SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Transcripción

1 SISTES DE ECUCINES INEES Ecucioes lieles. Se llm ecució liel co icógits tod ecució que pued escriirse de l form: dode so vriles y... so úmeros reles siedo i el coeficiete de l vrile i y el térmio idepediete de l ecució. Si el térmio idepediete de l ecució es ulo ( 0) se dice que l ecució liel es homogée. Se dice que u cojuto de úmeros (k k k... k ) es solució de l ecució terior si sustituids ls vriles... por los vlores k k k... k se verific l ecució. k k k Se defie cojuto solució de u ecució liel l cojuto formdo por tods sus solucioes. Se dice que dos ecucioes so equivletes si ls dos tiee el mismo cojuto solució. Trsformcioes equivletes: - ultiplicr o dividir los dos térmios de l ecució por u mismo úmero. - Itercmir l posició de ls vriles. Sistem de ecucioes lieles. U cojuto de m ecucioes lieles co icógits cd ecució se defie como u sistem de m ecucioes co icógits (S m ) Sm m. m.... m. m l igul que e el cso de ls ecucioes lieles u solució será u cojuto de úmeros reles desde k hst k que verifique simultáemete ls m ecucioes del sistem. l cojuto formdo por tods ls solucioes del sistem se le deomi cojuto solució. Pr dos vriles se suele utilizr y pr tres y z pr cutro y z t pr u úmero de vriles superior cutro se suele empler vriles lf-umérics.... Dos sistems se defie como equivletes si mos tiee el mismo cojuto solució. Trsformcioes equivletes: - ultiplicr o dividir todos los térmios de l ecució por u mismo úmero. - Itercmir l posició de ls vriles. - Itercmir l posició de ls ecucioes - Si dos ecucioes so igules ó proporcioles elimir u de ells. - Si u ecució es comició liel del resto de ls ecucioes elimirl. - Sustituir u ecució por u comició liel de ell mism co el resto de ls ecucioes. Todo sistem de ecucioes idepedietemete del úmero de ecucioes e icógits que teg o tiee u solució ifiits solucioes o igu solució por tto segú el cojuto solució los sistems se puede clsificr e los siguietes tipos: Determidos (solució úic). S.C.D. Comptiles (tiee solució) : Sistems : Idetermidos (ifiits solucioes). S.C.I. Icomptiles (o tiee solució). S.I.

2 Sistems homogéeos. Si e u sistem m todos los térmios idepedietes so ulos se le defie como sistem homogéeo m. m. m. os sistems homogéeos se crcteriz porque siempre dmite l meos l solució trivil:... 0 por lo que siempre so sistems comptiles. Ecució degeerd. Se dice que u ecució liel es degeerd si es de l form: ddo que el primer térmio de l ecució es ulo ests ecucioes degeerds solo puede ser de dos tipos: Trivil: si 0 e este cso culquier colecció de úmeros reles stisfce l ecució. Por eso ls solucioes de u sistem que coteg u ecució trivil será ls solucioes del resto de ls ecucioes siedo posile suprimir ls ecucioes triviles si que vríe el cojuto solució. surdo: si 0 o tiee solució. Todo sistem que coteg u solució surd es icomptile. trices socids u sistem. Cudo se mej sistems co muchs ecucioes y/o icógits es más secillo socir el sistem u ecució mtricil secill. U sistem m de l form: Sm : m. m.... m. se puede socir u ecució mtricil de l form X C Siedo: m. triz de coeficietes. m. m. m. - X. triz icógit. X - B m. triz de térmios idepedietes. B m queddo l ecució terior de l siguiete form: m

3 .. m.... m... m. m l uió de ls mtrices de coeficietes co l mtriz de térmios idepedietes se defie como mtriz mplid del sistem m. m. m. m cd sistem se le soci ls mtrices y. U sistem qued completmete descrito por su mtriz mplid que puede verse como u form compct de escriir el sistem suprimiedo los omres de ls icógits. Cd fil de correspode u ecució del sistem y cd colum los coeficietes de u icógit slvo l últim que correspode los térmios idepedietes del sistem. Pr recordr esto l colum de térmios idepedietes suele escriirse seprd del resto por u rr verticl m. m. m. m Como cd fil de l mtriz mplid represet u ecució del sistem etre ls fils de l se podrá hcer ls misms opercioes que etre ls ecucioes de u sistem. s opercioes elemetles etre fils que puede efecturse sore culquier mtriz so: - ultiplicr o dividir todos los térmios de l ecució por u mismo úmero. - Itercmir l posició de ls vriles. - Itercmir l posició de ls ecucioes - Si dos ecucioes so igules ó proporcioles elimir u de ells. - Si u ecució es comició liel del resto de ls ecucioes elimirl. - Sumr ó restr u fil otr multiplicd por u úmero. Cudo u mtriz se otiee de otr medite sucesivs opercioes elemetles etre fils se dice que ms mtrices so equivletes por fils. Es evidete que dos mtrices mplids equivletes por fils descrie sistems equivletes. étodo de elimició de Guss. El método de Guss pr resolver sistems de ecucioes lieles es u reducció esclod pr oteer u sistem equivlete más secillo cuy form permite verigur si se trt de u sistem comptile determido comptile idetermido o icomptile y e los csos de comptiilidd resolverlo. Podemos distiguir tres etps e el método de Guss: Etp. Reducció del sistem o de su mtriz mplid form esclod. Etp. Clsificció del sistem esclodo oteido e l etp. Etp. Resolució del sistem esclodo cudo se comptile. Etp. Se dice que u mtriz es esclod si se cumple ls siguietes codicioes: - Tods ls fils de ceros si ls hy está e l prte iferior de l mtriz. - El primer elemeto o ulo (de izquierd derech) de cd fil está situdo más l derech que el primer elemeto o ulo de l fil imedit superior. Tod mtriz es equivlete por fils lgu mtriz esclod. Es decir medite opercioes elemetles etre fils tod mtriz puede llevrse form esclod.

4 Se dice que u sistem es esclodo si su mtriz mplid es esclod. sí pues e u sistem esclodo: primer icógit de cd ecució está situd más l derech que l primer icógit de l ecució precedete. De tods ls ecucioes solo l ultim puede ser surd PERCINE EQUIVENT S... ES 0.. m. m. m. m 0 0 m. m Etps y. Cosideremos u sistem esclodo co icógits. Se r y r el úmero totl de ecucioes y el úmero de ecucioes o surds respectivmete. Etoces: Si r r el sistem es icomptile. Determido si r Si r r el sistem es comptile: Idetermido si r < os sistems esclodos si ecucioes surds y co el mismo úmero de ecucioes que de icógits se deomi sistems trigulres. Pr u sistem de :... PERCINES... EQUIVENTES... 0 '. '. ' ' ' Su solució se puede hllr por el método de sustitució hci rri. Primero se resuelve l últim ecució pr l últim icógit:. cotiució se sustituye el vlor hlldo de e l peúltim ecució y se resuelve pr l peúltim icógit:. Después se sustituye los vlores hlldos de y e l tepeúltim ecució y se resuelve pr l primer icógit:. Sí el sistem tuvier más icógits se resolverí de form álog. ó U sistem esclodo comptile idetermido de puede teer u de ests forms:... PERCINES... EQUIVENTES... 0 '. '. ' PERCINES... EQUIVENTES comptile idetermido co u grdo de idetermició ó comptile idetermido co dos grdos de idetermició respectivmete. Se defie como grdo de idetermició de u sistem comptile idetermido l difereci etre el úmero de icógits y el úmero de ecucioes lielmete idepedietes. El grdo de idetermició idic el úmero de prámetros que se ecesit pr resolver el sistem. El sistem se resuelve e fució de los prámetros de jo rri. U sistem será icomptile cudo l trigulrizrlo prezc u ecució surd... PERCINES... EQUIVENTES

5 étodo de Guss-Jord. Este método es u vrite del terior e l que l mtriz mplid del sistem se llev medite opercioes elemetles form cóic por fils.... PERCINES 0 0 ' EQUIVENTES ' ' Se dice que u mtriz tiee form cóic por fils si es esclod y se cumple demás ls codicioes: El elemeto o ulo situdo más l izquierd e cd fil es igul. El situdo más l izquierd e cd fil es el úico elemeto distito de cero de su colum. Cd mtriz es equivlete por fils u úic mtriz e form cóic por fils (llmd l form cóic por fils de ). U vez reducid l mtriz mplid medite opercioes equivletes su form cóic por fils se escrie el sistem esclodo socido y se liz igul que e l etp del método de Guss. E los sistems esclodos que se otiee e el método de Guss-Jord cd icógit o lire prece ectmete e u ecució y su coeficiete es. Por eso o es ecesrio efectur l sustitució hci rri pr resolver los sistems comptiles. E el cso comptile determido el uevo sistem epres directmete l solució. 0 0 ' 0 0 ' 0 0 ' E el cso comptile idetermido st psr los térmios co icógits lires los segudos miemros de ls ecucioes y sigr prámetros dichs icógits. El sistem sí oteido epres directmete los vlores de ls icógits o lires e fució de los prámetros. 0 '. ' 0 '. ' 0 0 ' Sistems de Crmer. Regl de Crmer. Se llm sistem de Crmer todo sistem de ecucioes lieles que verifique ls dos codicioes siguietes: El úmero de ecucioes es igul l úmero de icógits. El determite de l mtiz de coeficietes es distito de cero. Regl de Crmer: Culquier sistem de Crmer es comptile determido y su solució úic viee dd por: i i i... dode i es l mtriz que se otiee sustituyedo l colum i-ésim e l mtriz de coeficietes por el vector de térmios idepedietes. Demostrció: cosideremos u sistem de Crmer : Como el determite de l mtriz de coeficietes cumple 0 dich mtriz es ivertile el sistem es etoces comptile determido y su solució viee dd por: 5

6 Si hor sustituimos por l epresió hlld e l secció terior y multiplicmos por el vector de térmios idepedietes llegmos : o se i.i.i i... servmos que el umerdor e l epresió de cd i es igul l desrrollo por l colum i-esim del determite de l mtriz...i.i...i.i. i que result de sustituir e l colum i-ésim por el vector de térmios idepedietes. Por tto l solució puede epresrse como: como querímos demostrr. Pr u sistem : 0 siedo z y z y z y os sistems comptiles determidos tmié se puede resolver medite u ecució mtricil. Se el sistem comptile determido ( ) 0 : : S que mtricilmete se puede represetr como:

7 X C Despejdo l mtriz X medite l ivers de : X B sustituyedo cd mtriz por su epresió: operdo e idetificdo se otiee el cojuto solució.... Clsificció de sistem. Teorem de Rouché-Froeius. U sistem de m ecucioes co icógits es comptile si y sólo si el rgo de l mtriz de coeficietes y el rgo de l mtriz mplid so igules: rg rg Supoiedo que rg rg r se puede presetr dos csos: Sí r sistem comptile determido Sí r sistem comptile idetermido. l difereci r se l deomi Grdo ó grdos de idetermició del sistem e idic el úmero de prámetros ecesrios pr resolver el sistem. Sistems : Comptiles (rg rg Icomptiles (rg rg Determidos (rg rg ).S.C.D. ) : Idetermidos (rg rg < ).S.C.I. ).S.I. El rgo de u sistem iform del úmero de ecucioes lielmete idepedietes. s ecucioes lielmete idepedietes de u sistem so ls úics ecesris pr resolver el sistem. Se seleccio prtir del myor meor distito de cero que defie el rgo del sistem siedo ls ecucioes que cotiee los elemetos de dicho meor. Iterpretció geométric de sistems. Se el sistem: defiido por l mtrices:.... y y... y..... rg rg Tipo de Sistem Iterpretció S.C.D. Rects sectes S.I. Rects prlels S.C.I. Rects coicidetes 7

8 Pr u sistem :.. y.z.. y.z.. y z defiido por ls mtrices: y rg rg Tipo de sistem Iterpretció Tres plos cocurrete e u puto S.C.D. Dos prlelos y uo que los cort S.I. ó Prism trigulr de rists prlels Hz de plos de rist comú S.C.I. Plos prlelos S.I. S.C.I. Plos coicidetes 8