Examen de Selectividad Matemáticas JUNIO Andalucía OPCIÓN A

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1 Eámenes de Matemáticas de Selectividad ndalucía resueltos Eamen de Selectividad Matemáticas JUNIO 5 - ndalucía OPCIÓN.- [,5 puntos] Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada paredes verticales con capacidad de,5 metros cúbicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcula las dimensiones del depósito para que el gasto en chapa sea el mínimo posible. Éste es un problema típico de optimiación. Para un depósito en forma de prisma de base cuadrada, altura, sin base superior, la superficie de chapa necesaria será caras laterales una base cuadrada:,. Esta es la función que tenemos que optimiar. Para relacionar las dos variables usaremos la condición geométrica del volumen: V,,5, así podemos epresar una variable en función de la otra, obtener la función Área dependiente de una sola variable,, para aplicarle la condición de etremo relativo,. Pues despejamos por ejemplo la altura, la sustituimos en la función,:,5,5 5,, así a la podemos derivar: 5 5 7,5,5 9,5 ; mide,5 m de alto. ; la base mide m de ancho de largo. Dimensiones óptimas para mínimo volumen: m m,5 m. Para estar seguros, comprobemos que estos valores corresponden a un mínimo no a un máimo; para ello comprobaremos el signo de la derivada segunda: 8 6 > ; efectivamente es un mínimo. El valor de área correspondiente sería,5 7 m.- [,5 puntos] Calcula d. Ésta es una integral racional con grado del numerador maor que el grado del denominador: antes de descomponer el integrando en fracciones simples, ha que dividir. l dividir, el cociente resulta ser el resto, así que: d d d Guillermo

2 Eámenes de Matemáticas de Selectividad resueltos Guillermo De estas dos integrales, la primera es inmediata igual a la segunda es otra integral racional con grado del numerador menor que el del denominador, por tanto puede descomponerse en fracciones simples por el método de los coeficientes indeterminados. Para ello, en primer lugar hallamos las raíces del denominador: { },, resultan dos raíces reales sencillas; entonces descomponemos la función racional en dos fracciones simples, cada una de las cuales presenta en el numerador un coeficiente indeterminado o en el denominador el factor de Ruffini correspondiente a una de las raíces ó : d d d C C d.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones: a [,5 puntos] Discute el sistema según los valores de. b [ punto] Resuelve el sistema para. a En forma matricial, el sistema quedaría representado de la siguiente manera: Un sistema de ecuaciones lineales, según el Teorema de Rouché-Frobenius, será compatible si el rango de la matri de los coeficientes coincide con el de la matri ampliada, RgRg*, e incompatible si no, o sea si Rg Rg*. Y en caso de compatibilidad, será determinado si los rangos coinciden con el número de incógnitas, RgRg*n, e indeterminado si no, es decir si RgRg* n. En primer lugar, hallaremos los valores de que hacen que Rg, a que, si Rg, entonces Rg*, entonces el sistema es SCD caso general. Para ello, resolvemos:

3 Eámenes de Matemáticas de Selectividad ndalucía resueltos Guillermo Esto indica que todos los valores reales de hacen que Rg, por tanto este sistema nunca será SCD, para ningún valor de. Si la segunda ecuación se divide por,el sistema que se obtiene es equivalente tiene las mismas soluciones, quedando así: * ; ; ún así, el rango de la matri de los coeficientes nunca será, a que R, El Rg será entonces, a que eiste algún menor de orden no-nulo en, por ejemplo: ; ahora, el rango de la matri ampliada *? Los determinantes menores de orden que se pueden definir en * eliminando de * la primera columna de, la segunda o la tercera, sólo se anulan para : sólo si - ó sólo si sólo si El valor anula uno pero no todos los determinantes menores de orden de *, así que para el rango de * es Por tanto: no ha solución SI * Si soluciones SCIeisten infinitas * Si Rg Rg Rg Rg b Para el sistema queda como sigue: SCI, obviamente, se puede suprimir la ecuación segunda. En forma no-matricial, quedaría:

4 Eámenes de Matemáticas de Selectividad resueltos Para resolver este SCI pasaríamos una de las variables, por ejemplo la, a los términos independientes la trataríamos como un parámetro: Con lo cual la solución sería:,,,,, R, o bien, en forma de la ecuación paramétrica de una recta: r t t t L t R.- Sean los puntos,,,,,, C,, D,, m. a [,75 puntos] Calcula m para que,, C D estén en un mismo plano. b [,75 puntos] Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos son simétricos. c [ punto] Calcula el área del triángulo de vértices, C. a Para que los puntos,, C, D, sean coplanarios, se debe verificar que los vectores, C, D sean linealmente dependientes, se decir, estén contenidos también en un mismo plano, como muestra la figura. Conforme a las propiedades de los determinantes, significaría que el determinante formado con los correspondientes vectores-fila debe ser nulo, así que: C D,,,,,, C,,,,,,, m,,,, m L m 6 m m Y en efecto, si m, los vectores D son paralelos, D es coplanario con,, C b El plano π respecto al que son simétricos plano mediador es el plano perpendicular al segmento que pasa por su punto medio M. Por tanto, el vector normal del plano es paralelo al vector o el mismo vector. Recordemos que las componentes del vector normal del plano coinciden con los coeficientes de,, en la ecuación general del plano: π d independiente d., faltándonos por conocer el término M n Guillermo

5 Eámenes de Matemáticas de Selectividad ndalucía resueltos Para determinar el valor de d necesitamos conocer un punto que perteneca al plano, para ello usamos la condición de que π debe pasar por el punto M del segmento: M,,,,, ahora sustituendo estas coordenadas en la ecuación de π tenemos que: d d 6 π 6 c El área del triángulo C viene dada por el producto vectorial, según: r r r i j k C,, u a que el área del triángulo marcada en gris oscuro en la figura es la mitad del área del paralelogramo definido por los vectores marcada en gris claro en la figura; el área del paralelogramo es el módulo del producto vectorial de los vectores que definen sus lados C. C Guillermo

6 Eámenes de Matemáticas de Selectividad resueltos [,5 puntos] Sabiendo que de a b. OPCIÓN a b cos lim sin es finito e igual a uno, calcula los valores lim a b cos a b sin b, ' lim, IND L Hôpital sin cos a no ser que b ; dado que el límite no puede ser infinito, b. Y entonces, el límite resulta: a b sin a cos a lim L, ' lim IND L H cos cos sin Como nos imponen que el límite debe valer : a a.- [,5 puntos] Determina la función f :, R sabiendo que f que su gráfica tiene tangente horiontal en el punto P,. denota logaritmo neperiano. Que la derivada segunda de la función f sea f significa que f es la integral de la integral del. Pero cada ve que integramos aparece una constante de integración que puede tomar cualquier valor real, los valores de las constantes serán aquéllos que hagan cumplirse las condiciones: pasar por el punto P,, es decir, que cumpla: f, que además la primera derivada se anule en, o sea, que f. PRTES : u du d f d d C dv d v Para hallar C: f condición C C Luego: f f d d PRTES : u du d dv d v d d D D D Para hallar D: f condición D D f 7 7 D Guillermo

7 Eámenes de Matemáticas de Selectividad ndalucía resueltos Considera las matrices: m. m m a [,5 puntos] Encuentra el valor, o los valores, de m para los que tienen el mismo rango. b [ punto] Determina, si eisten, los valores de m para los que tienen el mismo determinante. a Discutimos los rangos de las dos matrices según los valores del parámetro m: Rg: Rg, salvo que: m m ; por tanto: m Si m, Rg; si m, Rg Rg: Rg, salvo que: m m m m {,} m, entonces: Si m : L dos filas proporcionales : F F LRg Si m: L linealmente dependientes, F F F LRg Si m {,}, Rg ; si m {,}, Rg Por tanto: Si m Rg Rg Si m RgRg { } m R / m, Rg Rg Sólo coinciden en rango para m. b m 5, m m m m m m m para que coincidan. 5 ± m ± {, } En efecto, para m,, para m. Guillermo

8 Eámenes de Matemáticas de Selectividad resueltos Sea el plano π 8. a [,5 puntos] Calcula el punto P, simétrico del punto P,,5, respecto del plano π. 5 b [ puntos] Calcula la recta r, simétrica de la recta r respecto al plano π. a El punto P simétrico está alineado con P con el punto medio entre ellos M mediante una recta s perpendicular al plano. Como la recta es perpendicular al plano, su vector director debe coincidir en dirección con el vector normal del plano, también debe pasar por P:,, v n 5 s hora hallamos M como la intersección s π ; para ello pasamos s a forma paramétrica: t s t M t, t,5 t π t t 5 t 8 5 t t, luego M es: M,,6 PM,, 6 6 t Por simetría, PM MP' OP' OM OP',,6 OP',,,,6,,7 P ',,7 P M P n b Para hallar la recta simétrica basta con calcular la recta que pasa por los dos puntos simétricos de dos puntos de r. Como la recta r pasa por P, uno de los dos simétricos a lo tenemos es P. Podemos elegir el otro punto dando un valor cualquiera al parámetro en las ecuaciones paramétricas de la recta r, o bien hallar el corte de r con el plano π, que es simétrico de sí mismo. Para hallar Q r π pasamos r a paramétricas, epresamos el punto genérico Q en función del parámetro t: t r t Q t, t,5 t 5 t Entonces lo sustituimos en la ecuación de π, para imponer que perteneca también al plano: t t 5 t 8 t 6 t Q,8,8 sí que la recta r simétrica a r es la que pasa por P,,7 por Q,8,8: r ' r P M P Q r Guillermo

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