Módulo 3: Gráfica de las Funciones Trigonométricas

Transcripción

1 x Módulo : Gráfica de las Funciones Trigonométricas Una función es una relación entre los valores x de un conjunto (dominio) los elementos de un conjunto (llamado codominio o rango), en la cual a cada valor de x se le hace corresponder un único valor de. Se denota mediante el símbolo f(x) =. El dominio de las funciones trigonométricas son conjuntos de valores de ángulos, dados en radianes en grados. Propiedades:. cos (-x) = cos x.. sen(-x) = -sen x. tan (-x) = - tan x. cos ( - x) = - cos x 5. sen ( - x) = sen x 6. cos [x + k()] = cos x 7. sen [x + k()] = sen x 8. cos ( + x) = -cos x 9. sen ( + x) = - sen x Gráfica de la Función f(x) = sen x. Para hacer la gráfica de f(x) se debe construir una tabla de valores, lo haremos para x Veamos la gráfica:.5 Ciclo Una función f es una función periódica si existe un número p tal que (f + p) = f(x), para todo x en el dominio de f. El valor p más pequeño que satisfaga esa condición, se denomina período de la función. La gráfica de la función f(x) = sen x muestra que es el menor valor que cumple que sen (x + p) = sen x. Por lo tanto, es el período de f. La gráfica de un función periódica es un intervalo cua longitud es un período, se denomina ciclo de la curva. Las gráficas f(x) = sen x f(x) = cos x se llaman ondas senoidales.

2 Módulo : Gráfica de las Funciones Trigonométricas Veamos la gráfica de la función f(x) = cos x Ejemplo. Graficar la función f(x) = cos x +. Solución: Cualquier punto de la gráfica = cos + estará dos unidades por encima del punto correspondiente a la gráfica = cos x Si se observa detenidamente las gráficas podemos concluir que para las función = cos x + d, el valor d desplaza la gráfica sobre el eje vertical. La amplitud de una función periódica, con valor máximo M valor mínimo m, es Amplitud M m -

3 Módulo : Gráfica de las Funciones Trigonométricas Ejemplo. En un mismo plano, grafique las siguientes funciones: f(x) = cos x, f(x) = cos x, f(x) = - cos x Y=-cosx Y=cos x Y=cosx La amplitud de = cos x es, A ( ). La amplitud de = cos x es, A ( ) La amplitud de = - cos x es, A ( ) 0. 5 Por lo tanto, la amplitud de = a cos x es a. En otras palabras el valor de a en la gráfica causa extenderla o comprimirla verticalmente. x Ejemplo. Grafique la función = cos x, = cos x, = cos, en un mismo plano cartesiano

4 Módulo : Gráfica de las Funciones Trigonométricas El período de cualquier función = sen bx o = cos bx, donde b 0 es Ejemplo. En un mismo plano grafique las funciones: f(x) = cos x, f(x) = cosx Tracemos la gráfica para valores de - x Las gráficas anteriores tienen la misma amplitud período, sin embargo, la función f(x) = cosx se encuentra a unidades a la derecha de la función f(x)= cos x. El valor desfasamiento o corrimiento. En resumen, sean las funciones = a sen b(x c) d o bien = a cos b(x c) d, se tiene que:. Amplitud = a. Período = b. Desfasamiento o corrimiento: c unidades a la derecha, si c es positivo c unidades a la izquierda, si c es negativo.. Desplazamiento vertical: d unidades hacia arriba, si d es positivo d unidades hacia abajo, si d es negativo b se denomina Práctica.. Dadas las siguientes funciones, determine la amplitud, el período, el desplazamiento vertical el desfasamiento. Trace la gráfica.

5 Módulo : Gráfica de las Funciones Trigonométricas a. cos x b. sen x c. senx -. Especifique, cuáles son los valores máximos mínimos la amplitud de cada función. a. cos x b. 5cos x. Dada la gráfica, determine una ecuación de la forma = a senx + d o bien = a cos x + d Escriba una ecuación de una variación de la función seno con las características dadas. Período, amplitud contiene al punto (, ) Período, amplitud contiene al punto, 7,, Contiene a los puntos 6, 5

6 Módulo : Gráfica de las Funciones Trigonométricas Ejemplo 5. Gráfica de la función = tan x. La función tangente está definida para cualquier número real x, excepto x = 0. El dominio de la función tan x es, Dom x / x (k ) ; k es entero Cuando x se aproxima a la gráfica muestra una asíntota. Una asíntota es una línea próxima a una curva pero que no la corta o interseca. La asíntota ocurre en puntos múltiplos impares de. La función tangente es periódica con periodo. Ejemplo 6. Graficar la función = cot x. Recordemos que la función = cot x es la inversa de la función tan x. De esta manera cada ordenada en la gráfica de la función cot x es la reciproca de la ordenada correspondiente en la gráfica tan x, siempre que x 0. La función cot x es periódica en, asíntotas en sus múltiplos de amplitud indefinida. El dominio de la función cota x es, Dom x / x k, con k entero

7 Módulo : Gráfica de las Funciones Trigonométricas En resumen, tenemos que para las funciones = a tan b (x c) + d bien = a cot b (x c) + d, a. amplitud es indefinida b. periodo = b c. desfasamiento o corrimiento: c unidades a la derecha, si c > 0 c unidades a la izquierda, si c < 0 d. desplazamiento vertical: d unidades hacia abajo, si d < 0 Ejemplo 7. Graficar la función = csc x. La función csc x es inversa de la función seno x. El dominio de la función csc x es el mismo que el de la cotangente x. El codominio de la función csc x es {/ } su periodo es Ejemplo 8. Graficar la función = sec x. La función sec x es inversa de la función cos x, con x distinto de cero. El dominio de la sec x es el mismo de la función tan x. El rango o codominio de la función sec x es {/ } su periodo es. La función es discontinua en múltiplos impares de no tiene amplitud

8 Módulo : Gráfica de las Funciones Trigonométricas Gráficas de las funciones trigonométricas en el Plano Polar Una función trigonométrica se puede representar en el plano polar siguiendo las siguientes consideraciones:. En el plano cartesiano cualquier punto de coordenada P(x, ) se puede trazar en el plano polar determinando la magnitud de P el ángulo, haciendo las siguientes conversiones: r x tan x Por ende, un punto en el Plano Polar tendrá coordenadas P(r; ). Si deseamos trazar el punto P(r;) en el plano polar debemos trazar una circunferencia de radio r luego trazar una línea con el ángulo de inclinación, por último, localizamos el punto de intercepción entre la circunferencia la recta.. Podemos encontrarnos con distancias negativas. Una vez localizado el ángulo, la recta que parte del polo en esa dirección tendrá un sentido positivo los puntos que estén sobre la prolongación de esa recta en sentido contrario el polo tendrá radio negativo. Plano Polar Formas de las ecuaciones. A. Rosas: r = cos (n + ), con n Z +. r = sen(n + ), con n Z +. r = senn r = cosn B. Cardiodes r = a(cos + ) r = a(sen + ) 8

9 C. Caracol r = asen + b r = acos + b D. Cisoide r = a tan sen Módulo : Gráfica de las Funciones Trigonométricas E. Espiral de Arquímedes r = a con en radianes F. Lemniscata r = a sen con en radianes G. Lituo r = con en radianes Veamos algunas ilustraciones de gráficas de funciones trigonométricas en el plano polar. Rosa de pétalos Cardiode Rosa de pétalos 9