MATEMÁTICA TICA SUPERIOR APLICADA

Transcripción

1 MATEMÁTICA TICA SUPERIOR APLICADA Solución n Numérica de Sistemas de Ecuaciones No Lineales en Ingeniería a Química Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Rosario Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz

2 Sistemas de Ecuaciones No Lineales Como se mencionara, la solución n de diversos problemas de modelado y simulación n de procesos implica en algún n momento resolver un sistema de ecuaciones, por lo general no lineal. A continuación n se presentan algunos ejemplos, aunque obviamente no cubren todos los campos que pueden analizarse en un curso de este tipo. 2

3 Sistemas de Ecuaciones No Lineales Son los sistemas que comúnmente se presentan en la modelización matemática tica de procesos fisicoquímicos o equipos de procesos a parámetros concentrados. Estudiaremos problemas del tipo: o en forma equivalente: f x n n n m n f x,x,x,...,x 0 f x,x,x,...,x 0 f x,x,x,...,x 0 f x,x,x,...,x 0 Sin pérdida p de generalidad, en lo que sigue supondremos que el sistema presenta igual número n de ecuaciones que de incógnitas, esto es, m=n. 3

4 Discusión n de la Convergencia Se busca generar una secuencia infinita de vectores (serie), lím x x, 1 x, 2 x, 3, xn tal que si existe y se cumple que n entonces x* es la raíz z de la ecuación n buscada del SENL. Al igual que en el caso de la resolución n de una ecuación n no lineal en una variable, se deben seguir los siguientes pasos: 1) Generar una aproximación n inicial a la raíz. n * x * f x 0 2) Hallar una ley de recurrencia que nos provea la secuencia buscada. 3) Fijar un criterio que nos indique cuando hemos logrado una aproximación n aceptable de la raíz. 4

5 Método de Aproximaciones Sucesivas Básicamente consiste en explicitar el sistema de ecuaciones (lineales les o no lineales): transformándolo ndolo en el sistema equivalente: Una vez explicitada la función, n, se propone una aproximación n inicial x 0 de la solución n buscada que se mejora en sucesivas iteraciones conforme a la siguiente ley de recurrencia: Se itera hasta que se verifique que: f x 0 x x f x F x x n1 x F x xn1 xn ε y f xn ε n 5

6 Normas Usualmente Empleadas Norma Euclideana Norma de MáximoM m x 2 n1,i i1 x n,i 2 máx x 1 i m n1,i x n,i 6

7 Convergencia del MétodoM Función n continua de Lipschitz en R: Propiedades F a F( b ) K a b ; K 0,1 a, b R Si F(x) es continua en R, entonces si x* es la raíz buscada (x*=f(x*) se cumple que: Además, x x* K x x* n1 n n1 xn1x* K x0 x* Esto es, si 0<K<1 el error de crecerá en las sucesivas iteraciones y el decrecimiento será mayor cuanto menor sea K. 7

8 Condición n Suficiente para la Convergencia del MétodoM Matriz Jacobiana: J i,j f x i j Condición n suficiente de convergencia: J x M <1 xr Para el caso unidimensional esta condición n se reduce a: Condición n necesaria de convergencia: Para que el método m de Aproximaciones Sucesivas converja para todo x R el radio espectral r del Jacobiano debe ser menor o igual a 1: k r J máx λ J 1 donde los λ k representan a los autovalores del Jacobiano. k F' x <1 8

9 Método de Wegstein Aplicado a la Resolución de Sistemas de Ecuaciones No Lineales Sea el problema f x 0 Se lo transforma al esquema de Aproximaciones Sucesivas Entonces la ley de recurrencia se expresa como: Valor estimado: xn1 F x ~ n ~ ~ Valor mejorado : x Q. x I Q. x n1 n1 n q q donde : Q con q y w q n 2 w x i n1,i xn,i i i ~ ~ wi 1 xn1,i xn,i 9

10 Método de Wegstein Etapas el MétodoM Identificamos las siguientes etapas: Etapa de preparación n del métodom Etapa de iniciación Etapa general 10

11 Método de Wegstein Ejemplo Sea el siguiente sistema de ecuaciones: 1 x 2 x1 f1 x 1,x2 sen x 1.x2 2 4π 2 1 2x 1 1 x2 f2 x 1,x2 e. 1. e 1 e. 2x1 4π π Elegimos como valores de arranque del método: m 0 x x

12 Método de Wegstein Etapa de Preparación Se generan tres valores de x mediante aproximaciones sucesivas a partir de una estimación n inicial de la solución. Valores Estimados en la Primer Iteración ~ ~ x F x,x x F x,x Valores Mejorados en la Primer Iteración x x x x ~ 2 ~ Valores Estimados en la Segunda Iteración ~ 1 ~ x1 F1x 1,x2 F1x 1,x2 2 ~ x1 x1 ~ 2 x2 x2 Valores Estimados en la Tercera Iteración ~ 2 ~ x1 F1x 1,x2 F1x 1,x2 x F x,x F x,x 2 2 ~ 1 ~ x2 F2x 1,x2 F2 x 1,x2 Valores Mejorados en la Segunda Iteración 12

13 Método de Wegstein w q Etapa de Iniciación Fi x 3 2 i i i i ~ 2 ~ 1 ~ 2 ~ 1 i x i x F x x x x x wi w 1 i i i i ~ 3 ~ 2 xi qi xi 1qi xi 3 ~ 4 xi Fix ; i=1,2 13

14 Método de Wegstein Etapa de General del MétodoM x w q n1 n i Fi x n1 n n1 n n n1 ~ ~ i i i ~ n ~ n1 ~ n ~ n 1 i x i i i i i i Fix Fix x x x x x w w 1 ~ ~ n1 x i qx i i 1qi x i ; i=1,2 14

15 02/11/2015 Matemá Matemática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTN - FRRo 15

16 Métodos de Linealización En forma análoga al caso unidimensional, dada una aproximación n inicial x a de la raíz x* se aproxima la Ecuación: f(x) ) = 0 por la expresión linealizada: Se determina la raíz z de l(x) ) = 0 como una aproximación n de f(x) ) = 0. Ley de Recurrencia: f x l x f x A. xx 0 1 n1 n n x x A.f x Según n como se genere A,, se definen los diferentes algoritmos numéricos de linealización. a a 16

17 Método de Newton Consiste en adoptar A como la matriz Jacobiana de f(x): f1 f1 f1 f1... x1 x2 xn1 x n f2 f2 f2 f 2... x1 x2 xn1 x n A J fn fn f n x1 x2 xn 17

18 Aplicación n del Método M de Newton para Resolver un Sistema de Dos Ecuaciones No Lineales 18

19 Método de Newton 19

20 Método de Newton con Factor de Relajación 20

21 Dificultades del Método M de Newton (I) Si bien este método m converge cuadráticamente presenta varias dificultades: 1) Requiere evaluar n 2 elementos de la matriz Jacobiana J,, ya sea en forma analítica si se dispone de las expresiones analíticas de f i / x j o numéricamente de acuerdo a: a f x i j j f x e x f x i j i donde e j es el vector cuyas componentes valen todas cero, excepto la j-j ésima que vale 1. 2) Se requiere invertir la matriz Jacobiana en cada iteración. La inversión n se realiza resolviendo para x n+1 por algunos de los métodos m de resolución n de SEAL el siguiente problema: J.y f x n1 n n x x y x j 21

22 Dificultades del Método M de Newton (II) 3) Si J es singular o casi singular cerca de la solución, la inversión n del Jacobiano no es posible. 4) Se requiere una buena aproximación n inicial de la raíz z para que el método converja. Esta aproximación n inicial no siempre puede ser obtenida, sobre todo en problemas de elevada dimensionalidad. 22

23 Método de Newton Modificado (I) Requerimos que: 1) El algoritmo progrese hacia la solución n en cada paso: k1 k f x f x 2 2 2) Los pasos no sean demasiado grandes: k1 k x x δ donde δ es elegido por el algoritmo. 2 23

24 Método de Newton Modificado (II) Supongamos que tenemos: k1 k x x p Corrección A partir del Método M de Newton esperamos que: 1 k k pj x.f x pero puede que no satisfaga: p Además, si J es singular, p no existe. 2 δ 24

25 Método de Newton Modificado (III) En lugar de evaluar la corrección n por el Método M de Newton, resolvemos un problema de optimización n restringida: k k mín J x.p f x sujeto a la restricción: p 2 Esto funciona aún a n para J singular!!!! p 2 δ 25

26 Método de Newton Modificado (IV) Si dispusiésemos semos de un solver que nos permita resolver el problema de optimización, entonces procederíamos de la siguiente manera: k 1) Si, f x ε entonces parar. 2 2) Calcular p vía a optimización n restringida. 3) Si: k k f x p f x 2 2 aceptar p e ir a la Etapa (1). Aquí podríamos pensar en aumentar δ. 4) Si no, reducir δ y volver a la Etapa (2) Este algoritmo permite determinar la solución n de manera confiable. El problema es que pueda quedar atrapado en un mínimo local de la función. n. La clave: Arrancar cerca de la solución!!! 26

27 Ejemplo 4: Solución n de Ecuaciones No Lineales en Equilibrio Químico mediante el método m de Newton. 1) Desarrollar una función n de MATLAB para resolver n ecuaciones no lineales simultáneas con n incógnitas. 2) Aplicar esta función n para hallar la conversión n de equilibrio de las siguientes reacciones químicas [kmol/m 3 ]: 27

28 Sean x 1 y x 2 las conversiones de las reacciones anteriores, entonces: 28

29 Sistemas de Ecuaciones No Lineales Ejemplos y Archivos.m Ejemplo_04: Resuelve reacciones simultáneas en equilibrio químico mediante el método de Newton con parámetro de relajación para sistemas de ecuaciones no lineales (Newton.m). 29

30 Sistemas de Ecuaciones No Lineales Métodos Ejemplos y Archivos.m Newton.m: Método de Newton con parámetro de relajación para resolver ecuaciones no lineales simultáneas. Funciones Ex_04_func.m: Funciones del sistema de ecuaciones no lineales simultáneas. Jacobian.m: Jacobiano de la función del Ejemplo_04 (argumento de Newton.m). 30

31 % Example_04.m % Solution to the problem posed in Example_04. It calculates the % equilibrium concentration of the components of a system of two % reversible chemical reactions using the Newton s method. clear clc % Input data c0 = input(' Vector of initial concentration of A, B, C, and D = '); K1 = input(' 2A + B = C K1 = '); K2 = input(' A + D = C K2 = '); repeat = 1; 02/11/

32 while repeat % Input initial values and relaxation factor x0 = input('\n\n Vector of initial guesses = '); rho = input(' Relaxation factor = '); % Solution of the set of equations [x,iter] = Newton(c0,K1,K2,rho,x0,1e-06); % Display the results fprintf('\n Results :\n x1 = %6.4f, x2 = %6.4f',x) fprintf('\n Solution reached after %3d iterations.\n\n',iter) repeat = input(' Repeat the calculations (0 / 1)? '); end 02/11/

33 function f = Ex_04_func(x,c0,K1,K2) % Evaluation of set of equations for Example_04 % c0(1) = ca0 / c0(2) = cb0 / c0(3) = cc0 / c0(4) = cd0 ca = c0(1) - 2*x(1)*c0(2) - x(2)*c0(4); cb = (1 - x(1))*c0(2); cc = c0(3) + x(1)*c0(2) + x(2)*c0(4); cd = (1 - x(2))*c0(4); f(1) = cc / ca^2 / cb - K1; f(2) = cc / ca / cd - K2; f = f'; % Make it a column vector. 02/11/

34 Vector of initial concentration of A, B, C, and D = [40, 15, 0, 10] 2A + B = C K1 = 5e-4 A + D = C K2 = 4e-2 Name of the file containing the set of equations = Ex_04_func Vector of initial guesses = [0.1, 0.9] Relaxation factor = 1 Results : x1 = , x2 = Solution reached after 8 iterations. Repeat the calculations (0 / 1)? 1 Vector of initial guesses = [0.1, 0.1] Relaxation factor = 1 Warning : Maximum iterations reached. 02/11/

35 Results : x1 = x2 = Solution reached after 100 iterations. Repeat the calculations (0 / 1)? 1 Vector of initial guesses = [0.1, 0.1] Relaxation factor = 0.7 Results : x1 = , x2 = Solution reached after 18 iterations. Repeat the calculations (0 / 1)? 0 02/11/

36 Resumiendo: Se presentaron un conjunto de técnicas t numéricas usuales en ingeniería a química para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales. Se introdujo un conjunto reducido de problemas típicos t en los cuales resulta imperioso resolver computacionalmente sistemas de este tipo. Se verá mas adelante que cualquier intento de construir programas de simulación n de procesos o equipos (aún sencillos) requiere inevitablemente del uso de estas técnicas, más m s otras que permitan el particionado,, rasgado y ordenamiento de grandes sistemas de ecuaciones (por ejemplo, del orden de 1000 x 1000). 36