Estudio de funciones exponenciales y logarítmicas

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1 FUNCIÓN EXPONENCIAL Recomendciones l Docente: L ctividd proponer debe puntr que los lumnos puedn nlizr los siguientes spectos: 1. Cómo vrí el gráfico de l función eponencil y de qué depende su monotoní. 2. Cuál es el dominio, recorrido de l función y ls condiciones que debe cumplir l bse. 3. Los desplzmientos, diltciones y contrcciones de l función. Secuenci Nº1: 1. Grficr l función f ( ). Cmbir los vlores de y observ l form de ls gráfics que resultn. b. Cuáles son ls crcterístics de l función cundo es myor que 1? c. Qué sucede cundo 0 < < 1? d. En prticulr, qué se observ cundo = 1 y = 0? Y en el cso en que se negtivo? Anot en tu cuderno ls conclusiones etríds. 2. Grficr distints funciones del tipo f. ( ) k.. Elegir un vlor fijo pr el prámetro (por ejemplo 2), modificr el vlor de k y observr l gráfic socid dichs funciones. b. Qué ocurre cundo k es myor que 1? c. Qué sucede cundo 0 < k < 1? Qué observs cundo k es negtivo? Comprueb si tus conclusiones son válids pr otros vlores de. 3. Pr cd un de ls distints f. ( ) k ntes nlizds, responder:. Cuál es el dominio? Cuál es su conjunto imgen? b. Es creciente o decreciente? c. Tiene ceros o ríces? Cort l eje? 4. Construir un tbl de doble entrd, resumiendo l form de ls gráfics que se pueden obtener combinndo los vlores de k y. Resolución con GeoGebr: Ítem 1: Pr resolver ests ctividdes con GeoGebr, es posible utilizr lo que se llm deslizdores. Abrir un rchivo GeoGebr y crer un deslizdor de l siguiente mner: 1. Elegir de l Brr de Herrmients: Deslizdor Mg. Lucí C. Scco Págin 1

2 2. Hcer clic en culquier prte de l Zon de Trbjo y prece l siguiente ventn: 3. Elegir el intervlo sobre el cul vmos trbjr pr el prámetro. 4. Escribir en l Entrd: 5. Aprece el deslizdor en lgún lugr de l Zon de Trbjo: 6. Teniendo pretdo el botón derecho del mouse es posible mover el deslizdor y nlizr qué es lo que ocurre con l gráfic medid que v cmbindo los vlores de. 7. Desde el menú contetul, ubicdos con el mouse sobre el deslizdor, cliquer l opción "Animción Automátic", l cul permite nimr utomáticmente el deslizdor. Mg. Lucí C. Scco Págin 2

3 8. Es posible modificr el intervlo de los vlores del deslizdor pr estudir qué sucede si es negtivo. Pr ello, hcer clic con el botón derecho sobre el deslizdor y seleccionr Propieddes 9. Se bre l siguiente ventn, en l cul es posible modificr los vlores del deslizdor y poner en posición horizontl o verticl el deslizdor. VARIANTE: Es posible construir dos deslizdores pr estudir por seprdo: - y con distintos vlores de myores que 1 - y b con distintos vlores de b entre 0 y 1. Pr incluir el segundo deslizdor, procedemos de l mism mner. Mg. Lucí C. Scco Págin 3

4 Ítem 2 y 3: Pr relizr est ctividd, cremos un deslizdor pr el fctor k entre -5 y Modificr l función representd. Hcer clic con el botón derecho sobre l epresión que prece en l Brr Algebric. 11.Es posible, dejndo fijo el deslizdor en 2, estudir ls consigns:. modificr el vlor de k y observr l gráfic socid dichs funciones. b. Qué ocurre cundo k es myor que 1? c. Qué sucede cundo 0 < k < 1? Qué observs cundo k es negtivo? Comprueb si tus conclusiones son válids pr otros vlores de. 12. Utilizr l opción Animción utomátic del menú contetul. A prtir de est gráfic es posible responder ls demás ctividdes, e inclusive cpturr ls pntlls con ls gráfics que permiten relizr l ctividd: Ítem 4: Construir un tbl de doble entrd, resumiendo l form de ls gráfics que se pueden obtener combinndo los vlores de k y. Mg. Lucí C. Scco Págin 4

5 FUNCION LOGARÍTMO: Recomendciones l Docente: L ctividd proponer debe puntr que los lumnos puedn nlizr los siguientes spectos: 1. Cómo se define l función logritmo. 2. Cómo es el gráfico de l función logritmo y de qué depende su monotoní. 3. Cuál es el dominio y recorrido de l función logritmo f ( ) log ( ) y ls condiciones que debe cumplir l bse. 4. L relción eistente entre ls funciones logritmo y eponenciles de l mism bse. Secuenci Nº2: Estudir pr l gráfic de cd un de ls funciones logrítmics siguientes y responder: - Cuál es el dominio? Cuál es su conjunto imgen? - Es creciente o decreciente? - Tiene ceros o ríces? Cort l eje? 1. Grficr l función f ( ) log ( ). Cmbir los vlores de y observ l form de ls gráfics que resultn. b. Cuáles son ls crcterístics de l función cundo es myor que 1? c. Qué sucede cundo 0 < < 1? d. En prticulr, qué se observ cundo = 1 y = 0? Y en el cso en que se negtivo? Anot en tu cuderno ls conclusiones etríds. 2. Grficr distints funciones del tipo " f ( ) k".. Elegir un vlor fijo pr el prámetro (por ejemplo 2), modificr el vlor de k y observr l gráfic socid dichs funciones. b. Qué ocurre cundo summos un número k? Y si restmos? Comprueb si tus conclusiones son válids pr otros vlores de. 3. Comprr f ( ) log ( ) con " k. f ( )" y responder:. Qué ocurre con l gráfic si k= 1? b. Y si l multiplicmos por un constnte k distint de -1? 4. Estudir qué ocurre si summos o restmos un constnte l vrible independiente " f ( k)" Resolución con GeoGebr: Ítem 1: Pr indicrle Geogebr que represente f ( ) log ( ) es preciso ntes de plnter est ctividd, proponer los lumnos que investiguen el modo de clculr un logritmo en otr bse que no se bse 10 y bse e plicndo propieddes conocids (se escribe l relción nterior en l form de potencis equivlente f ( ) y se utiliz los logritmos de bse conocid). Mg. Lucí C. Scco Págin 5

6 Pr estudir qué sucede pr cd un de ls posibiliddes de vlores de se puede cre un deslizdor con vlores entre -5 y 5, por ejemplo. Luego, se ingres l función logritmo desde l Entrd. Es posible l mover el deslizdor, estudir lo que ocurre con l función logritmo f ( ) log ( ) cundo se modific el vlor de l bse : - Ecluir los números negtivos, l número cero y l número uno como posibles bses del logritmo. - L monotoní de l función:. Modelo logrítmico DECRECIENTE si 0<<1 b. Modelo logrítmico CRECIENTE >1 - Dominio: l función logritmo permite sólo vlores positivos en, independiente del vlor de l bse. - Recorrido: pr l función logritmo corresponden todos los reles. - Siempre l gráfic cort l eje en el punto (1,0). No cort l eje y. De l mism mner, se cre un nuevo deslizdor pr el prámetro k y se introducen cd un de ls funciones propuests en los ítems 2, 3 y 4. Por ejemplo pr el ítem 2: Y se procede estudir que ocurre con l gráfic de l función pr:. Elegir un vlor fijo pr el prámetro (por ejemplo 2), modificr el vlor de k y observr l gráfic socid dichs funciones. b. Qué ocurre cundo summos un número k? Y si restmos? Comprueb si tus conclusiones son válids pr otros vlores de. Mg. Lucí C. Scco Págin 6

7 Lo mismo pr el ítem 3 y 4: Se obtienen ls distints gráfics, con ls cules es posible estudir monotoní, desplzmientos, ceros, desplzmientos horizontles y verticles, diltciones y contcciones, dominios y recorridos pr cd un de ls funciones. FUNCIONES INVERSAS Pr nlizr que ls funciones eponencil y logrítmic son funciones inverss, es posible representrls en un mismo sistem de coordends y estblecer desde el punto de vist funcionl, que sus gráficos son simétricos respecto l rect y=, crcterístic que cumplen ls funciones inverss. Pr ello procedemos en GeoGebr de l siguiente mner: En primer lugr crer un deslizdor b, número comprendido entre 0 y 10 con incremento 0,01. Luego se grfic f ( ) b ingresándol por entrd y l función identidd y. Pr determinr l curv simétric, identificmos puntos en l eponencil desde: Mg. Lucí C. Scco Págin 7

8 Luego obtenemos los simétricos B, A y C desde: A esos tres puntos le plicmos el AjusteLog, donde de cuerdo l sintis se ingres los tres puntos encerrdos entre llves y seprdos por coms y se obtiene el grfico de l función logrítmic (ojo con los ). Es bueno provechr el modelo logrítmico que propone GeoGebr, el cul vrí de cuerdo l vlor que tom l bse b de l función eponencil. VARIANTE: Se pueden ocultr l eponencil y l función identidd y solo dejr l logrítmic pr nlizr lo que sucede l vrir l bse en un rngo comprendido entre 0 y 10, por ejemplo. Mg. Lucí C. Scco Págin 8

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