Sistemas de ecuaciones lineales

Transcripción

1 eáics II Sises lineles Sises de ecuciones lineles Observción: L orí de esos sises se hn propueso en ls pruebs de Selecividd, en los disinos disrios universirios espñoles.. L ri plid de un sise de ecuciones lineles, en for reducid por el éodo de Guss, es: ) El sise es copible o incopible? Ron l respues. b) Resolverlo en el cso de que se copible. ) Coo puede observrse, l ercer fil es nul; en consecuenci, el rngo de l ri plid es, igul l rngo de l ri de coeficienes. Por no, el sise es copible indeerindo. El enor de l ri de coeficienes. NOT: Podrí recordrse el Teore de RouchéFröbenius: Un sise de ecuciones lineles iene solución si el rngo de l ri de los coeficienes de ls incógnis ) es igul l rngo de l ri plid con l colun de los érinos independienes ), recíprocene. Eso es: el sise es copible rngo de = rngo de Si bos rngos son igules l núero de incógnis, el sise es copible deerindo: el sise iene un únic solución. Si bos rngos son igules pero enores que el núero de incógnis, el sise es copible indeerindo: el sise iene infinis soluciones. b) El sise equivlene l ddo puede escribirse sí: José rí ríne edino

2 eáics II Sises lineles José rí ríne edino. Ddo el sise de ecuciones: C B S deosrr que es copible deerindo pr culquier vlor de, B C enconrr l solución en función de dichos vlores. Un sise es copible deerindo si el rngo de l ri de coeficienes es igul l núero de incógnis e igul l rngo de l ri plid. En ese cso, coo el deerinne de l ri de coeficienes, el rngo de es ri es. Coo l ri plid sigue eniendo res fils, su rngo no puede ser or. En consecuenci, el sise es copible deerindo. L solución l hllos por Crer. C B C B ; B C B ; C B C B

3 eáics II Sises lineles. Dds ls rices X, se pide: ) Obener rondene odos los vlores de pr los que es l únic solución de l ecución X X. b) Resolver l ecución ricil X X. ) X X X X O I X O Se iene el sise ). ) Pr que ese sise eng solución únic es necesrio que el rngo de l ri de coeficienes vlg. Pr ello: 7. Por no, siepre que l ecución solución será X. X X endrá solución únic, es b) L ecución X X es l correspondiene cundo =. D lugr l sise L solución de ese sise es =. Luego, l ri solución es X. José rí ríne edino

4 eáics II Sises lineles José rí ríne edino. Dd l ri ) Clculr el rngo de en función de los vlores de. b) En el cso =, discuir el sise b en función de los vlores de b, resolverlo cundo se posible. c) En el cso =, resolver el sise. ) El deerinne de l ri vle: =. El deerinne de vle si = o =. Por no: Si ± el rngo de es : r) = ; si = o =, r) <. Pr =,. Coo el enor r) =. Pr =,. Su rngo bién es, pues. b) En el cso =, el rngo de l ri de coeficienes es ; el sise b b b. Coo se h viso, pr =, el rngo de l ri de coeficienes es. Clculo del rngo de l ri plid: El enor: 8 b b. Por no: Si b =, su vlor es endrá rngo. El sise será copible indeerindo. Si b, endrá rngo. El sise será incopible.

5 eáics II Sises lineles José rí ríne edino Pr = b = el sise es equivlene. Su solución es. c) En el cso = el sise es copible deerindo. Hciendo rnsforciones de Guss: E E E E. Esudir l copibilidd del sise de ecuciones lineles ddo por: b T en función de b. Coo el rngo de l ri de coeficienes es bs con clculr culquier de los enores posibles), el sise será copible cundo el rngo de l ri plid bién se. Es ri es: b f f f f f f b f f f f b Pr que su rngo se es preciso que = b =. Obsérvese que si =, l cur fil es nul; si = b =, se nul bién l ª fil.) En los deás csos el sise es incopible.

6 eáics II Sises lineles José rí ríne edino. ) Discuir el sise de ecuciones X = B, donde, X, B. b) Resolver el sise en los csos = =. ) L solución dependerá del rngo de ls rices *, plid de. * Coo, que vle cundo = ó =, se endrá: Si r) = = r*) el sise es copible deerindo. Si =, *. Coo l colun ª, C, es proporcionl C se iene que el r*) = r) = el sise será copible indeerindo. Si =, *. Es evidene que r*) = r) = el sise será incopible. b) Si =, *. El sise equivlene es:. Hciendo =, su solución será:. Si =, *. El sise equivlene es:. Su solución es evidene:.

7 eáics II Sises lineles 7 7. Resolver el siguiene sise de ecuciones cundo se copible deerindo. k Se l ri de coeficienes l ri plid. El sise será copible deerindo cundo el rngo de se igul l rngo de e igul l núero de incógnis: r) = r) =. k El deerinne de, k. k Con eso, si k 7 r) = = r). El sise será copible deerindo. Hllos su solución plicndo l regl de Crer. k ; k k k k 7 k ; k José rí ríne edino

8 eáics II Sises lineles José rí ríne edino 8 8. Encuenr el vlor, o vlores, del práero que hcen que el sise: se incopible. Se esudi el rngo de l ri de coeficienes: Los vlores que nuln el deerinne son = =. Por no: Si, el rngo de l ri de coeficienes es el sise copible deerindo. Si =, el rngo de l ri de coeficienes ) el de l ri plid ) son igules ; el sise será copible indeerindo. Efecivene, si = :, siendo el enor Si =, el rngo de l ri de coeficienes es, siendo el de l ri plid. En consecuenci, en ese cso el sise será incopible. Efecivene, si = :, siendo el enor Por no, el vlor de que hce que el sise se incopible es.

9 eáics II Sises lineles José rí ríne edino 9 9. Esudir, según los vlores del práero, el siguiene sise de ecuciones lineles: ) ) Se l ri de coeficienes l ri plid: El deerinne de, ) ) ) Con eso: Si r) = = r). El sise será copible deerindo. Si =, ls rices quedn: Coo l ª colun C) es nul l C = C, el rngo de bs rices es : r) = r) =. En consecuenci, el sise será copible indeerindo. Si =, ls rices quedn:. El rngo de es, pues. Pero el rngo de es, pues el enor. En consecuenci, el sise será incopible.

10 eáics II Sises lineles José rí ríne edino. Discuir l copibilidd del siguiene sise de ecuciones S en función del práero. Se l ri de coeficienes l ri plid. El sise será copible cundo el rngo de se igul l de : r) = r). Ls rices son: El deerinne de, ). Ese deerinne vle si = o = Con eso: Si r) = = r). El sise será copible deerindo. Si = se iene: Coo F = F + F r) = r) =. El sise será copible indeerindo. Si = se iene: El rngo de es ; ienrs que el rngo de vle, pues. Por consiguiene, si =, el sise es incopible.

11 eáics II Sises lineles. Consider ese sise de ecuciones: ) Clsific el sise según los vlores de. b) Clcul los vlores de pr los que el sise iene un solución en l que =. ) H que esudir los rngos de l ri de coeficienes ) de l ri plid ). El deerinne de, Ese deerinne vle si = o = Con eso: Si, r) = = r). El sise será copible deerindo. Si = se iene: El rngo de, r) = ; ienrs que r) =. En consecuenci, el sise será incopible. Si = se iene: Coo ls dos fils de l ri son igules r) = r) =. El sise será copible indeerindo. b) Si =, se endrá: ) = /; = Pr = /, el sise iene por solución:. En ese cso, l ser el sise copible deerindo: l solución es únic. Pr =, el sise iene por solución:. En ese cso, l ser el sise copible indeerindo, l solución es un de ls infinis posibles. José rí ríne edino

12 eáics II Sises lineles José rí ríne edino. Esudir según el vlor del práero, el sise de ecuciones: resolverlo si en lgún cso es copible indeerindo. Se l ri de coeficienes l ri plid. El sise es copible cundo dichs rices ienen el iso rngo; en cso conrrio, el sise no iene solución. Ls rices son: El deerinne de, ) Ese deerinne vle si =. Con eso: Si r) = = r). El sise será copible deerindo. Si =, ls rices son: Coo ls res fils de son igules, el rngo de el de son igules. El sise será copible indeerindo, con dos grdos de indeerinción. En ese cso, el sise es equivlene : : E, Su solución es q p q p

13 eáics II Sises lineles José rí ríne edino. Esudir el sise según los vlores de resolverlo pr =. ) Se l ri de coeficienes l ri plid. El sise será copible cundo el rngo de se igul l rngo de. Si r) = r) =, será copible deerindo; si r) = r) <, copible indeerindo. El deerinne de, ) Con eso: Si r) = = r). El sise será copible deerindo. Si =, ls rices son:, con r) = r) =, pues el enor. Por no el sise será incopible. Si =, ls rices son:, con r) = r) =, pues l colun de los érinos independienes esá repeid.. En ese cso, el sise será copible indeerindo. Si =, el sise qued, que es copible deerindo. Su solución puede hllrse por Crer. ; ;

14 eáics II Sises lineles José rí ríne edino. Esudir el sise según los vlores de k punos) resolverlo cundo k = punos) ) ) k k k k Se l ri de coeficienes l ri plid. El sise endrá solución cundo el rngo de se igul l rngo de : r) = r). k k k k El deerinne de, k k k k k Con eso, si k r) = = r). El sise será copible deerindo. Si k =, ls rices quedn:, siendo el rngo de bs igul : r) = r) =. En ese cso, el sise será copible indeerindo con grdos de indeerinción Si k = el sise será:, que resolveos por Crer. ; ;

15 eáics II Sises lineles José rí ríne edino. Ddo el sise de ecuciones lineles, con práero rel, se pide: ) Deerinr rondene pr qué vlores de es copible deerindo, copible indeerindo e incopible. b) Hllr el conjuno de ls soluciones del sise pr el cso copible deerindo. c) Hllr el conjuno de soluciones del sise pr el cso copible indeerindo. ) Se esudin los rngos de l ri de coeficienes,, de l ri plid,. Deerinne de : ) ). Ese deerinne vle si = o =. Pr =, se iene:. El rngo de es, pues l ri iene proporcionles ls coluns ª ª. Coo el enor, el rngo de es. En consecuenci, el sise es incopible. Pr =, se iene:. Coo el enor, el rngo de es, ienrs que el rngo de es, pues l ri iene dos coluns igules. En consecuenci: Si,, r) = = r) el sise es copible deerindo. Si =, r) = r) = el sise es incopible. Si =, r) = r) = el sise es incopible. b) Pr, l solución del sise, que hllos por Crer, es:

16 eáics II Sises lineles José rí ríne edino ) ) ; ) ) ) ) ; ) ) )

17 eáics II Sises lineles José rí ríne edino 7. ) Esudir, según los vlores del práero, el siguiene sise de ecuciones lineles: b) Resolverlo, si es posible, uilindo l regl de Crer pr el vlor =. ) Se l ri de coeficienes l ri plid: El deerinne de, ) ) Con eso: Si r) = = r). El sise será copible deerindo. Si =, ls rices quedn: El rngo de es, pues ; en cbio, el rngo de es, pues el enor. En consecuenci, el sise será incopible. Si =, ls rices quedn: 8. El rngo de es, pues 8. Coo nes, el rngo de es, pues el enor. En consecuenci, el sise será incopible. b) Si = el sise es ; siendo. Por no:

18 eáics II Sises lineles José rí ríne edino 8 ; 7

19 eáics II Sises lineles José rí ríne edino 9 7. ) Clsifique, en función de los vlores del práero, el siguiene sise de ecuciones lineles: ) b) Resuélvlo, si es posible, pr =. Se l ri de coeficienes l ri plid. El sise endrá solución cundo r) = r). El deerinne de,. Con eso: Si r) = = r). El sise será copible deerindo. Si =, ls rices quedn: El enor 9 Luego: r) =, r) = el sise es incopible. Si =, ls rices quedn: El enor Luego: r) =, r) = el sise es incopible. b) Pr =, el sise qued: cu solución es: 7

20 eáics II Sises lineles José rí ríne edino 8. Ddo el sise de ecuciones: ) ) ) ) Discuirlo según los disinos vlores de. b) Resolverlo cundo se copible indeerindo. ) El sise será copible cundo el rngo de l ri de coeficienes ) se igul l rngo de l ri plid ), donde El deerinne de, 8 8 Ls soluciones de 8 son =,. L prier rí se encuenr por neo enre los divisores de 8); ls ors dos descoponiendo en fcores resolviendo l ecución resulne de º grdo. Por no: Si,, el r) = r) = el sise será copible deerindo.. Pr =, qued El rngo de l ri es, pues en ell F = F, ienrs que. El rngo de es, pues. Luego si = el sise será incopible. Pr =, qued El rngo de l ri es, pues. El rngo de es, pues 8. Luego si = el sise será incopible.

21 eáics II Sises lineles José rí ríne edino Pr =, se iene 7. El rngo de bs rices vle, pues en l ri, F = F + F. Por no, pr = el sise es copible indeerindo. b) Si =, el sise es: 7 9 / /

22 eáics II Sises lineles José rí ríne edino 9. Se consider el sise de ecuciones: ) ) Se pide: ) Resolverlo pr =. b) Discuirlo pr los disinos vlores de. ) Si = el sise qued: por Guss) E E E E E E, =, b) Clculos los rngos de ls rices de coeficienes plid. ) r) = si, ; r) = si = o. Pr =, l ri plid es =, cuo rngo es, pues Pr =, l ri plid es =, que bién iene rngo, pues En consecuenci: Si, el sise es copible deerindo. Si = o =, el sise es incopible.

23 eáics II Sises lineles José rí ríne edino. Esudi el siguiene sise de ecuciones lineles dependiene del práero resuélvelo en los csos en que se copible: ) Se l ri de coeficienes l ri plid. El sise será copible cundo el rngo de se igul l de : r) = r). El deerinne de, ) Ese deerinne vle si = o = Con eso: Si, r) = = r). El sise será copible deerindo. Si = se endrá: Coo F = F r) = r) =. El sise será copible indeerindo. Si = se endrá: El rngo de es, ls coluns ª ª son igules. Sin ebrgo, el rngo de vle, pues. En ese cso, el sise será incopible. Pr, eplendo l regl de Crer, se obienen ls soluciones: ) )

24 eáics II Sises lineles José rí ríne edino ) ; ) ) Pr =, el sise inicil es equivlene : cu solución es

25 eáics II Sises lineles José rí ríne edino Sises hoogéneos. Se el sise hoogéneo de ecuciones: ) Deerinr el vlor o vlores del práero pr que el sise eng soluciones disins de l nul. b) Resolver el sise pr el vlor o vlores de hlldos en el prdo nerior. ) El sise iene solución disin de l nul pr quellos vlores de que hgn que el deerinne de l ri de coeficienes se cero. L ri de coeficienes,, iene por deerinne, ) que vle cundo = o Por no: si, el sise endrá solución únic, l nul: =, =, =. si = o, el sise endrá soluciones disins de l nul. b) Pr = o, el rngo de l ri es, pues el enor, ls soluciones dependerán de un indeerind. Pr = el sise inicil es equivlene : hciendo = ) Pr, el sise inicil es equivlene : hciendo = )

26 eáics II Sises lineles José rí ríne edino. Ddo el sise: ) ) ) Esudir l copibilidd según los vlores del práero. b) Resolver el sise nerior cundo se copible indeerindo. Coo el sise es hoogéneo siepre será copible. Si el rngo de l ri de coeficienes es, será copible deerindo; si vle enos que, copible indeerindo. El deerinne de, Por no, si r) =. El sise será copible deerindo; su solución, l rivil: =, =, =. Pr =, l ri qued:, que iene rngo, pues el enor. Por no, el sise será copible indeerindo con un grdo de indeerinción. b) Pr =, el sise qued: E E E E

27 eáics II Sises lineles José rí ríne edino 7. Discuir resolver el siguiene sise de cuerdo con los vlores del práero. Se l ri de coeficienes l ri plid. El sise endrá solución cundo r) = r). El deerinne de, ) ) Discusión: Si r) = = r). El sise será copible deerindo. Si =, r) = = r), pues,. El sise es hoogéneo con infinis soluciones. Si =, se iene:. Los rngos son diferenes, pues el enor. Por no: r) = r) = sise incopible. Resolución: Si, por l regl de Crer: ) 7 ) ) 7 )

28 eáics II Sises lineles José rí ríne edino 8 ) 7 ) ) 7 ) ; ) ) 7 ) 7 Si = el sise qued: cu solución es 7. ) Discuir el siguiene sise linel de ecuciones, según los vlores del práero. b) En los csos en que se copible, resolverlo. ) Es un sise hoogéneo. Siepre es copible. ; ) = si = / Si /, r) =, sise copible deerindo. Si = /, r) =. Sise copible indeerindo. b) Si /, l solución es l rivil. Si = /, el sise es equivlene, cu solución es

29 eáics II Sises lineles José rí ríne edino 9. Ddo el sise de ecuciones dependiene del práero : se pide: ) Discusión del iso en función del práero. b) Resolución en los csos de copibilidd. ) Se l ri de coeficienes l ri plid. El sise endrá solución cundo r) = r). El deerinne de,, luego: Si r) = = r). El sise será copible deerindo. Si =, observos que el sise es hoogéneo que r) = = r). El sise será copible indeerindo. Por no, el sise es copible culquier que se el vlor de. b) Pr, plicndo l regl de Crer se iene: Pr =, el sise es equivlene :, cu solución es

30 eáics II Sises lineles. Discue el sise SISTES CON DOS PRÁETROS b Se l ri de coeficienes l ri plid. El sise endrá solución cundo r) = r). Rngo de. b Consideros los enores de, ; b b = ; b b bos enores son nulos cundo = r) =. Rngo de. b. En ese cso, r) = ; en los deás cso, El deerinne de, ) b b b b b Por no, si b r) =, pues independieneene de los vlores que oen b, el enor. b En cbio, si b r) = Discusión: Si b r) = > r), que coo áio es. Luego, en ese cso, el sise será incopible. Si b, pero =, r) = r) =, pues si =, b o el vlor /. El sise vuelve ser incopible. Si b, con, r) = = r) =. En ese cso, el sise será copible deerindo. José rí ríne edino

31 eáics II Sises lineles José rí ríne edino 7. Esudi, según los vlores de b, l copibilidd del sise. Resuélvelo cundo se copible. b Se l ri de coeficienes l ri plid. El sise endrá solución cundo r) = r). b El deerinne de,, luego: Si 8 r) = = r), independieneene del vlor de b. El sise será copible deerindo. L solución se puede hllr plicndo l regl de Crer; quedrá en función de b. Si = 8, se iene b 8, con rngo de =. Veos el rngo de. El enor b b 9, que vldrá cundo b =. Por no: si = 8 b el sise será incopible: r) = r) =. si = 8 b = el sise será copible indeerindo: r) = = r). Pr si = 8 b = el sise ddo es equivlene : 8 Oros sises: ) b b) b

32 eáics II Sises lineles PROBLES DE SISTES LINELES 8. En un cjero uoáico se inroducen billees de, euros. El núero ol de billees es el ol de dinero es. Se sbe que el núero de billees de es veces los billees de. ) Clcul el núero de billees de cd ipo suponiendo que =. b) Pr = qué ocurre con l siución del cjero plned? c) Siguiendo con =, si se uviern billees en el cjero cuno dinero deberí hber pr que se posible un coposición del cjero? Si,, es el núero de billees de, euros, respecivene, se endrá: + + = + + = = ) Si =, se iene: 7 E E) = = ; = 8; =. Hbrí 8 billees de, billees de de. b) Pr =. Se endrí: 8 E E) = lo cul es iposible. En ese cso, el sise serí incopible. c) Si = el núero de billees fuese, llndo D l dinero que deberí hber, se endrí: D E E) 8 D = D Pr que es iguldd fuer posible es necesrio que D =. sí pues, hbrí que ener euros. José rí ríne edino

33 eáics II Sises lineles 9. Ls eddes en ños) de un niño, su pdre su buelo verificn ls siguienes condiciones: L edd del pdre es veces l de su hijo. El doble de l edd del buelo ás l edd del niño ás l del pdre es de 8 ños. El doble de l edd del niño ás l del buelo es. ) Esblece ls eddes de los res suponiendo que =. b) Pr =, qué ocurre con el proble plnedo? c) Siguiendo con =, qué ocurre si en l segund condición l su es en ve de 8? Si,, son ls eddes del niño, del pdre del buelo, respecivene, se iene: = + + = 8 + = ) Si =, se iene: b) Pr = : Niño: ; Pdre: = ; buelo: = = + + = 8 + = 8 Se iene:. Ese sise es incopible, pues si l prier ecución se le res dos veces l segund se iene: = 8 c) Si = l su es en ve de 8, se endrí: que es un sise copible indeerindo; por no, iene infinis soluciones. Por ejeplo: = ; = ; = 7; or: = ; = 8; = 8. José rí ríne edino

34 eáics II Sises lineles. Clculr ls eddes cules de un dre sus dos hijos sbiendo que hce ños l edd de l dre er veces l su de ls eddes de los hijos en quel oeno, que denro de ños l edd de l dre será l su de ls eddes que los hijos endrán en ese oeno que cundo el hijo or eng l edd cul de l dre, el hijo enor endrá ños. En l siguiene bl se resuen los dos ls relciones eisenes: Eddes dre Hijo º Hijo º Relción de eddes culene Hce ños = + ) Denro de ños = Denro de *) + + = *) Puede observrse que el hijo or, que iene ños, endrá l edd de l dre ños) denro de ños. Se obiene el sise: E E E E Luego: = ; = 8; =. L dre iene ños; los hijos, 8 el or el enor. José rí ríne edino

35 eáics II Sises lineles. Cundo el ño 8 Beehoven escribe su prier Sinfoní, su edd es die veces or que l del jovencio Frn Schuber. Ps el iepo es Schuber quien copone su célebre Sinfoní Incople. Enonces l su de ls eddes de bos úsicos es igul 77 ños. Cinco ños después uere Beehoven en ese oeno Schuber iene los isos ños que ení Beehoven cundo copuso su prier Sinfoní. Deerinr el ño de nciieno de cd uno de esos dos coposiores., punos) No: Solene se clificrán los resuldos obenidos eáicene, no los derivdos de los conociienos hisóricousicles del einndo. Llos l edd de Schuber en 8. Con los dos del proble se obiene l siguiene bl: Beehoven Schuber Relción ª sinfoní 8 ños después = 77 ños después = Se iene el sise ) ) ) ) 8 8 = Luego, en 8 Schuber ení ños Beehoven,. Hbín ncido, respecivene, en 797 en 77.. Ev, r Susn son res jóvenes igs que se coproeen leer el Quijoe ese verno. Cd un por seprdo en función del iepo de que dispone, decide leer un ínio núero de págins cd dí hs erinr l obr. Ev leerá diriene págins ás que r esá págins ás que Susn. Por ello Ev erinrá l obr dos sens nes que r es dís nes que Susn. Se pregun cuál es el ol de págins que iene l versión de l inorl obr cervnin que leen ess igs. Llos ls págins que lee Susn diriene, los dís que rd. Se iene: Págins Dís Núero de págins Susn r + + ) ) Ev + + ) ) Se iene el sise ) ) 8 ) ) 8 El núero de págins será de =. = ; = José rí ríne edino

36 eáics II Sises lineles. Un pescdero copr el res de un sen 9 kg de erlu kg de nchos pg por ello un ol de 8 euros. El iércoles siguiene, por el efeco de l crisis de ls vcs locs, el precio de l erlu h subido un por cieno el de ls nchos un por cieno. Ese dí, copr kg de erlu kg de nchos, pg un ol de 98 euros. Son los dos neriores suficienes pr clculr el precio de l erlu ls nchos el res? Si l conesción es firiv clculr dichos precios, si es negiv ronr por qué no se puede hcer dicho cálculo. res: erlu = euros, nchos = euros. iércoles: erlu =, euros, nchos =, euros. Se endrá el sise 9 8,, El sise socido es copible indeerindo, pues l bs ecuciones son equivlenes E = E). En consecuenci, no se puede deerinr los precios pedidos. José rí ríne edino

37 eáics II Sises lineles 7. Curo colegiles lldos Luis, Jvier, Enrique Ferín se junn en el recreo pr inercbir croos. Ferín iene cinco croos ás que Luis Jvier junos, Enrique iene el doble de croos que Jvier, Jvier iene 9 croos enos que Ferín Enrique junos. Clcul cuános croos ienen enre los curo. Designos por ls iniciles de cd nobre, L, J, E F, los croos que ienen cd uno de los colegiles. Se cuple: e): F = + L + J e): E = J e): J = F + E 9 Sundo e) + e): F + J = + L + J + F + E 9 L + E = 8 Susiuendo e) en e): J = F + J 9 F + J = 9 Luego, en ol endrán: L + E + F + J = = 7 croos. CCSS). Dividios un núero de res cifrs, "", enre l su de éss obeneos de cociene de reso. L cifr de ls decens, "", es igul l id de l su de ls ors dos. L cifr de ls uniddes, "", es igul l su de ls ors dos. Hllr el núero "". prir del enuncido se obienen ls siguienes ecuciones: + + = + + ) + = Eso es, el sise: Hciendo rnsforciones de Guss: 8 9 E 8E E E E E El núero buscdo es. 9 = ; = ; = José rí ríne edino

38 eáics II Sises lineles 8 CCSS). Se ecln res clses de vino de l siguiene ner: ) liros de Tenerife, de L Pl de Lnroe, resulndo un ecl de peses/liro. b) liros de Tenerife, de L Pl de Lnroe, dndo un vino de peses/liro. c) liros de Tenerife, de L Pl de Lnroe, dndo un vino de peses/liro. Hll el precio por liro de cd clse de vino. Sen,, el precio, respecivo, del liro de vino de Tenerife, L Pl Lnroe. Con los dos ddos, se obiene el sise: uliplicndo l ercer ecución por 9 resándole ls ors dos ecuciones, qued: = 7) + + = 8) + + = ) 8 =. Y con eso, =, =. 7 CCSS). Un cpián iene res copñís: un de suios, or de uvos un ercer de sjones. l slr un forle proee un recopens de 9 escudos que se reprirán de l siguiene for: el solddo que priero sub odos los de su copñí recibirán un escudo; el reso de l recopens se reprirá pres igules enre el reso de los solddos. Sbiendo que si el priero que sube es un suio, los de ls deás copñís reciben edio escudo; si el priero es uvo, los resnes reciben un ercio de escudo, si el priero es sjón, un curo de escudo, cuános hobres h en cd copñí? Sen,, el núero de suios, uvos sjones, respecivene. De cuerdo con el enuncido se iene: Hciendo ls rnsforciones que se indicn, qued: E E 7 7 E E 9 E E José rí ríne edino

39 eáics II Sises lineles 9 Oros probles 8. Dos cicliss corren por un velódroo velociddes consnes. Cundo corren en senido opueso se encuenrn cd segundos, ienrs que cundo vn en el iso senido, un ciclis lcn oro cd 7 segundos. Cuál es l velocidd de cd ciclis? Se sbe que l pis iene un longiud de 7 eros? Se v l velocidd del ciclis ás leno v l del ás rápido. Cundo vn en senido conrrio rdn segundos en enconrrse; luego recorren 7 en s, siendo su velocidd ol l su v = v + v. Por no: v + v = 7 /s Cundo vn en el iso senido, el ás rápido lcn l leno cundo d un vuel ás que él. Pr ello debe recorrer en el iso iepo 7 ás. Si el leno recorre, el rápido recorrerá + 7, bos en un iepo de 7 s el que rdn en enconrrse); luego: 7 v v 7 7 Coo v + v = =. Por no: 7 v 8 /s v 9 /s 7 7 José rí ríne edino

40 eáics II Sises lineles 9. ikel sle con un onón de croos vuelve cs sin ninguno. Su dre le pregun qué h hecho con los croos, lo que ikel responde: cd igo que enconré le di l id de los croos que ení en ese oeno ás uno. Su dre le pregun que cuános igos se h enconrdo, lo que ikel cones que con cinco. cuános croos ení ikel l slir de cs? Ron l respues. Cundo se encuenr con el º úlio igo deben quedrle dos croos, pues es l únic posibilidd de que l id enos se, que son los croos con los que vuelve cs. Ese ronieno es el que eplereos, coninución, pr indicr ods ls siuciones iniciles en su encuenro con los cinco igos. º úlio igo: ení, pues su id, que es, ás =. Se qued con croos. º igo: ení, pues su id, que es, ás =. Se qued con croos. º igo: ení, pues su id, que es 7, ás = 8. Se qued con croos. º igo: ení, pues su id, que es, ás =. Se qued con croos. er igo: ení, pues su id, que es, ás =. Se qued con croos. Por no, l slir de cs ení croos, que repre en ls cniddes: 8 No: L ner ás inedi de hcer ese proble es plner un ecución. Si iene croos l slir de cs, l prier igo le d =, le quedn Coo l segundo igo le d ) =, le quedn l ercer, curo quino igo les d, respecivene: = = 8,, José rí ríne edino

41 eáics II Sises lineles. Deuesr que l epresión n n n es úliplo de pr cd núero nurl n. Creo que l resolución de ese proble requiere ciero ingenio que posibleene eng vrios cinos de solución. quí se dn dos. Inicilene do l prier que se e ocurrió; l segund solución vino l considerr que lo hecho er desido lrgo. Pensé que deberí hber lgún cino ás coro. ª solución. Pr que un núero se úliplo de debe serlo de de. Veos que es úliplo de. Todo núero nurl n es pr, n = k, o ipr, n = k. Si n es pr, n = k : n n n = 8k k k = k k k) por no es úliplo de Si n es ipr, n = k : n n n = k ) k ) k ) = 8k k k k k ) k = k 9k k ) por no es úliplo de Veos que es úliplo de. Todo núero nurl n es de l for: n = p, n = p + o n = p + Si n = p: n n n = 9 p 7 p p = 9 p 9 p p) por no es úliplo de Si n = p + : n n n = p ) p ) p ) = 7 p 7 p 9 p 9 p p ) p = 9k p) por no es úliplo de Si n = p + : n n n = p ) p ) p ) Luego, pr odo núero nurl n, = 7 p p p 8 9 p p ) p = 9k 9 p p) por no es úliplo de n n n es úliplo de. ª solución. L epresión dd puede descoponerse en fcores sí: n n n = n n n ) n n ) n ) Eso es, puede escribirse coo produco de res núeros nurles consecuivos. Por no, siepre hbrá un fcor pr oro que se úliplo de. En consecuenci, su produco será úliplo de. José rí ríne edino