Carta al estudiante MAT002 Cálculo I

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1 1. Aspectos generales del curso Carta al estudiante MAT002 Cálculo I Unidad: Escuela de Matemática Créditos: 4 Nombre: Cálculo I Horas semanales: 11 Código: MAT002 Nivel: Bachillerato Horas docente: 5 Horas presenciales: 5 (3 teoría, 2 práctica) Periodo lectivo: II ciclo 2016 Horas de atención al estudiante: 1 Tipo de curso: Regular Horas de estudio independiente: 6 Modalidad: Presencial Naturaleza: Teórico Práctico 2. Descripción general del curso Requisitos: Depende de la carrera Este curso pretende brindar al estudiante una base sólida en el manejo del cálculo diferencial e integral, como herramienta práctica en el desarrollo de su carrera. Se estudian los conceptos teóricos que sirven de base para la resolución de ejercicios prácticos, referentes a límites, derivadas e integrales de funciones reales en una variable. Además, se estudian algunas de las aplicaciones de la derivada, enfatizando en los procedimientos de optimización de funciones en una variable, que le proporcionarán las bases conceptuales necesarias para los cursos posteriores. Para el abordaje de los contenidos de este curso es fundamental un manejo adecuado de conocimientos previos en los temas de Números Reales, Álgebra, Funciones, Geometría y Trigonometría. 3. Objetivos generales a) Aplicar los conceptos del cálculo diferencial e integral en una variable en la solución de ejercicios. b) Resolver problemas de aplicación utilizando conceptos del cálculo diferencial e integral. 4. Objetivos específicos a) Calcular límites de funciones de una variable real. b) Resolver problemas que involucren el cálculo de derivadas e integrales de funciones de una variable real. 1

2 c) Resolver problemas donde se aplique el concepto de derivada de una función de una variable real. d) Optimizar funciones reales de variable real. e) Resolver problemas que involucren el cálculo de valores máximos y mínimos de funciones de una variable real. f) Calcular integrales definidas de una función de una variable real mediante la definición. g) Calcular integrales definidas e indefinidas de una función de una variable real haciendo uso de las principales técnicas de integración. 5. Contenidos a) Límites (3 semanas) Noción intuitiva de límite. Límites unilaterales. Propiedades y cálculo de límites: por sustitución directa, simplificación, racionalización y cambio de variable. Teorema del encaje. Límites de funciones trigonométricas y sus inversas. Límites infinitos. Límites al infinito. Concepto de función continua, propiedades de las funciones continuas y análisis de la continuidad de distintas funciones. b) Derivación (3 semanas) Definición de la primera derivada de una función en un punto. Interpretación de la primera derivada como razón de cambio instantáneo. Interpretación geométrica de la primera derivada en un punto. Cálculo de rectas tangentes y de rectas normales a una curva. Función derivada. Teoremas sobre derivación de funciones: derivada de una suma, resta, producto, cociente y composición de funciones. Regla de la cadena. Teorema del valor medio y Teorema de Rolle. Derivadas de orden superior. Derivación implícita. Derivación logarítmica. c) Aplicaciones de la derivada (4 semanas) Problemas de razones de cambio. Extremos absolutos de una función continua. Extremos relativos a una función. Aplicación de la primera derivada al estudio del crecimiento de una función. Aplicación de la segunda derivada al estudio de la concavidad de una función. Criterios de primera, segunda y n-ésima derivada. Construcción de gráficas de funciones mediante su cuadro de variación (incluyendo asíntotas verticales, horizontales y oblicuas). Aplicación de la teoría de derivadas en resolución de problemas de optimización. Regla de L'Hopital. d) Integración (6 semanas) La integral indefinida de una función como un conjunto de primitivas. Notación. Propiedades de la integral. Técnicas de integración: directa, por sustitución, por partes, integrales de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, por sustitución trigonométrica, por fracciones parciales, por sustitución de racionales, por sustitución de Weiestrass. La integral definida mediante sumas de Riemman y propiedades fundamentales relacionadas con el álgebra de funciones. Teorema fundamental del cálculo. Cálculo de la integral definida. Aplicación de la integral definida al cálculo de áreas bajo una curva y área entre curvas. 2

3 e) Estrategias metodológicas Las estrategias metodológicas incluyen la clase magistral, el trabajo individual, la discusión y reflexión sobre los conceptos matemáticos expuestos. Se requiere la participación activa de los estudiantes con el aporte de ideas y la resolución de ejercicios. Además, se considera importante que el estudiante evacúe sus dudas durante la clase y realice los ejercicios que el profesor asigne como trabajo complementario. Estos ejercicios pretenden fortalecer los conocimientos, habilidades y destrezas fomentadas en clase. Se recomienda el trabajo en grupo para completar apuntes, resolver ejercicios y compartir estrategias de resolución, y asistir a las horas de atención de estudiantes ofrecidas por el profesor. Se recomendará a los estudiantes páginas web con materiales adicionales, ejercicios resueltos y videos explicativos, de modo que puedan profundizar y reforzar los temas vistos en clases. Las direcciones electrónicas de estas páginas, así como los ejercicios del curso y material adicional de teoría estará disponible en: 6. Ausencia del profesor a clases Según el artículo 28 del Reglamento General sobre los procesos de Enseñanza y Aprendizaje de la Universidad Nacional, si un docente se ausenta de las clases, se deberán tomar las medidas que correspondan para garantizar el cumplimiento del programa del curso. Por esta razón, si pasados 20 minutos de la hora de inicio de clases el docente no ha llegado, los estudiantes deberán levantar una lista, en donde hagan constar la ausencia del profesor y entregarla en la recepción de la Escuela de Matemática. 7. Evaluación Su trabajo será evaluado por medio de tres exámenes parciales, todos con el mismo valor porcentual. Los contenidos a evaluar en cada uno de estos exámenes se detallan en el cronograma. A continuación se indican las fechas de cada una de las pruebas. Tabla 1: Calendario de pruebas parciales Prueba Fecha Hora I Parcial Sábado 3 de setiembre 2:00pm Reposición I Parcial Miércoles 14 de setiembre 8:00am II Parcial Sábado 8 de octubre 1:00pm Reposición II Parcial Miércoles 19 de octubre 8:00am III Parcial Lunes 7 de noviembre 1:00pm Reposición III Parcial Jueves 10 de noviembre 8:00am Extraordinario Lunes 21 de noviembre 8:00am Las fechas de los exámenes están sujetas a la disponibilidad de aulas. 3

4 La nota mínima para aprobar el curso es 7.0. En caso contrario, si la nota es superior a 6.0 el estudiante tendrá derecho a presentar un examen extraordinario para el que deberá pagar el derecho correspondiente en el Departamento Financiero. Este examen incluye todos los contenidos desarrollados en el curso y para aprobarlo, el estudiante deberá obtener una nota igual o mayor que 7.0. El lugar donde se realizarán las pruebas se comunicará oportunamente. La hora y la fecha pueden cambiar según la disponibilidad de aulas para ejecutar las pruebas. Por las características del curso, se recomienda la asistencia regular a todas las sesiones. 8. Disposiciones para realizar las pruebas escritas i. Las son colegiadas y su resolución es individual. ii. iii. iv. Para realizar las pruebas escritas es indispensable que el estudiante presente la cédula de identidad. Si un estudiante no presenta ningún documento de identificación válido no podrá realizar la prueba. Ningún estudiante puede abandonar el recinto de examen en los primeros treinta minutos de iniciada la prueba ni entrar en éste pasados treinta minutos. v. No se contestan preguntas durante la administración de las pruebas; salvo que éstas sean de carácter general, en cuyo caso se aclararán en voz alta. vi. vii. viii. ix. Los exámenes pueden hacerse con lápiz (parcial o totalmente). Los estudiantes que lo hagan no tienen derecho a realizar reclamos en la nota obtenida. No se permite el préstamo de ningún tipo de materiales durante la administración de las pruebas. No se permite el uso de celulares o algún otro dispositivo electrónico de comunicación durante la ejecución de las pruebas Los exámenes deben realizarse en un cuaderno de examen con sus hojas debidamente grapadas, sin utilizar hojas sueltas durante la prueba. Únicamente se permite el uso de las hojas de tablas y fórmulas que el docente les confeccione. x. No se permite el uso de calculadora programable o financiera, salvo que se indique lo contrario con anterioridad. xi. Ningún estudiante puede abandonar el recinto de examen durante la administración de la prueba, salvo que haya finalizado su examen. El estudiante que, por enfermedad u otra causa de fuerza mayor, no pueda efectuar una evaluación, debe presentar al profesor del curso (por escrito) la justificación con los documentos probatorios dentro de los cinco días hábiles posteriores a la fecha en que se realizó la prueba. Si procede repetir la evaluación, de común acuerdo se fijará la fecha y hora de su aplicación dentro de los ocho días hábiles siguientes a la presentación de la justificación. Para justificar, el estudiante deberá completar la boleta que se distribuye en la secretaria de la Escuela de Matemática y llevarla al profesor a cargo para que dé su visto bueno; debe adjuntarse la justificación correspondiente. La boleta, firmada por el profesor, deberá depositarse en el casillero del coordinador de la Cátedra. 4

5 9. Hora de atención El horario de atención de estudiantes se muestra en la tabla 2. Tabla 2: Horario de atención de estudiantes Día Hora(s) Oficina o aula 10. Cronograma La distribución de contenidos por semana se muestra en la tabla 3. Tabla 3: Distribución de contenidos Semana Fecha Contenidos de julio de julio de agosto Noción intuitiva de límite. Límites unilaterales. Propiedades y cálculo de límites: por sustitución directa, simplificación, racionalización y cambio de variable. Teorema del encaje. Límites de funciones trigonométricas y sus inversas. Límites infinitos. Límites al infinito. Feriado: Lunes 25 de julio Concepto de función continua, propiedades de las funciones continuas y análisis de la continuidad de distintas funciones. Feriado: Martes 2 de agosto de agosto de agosto de agosto 29 de agosto 3 de setiembre 5 10 de setiembre Definición de la primera derivada de una función en un punto. Interpretación de la primera derivada como razón de cambio instantáneo. Interpretación geométrica de la primera derivada en un punto. Cálculo de rectas tangentes y de rectas normales a una curva. Función derivada. Teoremas sobre derivación de funciones: derivada de una suma, resta, producto Feriado: Lunes 15 de agosto Teoremas sobre derivación de funciones: derivada de un cociente y composición de funciones. Regla de la cadena. Hasta aquí los temas a evaluar en el I Examen. Derivadas de orden superior. Derivación implícita. Derivación logarítmica. I Examen: Sábado 3 de setiembre. Problemas de razones de cambio. Extremos absolutos de una función continua. Extremos relativos a una función. 5

6 de setiembre de setiembre 26 de setiembre 1 de octubre de octubre de octubre de octubre de octubre 31 de octubre 5 de noviembre 7 12 de noviembre de noviembre de noviembre Aplicación de la primera derivada al estudio del crecimiento de una función. Aplicación de la segunda derivada al estudio de la concavidad de una función. Construcción de gráficas de funciones mediante su cuadro de variación (incluyendo asíntotas verticales, horizontales y oblicuas) Feriado: Jueves 15 de setiembre Criterios de primera, segunda y n-ésima derivada. Aplicación de la teoría de derivadas en resolución de problemas de optimización. Regla de L'Hopital. Hasta aquí los temas a evaluar en el II Examen. La integral indefinida de una función como un conjunto de primitivas. Notación. Propiedades de la integral. Técnicas de integración: directa, por sustitución, por partes. II Examen: Sábado 8 de octubre. 1:00pm Integrales de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Integración por sustitución trigonométrica. Integración por fracciones parciales. Feriado: Lunes 17 de octubre (Traslado del 12 de octubre) La integral definida mediante sumas de Riemman y propiedades fundamentales relacionadas con el álgebra de funciones. Teorema fundamental del cálculo. Cálculo de la integral definida. Aplicación de la integral definida al cálculo de áreas bajo una curva y área entre curvas. III Examen. Lunes 7 de noviembre. Entrega de promedios Examen extraordinario. Lunes 21 de noviembre. 8.00am 6

7 11. Bibliografía recomendada Larson R., Hostetler R. y Edwards, B. (1999). Cálculo (Vol. 1). México DF, México: McGraw-Hill. Apóstol, T. (1985). Calculus (Vol. I y II). México DF, México: Reverté Ediciones S. A. Ayres, F. (1988). Cálculo Diferencial e Integral (Trad. L. Gutiérrez y A. Gutiérrez). Madrid, España: McGraw Hill. Courant, R. y John, F. (1999). Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático. México DF, México: Limusa. Demidovich, B. (1977). Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático. Moscú, Rusia: Editorial MIR. Finney T. (1997). Cálculo: una variable. México DF, México: Editorial Addison Weslie Longman. González, J. (2003). Introducción al Cálculo. San José, Costa Rica: Editorial UNED. Piskunov, N. (1969). Cálculo diferencial e integral (Tomo I). Moscú, Rusia: Editorial MIR. Simmons, G. (2002). Cálculo con Geometría Analítica (2ª ed.). México DF, México: McGraw Hill. Stewart, J. (2002). Cálculo (4ª ed.). México DF. México: Thompson Learning. Thomas, G. (2006). Cálculo: una variable (11ª ed.). México DF, México: Pearson Educación. Atentamente, ORIGINAL FIRMADO Leonel Chaves Salas Coordinador Cátedra MAT002 Cálculo I ORIGINAL FIRMADO Alejandro Ugalde León Coordinador Cursos Servicio 7