Universidad Autónoma de Estado de México. Uso de un modelo CAPM para la evaluación de los rendimientos y riesgos financieros en la BMV.

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1 Universidad Autónoma de Estado de México Unidad Académica y Profesional Cuautitlán Izcalli Uso de un modelo CAPM para la evaluación de los rendimientos y riesgos financieros en la BMV Autor: Gabriel Delgado Juárez 1 Temática: El actuario en la economía internacional Introducción En el presente trabajo se exponen los conceptos básicos de la regresión lineal simple y el modelo CAPM introducido por Sharpe en Posteriormente se aplica este modelo en un activo financiero con la ayuda del paquete estadístico E- Views y finalmente se discuten los resultados obtenidos. Palabras Clave Regresión lineal simple, mínimos cuadrados ordinarios, rendimiento, riesgo, CAPM.

2 Marco Teórico Regresión Lineal Simple La palabra regresión, de acuerdo al Diccionario de la Real Academia Española, significa retrocesión o acción de volver hacia atrás. El término en el contexto estadístico fue acuñado por Galton (1886), cuando realizó un estudio sobre los rasgos físicos que presentaban algunos hijos de padres de estatura alta y baja. Él se percató que a pesar de que los hijos de padres altos heredaban una estatura alta y los de padres bajos una estatura menor, ésta se acercaba más al promedio de estaturas en ese entonces, esto es, regresaba a su media. Esta idea fue evolucionando en el transcurso de los años y, ahora, de acuerdo con Gujarati (1997) la interpretación de la regresión es la siguiente: El análisis de regresión trata del estudio de la dependencia de la variable dependiente, en una o más variables explicativas, con el objeto de estimar y/o predecir la media o valor promedio poblacional de la primera, en términos de valores conocidos o fijos (en muestras conocidas) de las últimas. En particular, en un modelo de regresión simple se tiene una expresión de la forma: Y x i i i Donde Yi es la variable explicada y x i es la variable explicativa, además ambas son variables aleatorias. Las cantidades y son la intersección con el eje de las ordenadas y la pendiente de la regresión, respectivamente. Estas cantidades se suponen desconocidas pero constantes, mientras que será otra variable aleatoria que medirá el error de la regresión. Es común suponer que ( i ) 0, de tal modo que, se tiene: ( Y) x Más aún, para hacer énfasis en el hecho de que las inferencias sobre Y i asumen conocimiento de x i : i i i

3 ( Y x ) x i i i Cuando se dice que la regresión es lineal, se entiende que la esperanza de condicionada al evento { Xi xi} es una función lineal de x i (forma funcional lineal). Agregando al modelo de regresión lineal simple el supuesto de que Cov(, ) 0 (no autocorrelación) siempre que i j, es posible obtener estimadores puntuales para y, además de estos supuestos cabe mencionar los de normalidad de i y varianza constante (White Noise o Ruido Blanco Gaussiano), estabilidad de los parámetros y y no multicolinealidad*. i j Yi El Modelo CAPM Las bases para desarrollar un modelo de valuación de activos fueron sentadas por Markowitz (1952) y Tobin (1958). Años antes, los modelos que intentaban predecir el comportamiento del mercado de valores sugerían que el riesgo de un valor individual es la desviación estándar de sus retornos. Así entre más grande sea la desviación del rendimiento de los activos, más grande será el riesgo. Esto representa una limitación, ya que sólo se considera un activo en forma aislada, cuando la principal preocupación de un inversionista es el riesgo de todos sus activos, es decir el riesgo de portafolio. Markowitz fue el primero en desarrollar una medida específica del riesgo de portafolio desarrollando un análisis basado en la utilidad máxima esperada. El modelo de Markowitz genera la frontera eficiente de portafolios, esperando que los inversionistas seleccionen el portafolio que sea más apropiado para ellos dentro del conjunto eficiente de portafolios disponibles. En 1960, William F. Sharpe, candidato a un doctorado en la Universidad de California, fue presentado con Markowitz. Sharpe necesitaba un tema para su tesis doctoral y habiendo leído el trabajo de Markowitz (trabajo en el que defendía un portafolio diversificado para reducir el riesgo sin poder desarrollar un medio práctico para evaluar cómo varias acciones operan juntas, o se correlacionan) siguió la sugerencia de éste de investigar la teoría del portafolio como su proyecto de tesis. En la teoría del portafolio, el rendimiento esperado es igual al promedio ponderado del rendimiento de los activos que forman el portafolio. En donde el rendimiento esperado es:

4 p d p t 1 t rt pt Con: pt+1 = precio del activo al final del periodo pt = precio del activo al inicio del periodo d= dividendos pagados en el periodo El rendimiento esperado es el ingreso por dividendos, más la ganancia o pérdida de capital expresado en porcentaje. Entonces: r p n r i1 i i Donde rp es el rendimiento esperado del portafolio y λi es la proporción del total de fondos invertida en el activo i, cumpliéndose el que la suma de los ponderadores λi es igual a uno. El rendimiento esperado del portafolio es: n E(r p) ie(r i) i1 De su investigación, Sharpe (1964) logró simplificar el modelo al conectar el portafolio a un factor único de riesgo, y desarrolló una noción de inversión entre riesgo y rendimiento, un razonamiento que se conoce como CAPM (Capital Asset Pricing Model), que es un modelo de regresión lineal. El CAPM explica que los inversionistas se enfrentan a dos tipos de riesgos, llamados diversificables (no sistemáticos) y no diversificables (sistemáticos). El riesgo no sistemático es el componente de riesgo del portafolio que puede ser eliminado al incrementar el tamaño del portafolio, la razón es que los riesgos que son específicos a una seguridad individual como el riesgo de negocio o financiero puedan ser eliminados al construir un portafolio bien diversificado. El riesgo sistemático está asociado con el total de movimientos en el mercado o economía y por ello es llamado como riesgo de mercado. Este riesgo es el componente del riesgo que no puede ser eliminado a través de la diversificación. El CAPM transmite la noción de que los valores tienen un precio, así que el retorno esperado compensará a los inversionistas por los riesgos esperados. Existen dos relaciones fundamentales: 1. La línea del mercado de capitales (CML). Especifica el retorno que un solo inversionista espera recibir en un portafolio. Esta es una relación lineal entre riesgo y retorno en portafolios eficientes.

5 Basándonos en la teoría del portafolio, suponiendo n=2, con: r1 = rl = Rendimiento del activo libre de riesgo r2 = rr = Rendimiento del activo riesgoso r (1 )r r p L R (1.7) Calculando la varianza se tiene: E[r E(r )] E[((1- )r r ) E((1- )r r )] p p p L R L R (1- ) 2(1- ) L RL R Debido a que la varianza del activo libre de riesgo es cero y que su covarianza con los riesgosos es cero, se tiene: p R p R Despejando el ponderador: p Sustituyendo esta expresión en (1.7), se obtiene: r 1 r r r r r p p p p p L R L R L R R R R rr r L rp rl p R Así, el rendimiento esperado es: R E(r ) E r r r R L p L p R E(r R) r L E(r p) rl p R

6 Se encontró que el rendimiento esperado de un portafolio es una función lineal del rendimiento esperado del activo libre de riesgo y el riesgo del portafolio. La CML sólo es válida para portafolios eficientes y expresa el comportamiento de los inversionistas con respecto al activo riesgoso y sus propios portafolios de inversión. 2. Línea del Mercado de Valores (SML) Expresa el retorno que un inversionista puede esperar en términos de una tasa libre de riesgo y una tasa relativa a un valor o a un portafolio. Se construye un modelo, considerando que la línea del mercado está compuesta por un activo riesgoso rj, y un portafolio bien diversificado tomando el portafolio de todo el mercado rm. r (1 )r r j L M (1.8) Calculando la varianza y desviación: E[r E(r )] E[((1- )r r ) E((1- )r r )] j j j L M L M (1- ) 2(1- ) j L ML M Despejando λ, se tiene: j M j Sustituyendo en (1.8), se tiene: M j L j M L M r r (r r ) (1.9) Obteniendo el SML con respecto al valor j: (1.10) Con: E(r ) r (E(r) r ) j L j M L j M j jm Cov(R j,r M) j 2 2 M M M M M Correlación entre el retorno del valor,r y el retorno del portafolio del mercado jm j

7 La βj puede ser interpretada como la cantidad de riesgo inherente no diversificable en el valor, relativo al riesgo en el portafolio del mercado. La ecuación (1.10) es una versión del CAPM. Retomando la ecuación (1.9), si se pasa el rendimiento libre de riesgo al lado izquierdo, se podrá expresar la línea de mercado en términos de premio en rendimiento respecto al rendimiento del activo libre de riesgo. j L j M L M r r (r r ) Esta relación plantea que el exceso de rendimiento de un valor está en función del exceso del rendimiento del mercado. Con base en el modelo económico definido por la línea de mercado se puede formular un modelo estadístico estimable: rj r L (rm r L) ui Donde α es el retorno constante ganado en cada periodo, β es un estimador del βj en el SML, y ui es un término de error aleatorio. Para interpretar los resultados considere que la expresión (rm r L) refleja el impacto del riesgo del mercado, éste no puede ser eliminado vía diversificación. El término de error aleatorio se interpreta como el riesgo no sistemático. El CAPM es desarrollado en un mundo hipotético donde se hacen los siguientes supuestos sobre los inversionistas y el conjunto de oportunidades: 1. Los inversionistas son adversos al riesgo y maximizan la utilidad esperada de su riqueza. Ellos escogen entre carteras alternativas con base en la media y la varianza de las utilidades. 2. Los inversionistas no tienen el poder para afectar los precios de los activos en el mercado. Además, tienen expectativas homogéneas del mercado. Y todos tienen la misma información al mismo tiempo. 3. Existe un activo libre de riesgo. 4. Cantidad de activos son fijas, todos los activos son perfectamente líquidos y divisibles. 5. La información es libre de costo y al alcance de todos. 6. No hay imperfecciones en el mercado.

8 Variables Para la elaboración de este trabajo se consideraron las siguientes 8 acciones de 35 que conforman el IPC y dos más que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores (KOF y TELMEXL): AXTEL CPO ELEKTRA GMEXICO-B GRUPO MODELO-C EMPRESAS ICA KIMBERLY-CLARK-A KOF GRUPO TELEVISA-CPO TELMEXL WAL-MART-V La muestra que se utilizó fue de 73 meses; esto es, de enero de 2006 a enero de Las cotizaciones de los activos, así como de los índices (CETES a 28 días e IPC), se realizaron tomando el promedio mensual de los mismos. Se compararon los datos de cada activo y se observó que los rendimientos del IPC y de Kimberly-Clark-A son parecidos. La siguiente tabla muestra los estadísticos de los rendimientos de las variables utilizadas para el análisis; donde RL es el rendimiento del CETE, RM es el rendimiento del IPC y RKIM es el rendimiento de Kimberly-Clark-A. Cuadro 1. Estadísticos de Descriptivos de las variables de Rendimiento RL RM RKIM Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Sum

9 Sum Sq. Dev Observations Las medidas que aparecen en el cuadro permiten sintetizar las características de Fuente: Elaboración propia las variables; la media indica que el rendimiento promedio más con alto datos lo de la presentó BMV y del el mercado, lo cual se refleja en el rendimiento de las acciones de Banco Kimberly-Clark-A de México que presentan un rendimiento promedio similar. En contraste, los CETES presentaron un rendimiento promedio negativo. Por otro lado, la desviación estándar resalta que el rendimiento de las acciones de Kimberly-Clark-A es el que presenta mayor volatilidad (riesgo). Finalmente, considerando que el sesgo y la curtosis para una distribución normal son de 0 y 3 respectivamente, por los resultados del cuadro se aprecia que ninguna de las series de datos parece aproximarse a una distribución normal. Ahora, la siguiente gráfica muestra la cotización de los Certificados del Tesoro (CETES), en la cual se observa el pronunciado descenso en el año 2009, debido a factores económicos como la crisis. 9 Gráfica 1. Precios del CETE CETE Fuente: Elaboración propia con datos del Banco de México El rendimiento del CETE se observa en la gráfica que se muestra a continuación, donde se presentó la mayor caída en el mes de Abril de 2009, a causa de la alta volatilidad presentada en los mercados de todo el mundo debido a la crisis hipotecaria de los Estados Unidos de América. Gráfica 2. Rendimientos del CETE

10 En la gráfica siguiente se observa el mismo efecto datos que del en Banco el de comportamiento México del CETE, pero algunos meses antes, ya que las bolsas presentan más volatilidad y tienen una reacción más rápida ante estas situaciones. RL Fuente: Elaboración propia con Gráfica 3. Precios del IPC IPC Fuente: Elaboración propia con datos de la BMV Ahora, se observa el rendimiento del IPC a través de 6 años, donde se puede notar que las variaciones oscilan entre -20% y 30%. Gráfica 4. Rendimientos del IPC

11 RM Fuente: Elaboración propia con datos de la BMV A continuación, se puede ver el comportamiento de la cotización de la acción emitida por Kimberly-Clark-A. Al comparar ésta gráfica con la cotización del CETE se observan crecimientos y decrementos semejantes Gráfica 5. Precios de Kimberly-Clark-A KIMBERLY Fuente: Elaboración propia con datos de la BMV Por último, se puede notar la oscilación de los rendimientos de Kimberly-Clark-A, con movimientos equiparables al rendimiento del CETE. Gráfica 6. Rendimientos de Kimberly -Clark-A

12 RKIM Fuente: Elaboración propia con datos de la BMV Modelo Estimado Una vez presentadas las variables utilizadas y utilizando los fundamentos teóricos expuestos anteriormente, se procede a presentar el modelo elegido, que es de la forma: y i = α + βx i + ε i El cual fue estimado con E-Views por medio de un modelo de regresión lineal simple utilizando el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) 1, obteniéndose lo siguiente: (rkim rl) = (rm rl) (0.4600) (0.0000) Entonces, utilizando un nivel de significancia de 0.01 estadísticamente se tiene que: El coeficiente α no es significativo, pues la probabilidad asociada al estadístico t es 0.46>.01, por lo tanto no se rechaza la Hipótesis Nula: α =0 con un nivel de confianza del 99%. En cambio la β encontrada es en extremo significativa, pues la probabilidad del estadístico t correspondiente es 0.00<.01, lo cual implica rechazar la Hipótesis Nula: β=0 con un nivel de confianza del 99%. 1 De acuerdo con lo establecido en las ecuaciones (1.6) y (1.7) del Marco Teórico y bajo los supuestos del modelo de regresión lineal, los estimadores de MCO son los mejores estimadores lineales insesgados (MELIs). También conocido como teorema de Gauss-Markov. (Casella, 2001).

13 Como β= es un valor positivo menor a 1, implica que dependiendo del valor de la diferencia representada por la variable independiente (rm-rl), la variable dependiente (rkim-rl) sólo variará 68.8% de dicho valor ya sea positiva o negativamente. Suponiendo que en algún momento se diera rm=rl, entonces la variación de (rkimrl) se esperaría alrededor de un 49.67%, sin embargo este caso no es relevante ya que α no es significativa. El coeficiente de determinación R 2 tiene un valor de lo cual indica que casi un 70% de la variación total en el premio de las acciones de Kimberly-Clark-A está explicado por la variabilidad del premio de riesgo de mercado. Además cumple con los supuestos del Modelo de Regresión Lineal: a) Linealidad. Existe una relación lineal entre la variable explicada Y=(rkim-rl) y la explicativa X=(rm-rl) de acuerdo con el diagrama de dispersión, asimismo el coeficiente es cercano a 1 indicando una correlación fuerte positiva. b) Forma Funcional Correcta. Las probabilidades de los estadísticos t asociados a las variables FITTED^2 y FITTED^3, ( y respectivamente) son mayores a 0.01 el nivel de significancia, indicando que la forma funcional del modelo es la correcta, con una confianza del 99%. c) Normalidad en los errores. Visualmente en el histograma se aprecia una cierta tendencia a la distribución normal, la probabilidad asociada al estadístico de Jarque-Bera es >0.01, por lo tanto no se rechaza la Hipótesis nula de normalidad en los residuos con un 99% de confianza. Además el coeficiente de curtosis tiene un valor de no lejos de 3 implicando nuevamente la normalidad. d) Homocedasticidad en los errores. Para el Arch Test la probabilidad asociada al estadístico F es >0.01 y para el White Heteroskedasticity Test es >0.01 por lo tanto no se rechaza la Hipótesis nula de que los errores son homocedásticos al 99% de confianza. e) No Autocorrelación en los errores. El estadístico de Durbin-Watson es [1.5, 2.5] y la probabilidad asociada al estadístico F de la prueba de Breusch-Golfrey es >0.01 lo cual indica que los errores no están autocorrelacionados.

14 f) Permanencia Estructural (estabilidad de los parámetros). De acuerdo con el gráfico del Test CUSUM, no existe ningún rompimiento, indicando que los valores asociados al estadístico no sobrepasan los límites de significancia, de donde se asume que los parámetros son estables con un 95% de confianza. Lo anterior se verifica con la salida de la Regresión proporcionada por E-Views y las pruebas de validación correspondientes que se encuentran en los anexos. Por lo tanto el Modelo CAPM estimado es válido. Ahora de acuerdo con la teoría del CAPM y los resultados anteriores se observa lo siguiente: El hecho de que el coeficiente α sea no significativo determina si el mercado financiero es eficiente, pues de no serlo no existe ninguna otra fuente para elevar el premio de los accionistas fuera de la que brinda el mercado. En contraste, la β estimada, es decir, el premio de riesgo del mercado es en extremo significativo, ya que mide el grado de afectación asociado a fenómenos como la inflación, recesión y otros eventos que afectan a todas las empresas. Por otro lado debido al valor del coeficiente de determinación R 2 existe 69.31% de riesgo sistemático para el dueño de estas acciones y 30.69% de riesgo no sistemático o diversificable. Finalmente, como el coeficiente del premio de riesgo 2 de mercado es de < 1, se tiene que las acciones de Kimberly-Clark-A proporcionan un premio de riesgo por acción inferior al del mercado, es decir, el rendimiento del activo es menos riesgoso que el rendimiento del mercado. Conclusiones Tomando como fundamento la teoría del CAPM, utilizando información de los precios de las acciones de la BMV, los CETES y el IPC correspondientes a los últimos seis años junto con las bases (MLR) y herramientas (E-Views) estadísticas pertinentes, se pudo constatar que se puede estimar un Modelo CAPM válido para predecir las relaciones entre la rentabilidad y el riesgo de una inversión con acciones de Kimberly-Clark-A. 2 El premio al riesgo significa el verdadero crecimiento de dinero y se le llama así porque el inversionista siempre arriesga su dinero (siempre que no invierta en el banco) y por arriesgarlo merece una ganancia adicional sobre la inflación. Como el premio es por arriesgar, significa que a mayor riesgo, se merece mayor ganancia. (Contreras, 2009).

15 Anexos A. Regresión Aquí C=α Dependent Variable: RKIM-RL Method: Least Squares Date: 03/06/12 Time: 16:24 Sample (adjusted): 2006M M01 Included observations: 72 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C RM-RL R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) B. Grafica de Dispersión y Coeficiente de Correlación Y=(rkim-rl) y X=(rm-rl) Y Y X Y X X C. Prueba de Forma Funcional Correcta

16 Ramsey Test Ramsey RESET Test: F-statistic Probability Log likelihood ratio Probability Test Equation: Dependent Variable: RKIM-RL Method: Least Squares Date: 03/07/12 Time: 11:50 Sample: 2006M M01 Included observations: 72 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C RM-RL FITTED^ FITTED^ D. Prueba de Normalidad en los errores Jarque-Bera Test Series: Residuals Sample 2006M M01 Observations 72 Mean 6.11e-16 Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability E. Pruebas de Homocedasticidad en los errores Arch Test y White Heteroskedasticity Test

17 ARCH Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability White Heteroskedasticity Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability F. Prueba de no autocorrelación en los errores del modelo Estadístico de D-W y prueba de Breusch-Golfrey Durbin-Watson stat Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability G. Prueba de Permanencia Estructural CUSUM Test CUSUM 5% Significance Bibliografía

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