Números naturales, enteros y racionales

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1 Tema 2 Números aturales, eteros y racioales Estudiamos e este tema los úmeros reales que podemos ver como los más secillos e ituitivos. Empezamos detectado detro de R a los úmeros aturales, a partir de los cuales defiiremos fácilmete los úmeros eteros y racioales. Iremos aalizado el comportamieto de estos tres subcojutos de R co respecto a la suma, el producto y el orde Números aturales. Iducció Ituitivamete, el cojuto N de los úmeros aturales está formado por los úmeros que se obtiee sumado 1 cosigo mismo: 1, = 2, = 3, etc. Sabemos ya que todos estos úmeros so distitos: 1 < 2 < 3... Pero veamos ua defiició rigurosa del cojuto N. Se dice que u cojuto A R es iductivo cuado verifica las dos codicioes siguietes: (i) (ii) 1 A x A x + 1 A Por ejemplo, R y R + so cojutos iductivos, R y R o lo so. Pues bie, defiimos el cojuto N de los úmeros aturales como la itersecció de todos los subcojutos iductivos de R. Poco a poco iremos viedo que esta defiició se correspode perfectamete co uestra idea ituitiva. Empezamos observado que N es u cojuto iductivo. Por ua parte, 1 perteece a todos los subcojutos iductivos de R, luego 1 N. Por otra, si N y A es u subcojuto iductivo de R, teemos que N A, luego tambié + 1 A, por ser A iductivo. Vemos así que + 1 perteece a todos los subcojutos iductivos de R, es decir, + 1 N, como se quería. Podríamos decir que N es el más pequeño de todos los subcojutos iductivos de R, pues está coteido e todos ellos. Esta idea se refuerza co el siguiete euciado, que es la propiedad clave del cojuto N: Pricipio de iducció. Si A es u subcojuto de N, y A es iductivo, etoces A = N. La prueba es evidete: por ser A iductivo teemos N A, pero hemos supuesto A N, luego A = N. 9

2 2. Números aturales, eteros y racioales 10 E el pricipio aterior se basa u tipo de razoamieto muy frecuete, coocido como método de demostració por iducció, que cosiste e lo siguiete. Supogamos que para cada úmero atural se tiee ua afirmació P que puede verificarse o o. Si probamos que P 1 es cierta y que P +1 es cierta siempre que lo sea P, etoces podemos asegurar que P es cierta para todo N. Para comprobarlo, llamemos A al cojuto de los úmeros aturales tales que P es cierta. Por ser P 1 cierta teemos que 1 A y el haber probado que P +1 es cierta siempre que lo sea P, os permite asegurar que + 1 A siempre que A. Por tato A es u subcojuto iductivo de N y el pricipio de iducció os asegura que A = N Suma y producto de úmeros aturales Como u primer ejemplo de demostració por iducció, se puede probar fácilmete que la suma y el producto de úmeros aturales so úmeros aturales: m, N m +, m N E lo que sigue obteemos algo más de iformació sobre la suma y el producto de úmeros aturales. Empezamos observado que el cojuto {x R : x 1} es iductivo, luego cotiee a N. Así pues, para todo N teemos que 1, luego / N; tambié observamos que 1/ N si, y sólo si, = 1. Esto o impide que la diferecia o el cociete de dos úmeros aturales pueda ser úmeros aturales. Co respecto a la diferecia, vamos a demostrar que para m, N se tiee m N m > (1) La implicació hacia la derecha es evidete: si m N se tedrá m 1 > 0, luego m >. La otra implicació se prueba por iducció, usado el cojuto de los úmeros aturales que la hace cierta, es decir, el cojuto A = { N : m N,m > m N}. Bastará evidetemete probar que A iductivo, lo que puede hacerse como sigue: (i) 1 A. Deberemos ver que si m N y m > 1, etoces m 1 N, lo que a su vez haremos por iducció. Cosideramos el cojuto B = {1} {m N : m 1 N} y observamos imediatamete que B es u subcojuto iductivo de N, luego B = N. Etoces, si m N y m > 1, de ser m B y m 1 se deduce que m 1 N, como queríamos. (ii) A + 1 A. Esto tambié es fácil: dado m N co m > + 1, teemos m > 1, luego m 1 N, y tambié m 1 > ; usado que A deducimos que (m 1) N, es decir, m ( + 1) N, como queríamos. La afirmació (1) tiee ua cosecuecia relevate: si m, N y < m, se tedrá m 1, es decir, + 1 m. Así pues, o puede ocurrir que < m < + 1. A partir de aquí, la situació de los úmeros aturales e la recta real se ituye claramete:

3 2. Números aturales, eteros y racioales 11 Para cada N, el segmeto de extremos y + 1 es trasladado del de extremos 0 y 1. Así podemos ecotrar sucesivamete todos los úmeros aturales, pues acabamos de ver que o existe igú úmero atural compredido estrictamete etre y + 1. Co respecto al cociete de úmeros aturales, es obvio tambié que, para m, N, si m/ N se deberá teer m, pero esta vez el recíproco está lejos de ser cierto. Siguiedo e esta líea etraríamos e el estudio de la divisibilidad, cosa que o vamos a hacer. De dicha teoría sólo usaremos e lo sucesivo alguos hechos elemetales Buea ordeació El orde de los úmeros aturales tiee ua importate propiedad que eseguida vamos a estudiar. Necesitamos las siguietes ocioes, muy ituitivas. Decimos que u cojuto A de úmeros reales tiee máximo cuado existe u elemeto de A que es mayor o igual que cualquier otro: x A : x a a A. Es evidete que tal elemeto x es úico, se le llama máximo del cojuto A y se deota por máx A. Aálogamete, se dice que A tiee míimo cuado existe u elemeto de A que es meor o igual que todos los demás: y A : y a a A. De uevo y es úico, se le llama míimo del cojuto A y se deota por mí A. Por ejemplo, el cojuto R o tiee máximo i míimo; N o tiee máximo pero sí tiee míimo: 1 = mí N. Para x R, el cojuto {x, x} tiee máximo y míimo, cocretamete: x = máx{x, x}, mietras que mí{x, x} = x. La siguiete propiedad del orde de los úmeros aturales es muy útil: Pricipio de buea ordeació de los úmeros aturales. Todo cojuto o vacío de úmeros aturales tiee míimo. Demostració. Sea A N, A /0. Si 1 A será 1 = mí A. E otro caso cosideramos el cojuto de los úmeros aturales que so estrictamete meores que todos los de A, es decir el cojuto B = { N : < a a A}. Nótese que A B = /0 y que 1 B. Observamos tambié que B o puede ser iductivo, pues si lo fuera se tedría B = N y A = /0. Por tato, deberá existir m B tal que m + 1 / B. Por ser m B, para cualquier a A se tiee m < a, luego m + 1 a. Además debe ser m + 1 A, pues de lo cotrario se tedría m + 1 < a para todo a A, y por tato m + 1 B, lo cual es ua cotradicció. Así pues, hemos probado que m + 1 = mí A, lo que cocluye la demostració. Merece la pea explicar la deomiació del pricipio recié demostrado. Evidetemete las defiicioes de máximo y míimo de u cojuto puede hacerse e cualquier cojuto ordeado, es decir, cualquier cojuto e el que se dispoga de ua relació de orde. Pues bie, u cojuto bie ordeado es u cojuto ordeado co la propiedad de que todo subcojuto o vacío suyo tiee míimo. Por tato, el pricipio aterior se resume diciedo que N está bie ordeado.

4 2. Números aturales, eteros y racioales Potecias de expoete atural Dado u úmero real x, las sucesivas potecias de x os debe resultar muy familiares. La defiició rigurosa de x para cualquier N se hace por iducció, como vamos a ver. Para x R, se defie las potecias de expoete atural de x de la siguiete forma: x 1 = x y x +1 = x x N Así pues, empezamos co x 1 = x, seguimos co x 2 = xx, etoces x 3 = x 2 x = xxx, etcétera. E la potecia x solemos decir que x es la base y es el expoete. Euciamos a cotiuació varias propiedades importates de las potecias de expoete atural, cuya demostració es u bue ejercicio. Para x,y R y m, N, se tiee: x m+ = x m x (x m ) = x m (xy) = x y 0 x < y x < y x > 1, m < x m < x E vista de la primera de estas propiedades, es plausible defiir x 0 = 1 para todo x R. Las potecias de expoete atural ha sido el primer ejemplo de defiició por iducció, u procedimieto costructivo que se usa muy a meudo, por lo que coviee explicarlo co más detalle. Dado x R, co el fi de defiir x para todo N, hemos defiido primeramete x 1 y a cotiuació hemos explicado cómo se obtiee x +1 a partir de x. E geeral, para u cojuto cualquiera A (habitualmete A será u subcojuto de R), os puede iteresar asociar a cada N u elemeto de A, es decir, defiir ua aplicació f : N A. Para ello, igual que hemos hecho co las potecias, bastará defiir f (1) y explicar de maera iequívoca cómo se obtiee f ( + 1) a partir de f (). Existe u Pricipio de defiició por iducció que asegura la legitimidad de este procedimieto, es decir, que al usarlo queda correctamete defiido f () para todo N. Veamos alguos otros ejemplos ilustrativos. Sumas. Supogamos que para cada N teemos u úmero real x. Si queremos defiir rigurosamete, para todo N, la suma x = x 1 + x x podemos hacerlo por iducció: 1 x = x 1 y ( +1 ) x = + x +1 N x

5 2. Números aturales, eteros y racioales 13 A veces coviee añadir u primer sumado, deotado por x 0. Más cocretamete, dado x 0 R, podemos escribir x = x 0 + x, o bie, x = +1 x 1 Productos. De maera similar podemos defiir por iducció el producto para cualquier N. Basta escribir x = x 1 x 2... x 1 x = x 1 y +1 ( x = x )x +1 N Por ejemplo, para N, el factorial de viee dado por: y su defiició por iducció será: Coviee tambié defiir 0! = 1.! = = ! = 1, y ( + 1)! =!( + 1) N 2.5. Potecias de ua suma y sumas de potecias Ua de las propiedades de las potecias de expoete atural euciadas ateriormete puede expresarse diciedo que ua potecia de u producto de úmeros reales coicide co el producto de las respectivas potecias. Si embargo, o teemos iformació sobre lo que ocurre co las potecias de ua suma. Para obteerla, empecemos recordado los úmeros combiatorios. Cocretamete, dados N y N {0} co, se defie: ( ) =!!( )! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 1 Obsérvese que = = 1. Para 1, es fácil ver que: + =, 0 ( ) 1 ( ) + 1 lo que permite calcular rápidamete para 1, a partir de los valores de. Podemos ya probar por iducció ua igualdad muy útil:

6 2. Números aturales, eteros y racioales 14 Fórmula del biomio de Newto: Para cualesquiera x,y R y N, se tiee: ( ) (x + y) = x y E efecto, para = 1 la fórmula es evidete y, supoiédola cierta para u N, teemos: (x + y) +1 = (x + y)(x + y) ( ) = (x + y) x y ( ) = x +1 y ( ) + x y +1 ( ) = x +1 y +1( ) + x +1 y 1 [( ) ( )] ( ) + 1 = x x +1 y + y +1 = x +1 y 1 que es la fórmula buscada para el úmero atural + 1. La fórmula aterior geeraliza algo bie coocido: (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 x,y R. E lo que sigue vamos a geeralizar, e el mismo setido, otra igualdad archicoocida: +1 x 2 y 2 = (x y)(x + y) x,y R (2) Dado z R, empezamos sumado potecias sucesivas de z. Para N, teemos claramete (z 1) z = z +1 z = +1 z z = z +1 1 (3) de dode deducimos que: z = z+1 1 z R \ {1}, N. z 1 E la suma aterior, el primer sumado es 1 y cada uo de los siguietes es el producto del aterior por z, así que hemos calculado la suma de ua progresió geométrica de razó z. Si queremos que el primer sumado sea u α R arbitrario, basta pesar que αz = αz+1 α z 1 z R \ {1}, N Pero veamos ya la geeralizació de (2) que íbamos buscado: Se verifica que: x +1 y +1 = (x y) x y x,y R, N Esto es evidete cuado x = 0. E otro caso, escribimos (3) co z = y/x, obteiedo ( y ) x 1 y x = y+1 x +1 1 y multiplicado ambos miembros por x +1 llegamos claramete a la igualdad buscada.

7 2. Números aturales, eteros y racioales Números eteros Añadiedo a N el cero y los opuestos de los úmeros aturales obteemos el cojuto Z de los úmeros eteros. Así pues, Z = N {0} { : N} Nótese que los úmeros aturales coicide co los eteros positivos: N = Z R +. Observamos tambié que si m, N la diferecia m es siempre u úmero etero: si < m, sabemos que m N Z; si m = tedremos m = 0 Z y, fialmete, si > m será m N de dode m = ( m) Z. Recíprocamete, todo úmero etero puede expresarse como diferecia de dos úmeros aturales, puesto que para N {0} teemos = ( + 1) 1, mietras que = 1 ( + 1). Por tato, podemos escribir: Z = {m : m, N} Esta otra descripció de Z permite comprobar rápidamete que la suma y el producto de úmeros eteros so úmeros eteros: p 1, p 2 Z = p 1 + p 2, p 1 p 2 Z E efecto, si escribimos p 1 = m 1 1 y p 2 = m 2 2 dode m 1,m 2, 1, 2 N, usado que las sumas y productos de úmeros aturales so úmeros aturales, teemos claramete que p 1 + p 2 = (m 1 + m 2 ) ( ) Z y tambié p 1 p 2 = (m 1 m ) (m m 2 ) Z. Puesto que 0 Z y p Z para todo p Z, observamos que Z co la operació suma tiee exactamete las mismas propiedades que R. U cojuto dotado de ua operació asociativa y comutativa, co elemeto eutro, y tal que todo elemeto del cojuto tiee u simétrico para dicha operació, es lo que se deomia u grupo abeliao. Así pues, tato R como Z so grupos abeliaos co la operació suma. Co el producto la situació es diferete: para p Z co p 0, es fácil ver que p 1 Z si, y sólo si, p = 1 o p = 1. Así pues, co las operacioes de suma y producto, Z o llega a ser u cuerpo, se dice que es u aillo comutativo co uidad. Co respecto al orde de los úmeros eteros, se matiee ua propiedad que ya coocíamos para úmeros aturales, cocretamete: p,q Z, p < q = p + 1 q. E efecto, se tiee q p Z R + = N, luego q p 1. Así pues, para p Z o existe igú úmero etero compredido estrictamete etre p y p + 1. La situació de los úmeros eteros e la recta real se adivia claramete: Fialmete, es claro que Z o está bie ordeado, pues o tiee míimo.

8 2. Números aturales, eteros y racioales Números racioales Del mismo modo que los úmeros eteros se obtiee al hacer todas las diferecias de úmeros aturales, cosideramos ahora todos los posibles cocietes de úmeros eteros, para obteer los úmeros racioales. Es claro que todo cociete de úmeros eteros puede escribirse de forma que el deomiador sea positivo. Por tato, la defiició del cojuto Q de los úmeros racioales puede hacerse como sigue: { } p { p } Q = : p,q Z, q 0 = q m : p Z, m N Es obvio que N Z Q. Pesemos ahora e sumas y productos de úmeros racioales. Si r,s Q y escribimos r = p/m, s = q/ co p,q Z y m, N, usado propiedades coocidas de la suma y producto de úmeros aturales o eteros, teemos claramete r + s = p + qm m Q y r s = pq m Q Además, 0,1 Q, r = p/m Q y, si r 0 teemos p 0 y r 1 = mp 1 Q. Así pues, e cuato a las operacioes suma y producto, Q tiee exactamete las mismas propiedades que R, es u cuerpo comutativo. De hecho, cosiderado el cojuto de los úmeros racioales positivos Q + = R + Q, se cumple evidetemete las propiedades de tricotomía y estabilidad: Por ua parte, para r Q se verifica ua sola de las afirmacioes r Q +, r = 0 o r Q + ; por otra, para r,s Q + se tiee r + s Q + y r s Q +. E resume: Q es u cuerpo comutativo ordeado. Para eteder la situació de los úmeros racioales sobre la recta real, basta recordar la costrucció geométrica que permite subdividir u segmeto e varios de igual logitud, que se sugiere e el siguiete dibujo: u 2u 3u 1/3 0 1/3 2/3 1 4/3 E geeral, dado m N, podemos usar ua costrucció similar a la dibujada e el caso m = 3, para ecotrar el puto 1/m. Mediate traslacioes ecotraremos etoces cualquier puto de la forma p/m co p Z. De esta forma podemos situar sobre la recta cualquier úmero racioal. A simple vista observamos que el orde de los úmeros racioales es muy diferete del que teía los eteros: dados dos úmeros racioales distitos siempre existe u úmero racioal compredido estrictamete etre ellos, y por tato muchos más.

9 2. Números aturales, eteros y racioales 17 E efecto, dados r,s Q co r < s, tomado t = (r + s)/2 se tiee evidetemete que t Q y r < t < s. Desde luego, este proceso puede iterarse, para ecotrar tatos úmeros racioales compredidos etre r y s como queramos. Los razoamietos ateriores podría llevaros a pesar que todos los úmeros reales so racioales, cosa que está muy lejos de ser cierta. Más adelate probaremos la existecia de úmeros irracioales, esto es, de úmeros reales que o so racioales. A poco que se piese, para esto será imprescidible usar el axioma del cotiuo que, segú hemos visto, es el úico que puede marcar la diferecia etre Q y R. De hecho, puede decirse que la imesa mayoría de los úmeros reales so irracioales Ejercicios de revisió 1. Probar que, para cualesquiera x,y R, se tiee: xy x2 + y 2 2. Probar las siguietes afirmacioes: a) b) = ( + 1) 2 N (2 1) = 2 N c) m, N = m +,m N 3. E cada uo de los siguietes casos, averiguar si el cojuto A R tiee o o máximo y si tiee o o míimo, justificado la respuesta: a) A = R b) A = R + 0 c) A = {x R : 0 < x < 1} d) A = {x R : x 1} 4. Probar las propiedades de las potecias euciadas e la secció Probar que para cualquier N se tiee ( ) = 2 6. Probar que para cualesquiera y R + 0, N, se tiee: (1 + y) 1 + y Probar que para p,q Z y m, N se tiee p m < q mq p N

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