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Transcripción

1 PRODUCTO ESCALAR INTRODUCCIÓN El espacio vectorial de los vectores libres del plano se caracteriza por tener definidas dos operaciones: una interna, suma de vectores, y otra externa, producto de un número real por un vector. Las propiedades que se derivan de estas dos operaciones reciben el nombre de propiedades afines, y nos permiten resolver problemas tales como la incidencia, el paralelismo y la intersección de rectas. Ampliando el conjunto de estas dos operaciones podremos trabajar con otros conceptos como distancias, ángulos y áreas. La nueva operación es el producto escalar de vectores libres de plano. En el conjunto de los vectores libres del espacio, además de ampliar las operaciones del espacio vectorial con el producto escalar se pueden añadir otras dos operaciones más, el producto vectorial y el producto mixto. I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 1

2 ÁNGULO DETERMINADO POR DOS VECTORES LIBRES Sean u y v dos vectores libres no nulos de los vectores libres del plano y A un punto arbitrario del plano afín. Sean AB y AC dos representantes de los vectores u y v con origen común en el punto A. u = AB y v = AC Se llama ángulo determinado por los vectores libres u y v al menor de los ángulos que forman las semirrectas AB y AC y podemos designarlo como u, v. Será α= ( u, v ) 0º α 180º I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 2

3 Si uno de los vectores libres coincide con el vector nulo, el concepto de ángulo determinado por dos vectores libres carece de sentido. Decimos que el ángulo u, v El ángulo que forman u y v es α Recuerda que cos 360º α = cosα tiene sentido positivo cuando el sentido de recorrido de u hacia v es contrario al sentido de giro de las agujas del reloj, y negativo cuando coincide con el sentido de giro de las agujas del reloj. Recuerda que Ángulo con sentido positivo Ángulo con sentido negativo α= u, v α = v, u cos α = cosα I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 3

4 PRODUCTO ESCALAR Definición Dados dos vectores libres del plano u y v, se llama producto escalar de los vectores u y v, que representamos como u v, al producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. u v = u v cosα donde α= ( u, v ). Si alguno de los vectores es el vector nulo, por definición, el producto escalar será cero, dado que en tal caso dijimos que carecía de sentido hablar del ángulo que forman los vectores. El producto escalar asocia a cada par de vectores u y v un único número real, luego es una aplicación V2 V2 u v ( u, v) I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 4

5 El producto escalar puede ser un número real positivo, negativo o nulo. El signo del producto escalar dependerá del signo del coseno dado que u 0 y v 0. El producto escalar será positivo si los vectores son no nulos y forman un ángulo agudo. El producto escalar será cero si alguno de los vectores es nulo o, siendo ambos no nulos, forman un ángulo recto (son perpendiculares). El producto escalar será negativo si los vectores son no nulos y forman un ángulo obtuso. Sean u y v dos vectores no nulos, u 0 y v 0. 0º α< 90º α= 90º 90º <α 180º u v > 0 u v = 0 u v < 0 I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 5

6 Casos particulares En el caso particular de que u = v, se tiene u u = u u cos0º = u 2 u u = u El producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado de su módulo. De donde también podemos obtener la expresión u = u u Si los dos vectores tienen la misma dirección y sentido, su producto escalar es igual al producto de sus módulos. u v = u v cos0º = u v 2 1 Si los dos vectores tienen la misma dirección y sentidos opuestos, su producto escalar es igual al valor opuesto del producto de sus módulos. u v = u v cos180º = u v 1 1 I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 6

7 Propiedad Sean u y v dos vectores no nulos, u 0 y v 0. El producto escalar de u y v es cero si y solo si los vectores u y v son perpendiculares. u v = 0 u v Demostración ( ) ( ) u v = 0 u v cosα= 0 cosα= 0 α=90º u v 0 0 u v α= 90º u v = u v cos90º = 0 u v = 0 A los vectores no nulos cuyo producto escalar es cero los llamamos vectores ortogonales. Definición Se dice que dos vectores libres no nulos son ortogonales si su producto escalar es cero, es decir, dados dos vectores, u 0 y v 0, u y v ortogonales u v = 0 = 0 I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 7

8 Interpretación geométrica del producto escalar Sean u = AB y v = AC. Se llama vector proyección de v sobre u al vector v = AC, donde C es la proyección ortogonal de C sobre la recta que contiene a u. Podemos notarlo por proy u v y tenemos proy u v = AC Usando este vector vamos a interpretar geométricamente el producto escalar. I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 8

9 Ángulos agudos Ángulos obtusos En el triángulo rectángulo C'CA AC v proy uv cosα= = = AC v v de donde v cosα= proyv u v = u v cosα= u proyuv = u proy uv u y proy uv tienen la misma dirección y sentido u En el triángulo rectángulo C'CA AC v proy uv cos( 180º α ) = = = AC v v de donde Teniendo en cuenta que v cos 180º α = proyv cos 180º α = cosα obtenemos v cosα= proy uv v cosα= proy uv u v = u v cosα= u proyuv = u proy uv u y proy uv tienen la misma dirección y sentidos opuestos u I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 9

10 El producto escalar de dos vectores es igual al producto escalar de uno de ellos por el vector proyección del otro sobre él. u v = u proyv u I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 10

11 Propiedades del producto escalar PE1) Conmutativa PE2) Homogénea u v = v u ( λ u) v =λ ( u v) PE3) Distributiva del producto escalar respecto a la suma de vectores u v + w = u v + u w PE4) Definido positivo Para cualquier vector u no nulo de V 2 u u > 0 I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 11

12 Espacio vectorial euclídeo Se llama espacio vectorial euclídeo a un espacio vectorial en el que se ha definido un producto escalar. El espacio vectorial de los vectores libres del plano con el producto escalar que hemos definido es un espacio vectorial euclídeo. I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 12

13 Vectores unitarios Se dice que un vector u es unitario si su módulo es la unidad, u = 1. Dado un vector v, no nulo, se pueden obtener dos vectores unitarios con la misma dirección que u, el vector v u = v y su opuesto v u = v I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 13

14 Base ortonormal Recordamos que para que un conjunto de vectores formen una base se necesita que sean linealmente independientes y formen un sistema generador. Algunos tipos particulares de bases son: Se dice que una base es normada si todos los vectores que la componen son unitarios. B= u, u es normada u1 = u2 = 1 { } 1 2 Se llama base ortogonal a una base cuyos vectores son ortogonales dos a dos B= u, u es ortogonal u1 u2 = 0 { } 1 2 Se dice que una base es ortonormal si sus vectores son unitarios y ortogonales dos a dos. B= u, u es ortonormal u1 = u2 = 1 y u1 u2 = 0 { } 1 2 u 1 = u2 = 1 u 1 u2 = 0 u 1 = u2 = 1 y u1 u2 = 0 Base normada Base ortogonal Base ortonormal I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 14

15 EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR B= i, j Consideremos la base ortonormal { } i = j = 1 e i j =0 Los vectores i y j son unitarios y ortogonales. La dirección del vector i es horizontal y sentido a la derecha. La dirección del vector j es vertical y sentido hacia arriba. Los vectores i y j son perpendiculares, i j. Productos escalares de los vectores de la base i i = i i cos0º = 111 = 1 i j = i j cos90º = = 0 j i = j i cos90º = =0 j j = j j cos0º = 111 = 1 I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 15

16 Dados los vectores u( x, y ) y v( x, y ) {, } 1 1 B= i j, su producto escalar será 2 2 u v = x i + y j x i + y j por sus componentes respecto a la base ortonormal u( x1, y1) u= xi 1 + y1 j v( x2, y2) v= xi 2 + y2 j ( 1 1 ) ( 2 2 ) ( xi 1 ) ( xi 2 ) ( xi 1 ) ( y2 j) ( y1 j) ( xi 2 ) ( y1 j) ( y2 j) x 1 x2 i i x1 y2 i j y1 x2. j i y1 y2 ( j j) = = = x x + y y Por lo tanto, la expresión analítica del producto escalar respecto de una base ortonormal es u x v x ( 1, y1) (, y ) 2 2 u v = x x + y y El producto escalar de dos vectores se obtiene realizando el producto de las primeras componentes de los vectores y sumándole el producto de las segundas componentes. I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 16

17 Expresión analítica del módulo de un vector Sabemos que u = u u u x, y B= i, j, su módulo será Si respecto a la base ortonormal { } u = u u = x x+ y y = x + y 2 2 Por lo tanto u x y u x y 2 2 (, ) = + I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 17

18 Ángulo de dos vectores De la definición de producto escalar podemos despejar el coseno del ángulo que forman dos vectores dados u v = u v cosα de donde u v cosα= u v El coseno del ángulo que forman dos vectores es igual al producto escalar de los vectores dividido entre el producto de sus módulos. Dados los vectores u( x, y ) y v( x, y ) {, } B= i j, el coseno del ángulo que forman será por sus componentes respecto a la base ortonormal u( x, y ) x x + y y v( x, y ) x y x y cosα= I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 18

19 EJERCICIOS 1. Las componentes de u y v en la base ortonormal B { i, j} ( 2, 5) a) u v. Calcula: = son, respectivamente, b) u c) v d) Ang ( u, v) 2. Halla un vector ortogonal a u ( 3, 4) y de módulo Dados los vectores u y v, cuyas componentes en la base B { i, j} a) u v u+ v v b) 1, 3 y = son ( 2,1 ) y ( 3, 2) c) u d) Ang ( u, v) 4. Cuántos vectores hay ortogonales a uno dado? Y si fijamos su módulo?, calcula: I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 19