SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

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1 Pág Págin 56 PRACTICA Escribe los seis primeros términos de ls siguientes sucesiones: ) Cd término se obtiene sumndo l nterior El primero es 8 b) El primer término es 6 Los demás se obtienen multiplicndo el nterior por 05 c) El primer término es 6 el segundo y los siguientes l semisum de los dos nteriores d) El primero es Cd uno de los siguientes se obtiene invirtiendo el nterior ) b) 6; 8; ; ; ; 05 c) 6; ; ; 8; ; 95 d) Escribe los términos 0 5 y 00 de ls siguientes sucesiones: ) n b) n + c) n d) + ) b) c) d) 0 + ( ) ( ) ( ) ( ) n n Unidd Progresiones

2 Pág Comprueb si est sucesión es un progresión ritmétic o geométric y escribe los tres términos siguientes: 8; ; 8; 7; 05; No es un progresión ritmétic 5; 8 5; 7 5; Es un progresión geométric de rzón r 5 Los tres términos siguientes son: 6075; 95; Escribe los cinco primeros términos de ls sucesiones cuyos términos generles son: ) 0 5n b) b n n c) c n n d) d n n n n + Entre ells hy un progresión ritmétic y otr geométric Cuáles son? ) b) c) 9 7 d) es un progresión ritmétic de diferenci d 5 c n es un progresión geométric de rzón r 5 Averigu el criterio con el que se hn formdo ls siguientes sucesiones Escribe tres términos más en cd un de ells y di cuáles son progresiones ritmétics y cuáles geométrics: ) 7 5 b) c) 5; 9; ; 7; 8 6 d) e) f) 6 0 ) Cd término se obtiene restndo (o sumndo ) l nterior Es un progresión ritmétic de diferenci d Los tres términos siguientes son: 5 b) Cd término se obtiene multiplicndo por el nterior Es un progresión geométric de rzón r Los tres términos siguientes son: 6 8 c) Cd término se obtiene sumndo 0 l nterior Es un progresión ritmétic de diferenci d 0 Los tres términos siguientes son: ; 5; Unidd Progresiones

3 Pág d) Cd término se obtiene sumándole l cudrdo del lugr que ocup Los tres términos siguientes son: e) Cd término es el inverso del lugr que ocup Los tres términos siguientes son: f) Cd término prtir del segundo se obtiene sumándole l lugr que ocup el término nterior Los tres términos siguientes son: ) Est es l tbl de multiplicr Observ en ell cd fil o column Qué tipos de sucesiones son? Escribe el término generl de cd un b) Obtén el término generl de l digonl principl 9 6 c) L digonl 6 0 se formó multiplicndo cdúmero por su siguiente Cuál es el término generl? ) Son progresiones ritmétics Términos generles: Fil n Fil n Fil n Fil n Fil 5 5n Fil 6 6n Fil 7 7n Fil 8 8n Fil 9 9n Fil 0 0n b) n c) n (n + ) 7 Hll l diferenci escribe el término generl y clcul l sum de los 0 primeros términos en ls siguientes progresiones ritmétics: ) ; 5; ; 5; b) 5 c) ; ; 55; 66; d) 5 9 ) d 05 +(n ) d + (n ) n 05 05n n ( S ) 0 ( + 05) Unidd Progresiones

4 Pág b) d +(n ) d 5 + (n ) ( ) 5 n + 7 n 7 n ( S ) 0 (5 ) 0 80 c) d +(n ) d + (n ) + n n + n ( S ) 0 ( + ) 0 75 d) d +(n ) d + (n ) + n n n ( S ) 0 (/ + 77/) Hll l rzón escribe el término generl y clcul l sum de los 0 primeros términos en ls siguientes progresiones geométrics: ) 05; 075; 5; 675; b) 6 c) ; 6; 9; 5; d) 8 ) r r n 05 n 05 n S 0 0 r r b) r r n ( ) n ( ) n 0 ( ) 9 ( 5) 56 S 0 0 r 07 0 r Unidd Progresiones

5 Pág 5 c) r 5 r n (5) n (5) n S 0 0 r 5 r d) r r n 8 ( ) n (n ) n + n n 6 n 8 S 0 0 r r 6 n 9 Clcul el término generl y l sum de los 5 primeros términos de ls sucesiones siguientes: ) 8 5 b) ) Es un progresión ritmétic de diferenci d +(n ) d 8 + (n ) ( ) 8 n + n n ( S ) 5 (8 ) 5 95 b) Es un progresión geométric de rzón r r n n n n n n 5 8 n S 5 5 r 77 7 / r 8 Unidd Progresiones

6 Pág 6 0 Busc un ley de recurrenci pr definir ls siguientes sucesiones: ) b) c) 0 0 d) 5 ) 5 6 pr > b) pr > c) 0 pr > d) + pr > Tmbién + ( ) n pr > Págin 57 Hll el término generl de ests sucesiones: ) b) 5 8 c) 5 d) 77; 66; 55; ; e) 7 f) 6 8 g) 0; 00; 000; h) ) n b) b n + (n ) ( 7) 7n n c) c n n n + d) d n 77 + (n ) ( ) 77 n + 88 n e) e n 7 + (n ) 7 + n n 0 f) f n n 5 g) g n 0 (0) n h) h n n Identific ls progresiones ritmétics ls geométrics y ls que no sen de estos tipos Obtén el término generl de cd un: ) b) c) d) e) f) 9 6 Unidd Progresiones

7 Pág 7 ) Es un progresión ritmétic de diferenci d 0 Tmbién es un progresión geométric de rzón r b) Es un progresión ritmétic de diferenci d n c) Es un progresión ritmétic de diferenci d n d) n No es ni progresión ritmétici geométric e) Es un progresión geométric de rzón r ( ) n f) No es ni progresión ritmétici geométric n Hll l sum de todos los términos de l progresión geométric con: 0 y r 0 S r /0 9/0 9 Escribe el término 6 de est sucesión: El término es igul l resto que se obtiene l dividir n entre Por tnto 6 PIENSA Y RESUELVE 5 Escribe el término generl de un progresión ritmétic en l que 7 y 0 + d sustituye y hll d + d d d d Término generl: +(n ) d 7 + (n ) 7 + n n n 6 En un progresión ritmétic 8 y l diferenci es 5 Clcul el primer término y l sum de los veinticinco primeros términos 8 + 7d sustituye y hll 8 7d d ( S ) 5 (9 8) 5 55 S 5 55 Unidd Progresiones

8 Pág 8 7 En un progresión geométric 6 y r 05 ) Clcul el primer término no entero b) Expres de form indicd 5 ) El primer término no entero es 5 05 b) 5 r ( ) 6 ( ) En un progresión geométric 000 y 8 Clcul l sum de los cinco primeros términos r r r 8 r r 0 5 r S 5 5 r S r Los ángulos de un triángulo están en progresión ritmétic y el menor mide 6 Cuánto miden los otros? d 6 + d d d d 80 d 7 d Los ángulos miden: En un sl de cine l primer fil dist de l pntll 55 m y l sext 875 m En qué fil está un person si su distnci l pntll es m? Con 55 y clculmos d: 6 + 5d d d 065 Qué lugr ocup el término? 55 + (n ) (n ) (n ) 065 n 78 n n 065 Está en l fil Unidd Progresiones

9 Pág 9 Un vendedor de coches cobr l mes un tnto fijo más un comisión por cd coche que vend En enero vendió coches y cobró 60 En febrero vendió y cobró 60 Cuánto cobrrá en mrzo si h vendido 7 coches? Tenemos que clculr 7 sbiendo que 60 y que d d 70 9d d d Vendiendo 7 coches cobrrá 850 Un person que estb de vcciones gstó 00 el primer dí y en cd uno de los siguientes 5 menos que el nterior El dinero le duró 0 dís Cuánto dinero llevó pr sus vcciones? Tenemos que 00 d 5 Así: gstó el dí 0 o - de sus vcciones En totl llevó: ( S ) 0 (00 + 5) Clcul l sum de los doce primeros términos de un progresión ritmétic en l que y d d 7d d 6 d 0 + d ( S + ) ( + 78) 50 S 50 Hll el primer término y l diferenci de un progresión ritmétic en l que el término y + + d + d d + + d + + 0d + d + d ( d) + d 6 6d + d 5d 5 d 9 5 Un tipo de bcteris se reproduce por biprtición cd 0 minutos Cuánts bcteris hbrá después de 8 hors? 8 hors 80 minutos 8 0 minutos Así l cbo de 8 hors hbrá: bcteris Unidd Progresiones

10 Pág 0 6 En cuánto se convertirá un euro l 0% de interés nul compuesto durnte un siglo? colocdo durnte 00 ños l 0% de interés nul compuesto se convertirá en: () L ts nul de crecimiento demográfico de un pís es del 8 (8 por mil) Si l finlizr el ño 000 tiene un poblción de 6 millones de hbitntes qué poblción tendrá en el ño 05 si se mntiene es ts? Si l finlizr el ño 000 tení 6 millones de hbitntes l cbo de un ño tendrá: hbitntes Es un progresión geométric de rzón r 08 A principios del ño 05 (l cbo de ños) tendrá: millones de hbitntes Al finl del ño 05 (l cbo de 5 ños) tendrá: millones de hbitntes Págin 58 8 (ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO) 9 Clcul l frcción genertriz de estos números utilizndo el método del ejercicio nterior: ) ) 7 b) 5 ) c) 0 ) ) 7 ) Hllmos l sum de los infinitos términos de l progresión geométric: de rzón S 0 0 r Por tnto: 7 ) 7 + b) 5 ) Expresmos 05 en form de frcción Hllmos l sum de los infinitos términos de l progresión de rzón Unidd Progresiones

11 Pág S r Por tnto: 5 ) c) 0 ) Hllmos l sum de los infinitos términos de l progresión geométric: de rzón S r Por tnto: 0 ) Dejmos cer un pelot desde un ciert ltur y trs cd rebote l ltur lcnzd se reduce l mitd de l ltur nterior Si en el curto rebote lcnzó 0 cm desde qué ltur se dejó cer? Llmmos l ltur desde l que se dejó cer En el primer rebote su ltur será: En el segundo rebote ( ) etc Es un progresión geométric de rzón en l que sbemos que en el curto rebote lcnzó 0 cm; es decir: 5 0 Por tnto: 5 r ( ) 0 cm cm Se dejó cer desde un ltur de 80 cm 8 m Un rn d sltos en líne rect hci delnte y cd vez slt los / del slto nterior Quiere trvesr un chrc circulr de 5 m de rdio y el primer slto es de m Llegrá l centro de l chrc? Llegrá l otro ldo de l chrc siguiendo el diámetro? 6 6 Unidd Progresiones

12 Pág En cd uno de sus sltos recorre: Primer slto m Segundo slto m Es un progresión geométric de rzón S 6 m r < Lo que recorre en totl es: Como el rdio de l chrc son 5 m sí llegrá l centro de l chrc (y un metro más); pero no llegrá l otro ldo pues tendrí que recorrer 0 m En el ño 986 fue visto el comet Hlley desde l Tierr l que se cerc cd 76 ños Est er l curt vez que nos visitb desde que el strónomo Hlley lo descubrió ) En qué ño fue descubierto? b) Cuándo será visto en el siglo XXI? Tenemos un progresión ritmétic en l que 986 y d 76 ) d Fue descubierto en 758 b) Será visto por quint vez en el ño 06 Observ los diferentes cudrdos que hy en est figur Se hn obtenido uniendo los puntos medios de dos ldos contiguos ) Hll ls áres de los seis primeros cudrdos de est sucesión Cuál será su término generl? 8 cm b) Escribe l sucesión formd por ls longitudes de los ldos c) Clcul l sum de ls áres de los infinitos cudrdos generdos de es form ) Observmos que el áre de cd cudrdo es l mitd del áre del cudrdo nterior Por tnto l sucesión de ls áres es: 6 cm cm 6 cm 8 cm 5 cm 6 cm Es un progresión geométric de rzón r El término generl es: Unidd Progresiones

13 Pág 6 ( ) n 6 6 (n ) 6 n + 7 n 7 n n 6 n b) El ldo de un cudrdo es igul l ríz cudrd de su áre Por tnto l sucesión de ls longitudes de los ldos será: Es decir: 8 c) Como 6 y r tenemos que: S cm r Observ ls figurs en cd cso y busc l fórmul que permit sber cuántos puntos tendrá un figur sbiendo el lugr que ocup en l serie: ) b) ) 5 9 Es un progresión ritmétic con diferenci d Por tnto: +(n ) d 5 + (n ) 5 + n n + n + b) 9 Es un progresión ritmétic con diferenci d 5 Por tnto: +(n ) d + (n ) 5 + 5n 5 5n 5n 5 Averigu cuántos plos y cuánts bols son necesrios pr hcer un estructur como l de l figur A pero de n pisos A B Y pr l figur B? A) BOLAS: b 8 b b 6 Es un progresión ritmétic con d Pr que teng pisos necesitremos: b n 8 + (n ) 8 + n n + b n n + bols Unidd Progresiones

14 Pág PALOS: p p 0 p 8 Es un progresión ritmétic con d 8 Pr que teng pisos necesitremos: p n + (n ) 8 + 8n 8 8n + p n 8n + plos B) BOLAS: b 6 b b Es un progresión ritmétic con d 8 Pr que teng pisos necesitremos: b n 6 + (n ) n 8 8n + 8 b n 8n + 8 bols PALOS: p 8 p 6 p 6 Es un progresión ritmétic con d 8 Pr que teng pisos necesitremos: p n 8 + (n ) n 8 8n + 0 p n 8n + 0 plos Págin 59 6 Dibuj un triángulo equilátero de 6 cm de ldo Une los puntos medios de sus ldos Cuántos triángulos obtienes? Cuánto miden sus ldos? En estos triángulos vuelve unir los puntos medios y sí sucesivmente Escribe ls siguientes sucesiones: ) Número de triángulos que tienes cd vez b) Longitudes de los ldos de esos triángulos c) Áres de los triángulos d) Si multiplics cd término de l sucesión obtenid en ) por el correspondiente de l sucesión obtenid en c) qué obtienes? ) Es un progresión geométric de rzón r r n n n n b) b 6 b 8 b b b 5 Es un progresión geométric de rzón r n + 5 n b n b r n 6 ( ) n (n ) b n 5 n n c) c 6 c 6 c c c 5 Es un progresión geométric de rzón r Unidd Progresiones n

15 Pág 5 c n c r n 6 ( ) n 6 ( ) n 6 6 n 6 (n ) 6 n + 8 n c n 8 n d) El áre del triángulo originl 6 cm n PROFUNDIZA 7 Clcul el número de bloques necesrios pr construir un torre como l de l figur pero de 50 pisos El número de bloques que hy en cd piso es: 5 9 Formn un progresión ritmétic con d : +(n ) d + (n ) + n n En el piso 50 hy 97 bloques Pr construir un torre de 50 pisos necesitremos: ( S ) 50 ( + 97) bloques 8 Un hortelno debe echr un cubo de gu cd uno de los veinte árboles que tiene Estos están linedos distncis regulres de 6 metros lo lrgo de un cmino y l distnci del primer árbol l fuente es de metros ) Si cd vez llev un cubo qué distnci hbrá recorrido hst regr los veinte árboles considerndo que dej el cubo en su posición inicil junto l fuente? b) Y si llevr dos cubos en cd vije? ) Pr regr el primero y dejr el cubo donde estb recorre metros de id y metros de vuelt Pr regr el segundo y dejr el cubo en l fuente recorre 6 metros 6 Unidd Progresiones

16 Pág 6 Pr regr el tercero y dejr el cubo en l fuente recorre 8 metros 8 Es un progresión ritmétic con d +(n ) d + (n ) + n n + n En totl recorrerá: ( S ) 0 ( + 5) m b) Pr regr los árboles - o y - o recorre (dejndo el cubo en l fuente) 6 metros: b 6 Pr regr los árboles - o y - o recorre 60 m b 60 Es un progresión ritmétic con d b n 6 + (n ) 6 + n n + b En totl recorrerá: (b S 0 + b 0 ) 0 (6 + 5) 0 0 m 9 Un horrdor inici un pln de pensiones los 5 ños con cuots nules de 00 que pg l principio de cd ño Su contrto con el bnco le segur un 8% fijo de interés compuesto nul De qué cpitl dispondrá los 65 ños? Cd cuot nul produce intereses durnte el periodo que está en el bnco del siguiente modo: -ª cuot ª cuot Penúltim cuot Últim cuot Ls cntiddes l finl de cd ño formn un progresión geométric de rzón 08 cuyo primer término es 96 96; 9968; ; formn un progresión geométric de rzón r 08 Su sum es: S 0 0 r r 08 Unidd Progresiones

17 Pág 7 0 Un person deposit todos los ños 900 en un cuent bncri que le produce un 6% de interés compuesto nul Qué cntidd tendrá l cbo de 5 ños? Y l cbo de 0 ños? Al cbo de 5 ños: - cuot cuot cuot ; ; 6; 5 0 formn un progresión geométric de rzón r 06 Su sum es: S r r 06 Al cbo de 0 ños: - cuot cuot Penúltim cuot Últim cuot ; ; ; formn un progresión geométric de rzón r 06 Su sum es: S r r 06 En un progresión geométric l sum de sus infinitos términos es y l diferenci entre el primero y el segundo es /9 Hll el primer término y l rzón De ls dos soluciones que obtienes solo un es válid S ( r) r r ( r) 9 ( r)( r) ( r)( r) 9 r r + 9r 8r r 8r Unidd Progresiones

18 Pág 8 8 ± 88 8 ± 6 r 8 ± Solo es válid r luego r < ) ( r) ( ) Por tnto y r (hemos sumdo los infinitos términos de l sucesión r > 8 r < 8 Observ ls series de rectángulos en ) y en b) ) b) Cuántos cudrdos rojos tiene cd figur? Y blncos? Cuántos cudrdos rojos y cuántos blncos tendrá l figur que ocup el lugr n en cd cso? ) Rojos: n Blncos: 8 0 n + 6 b) Rojos: 6 n(n + ) Blncos: 0 8 n + 6 Unidd Progresiones

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