 y (1-4xy 2 ) x 4-3x 5 +2x 3 +7x 2 = x 2 (x 2-3x 3 +2x+7) Cuando el factor común coincide con uno de los sumandos en su lugar en la suma queda la unidad