En este curso nos centraremos en un nuevo concepto de curva la cual estará descrita por una o mas ecuaciones denominadas ecuaciones paramétricas.

Transcripción

1 Unidad I - Curvas en R ecuaciones paramétricas.. Ecuaciones paramétricas En cursos anteriores se ha considerado a una curva como una sucesión de pares ordenados ubicados en un plano rectangular provenientes de una relación entre dos variables, una independiente otra dependiente. Estos puntos brindaban información del comportamiento de una función como sus máimos, mínimos, puntos de infleión, discontinuidades, etcétera. En este curso nos centraremos en un nuevo concepto de curva la cual estará descrita por una o mas ecuaciones denominadas ecuaciones paramétricas. Para describir el concepto de ecuaciones paramétricas, consideremos la traectoria parabólica que un objeto describe al ser lanzado con un ángulo de 5 una velocidad inicial de 8 ft s : (.) En este tipo de representación gráfica, podemos conocer la ubicación del objeto para cualquier punto en, quizá la gráfica no proporcione maor información Figura. Traectoria de la ecuación (.) Si deseáramos saber dónde cuándo se encuentra el objeto dentro de su traectoria, necesitaríamos de un parámetro adicional, el tiempo. Para poder epresar este tipo de información, necesitamos epresar a las dos variables de la ecuación (.) en función del parámetro tiempo. Epresando a como función de t: Y sustituendo en la ecuación (.) para obtener : t (.) t (.) Estas dos ecuaciones, a están en función de t, si queremos saber dónde se encuentra el objeto en un instante t, sólo será necesario evaluar a e : de 8

2 t Con lo cual sabemos que en t el objeto se encuentra en.9,7.9 de manera similar para cualquier valor t de t: t t 0 t t Figura. Traectoria descrita por las ecuaciones paramétricas (.) (.) Podemos concluir entonces que una curva epresada a través de un conjunto de ecuaciones paramétricas proporciona más información que una curva epresada por una función. Podemos entonces establecer la siguiente definición: Ecuaciones paramétricas Si f g son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces a las ecuaciones f ( t) g( t) Se les denominan ecuaciones paramétricas. Ahora, a podemos establecer una diferencia entre la curva descrita por una función la que es descrita por ecuaciones paramétricas. Una curva que es descrita por las ecuaciones paramétricas recibe el nombre de curva plana se denota por C. de 8

3 ... Ecuación paramétrica de la recta En esta sección representaremos una línea recta a través de un conjunto de ecuaciones paramétricas. Para ello, vamos a iniciar considerando a la ecuación vectorial:,, t a, b (.) Si realizamos las operaciones:,, ta, tb, at, bt (.5) De donde: at bt (.) De la ecuación (.) obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta. En donde son las coordenadas de un punto por donde pasará la recta ab, es el vector que le dará dirección a la recta t es el parámetro. Ejemplo 0: Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto, que es paralela al vector,5 además realice la curva plana. El punto por donde pasa la recta nos proporciona el valor de, el vector al cual la recta es paralela nos da la información referente a ab., Por lo tanto, sustituendo tenemos que: t 5t Para obtener la curva plana, solo debemos de obtener los pares ordenados, para cada valor de t: t Por lo cual ha que graficar los pares ordenados:,,,8,,, 5,8 de 8

4 8 Si ubicamos los puntos en el plano, obtenemos la recta descrita por las ecuaciones paramétricas además verificamos que el vector,5 es paralelo a la recta. Otra forma de representar la ecuación de una recta en forma paramétrica es a través de las ecuaciones simétricas (o cartesianas) de la recta, epresadas por: (.7) a b 0 8 Para pensar Partiendo de la misma definición de la ecuación paramétrica en un plano vista en la ecuación (.), cómo epresaría las ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio? 5 Figura. Recta del ejemplo. Ejercicios: Encontrar las ecuaciones paramétricas simétricas de la recta a partir de los datos que se tienen. Además grafique las ecuaciones paramétricas auiliado de cualquier software de graficación. a) Una recta que pasa por el punto A, es paralela al vector que tiene como punto inicial i 0, punto final p, f b) Una recta que pase por el origen tenga un ángulo de inclinación de 5 c) Una recta que pase por los puntos A, Y B, 5 p de 8

5 Obtención de las ecuaciones paramétricas de algunos lugares geométricos Vamos a analizar la ventaja que tiene la representación de curvas a través de las ecuaciones paramétricas respecto a la graficación de funciones, para ello vamos a considerar el siguiente ejemplo: Ejemplo 0: Considerar la ecuación de una circunferencia epresada por: r (.8) Evidentemente la ecuación (.8) no define una función, porque para cada valor del dominio eisten dos valores del rango. Si particularizamos el ejemplo, consideremos una circunferencia cuo radio es r, la gráfica sería: Figura. Grafica de una circunferencia Podemos parametrizar la ecuación de la circunferencia a través de funciones trigonométricas. Para el ángulo tenemos que: Entonces: Despejando a e : ad op cos sen hip hip cos sen cos sen Si estas últimas epresiones las manipulamos aritméticamente para que adquieran la forma de la ecuación de la circunferencia, debemos de elevar al cuadrado cada término después sumarlos, esto es: 5 de 8

6 cos sen Si sumamos término a término las epresiones anteriores: cos sen cos sen cos sen De aquí obtenemos la ecuación de una circunferencia de radio r, por lo tanto, las ecuaciones paramétricas: Y la ecuación: cos sen Describen la misma traectoria. Sin embargo, para graficar siguientes dos funciones: como una función, debemos descomponerla en las ; 5 5 Figura 5. Grafica de la función de una circunferencia (por hemisferios) de 8

7 Mientras que, graficando las ecuaciones paramétricas: t Como se puede apreciar, a partir de las ecuaciones paramétricas no podríamos predecir qué tipo de traectoria se formará, sin embargo, es más sencillo representar la curva plana a través de las ecuaciones parametrizadas. En algunos casos, la parametrización sigue procedimientos arbitrarios más sencillos. Consideremos el siguiente ejemplo: Ejemplo 0: Considerar la función eplícita obtener sus ecuaciones paramétricas. La función eplícita tiene una representación gráfica: Figura. Curva plana de las ecuaciones paramétricas de una circunferencia Figura 7. Grafica de la función eplícita Para parametrizar a la función, basta con establecer la igualdad t sustituirla en f( ) obteniendo: t t t 7 de 8

8 t Y la curva plana es: Cuando la función a parametrizar se da de manera eplícita, es suficiente con establecer que una de las variables sea equivalente a la variable paramétrica, la otra la encontraremos por sustitución. Figura 8. Curva plana de las ecuaciones paramétricas la función eplícita del ejemplo 8 de 8