Trigonometría I. 1. Ángulos. página Razones trigonométricas de un ángulo agudo. página 70

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1 Trigonometrí I E S Q U E M D E L U N I D D.. Ángulo en el plno págin 67. Ángulos págin 67.. riterio de orientción de ángulos págin 67.. Sistems de medid de ángulos págin Reducción de ángulos l primer giro págin 69. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo págin 70.. Definiciones págin 70.. Propieddes págin 7.. Definiciones págin 7. Rzones trigonométrics de un ángulo culquier págin 7.. Rzones trigonométrics de los ángulos de 0, 4 y 60 págin 7.. Signo de ls rzones trigonométrics págin 76.. Propieddes págin Determinción de ángulos págin Determinción gráfic págin 77. Relción entre ls rzones trigonométrics de ángulos de diferente cudrnte págin Resolución de triángulos rectángulos págin Determinción numéric págin 78. Trigonometrí I

2 SOLUIONES DE LS TIVIDDES DEL LIRO DEL LUMNO uestiones previs (págin 66). Si ñdimos todos los ldos de un triángulo l mism longitud, es semejnte l primero el triángulo que obtenemos? El nuevo triángulo no es semejnte l originl. Imgin que tenemos un triángulo de ldos cm, cm y 4 cm. onstruimos entonces otro de ldos cm, 4 cm y cm, es decir, emos ñdido cm cd ldo del primero. Si mbos triángulos fuern semejntes los ldos omólogos serín proporcionles. Vemos si lo son o no: 4 4. Di qué firmciones son cierts: ) Dos triángulos son semejntes si tienen los tres ángulos igules. b) Dos triángulos son semejntes si tienen dos ángulos igules. c) Dos triángulos son semejntes si tienen dos ldos proporcionles. d) Dos triángulos son semejntes si tienen un ángulo igul y los ldos que lo formn proporcionles. ) Verdder b) Verdder c) Fls d) Verdder. cuántos kilómetros equivlen 0 de circunferenci terrestre? omo el rdio de l Tierr es 6 7 km, entonces 0 equivlen : km Qué vlor, en grdos, tiene un circunferenci complet? Y un ángulo recto? Y un llno? Un circunferenci complet tiene 60 ; un ángulo recto, 90, y uno llno, lcul l medid en rdines de los ángulos representdos en l figur.6. O u u α rd, β rd. Reduce l primer giro los siguientes ángulos: ) 74 b), rd c) 64 rd d) rd 7 ) , el ángulo equivlente 74 en el primer giro es 4. b), rd rd rd, el ángulo equivlente, rd en el primer giro es rd. c) 647 rd rd 4 87 rd, el ángulo equivlente 647 rd en el primer giro es 87 rd. d) rd rd 9,6 rd, el ángulo equivlente rd en el primer giro es,6 rd, proimdmente. Los ldos de un triángulo miden cm, 9 cm y 6 cm. lcul l longitud de los ldos de un triángulo semejnte él si l rzón de semejnz vle /. st con multiplicr por / ls longitudes del triángulo inicil, con lo que se obtienen uns nuevs medids de los ldos: 8 cm, 6 cm y 4 cm, respectivmente. El triángulo cuyos ldos miden 4 cm, 8 cm y 0 cm es semejnte l triángulo cuyos ldos miden cm, 0 cm y, cm? Por qué? Son semejntes: , Ddo el triángulo de l figur.0, clcul ls rzones trigonométrics de. O 4u 8u ctividdes (págins 67/8) Epres en grdos, minutos y segundos segesimles un ángulo de 4, Epres en grdos segesimles un ángulo de 7. proimdmente,96 lcul en grdos, minutos y segundos segesimles el vlor de un ángulo de rd. 80 rd rd 4 Epres rd en grdos, minutos y segundos segesimles. 80 rd 00 rd Epres 6 48 en rdines rd, rd 80 sen cos 4 tg 4 4 Deduce ls rzones trigonométrics del ángulo del triángulo de l figur.0. Ls rzones trigonométrics de son: sen 4 cos tg Trigonometrí y números complejos

3 Ddo el triángulo de l figur, sbemos que 6 m y tg 0,6. lcul el otro cteto y l ipotenus. 8 Un estc verticl de longitud l proyect un sombr de longitud l. lcul el ángulo de elevción del Sol sobre el orizonte. l tg 0 l 9 lcul l longitud de ls digonles de un rombo sbiendo que sus ángulos son 60 y 0, y que sus ldos miden 90 6 cm. L digonl menor mide 6 cm, igul que los ldos, puesto que el ángulo menor es de m 6 6 tg 0 m 0,6 0 6,66 m on los resultdos del ejercicio nterior, clcul sen. 0 sen 0,86, 66 lcul ls rzones de un ángulo gudo, si cos 0,. cos 0, sen s co 0, 0,94 tg s en cos 0, 94 0,68, sec co s,86 0, cosec se n,07 0, 94 cos cotg 0, 0,7 s en 0, 94 lcul ls rzones de un ángulo gudo, si cotg. cotg tg / tg cos 9 cos cos 0 sen s co sen 0 Y entonces, sec 0 y cosec 0 6 Demuestr que: cotg cosec cotg tg cos sen s en cos s en cos sen s sen cos cosec en sen sen 7 Ddo el triángulo de l figur.6, ll sen, cos, tg. c ( ) ( ) 4 sen cos tg L digonl myor se puede clcul prtir de uno de los cutro triángulos rectángulos que determinn ls dos digonles en el rombo: D sen 60 D 0,4 cm 6 Determin los vlores del seno y el coseno de los siguientes ángulos: 40 y , por lo que sen 40 sen 80 0 y cos 40 cos , por lo que sen 0 sen 70 y cos 0 cos 70 0 lcul ls rzones trigonométrics de un ángulo del segundo cudrnte si sen /7. El ángulo pertenece l segundo cudrnte, por lo que el seno es positivo, el coseno, negtivo y l tngente, negtiv. cos /7) ( 0 7 tg s en 0 cos 0 0 Si / y cotg 0,7, clcul ls demás rzones trigonométrics del ángulo. El ángulo pertenece l curto cudrnte, por lo que el seno es negtivo, el coseno, positivo y l tngente, negtiv. cotg 0,7 tg,7 tg cos 0,7 cos 0,6 cos sen cos tg 0,97 Sbiendo que tg 0 y que cos /4, clcul ls restntes rzones trigonométrics. El ángulo pertenece l segundo cudrnte: sen 4 tg s en cos 4 lcul todos los ángulos del primer giro que cumplen cotg 0,0. cotg 0,0 tg,7 88,7 7,78 y 9,78 Resuelve sec,78. sec,78 tg 0,6, por tnto: 0,40 y 4,660 Resuelve cos 0,. cos 0,, por tnto: 7,7 y 88,66. Trigonometrí I

4 7 Ejercicios y problems (págins 87/9) Resuelve cosec. cosec sen 0,,7 48,46 y 9,7 8 Utiliz l clculdor pr resolver ls ctividdes y del epígrfe nterior. Utilizndo l clculdor, se obtienen los mismos resultdos. 9 lcul ls rzones trigonométrics de los siguientes ángulos: ) 0 c) 0 e) 00 b) d) f) 4 ) sen 0 /; cos 0 /; tg 0 b) sen /; cos /; tg c) sen 0 /; cos 0 /; tg 0 / d) sen /; cos /; tg e) sen 00 /; cos 00 /; tg 00 f) sen (4 ) /; cos (4 ) /; tg (4 ) 0 Ddo el triángulo rectángulo cuyo ángulo recto es, clcul los elementos desconocidos en cd uno de los siguientes csos: ) b 0 cm c) b 7 cm e) 7 cm c 4 cm 6 b) 6 d) 8 c cm 0 cm ) c b,8 cm, sen 0 4,8 y 48,9 c b) , 6,84 cm sen y b c 6, cm 7 c) b c,6 cm, sen 6,7 y 6,4 d) 90, b sen, cm y c sen,76 cm e) Eisten infinitos triángulos semejntes con estos dos ángulos ddos. lcul l ltur l que lleg un escler de 4, m poyd en un pred y que form un ángulo de 67 con el suelo. Si llmmos l ltur: 4, sen 67 4,4 m lcul ls rzones trigonométrics de un triángulo rectángulo en el que l longitud de l ipotenus es el triple que l de uno de los ctetos. En primer lugr clculmos el otro cteto: c () Ls rzones son ls siguientes: sen cos tg sen cos tg Ángulos Dd un circunferenci de m de rdio, clcul l longitud de un cuerd correspondiente un ángulo centrl de 8,. L longitud de l cuerd que nos piden es l longitud del ldo desigul de un triángulo isósceles, siendo el ángulo desigul de 8,. Por tnto, l mitd de l cuerd medirá: sen 9, 0,99 m Y l cuerd medirá el doble: Longitud de l cuerd,98 m En un tryectori circulr de 7 m de rdio, un móvil se desplz m/s. lcul el ángulo centrl recorrido en 4 s y escribe el resultdo en grdos segesimles y en rdines. En cutro segundos recorrerá m. Si el rdio mide 7 m, el ángulo recorrido en rdines será:,74 rd 7 En grdos segesimles: 80,74 rd rd 98, Epres los siguientes ángulos en rdines: ) 0 c) b) 7 d) 76 ) 0 rd,8 rd 80 b) 7 rd,8 rd 80 c) rd,8 rd 80 d) 76 rd, rd 80 4 Reduce l primer giro: ) 0 c) 9,6 rd b) 70 d) 4 rd ) 0 c), rd pro. 6 b) 0 d) rd Qué ángulo formn ls gujs del reloj ls 9 y 0? Y ls 9 y? Y ls 6 y medi? ls 9 0 min, l mnecill orri recorrido 0 en 0 min, por lo que el ángulo que formn ls dos mnecills será de 00. ls 9 y min, l mnecill orri recorrido 0 /4 en 0 min, por lo que el ángulo que formn ls dos mnecills será de 7,. ls 6, ls mnecills formn un ángulo de 80 y cundo ps medi or, l mnecill orri recorrido, por lo que mbs formrán. En un circunferenci de rdio 0 cm, un rco mide 0 cm. verigu el vlor del ángulo centrl correspondiente y qué longitud tiene l cuerd que determin ,6 0 c 0 sen 4 9,6 6,8 cm 6 Trigonometrí y números complejos

5 Rzones trigonométrics 7 Resuelve un triángulo rectángulo, sbiendo que l tngente de uno de sus ángulos gudos es, y que el cteto opuesto este ángulo mide cm. Ddo que el triángulo es rectángulo, un ángulo,, vle 90. tg, 74,0 Entonces,,9. omo sbes tg b,por lo que: c Utiliz un circunferenci de rdio unidd pr dibujr los ángulos cuy tngente es. Y (, 0) b c c 0,7 cm tg, por el teorem de Pitágors: (, 0) X b c,08 cm 8 Es posible que eist un ángulo,, que verifique simultánemente sen y cos? Por qué? 9 0 No es posible. Se de cumplir que: sen cos pr culquier ángulo. Si sustituimos por los vlores que nos d el enuncido obtenemos: Si cotg cotg, podemos segurr que y son igules? Rzon tu respuest. No puede segurrse que y sen igules. Ls cotngentes de ángulos que difieren 80 tmbién son igules. Dibuj un ángulo del segundo cudrnte cuyo coseno vle /, utilizndo un circunferenci de rdio unidd. L representción del ángulo es l siguiente: P Y 4 Si cos,, indic cuál de ls siguientes firmciones es ciert y rzon tu respuest: ) es un ángulo negtivo. b) está en el tercer cudrnte. c) es un ángulo myor que. d) Es imposible que el coseno de un ángulo se,. cos pr culquier ángulo; por tnto, l respuest correct es l d). Señl en qué cudrnte está el ángulo si: ) sen 0 y cos 0 b) sen 0 y tg 0 c) sec 0 y cosec 0 d) cotg 0 y cos 0 ) Seno positivo y coseno negtivo: segundo cudrnte. b) Seno negtivo y tngente positiv: tercer cudrnte. c) Secnte y cosecnte negtivs: tercer cudrnte. d) otngente negtiv y coseno positivo: curto cudrnte. O Dibuj los ángulos cuyo seno vle /4 utilizndo un circunferenci de rdio unidd. L representción de los ángulos y es l siguiente: Y (, 0) X Sen y dos ángulos culesquier teniendo en cuent que: tg tg ; ; indic si ls siguientes firmciones son cierts o no: ) b) sen sen c) d) sen sen Los dos ángulos pertenecen l curto cudrnte. Sus tngentes son negtivs. Es más negtiv l tngente del ángulo menor, por tnto es correct l firmción c).demás l firmción d) tmbién es correct, porque con el seno ocurre lo mismo en el curto cudrnte. 4 (, 0) X 6 Si tg 4 y, clcul ls demás rzones trigonométrics. pertenece l segundo cudrnte. on el dto del enuncido y l ecución fundmentl de l trigonometrí, epresndo l tngente en función del seno y coseno de un ángulo, se obtiene: sen 0,97 cos 0,4 cosec,0 sec 4,7 cotg 0,. Trigonometrí I 7

6 7 Si sen 0, y 80 70, clcul ls otrs rzones trigonométrics. Sin usr l clculdor, ll todos los vlores de en el primer giro que verificn ls siguientes igulddes: pertenece l tercer cudrnte. on el dto del enuncido y l ecución fundmentl se deduce: ) sen / b) sec d) tg e) cosec / cos 0,9 tg 0, c) cos / f) cosec cosec, sec,0 ) Ángulos cuyo seno es /: 0 y 0 cotg, b) Ángulos cuy secnte es : y Si cos 0,6 y 8, clcul ls restntes rzones trigonométrics. c) Ángulos cuyo coseno es : 4 y d) Ángulos cuy tngente es : 60 y 40 pertenece l curto cudrnte. on el dto del enuncido y l ecución fundmentl se e) Ángulos cuy cosecnte es : 40 y 00 deducen: sen 0,76 tg,7 f) Ángulos cuy cosecnte es : 0 y 0 cosec, sec,4 verigu sin utilizr l clculdor: cotg 0,86 ) sen 00 d) cos 9 De un ángulo sbemos que: tg ;sen cos En qué cudrnte se encuentr dico ángulo? En el curto cudrnte. Señl si ls siguientes igulddes son cierts o no. En este último cso, escribe l iguldd correct: ) sen sen (80 ) b) cos sen (90 ) c) sec sec () d) tg cotg e) cosec cosec () f) cotg cotg (60 ) ) No es ciert: sen sen (80 ) b) iert. c) iert. d) iert. e) No es ciert: cosec cosec () f) No es ciert: cotg tg (60 ) prtir de ls rzones de 0, 0 y 4 clcul: ) sen b) cos 70 c) cos 0 d) tg 00 e) cos 40 f) tg g) tg 0 ) sen sen 4 b) cos 70 cos 0 c) cos 0 cos 0 d) tg 00 tg 60 e) cos 40 sen 0 0 f) tg g) tg 0 tg 0 4 b) sen 6 e) tg 00 c) cos 74 f) tg 7 ) sen 00 sen 60 b) sen 6 sen c) cos 74 cos cos 4 d) cos 7 6 cos 6 e) tg 00 tg 0 tg 0 f) tg 7 tg tg Sbiendo que sen y que es un ángulo del primer 4 cudrnte, clcul: ) sen (80 ) d) sen (80 ) ) cos b) cosec () e) cos (60 ) f) sec (80 ) c) tg g) cosec i) cotg () ) sen (80 ) sen /4 b) cosec () cosec 4/ c) tg cos cotg 7 s en d) sen (80 ) sen /4 e) cos (60 ) cos f) sec (80 ) cos (8 0 ) c os 7 g) cosec se n 4 ) cos sen 4 i) cotg () 7 tg ( ) t g 8 Trigonometrí y números complejos

7 Hll ests rzones trigonométrics sin clculdor: Epresiones trigonométrics ) sen 0 f) cos k) tg (4 ) 9 Simplific ls siguientes epresiones trigonométrics: b) cosec 0 g) cotg 40 l) sec cos () sen c) sen ) sec (0 ) m) sen 9 ) sen cos () 8 d) cosec 7 6 i) sen n) tg e) tg (49 ) j) cotg ñ) cosec 70 ) sen 0 sen 0 b) cosec 0 cosec 60 c) sen sen 4 d) cosec 7 6 cosec 6 e) tg (49 ) tg ( ) tg tg 4 f) cos cos 4 g) cotg 40 cotg 60 ) sec (0 ) sec 40 sec 60 i) sen sen j) cotg cotg 0 k) tg (4 ) tg 4 l) sec sec 4 m) tg tg n) sen 9 sen sen 4 ñ) cosec 70 cosec 0 no eiste 6 lcul ls siguientes rzones trigonométrics: ) tg (7), si tg b) tg 7 +,si tg ) tg (7) tg () tg b) tg 7 cotg 7 lcul los ángulos del primer giro que cumplen: ) cos 0,989 b) tg, Utilizndo l clculdor: ) 8 0, y 9 7,8 en el primer giro. b) 68 4,9 y 48 4,9 en el primer giro. Utilizndo l clculdor, verigu el vlor que tiene el ángulo. ) sen 0,, / b) cos 0,9, c) tg,, d) cotg 0,6, / ) c) 46 6, b) d) 70 4 cos b) sen c) ( cosec ) sen4 cos sen d) sen 4 tg 6 sen cos e) sen 4 sen cos cos cos sen f) sen cos sen sen cos g) ( sen ) sen ) Sustituyendo en función del ángulo, se obtiene: cos cos cos cos b) Epresndo el coseno en función del seno: sen ( sen ) ( sen ) sen sen sen c) Recordndo que l cosecnte es l invers del seno y reduciendo común denomindor el primer préntesis, y ddo que: sen 4 cos 4 (sen cos )(sen cos ) sen cos tenemos: sen sen sen sen cos sen (sen cos ) sen cos sen cos sen cos d) Sustituimos por sus vlores y opermos. / / / 0 /6 / e) Fctorizndo l epresión, se obtiene: sen (sen cos ) sen f) Fctorizmos numerdor y denomindor, simplificmos y se obtiene: cos (cos sen ) cos cotg sen (sen cos ) sen g) Ddo que cos sen,se sustituye, se simplific y se obtiene: sen sen ( sen ) sen ( sen )( sen ) sen cos. Trigonometrí I 9

8 0 Demuestr, de form rzond, ls siguientes igulddes: lcul el ángulo de elevción del Sol sobre el orizonte, sec ) ( sen ) cosec co sec sbiendo que un esttu proyect un sombr que mide c otg cos tres veces su ltur. b) ( sen ) co s cos tg sen sen c) cotg cos cotg cos tg, 8, En un triángulo, rectángulo en, conocemos l ltur d) co s 4 sen sen tg correspondiente l vértice, que es 7 cm, y el cteto b que es de 9 cm. lcul el vlor de los ángulos y, del cteto cos tg e) ( tg ) ( cotg ) (s c, y de l ipotenus,. en cos ) sen cos ) sec, s en, cos cot g cos ( sen ) cos,cosec /sen Sustituimos en el primer miembro de l iguldd: s en cos sec cos cos sen cos sen cos b) sen cos tg sen /cos cos sen sen 7 cos cos 8 6, y por tnto 7 9 Sustituimos en el primer miembro y simplificmos: 9 cos co s sen s Por otr prte: sen 4, cm y c,4 cm en sen cos 4 En un triángulo rectángulo, conocemos l ltur correspondiente reltiv l ipotenus, que es cm, y l ipotenu- cos co s s en sen cos s, 0 cm. lcul el vlor de los ángulos gudos, y l c) Fctorizndo y epresndo cos sen,se obtiene: medid de los ctetos. cos s (sen ) cos en d) Epresndo l diferenci de cudrdos como sum por diferenci, l sum vle. Luego se sepr el primer miembro b c en dos frcciones y se simplific: co s sen sen cos sen cos sen cos sen cos 0 cm cotg tg tg tg tg tg Podemos plnter: y 9 0 e) Epresndo l tngente y l cotngente en función del Esto signific que l ltur determin sobre l ipotenus dos seno y del coseno, y reduciendo común denomindor segmentos, de 9 cm y cm. cd préntesis, cundo se multiplicn estos se obtiene: cos sen cos cos s (se n cos ) En nuestr figur, con : tg / 8 6 6, y por tnto, el otro ángulo gudo en sen cos es, proimdmente, 7 4. Triángulos rectángulos sen /b b 0 cm 9,49 cm y c 0 cm,6 cm Resuelve cd uno de los triángulos rectángulos de l figur. onociendo l longitud de l ipotenus de un triángulo rectángulo, 6 cm, y que l proyección ortogonl de uno de los ctetos sobre ell es de 9 cm, clcul el áre del triángulo. 4 cm b cm ) 90 6 b 4 cos,6 cm; c 4 sen,69 cm b) 90 c 4,8 cm;, cm tg sen c) sen 0 0 ; 60 ; c b cm 8,66 cm 0 cm b cm 9 cm 9 cm 6 cm Tomndo l ipotenus como l bse del triángulo, podemos clculr l ltur correspondiente l ipotenus del siguiente modo: tg cm El áre será: b 86 cm 6,0 cm 7 cm c cm 40 Trigonometrí y números complejos

9 6 En un tringulo rectángulo, un cteto, b, mide cm y su 9 Uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide proyección sobre l ipotenus 4 cm. lcul l longitud de 7 4 y su cteto opuesto, b 4 cm. uánto miden l ipotenus y del otro cteto. los otros ldos y ángulos del triángulo? cm 4 cm Se l longitud de l ipotenus, y c l del otro cteto. cos 4 cm 4 cos 4 sen 4 c y tg b L ipotenus mide 8,9 cm, el otro cteto, sen b c 7,60 cm, y el otro ángulo gudo, tg lcul el perímetro del triángulo rectángulo, sbiendo que l longitud del segmento P es cm y omo tmbién tenemos que tg c tg cm 4 Por tnto, l ipotenus mide 6, cm y el otro cteto,,7 cm. onstruye un triángulo rectángulo cuyos ctetos midn b cm y c cm. lcul l longitud de l ipotenus, ls proyecciones de los ctetos sobre l ipotenus, l ltur correspondiente l ipotenus y los ángulos gudos de dico triángulo. y plicndo Pitágors, l ipotenus mide y cm. prtir de l figur, podemos deducir: sen de lo que se deduce lo siguiente: 7, su complementrio: ,6 cm;,9 cm y l otr proyección, y, será: y 44,077 cm, y cos,077 cm En un triángulo rectángulo, l ltur sobre l ipotenus l divide en dos segmentos de 4, y 7,8 cm. lcul: ) Los ángulos gudos del triángulo. c) Su áre. b) L longitud de los ctetos. y cm 4, cm 7,8 cm prtir de l figur sen 7,8, Luego podemos clculr 9,7 cm ) on podemos clculr los ángulos del triángulo: 4 4, su complementrio: 6 6 b) El otro cteto, y, se puede clculr por Pitágors o prtir del ángulo, y result ser y 7, cm. c) on los dos ctetos se puede clculr el áre del triángulo, que es de,04 cm,proimdmente. cm P cos 0 cm cm, puesto que el ángulo 4 Por Pitágors, cm. El perímetro es pues: P 6 0,4 cm Problems de plicción 4 Un circunferenci mide 48,6 cm y ls dos tngentes trzds desde un punto eterior formn un ángulo de. lcul l distnci del centro de l circunferenci dico punto. En primer lugr, clculmos el rdio de l circunferenci: r 48, 6 7,7 cm or y se puede llr l distnci pedid: r r sen, D sen D,7 cm D, 4 Los rdios de dos circunferencis tngentes eteriormente son de cm y 8 cm, respectivmente. lcul el ángulo que formn sus tngentes comunes. cm r 4 90 P 8 cm Por semejnz de triángulos: 8 6,9 cm Por lo que sen 8 7,79, D,. Trigonometrí I 4

10 4 jo un ángulo de 90, un brco divis dos pltforms petrolífers. Se sbe que l distnci un de ls pltforms es de 6,8 km, y que l distnci l líne imginri que ls une es de 6 km. lcul l distnci que y entre ls pltforms y l distnci del brco l segund pltform. 47 El ángulo desigul de un triángulo isósceles es de. Los ldos igules miden 7 cm cd uno. lcul el áre del triángulo. 7 cm 7 cm b 6,8 km 6 km y Pr clculr l ltur del triángulo cemos: 7 cos, 6,84 cm or clculmos l mitd de l bse: b 7 sen,, cm Se l distnci l segund pltform e y l distnci entre ls pltforms: 6 sen 6,8 De est iguldd se deduce el ángulo y prtir de él, tenemos que: 6,8 tg,7 km 6,8 y 4,4 km co s Ls distncis son, proimdmente, 4,4 km y,7 km, respectivmente. lcul los ángulos de un rombo sbiendo que l longitud de sus ldos es de cm y que sus digonles miden 6 cm y 8 cm. prtir de l figur, se puede deducir que: 4 tg 4 Por lo que,. Y como es el ángulo complementrio de, vle 6,87. Por lo tnto, los ángulos del rombo de l figur son, proimdmente, 06,6 y 7,74. Desde un elicóptero que vuel 00 m de ltur se observ un pueblo, bjo un ángulo de depresión de. lcul l distnci del elicóptero l pueblo medid sobre l orizontl. tg , m El ángulo desigul de un triángulo isósceles mide 4 6. El ldo desigul mide 7 cm. lcul el áre del triángulo., tg 6 8 b 7, 4, cm tg El áre del triángulo es: b 0, cm El áre de un triángulo rectángulo es 0 cm,y su ipotenus mide cm. verigu el vlor de los ángulos gudos de dico triángulo. b c 0 b y c b c c De sen se deduce que 7, luego Los ángulos gudos son, proimdmente y 7. Un grupo de bomberos intent llegr con un escler de m de longitud un ventn de un edificio que está situd 4 m del suelo, de donde sle un dens nube de umo. qué distnci de l pred del edificio brán de colocr los bomberos el pie de l escler pr poder entrr por l ventn? Simplemente por Pitágors, d 4 m Situdos en un punto de un terreno orizontl, el ángulo que form l visul dirigid l punto más lto de un árbol con l orizontl, es de 60. uál será el ángulo que se formrá si nos lejmos un distnci del árbol el triple de l inicil? Medinte un esquem y llmndo l distnci inicil, tenemos que: tg 60 / tg 60 tg tg / 0 Desde el suelo, vemos l terrz de un rsccielos bjo un ángulo de 40. on qué ángulo l verímos desde un distnci que fuer l mitd de l nterior? Medinte un esquem y llmndo l distnci inicil, tenemos que: tg 40 / tg tg tg / L ipotenus de un triángulo rectángulo mide el triple que uno de los ctetos. verigu el vlor de los ángulos de este triángulo y l relción entre l ipotenus y el otro cteto. Por Pitágors, el otro cteto mide del primero, por lo que l relción entre l ipotenus y él es. Luego los ángulos gudos miden y Trigonometrí y números complejos

11 El rdio terrestre, R, mide lrededor de 6 70 km. uál es l longitud proimd del prlelo que ps por Sevill? (Ltitud de Sevill: 7 0 ) 7 Un pentágono regulr está inscrito en un circunferenci de rdio 0 cm. lcul: ) El áre del pentágono. b) El áre de l coron circulr que formn dic circunferenci r y l circunferenci inscrit en el pentágono. ) El ángulo centrl del pentágono mide 7. Si l es el ldo: l/ 0sen 6,88 cm l,76 cm 7 0' R L potem mide: 0cos 6 8,09 cm 0sen 6 0cos 6 7,76 cm Del dibujo deducimos: r R cos ,9 km. Por tnto, l longitud del prlelo será r 8,8 km. 4 lcul los ángulos que determin l digonl de un cj de zptos de 0 cm con cd un de ls crs. D 0 80 cm on l cr de 0: sen on l cr de : sen on l cr de 0: sen Un rectángulo de cm 4 cm está inscrito en un circunferenci. Hll cuánto miden los rcos que determin en ell. cm 4 cm cm, cm L digonl del rectángulo mide cm y el rdio,, cm. Los ángulos que determinn ls digonles son: tg, 06,6 y, por tnto, el otro, ángulo será 7,74. Los rcos medirán, dos dos: 06,6 6, 0 4,64 cm; 7,74, 6, cm 0 6 Hll el áre de un octógono regulr inscrito en un circunferenci de m de rdio., cm b) El rdio de l circunferenci inscrit es 0cos 6 8,09 cm (0 8,09 ) 08,4 cm lcul el rdio de l circunferenci inscrit y circunscrit un decágono regulr de cm de ldo. 6 cm Este decágono se puede descomponer en diez triángulos isósceles de ángulo desigul 6 y de ldo desigul cm. El rdio de l circunferenci circunscrit mide lo que uno de los ldos igules de estos triángulos,. El rdio de l circunferenci inscrit mide lo que l ltur de uno de estos triángulos,.,, 40,4 cm 8,47 cm se n 8 tg 8 Un club náutico dispone de un rmp pr efectur sltos de esquí cuático. Est rmp tiene un longitud de 8 m y su punto más elevdo se encuentr m sobre el nivel del gu. Si se pretende que los esquidores slgn desde un punto, m de ltur, cuántos metros y que lrgr l rmp sin vrir el ángulo de inclinción? Se de mntener sen 0, si el ángulo de inclinción de ser el mismo; sí, pr sltr desde, m de ltur se necesitrán,/0, 0 m, es decir, y que lrgrl m. Un trpecio regulr tiene un ltur de 4 cm y sus bses miden 8 cm y 4 cm, respectivmente. lcul su perímetro, su áre y el vlor de sus ángulos. 8 cm circunferenci inscrit circunferenci circunscrit b 4 4 cm El octógono se puede dividir en oco triángulos isósceles cuyo ángulo desigul es de 4 y sus ldos igules miden m. prtir del dibujo se observ que: cos, 4,69 m b sen,,87 m El áre del octógono es el áre de oco triángulos igules: 8 b 4 b 70,708 m 4 cm omo se observ en el dibujo, 4, por tnto: P 4 8 cm cm Sus ángulos gudos tienen por tngente 4/, es decir, son, proimdmente, de,, y por lo tnto, sus ángulos obtusos vlen, proimdmente: 90 6,87 6,87. Trigonometrí I 4

12 6 En un círculo de 4 cm de rdio, clcul el perímetro de un sector circulr correspondiente un ángulo centrl de Observmos l cim de un montñ bjo un ángulo de elevción de 67. Si nos lejmos 00 m, el ángulo de elevción es de 7. lcul l ltur de l montñ. 40 son 40 0,698 rd, por tnto, l longitud del rco 8 0 de circunferenci que determin un ángulo de 40 en este círculo de rdio 4 cm es, proimdmente: 4 0,698 9,77 cm P r 9,77 7,77 cm 6 lcul el áre del segmento circulr correspondiente un ángulo centrl de en un circunferenci de cm de rdio tg 67 r cm tg 7 (00 ) (tg 67 tg 7 ) 00 tg 67 tg 7 9,04 m Debemos clculr el áre de l zon sombred. lculmos primero el áre del sector circulr y, continución, le restmos el áre del tringulo isósceles cuyo ángulo desigul mide y sus ldos igules, cm: sector,80 cm 60 or se clcul l ltur del triángulo correspondiente uno de los ldos igules: sen Y el áre del triángulo es: triángulo sen 0,96 cm Por tnto, el áre del segmento circulr es de:,80 0,96,84 cm 6 Pr medir l ncur de un río, dos migos se colocn en un de ls orills seprdos un distnci de 0 m. Los dos miden el ángulo que form su visul un árbol punto de l orill contrri con l rect que los une y resultn 9 y 7, tl como indic l figur. uál es l ncur del río? tg 7 (0 ) tg 9 7 P 0 m 9 99,8 m río 6 Dos observdores ven el punto más lto de un torre bjo un ángulo de 8 y 7, respectivmente, tl como indic l figur. L distnci que los sepr es de metros. lcul l ltur de l torre. 66 Desde dos puntos distntes entre sí km se observ un globo sond. El ángulo de elevción desde uno de los puntos,, es 4 y desde el otro,, 6. uál es el punto más próimo l globo sond? Y l ltur del globo? Del enuncido no se deduce si el globo está situdo en un punto entre y, o si está un mismo ldo de y. omo se observ en los dibujos, en culquier cso está más próimo. 8 7 m on el siguiente dibujo, podemos plnter un sistem: 6 4 km 4 6 km tg 8 tg 7 Se obtiene 8 m. 8 7 m so ) tg 6 /,40 km; 0,88 km tg 4 /( ) so b) Hy que resolver el sistem: tg 6 / 4,748 km;,40 km tg 4 /( ) 44 Trigonometrí y números complejos

13 67 Desde un punto observmos l cop de un árbol bjo un ángulo de 40. Desde ese mismo punto, pero un ltur de m, vemos l cop bjo un ángulo de 0. lcul l ltur del árbol y l distnci l que nos encontrmos de él. 69 Desde un punto situdo un ciert distnci de l fcd de un edificio, observmos su punto más lto bjo un ángulo de 49, tl como se indic en l figur. Nos lejmos 60 m, bjndo uns esclers, y desde un punto 0 m por debjo del nterior, vemos el mismo punto en lo lto del edificio bjo un ángulo de 6. lcul l ltur del edificio omo se observ en l figur, se puede plnter este sistem: 0 m m 6 68 tg 40 tg 0 (tg 40 tg 0 ) tg 40, m y 4, m El ángulo de elevción del Sol sobre el orizonte es de 48. lcul l longitud de l sombr que proyectrá un estc clvd verticlmente en el suelo si su longitud es de, m. uál serí l longitud de l sombr de l estc si est estuvier inclind respecto de l verticl? 70 Se l ltur del edificio y l distnci del edificio l primer punto de observción, se puede plnter este sistem: tg 49 tg 6,44 m 0 60 Pr clculr l ltur de un murl, relizmos dos mediciones desde dos puntos y, como se indic en l siguiente figur. lcul l distnci de mbos puntos l murl, y l ltur de este., m s 48 0 Si l estc está clvd verticlmente, según l figur: 0 s 7,0 cm tg 48 70, m, m Se l distnci del murl l punto. Plntemos este sistem: s Si l estc está inclind «en contr del Sol» respecto de l verticl, según se observ en l figur: s s s s 0 sen, cm s 0 cos s 7,94 cm 6,6 cm tg 48 s 48 7 tg 70 tg 0,m,,0 m,, L distnci de l murl es de, m y l distnci de l murl es de, m. L ltur del murl es de,0 m. Se observ l cim de un promontorio de ltur 00 m bjo un ángulo de 7. Nos cercmos un ciert distnci y entonces el ángulo de elevción es de 0. lcul qué distnci nos emos cercdo. s s Si l estc está inclind «ci el Sol» respecto de l verticl, según se observ en l figur: s 0 sen, cm s 0 cos 6,6 cm tg 48 Por tnto: s 0,8 cm 48 s 00 m 0 7 d tg ,08 m 00 tg 0 d,880 m d Nos emos cercdo,88 m proimdmente.. Trigonometrí I 4

14 7 El poste centrl de un crp se sujet con cbles l suelo. En el punto de fijción del cble con el suelo, el ángulo que form el cble con el terreno, supuestmente orizontl, es de 4, y se gstn m más de cble que si el cble y el terreno formn un ángulo de. Si cen flt 6 cbles pr relizr un sujeción segur del poste, verigu cuánto cble ce flt si gstmos l menor cntidd posible, y cuál es l ltur del poste. 7 Pr clculr l ltur de un punto P inccesible, dos migos, y, n relizdo ls mediciones que se reflejn en l figur. Sbiendo que el ángulo O es recto, clcul l ltur del punto P, perpendiculr l plno O. P 7 tg,6 m, 0,9 m tg 4 Luego cen flt 7,7 m de cble, proimdmente y l ltur del poste es de 0,4 m, proimdmente. Queremos verigur l ncur de un voldizo situdo 8m de ltur. Desde un mismo punto relizmos dos mediciones y obtenemos los ángulos que se indicn en l figur. lcul l ncur del voldizo. 4 O Llmemos l distnci entre O y. Llmemos y l distnci entre O y. Se cumple lo siguiente: y Llmndo L l longitud del segmento OP, tenemos este sistem: tg 0 L 0 tg L y tg 0 y tg m omo y 6, tenemos que 8 m tg 0 6 tg Resolviendo est ecución se obtiene: 4,44 m y L tg 0 9,77 m. En un triángulo rectángulo de ldos 6 cm, 8 cm y 0 cm se consider un punto P, que dist cm del cteto más lrgo y de l ipotenus. Desde este punto trzmos perpendiculres los dos ctetos, de form que qued dibujndo un rectángulo. uál es l superficie de este rectángulo? tg tg 44 0,9 m 74 Desde un brco se divis l luz de un fro bjo un ángulo de 4, y su bse, que está en un pequeñ elevción de l cost, bjo un ángulo de 0. Un brc,, situd m del punto de l cost en que está el fro, ve su luz bjo un ángulo de 6. lcul cuánto mide el fro desde su bse st su luz. y cm P cm H m 0 H tg 6 Est distnci es l mism que l que y entre y l cost, y que el ángulo bjo el que se divis l luz desde es de 4. Por tnto, l ltur del pequeño promontorio o elevción será: H tg 0 tg 6 H tg 0 tg 6 tg 6 tg 0 tg 6 0,46 m 4 Observndo los triángulos pequeños de los ángulos indicdos, que son igules por construcción, se observ que son semejntes y semejntes l triángulo myor. Se puede escribir: y 0 y Si cm, l bse del rectángulo mide cm y su áre, cm. 46 Trigonometrí y números complejos

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