MATEMÁTICAS 1 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

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1 MATEMÁTICAS 1 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Francisco Javier Jara Ulloa Primer Semestre Nivel Medio Superior ALUMNO: UAP: SEM: GRUPO: Universidad Autónoma de Nayarit 2da. Edición

2 UNIDAD DIDÁCTICA IV ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO PRESENTACIÓN El propósito de esta unidad didáctica consiste en desarrollar tus habilidades para el planteamiento y resolución de ecuaciones de segundo grado completas e incompletas por diferentes métodos. Al finalizar la unidad didáctica analizarás, con la ayuda de tu profesor, problemas aplicados a otras ciencias o relacionados a situaciones cotidianas. Esta unidad cuenta con tres tipos de ejercicios, los tipo a que son fáciles te servirán como ejercitación y repaso de los temas, los tipo b en los cuales tienes que hacer un poco de esfuerzo porque son ejercicios que implican una sustitución o un grado de complejidad un poco mayor y por último los tipo c los cuales son de aplicación o que requieren un poco de análisis para su solución. Estos ejercicios los identificarás por aparecer un subíndice a, b o c en el número del mismo. COMPETENCIAS GENÉRICAS A DESARROLLAR: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables. 2

3 COMPETENCIAS DISCIPLINARES A DESARROLLAR: 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. 3

4 Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas. Para poder resolver esta unidad didáctica es necesario que hayas revisado el tema de ecuaciones de segundo grado o cuadráticas, lo cual podrás hacer en clase o en alguno de los libros sugeridos en la bibliografía, en el capítulo de ecuaciones de segundo grado. Puedes también revisar en la página en la sección de Unidades Didácticas, 4to ESO en el tema de ecuaciones de 2º grado. Existe software como Derive o Encarta en el que puedes comprobar tus resultados. ACTIVIDAD 1 Con esta actividad lograrás identificar las diferentes tipos de ecuaciones de segundo grado 1 a. Elabora un cuadro sinóptico o un mapa conceptual donde reflejes la clasificación y lo que aprendiste sobre las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas. Ecuaciones de 2º grado 4

5 ACTIVIDAD 2 Con esta actividad lograrás identificar las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas Identifica cuales de las siguientes ecuaciones representan una ecuación de segundo grado o cuadrática. 1 a. x 2 + 2x 3 = 0 2 a. 4x 5 = 0 3 a. x 2 + 3x + 2 = 0 4 a. x = 0 5a. x 2 + 2x + 15 = 0 6 a. x 2 = -5x 6 7 a. 9y + 18 = 0 8 a. x 2 = 15x 56 9 a. -4x = x a. 1 x 2 x a. 6x + 6 = x 12 a. -x 2 + 5x = -8 2 ACTIVIDAD 3 Con esta actividad lograrás identificar la ecuación general de segundo grado o cuadrática En las siguientes ecuaciones, identifica lo valores de a, b y c. 1 a. x 2 + 2x 3 = 0 2 a. 4x 5 = 0 3 a. x 2 + 3x + 2 = 0 4 a. x = 0 5 a. x 2 = -5x 6 6 a. x 2 = 15x 56 7 a. -4x = x a. 1 x 2 x 3 0 9a. -x 2 + 5x =

6 Método gráfico Para poder resolver esta unidad didáctica es necesario que hayas revisado el tema de ecuaciones de segundo grado o cuadráticas, lo cual podrás hacer en clase o en alguno de los libros sugeridos en la bibliografía, en el capítulo de ecuaciones de segundo grado. Puedes también revisar en la página en la sección de Unidades Didácticas, 4to ESO en el tema de ecuaciones de 2º grado. Existe software como Derive o Encarta en el que puedes comprobar tus resultados. ACTIVIDAD 1 Con esta actividad lograrás identificar lo que aprendiste de la solución de las ecuaciones de segundo grado por el método gráfico. 1 a. Elabora un cuadro sinóptico o un mapa conceptual donde reflejes la clasificación y lo que aprendiste sobre el método gráfico para la resolución de una ecuación de segundo grado. Método gráfico 6

7 ACTIVIDAD 2 Con esta actividad lograrás aplicar el método gráfico para la resolución de las ecuaciones de segundo grado. Determina la gráfica y las raíces de las siguientes funciones 1 c. 2 c. 7

8 3 c. 8

9 Solución de ecuaciones por factorización Para poder resolver esta unidad didáctica es necesario que hayas revisado el tema de ecuaciones de segundo grado o cuadráticas, lo cual podrás hacer en clase o en alguno de los libros sugeridos en la bibliografía, en el capítulo de ecuaciones de segundo grado. Puedes también revisar en la página en la sección de Unidades Didácticas, 4to ESO en el tema de ecuaciones de 2º grado. Existe software como Derive o Encarta en el que puedes comprobar tus resultados. ACTIVIDAD 1 Con esta actividad lograrás identificar lo que aprendiste sobre solución de las ecuaciones de segundo grado por factorización. 1 a. Elabora un cuadro sinóptico o un mapa conceptual donde reflejes la clasificación y lo que aprendiste sobre la solución a una ecuación de segundo grado por factorización. Ecuación de 2º grado 9

10 ACTIVIDAD 2 Con esta actividad aplicarás la factorización en la resolución de ecuaciones de segundo grado. Resuelve cada ecuación usando la factorización. 1 b. x 2 + 2x 3 = 0 2 b. x 2 4x 5 = 0 3 b. x 2 + 3x + 2 = 0 4 b. x 2 8x + 15 = 0 5 b. x 2 + 2x + 15 = 0 6 b. x 2 = - 5x 6 7 b. x 2 + 9x + 18 = 0 8 b. x 2 = 15x 56 9 b. - 4x = x b. 1 x 2 x b. 4x 6 = - 2x 2 12 b. 3x 2-3x 18 = 0 10

11 ACTIVIDAD 3 Con esta actividad aplicarás la factorización en la resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas. Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas. 1 b. x 2 2-3x = 0 2 b. x 9x b. x 6x 0 4 b. x 2 36 = 0 5 b. x 2-6x = 0 6 b. z 2-36 = 0 7 b. 2y 2-7y = 0 8 b. 6x 2 = - x 9 b. 3w 2-5 = 0 10 b. x 2 =

12 Solución de ecuaciones cuadráticas por la fórmula general Para poder resolver esta unidad didáctica es necesario que hayas revisado el tema de ecuaciones de segundo grado o cuadráticas, lo cual podrás hacer en clase o en alguno de los libros sugeridos en la bibliografía, en el capítulo de ecuaciones de segundo grado. Puedes también revisar en la página en la sección de Unidades Didácticas, 4to ESO en el tema de ecuaciones de 2º grado. Existe software como Derive o Encarta en el que puedes comprobar tus resultados. ACTIVIDAD 1 Con esta actividad lograrás identificar lo que aprendiste sobre solución de las ecuaciones de segundo grado por la fórmula general. 1 a. Elabora un cuadro sinóptico o un mapa conceptual donde reflejes la clasificación y lo que aprendiste sobre la solución a una ecuación de segundo grado por la fórmula general. Ecuaciones de 2º grado 12

13 ACTIVIDAD 2 Con esta actividad aplicarás la fórmula general en la resolución de ecuaciones de segundo grado. Resuelve las siguientes ecuaciones usando la fórmula general. 1 b. x 2 + 2x 3 = 0 2 b. x 2 4x 5 = 0 3 b. x 2 + 2x + 15 = 0 4 b. x 2 = - 5x 6 5 b. x 2 + 9x + 18 = 0 6 b. x 2 = 15x 56 7 b. - 4x = x b. 1 x 2 x

14 ACTIVIDAD 3 Con esta actividad aplicarás las diferentes técnicas de resolución de ecuaciones de segundo grado. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado. 5 1 c x x c x x 2 3 c x 2 x c.- 2 p p c. 2= 2 x x 6 c. 2 x 2 x 3 x 2 x 14

15 Resuelve por cambio de variable 7 c. x 4 + 2x 2 8 = 0 8 c. y 4-7y 2 = c. x 3 5x c. p -13 p

16 ACTIVIDAD 4 Con esta actividad lograrás identificar las propiedades y características del discriminante de las ecuaciones de segundo grado. Determina, sin resolver la naturaleza de las soluciones (raíces) 1 b. 2 b. 3 b. 4 b. 5 b. 6 b. 16

17 Solución de problemas de aplicación Para poder resolver esta unidad didáctica es necesario que hayas revisado el tema de ecuaciones de segundo grado o cuadráticas, lo cual podrás hacer en clase o en alguno de los libros sugeridos en la bibliografía, en el capítulo de ecuaciones de segundo grado. Puedes también revisar en la página en la sección de Unidades Didácticas, 4to ESO en el tema de ecuaciones de 2º grado. Existe software como Derive o Encarta en el que puedes comprobar tus resultados. ACTIVIDAD 1 Con esta actividad lograrás identificar lo que aprendiste de la solución de problemas de aplicación de las ecuaciones de segundo grado. 1 a. Elabora un cuadro sinóptico o un mapa conceptual donde reflejes la clasificación y lo que aprendiste sobre la resolución de problemas de aplicación de una ecuación de segundo grado. Resolución de problemas 17

18 ACTIVIDAD 2 Con esta actividad lograrás aplicar las ecuaciones de segundo grado en la resolución de problemas. Resolver los siguientes problemas formulando una ecuación de segundo grado. 1 c. El área de un jardín rectangular es 2 m menor que 3 veces su ancho. Determina el largo y ancho si el área del jardín es de 21 m 2. 2 c. Un fotógrafo profesional tiene una foto de 6 X 8 pulg. Desea reducir la foto la misma cantidad de cada lado, de modo que la foto resultante tenga la mitad del área que la foto original. En cuanto tiene que reducir la longitud de cada lado? 3 c. Un piloto voló en su aeroplano Cesna de un solo motor 80 millas con el viento a favor, después se dio la vuelta y regreso con el viento en contra. Si la velocidad del viento fue constante y de 30 mi/h y el tiempo total de ida y de regreso fue de 1.3 h, determina la velocidad del avión en el aire tranquilo. 18

19 4 c. Después de un pequeño derrame de aceite, se enviaron dos barcos limpiadores para recoger el aceite que flota en la bahía. El barco mas nuevo puede limpiar solo todo el derrame en 3 horas menos que si el barco mas viejo lo hace solo. Si ambos trabajan juntos, pueden limpiar todo el derrame de aceite en 8 horas. Cuánto tarda el barco mas nuevo, si trabaja solo en limpiar todo el derrame? 5 c. El largo de una parcela rectangular es 50% más que su ancho, si el largo y el ancho se incrementan en 10 m, el área de la parcela se duplica. Cuáles son las dimensiones originales de la parcela? 6 c. Para hacer una caja rectangular de 20 cm de largo por 16 cm de ancho, se cortan cuadrados iguales de las esquinas y el metal se dobla y se suelda (ver figura). Si el área de la base de la caja es de 140 cm 2, Cuál es la longitud de l lado del cuadrado que se corta de cada esquina? 19

20 7 c. En un auditorio hay 616 asientos dispuestos en filas de 6 asientos más por fila que el número de filas, Cuántos asientos hay en cada fila? 20

21 CRITERIOS DE CALIFICACIÓN CALIFICACIÓN PARCIAL Participación y trabajo en el curso-taller 20% Tareas y/o trabajos extraclase (Guía Didáctica) 20% Autoevaluación temática 10% Caso integrador 10% Examen 40% AUTOEVALUACIÓN Marca con una X según consideres tu trabajo durante la unidad, recuerda ser honesto, ya que tus resultados te servirán para crecer como estudiante y como persona. Variable a medir Excelente Bueno Regular Malo Asistencia Participación Trabajo en el aula Autoestudio Tareas Disposición al trabajo en equipo Tolerancia ante comentarios de compañeros Examen Compromisos para mejorar Firma de enterado: Docente: 21

22 AUTOEVALUACIÓN TEMÁTICA Esta autoevaluación te permitirá una retroalimentación sobre los temas de ecuaciones de segundo grado y te mostrará si está listo presentar el examen final. Recuerda que esta autoevaluación cuenta el 10% de tu calificación parcial. INSTRUCCIONES GENERALES: La siguiente autoevaluación consta de 2 secciones (ejercicios y problemas), las cuales deberán contestarse como se indica en cada caso. Cada sección tiene un puntaje (valor) determinado. VALOR (5%) I.- Resolver los siguientes ejercicios sobre ecuaciones de segundo grado. 1.- La solución de la ecuación es: a) 4 y 2 b) 4 y 2 c) 4 y 2 d) 4 y La solución de la ecuación es: a) 2 + i, 2 i b) 2, - 2 c) 3i, - 3i d) 3, Cuál es el valor del discriminante de la ecuación? a) 30 b) 40 c) 50 d) Una de las raíces de la ecuación es: a) 2/3 b) 3/2 c) 9/4 d) 4/9 5.- Determina la solución de la ecuación a) 0 y 7 b) 7 y 7 c) 7 y 0 d) 1 y 7 VALOR (5%) II.- Resolver los siguientes problemas sobre ecuaciones de segundo grado. 1.- Un avión hace un viaje de Tepic a México (600 km) a cierta velocidad. Si su velocidad aumenta 30 km/h, el tiempo necesario para el viaje disminuiría 1 h. A qué velocidad va? a) 100 km/h b) 120 km/h c) 150 km/h d) 180 km/h 2.- La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el doble de la del hijo. Cuántos años tiene ahora cada uno? a) 6 y 36 b) 5 y 25 c) 4 y 16 d) 7 y 49 22

23 CASO INTEGRADOR La ganancia semanal G en miles de pesos de la tienda Blockbuster, depende del precio de la renta de sus cintas, t. La ecuación de ganancia es G 0.2t 2 5, 0 t 50 a) Cuál es la ganancia o pérdida semanal de la tienda, si cobran $10.00 por cinta? b) Cuál es la ganancia semanal o pérdida semanal, si cobran $35.00 por cinta? c) A qué precio por cinta su ganancia semanal será de $16,000? d) Construye la gráfica, donde G representa al eje Y y t al eje X. Qué te indican las raíces de la gráfica? e) Investiga el precio de renta actual de esta tienda y basándote en la ecuación de ganancia, determina la ganancia semanal 23

24 BIBLIOGRAFIA Garcia, Marco A. (2009) Matemáticas I para preuniversitarios. México: Esfinge Méndez, Arturo/Osorio, Juan (2010) Matemáticas I. México: Santillana Arriaga, Alfonso (2009) Matemáticas 1. México: PROGRESO EDITORIAL Cuellar, José A. (2005) Matemáticas I para bachillerato. México: Mc Graw Hill Carpinteiro, Eduardo / Sánchez, Ruben B. (2004) Álgebra. México: Publicaciones Cultural Allen, R. Angel (2004) Álgebra Intermedia. México: Prentice Hall Hispanoamericana Olmos, Raul A./ Méndez, Ismael R. (2006) Matemáticas I. Méxco: Mc Graw Hill Fuenlabrada, Samuel (2001) Aritmética y Álgebra. México: Mc Graw Hill Ibáñez, Patricia C. (2006) Matemáticas I. México: Thomson Osorio, Juan M. (2006) Matemáticas 1. México: Santillana Ensensberger, Hans Magnus (1997) El diablo de los números. España: Siruela Malba, Tahan (2003) El hombre que calculaba. México: Noriega Editores Software Encarta Software Derive SOFTWARE Y SITIOS DE INTERNET 24

25 NULO BAJO MEDIO ALTO NULO BAJO MEDIO ALTO NULO BAJO MEDIO ALTO NULO BAJO MEDIO ALTO NULO BAJO MEDIO ALTO NULO BAJO MEDIO ALTO ELIGE EL NIVEL EN QUE DESARROLLASTE TUS COMPETENCIAS GENÉRICAS DURANTE ESTA UNIDAD TEMÁTICA Se autodetermina y cuida de sí 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. Se expresa y se comunica 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Piensa crítica y reflexivamente 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. Aprende de forma autónoma 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Trabaja en forma colaborativa 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participa con responsabilidad en la sociedad 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables. 25

26 NULO BAJO MEDIO ALTO COMPETENCIAS DISCIPLINARES DE MATEMATICAS Las competencias disciplinares de matemáticas buscan propiciar el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico y crítico entre los estudiantes. Un estudiante que cuente con las competencias disciplinares de matemáticas puede argumentar y estructurar mejor sus ideas y razonamientos. Las competencias reconocen que a la solución de cada tipo de problema matemático corresponden diferentes conocimientos y habilidades, y el despliegue de diferentes valores y actitudes. Por ello, los estudiantes deben poder razonar matemáticamente, y no simplemente responder ciertos tipos de problemas mediante la repetición de procedimientos establecidos. Esto implica el que puedan hacer las aplicaciones de esta disciplina más allá del salón de clases. Las competencias propuestas a continuación buscan formar a los estudiantes en la capacidad de interpretar el entorno que los rodea matemáticamente. Evalúa la relación que existe entre lo que has aprendido en esta Unidad Temática y las competencias disciplinares de matemáticas. Competencias 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. 26

27 Ficha de Análisis del Proceso Cognoscitivo Para facilitar el rescate del proceso personal de formación de conocimiento, elabora una carta a un amigo donde le expliques lo siguiente: De acuerdo a tu experiencia Cuáles son los conocimientos previos que necesita una persona para manejar este conocimiento? Cuáles son los conceptos claves en este tema? Cuáles son los aspectos más fáciles de entender? Cuáles son los aspectos más difíciles de entender? Qué ejemplos pondrías a alguien para que entendiera mejor el tema? En qué situaciones de tu vida puedes aplicar este conocimiento? Qué nuevos retos y expectativas te plantea lo que has aprendido? 27

28 La siguiente tabla te da una ubicación en tu desempeño de acuerdo a la Dedicación que mostraste durante el desarrollo de la Unidad Didáctica de Ecuaciones de primer grado, según la cantidad de ejercicios que hayas contestado en la guía didáctica, es muy importante tu honestidad ya que de esto depende la ubicación en el grado de desempeño que te corresponderá. En total son 26 ejercicios tipo A, 36 ejercicios tipo B y 20 ejercicios tipo C. GRADO DE DEDICACIÓN INSUFICIENTE ELEMENTAL BUENO EXCELENTE DESCRIPCIÓN Estarás en este nivel siempre y cuando no cumplas con los requisitos para el ELEMENTAL. Para estar en este nivel es necesario que contestes correctamente por lo menos 10 ejercicios tipo A, 10 tipo B y 5 tipo C. Para estar en este nivel es necesario que contestes correctamente por lo menos 15 ejercicios tipo A, 20 tipo B y 10 tipo C. Para estar en este nivel es necesario que contestes correctamente por lo menos 20 ejercicios tipo A, 30 tipo B y 15 tipo C. Si no cumples con alguno de los tres requisitos (cantidad mínima de ejercicios) para un grado, tu ubicación será en el grado anterior. Para comprender mejor esta tabla pide ayuda a tu profesor y él te orientará sobre algunas técnicas o estrategias que debes emplear para mejorar tu rendimiento académico y obtener mejores resultados en las siguientes evaluaciones. Rasgos Criterios TABLA DE RESULTADOS DE APRENDIZAJE ALCANZADOS INSUFICIENTE ELEMENTAL BUENO EXCELENTE Ecuaciones de segundo grado Identifica una ecuación de segundo grado y los valores de a, b y c. Resuelve ecuaciones de segundo grado por factorización y por la fórmula general Resuelve ecuaciones de segundo grado por cualquier método e identifica soluciones reales y complejas. Analiza y resuelve ecuaciones de segundo grado y analiza la naturaleza de su solución por medio del discriminante. Usa Software para la solución Problemas de ecuaciones de segundo grado Desconoce un problema que requiere de una ecuación de segundo grado Identifica un problema cuyo planteamiento requiere de una ecuación de segundo grado Resuelve problemas que requieren del planeamiento de una ecuación de segundo grado. Analiza y diseña problemas que requieren del planteamiento de una ecuación de segundo grado. 28

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