Ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta en el espacio

Transcripción

1 Cálculo ectorial Unidad II.. Ecuaciones de rectas y planos M.C. Ángel León Unidad II - Álgebra de ectores.. Ecuaciones de rectas y planos Habíamos mencionado que una recta en el plano, se expresa a traés de su pendiente m, sin embargo, en el espacio no es suficiente la información de la pendiente para ubicar a una línea recta, lo coneniente es realizarla a traés de ectores. En la región R, el ector ab, proporcionaba la dirección y permitía establecer las ecuaciones paramétricas, En el espacio x t x at y t y bt. R, un ector se expresa como,, abc por lo que, de manera similar a la región podríamos realizar la deducción de las ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio, resultando en la siguiente definición: Ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta en el espacio Sea,, P x y z un punto en el espacio que además está sobre una recta L y sea abc,, el ector de dirección en R para la recta. Las ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio están dadas por las expresiones: x t x at y t y bt z t z ct De donde, podemos tener otra expresión de la misma recta a traés de las ecuaciones simétricas: x x y y z z a b c R, Ejemplo : Encontrar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por el punto,, paralela a,, Las ecuaciones paramétricas se definen por: x t t y t t z t t y es Y las simétricas: x y z de 7

2 Cálculo ectorial Unidad II.. Ecuaciones de rectas y planos M.C. Ángel León k Ejercicios: i 6 Figura. Recta en el espacio del ejemplo a) Determine las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los puntos,, y,, b) Obtener las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por el punto,, y es paralela al ector 6jk y dibujar la recta para al menos tres alores de t. 8 c) Obtener las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los puntos,,,,, y que sea paralela a un ector unitario u, según se muestra en la siguiente figura: j 6 de 7

3 Cálculo ectorial Unidad II.. Ecuaciones de rectas y planos M.C. Ángel León Planos en el espacio Un plano en el espacio, podría definirse como una sucesión infinita de rectas que tienen la misma orientación. El plano, puede ser descrito a traés una ecuación de la forma ax by cz d Para determinar la ecuación de un plano, requerimos de conocer un punto contenido dentro del plano y un ector (no nulo) que sea normal al plano. Consideremos un plano que contiene al punto,, de todos los puntos Qx, y, z para los cuales n es normal. P x y z y un ector normal n abc,,. Este plano consiste Sobre el plano, ubicamos a P y Q y construimos el ector PQ. De acuerdo a la propiedad de dos ectores que son ortogonales, debe de cumplirse que n PQ, si las componentes del ector PQ son x x, y y, z z, el producto interno n PQ quedará definido como: a, b, c x x, y y, z z a x x b y y c z z Que es conocida como la ecuación canónica del plano. Si desarrollamos la expresión anterior: ax ax by by cz cz x, y, z, a, b, c son alores conocidos, por lo tanto, podemos hacer la siguiente igualación: d ax by cz ax by cz d La cual, es la ecuación general de un plano en el espacio. Los términos abc,, son las componentes del ector que es normal al plano, por lo cual, también se le denominan números directores del plano. Obtención de la ecuación de un plano a partir de un punto contenido en el plano y un ector normal al plano Ejemplo : Determinar la ecuación del plano que contiene al punto P,, y que es normal al ector n,, De la ecuación canónica del plano ax x b y y cz z conocemos los siguientes datos: x, y, z, a, b, c, por lo que sustituyendo en la ecuación del plano obtenemos la ecuación canónica: x y z de 7

4 Cálculo ectorial Unidad II.. Ecuaciones de rectas y planos M.C. Ángel León Si desarrollamos la expresión anterior obtendremos la ecuación general del plano: x y z x y z 9 x y z Figura. Perspectia del plano del ejemplo Figura. Perspectia del plano del ejemplo de 7

5 Cálculo ectorial Unidad II.. Ecuaciones de rectas y planos M.C. Ángel León Ejemplo : Determinar las ecuación canónica y general de un plano en el espacio, el cual contiene a los,,,,,,,, puntos k Sabemos que el plano contiene a estos tres puntos con los cuales podemos crear dos ectores que tengan el mismo punto inicial y que además estarán sobre el plano. El producto ectorial entre estos dos ectores nos dará como resultado un ector normal a ellos, y por consiguiente al plano. c i j Creamos los ectores:,,,, ab ac,,,, k 6 i a j ab ac El ector normal a ab y ac será: i j k ab 9i 6jk ac a 9 b 6 c Tomando cualquiera de los puntos contenidos en el plano, podemos formar ambas ecuaciones. Considerando el punto,, la ecuación canónica será: 9x 6 y z 9 x 6 y z c Y la ecuación general, se obtiene desarrollando la ecuación canónica: a 9x 6y z 6 de 7

6 Cálculo ectorial Unidad II.. Ecuaciones de rectas y planos M.C. Ángel León 6 de 7

7 Cálculo ectorial Unidad II.. Ecuaciones de rectas y planos M.C. Ángel León Ejercicios: a) Un plano en el espacio contiene al punto,, y al punto Determine la ecuación general del plano. b) Encuentre la ecuación del plano que contiene al punto,,6 e intersecta al eje k en unidades.,, 7 y el ector,,7 c) Encuentre la ecuación del plano que contiene al punto,9, y es paralelo al plano x 7y z. d) Para el plano x y z 7 encuentre al menos puntos contenidos en el. 7 de 7