5. Integral y Aplicaciones

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1 Métodos Mtemáticos (Curso ) Grdo en Óptic y Optometrí Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción Sumndo F (x) un constnte rbitrri C se obtiene de nuevo un primitiv, y que l derivd sigue siendo f(x). Entonces tod primitiv G de f debe ser de l form G(x) = F (x)+c, donde C es un constnte. L integrl indefinid L operción de hllr tods ls primitivs de un función se llm integrción. f(x) = F (x) + C. El símbolo es el símbolo integrl. L función f que h de ser integrd es el integrndo, y l constnte C es llmd constnte de integrción. L fmili de funciones F (x) + C es l integrl indefinid de f. El djetivo indefinid enftiz que el proceso de integrción no produce un función definid, sino más bien todo un conjunto de funciones. L integrl indefinid de f(x) = x 2 es 3 x3 + C. Lo escribimos de l form x 2 = 3 x3 + C En l figur 20 están representds ls gráfics de l fmili de funciones que constituyen l integrl indefinid de x 2. Fig.20

2 Métodos Mtemáticos (Curso ) Grdo en Óptic y Optometrí 30 Regls básics de integrción. k = kx + C (k, un constnte) 2. cf(x) = c f(x) (c, un constnte) 3. [f(x) ± g(x)] = f(x) ± g(x) Integrción medinte cmbio de vrible Se sustituye un prte del integrndo g(x) por un nuev vrible g(x) = u: [ ] f [g(x)] g g(x) = u (x) g f(u)du. (x) = du Clculr I = 3 3x +. Hcemos l sustitución u = 3x + y du = 3, y obtenemos 3 3x u 3x + = + (3) = du = u /2 du = 2 3 u3/2 + C Reemplzmos u por 3x + y obtenemos 3 3x + = 2 3 (3x + )3/2 + C. Integrción por prtes Si ls funciones u(x) y v(x) son continus y diferencibles en un intervlo [, b] y sobre este intervlo existe l integrl vdu, entonces sobre este mismo intervlo existe tmbién l integrl udv y demás udv = uv vdu. Pr clculr Entonces xe x, se hce u = x, dv = e x, de donde du =, v = e x. xe x = xe x e x = xe x e x + C. L integrl definid Se f un función definid en [, b]. Si lim x 0 [f(x ) x + f(x 2 ) x + + f(x n ) x] existe y es único pr culquier elección de puntos x, x 2,..., x n en los n subintervlos de [, b] de nchur igul x = (b )/n, entonces el límite se llm integrl definid de f entre y b y se denot por f(x). Es decir f(x) := lim f(x i ) x. x 0 El número es el límite inferior de integrción, y el número b es el límite superior de integrción. i

3 Métodos Mtemáticos (Curso ) Grdo en Óptic y Optometrí 3 Observciones. Un condición suficiente de integrbilidd de un función f en un intervlo [, b] es que f se continu en ese intervlo. Tmbién si f(x) es monóton o si es continu trozos es integrble. 2. L colección finit de puntos, x,..., x n, b recibe el nombre de prtición del intervlo [, b]. En el cso indicdo es un equiprtición, pues los subintervlos son igules. 3. L expresión f(x ) x + f(x 2 ) x + + f(x n ) x recibe el nombre de sum de Riemnn de f pr l prtición dd. 4. Si f(x) es un función no negtiv (f(x) 0 sobre el segmento [, b]), l integrl definid nos proporcion el áre de l región pln bjo l curv y = f(x) entre x = y x = b (figur 2). Fig.2 Propieddes de l integrl definid. 2. [f(x) + g(x)] = cf(x) = c f(x) f(x) + 3. Si f(x) g(x) en [, b], entonces 4. f(x) = 5. Ddos, b, c, entonces 6. b f(x) f(x) f(x) f(x) = g(x) f(x) c f(x) + g(x) c f(x) Teorem del vlor medio pr integrles Se f continu en [, b], entonces existe l menos un número x [, b] tl que f(x) = f(x )(b ) En efecto por ser f continu en [, b] lcnzrá un vlor mínimo m y un vlor máximo M en puntos del intervlo [, b]. El punto x cumple, pues que m f(x ) M (fig 22).

4 Métodos Mtemáticos (Curso ) Grdo en Óptic y Optometrí 32 Fig.22 Observción Si f no es continu en [, b], ún sí existirá un vlor µ tl que Pero en este cso µ no tiene porqué ser l imgen de lgún x [, b]. Teorem fundmentl del Cálculo Si f es continu en [, b], entonces donde F es un primitiv de f en [, b]. f(x) = F (b) F () f(x) = µ(b ). π/2 0 cos x = sen x π/2 0 = sen π/2 sen 0 =. Aplicciones geométrics de l integrl definid Áre entre dos curvs Si f y g son funciones continus en el intervlo [, b], y si f(x) g(x) pr todo x del intervlo [, b], entonces el áre de l región encerrd por rrib por y = f(x), por bjo por y = g(x), por l izquierd por l rect x =, y por l derech por l rect x = b es como se sigue de l figur 24. A = [f(x) g(x)] Fig.24

5 Métodos Mtemáticos (Curso ) Grdo en Óptic y Optometrí 33 Clculr el áre de l región encerrd entre ls curvs y = x 2 e y = x + 6 Los puntos en que se cortn ls dos gráfics hn de stisfcer ls ecuciones (ver figur 25), Esto conduce y = x 2 y y = x + 6 x 2 = x + 6 o x 2 x 6 = 0 o (x + 2)(x 3) = 0 de donde x = 2 y x = 3. De mner que el áre pedid es A = 3 2 [(x + 6) x 2 ] = x x x = Fig.25 Fórmul pr el volumen Se S un sólido limitdo por dos plnos prlelos perpendiculres l eje x en x = y x = b. Si pr cd x del intervlo [, b] el áre de l sección trnsversl de S perpendiculr l eje x es A(x), entonces el volumen del sólido es (ver figur 26) con tl de que A(x) se integrble. V = A(x) Fig.26 Si el sólido es de revolución, es decir, está generdo por l región R debjo de l gráfic de un función continu en [, b] que h girdo un vuelt complet lrededor del eje x (figur 27), entonces A(x) = π[f(x)] 2 como se sigue de l figur 27b. En este cso tenemos pr el volumen l expresión V = π[f(x)] 2

6 Métodos Mtemáticos (Curso ) Grdo en Óptic y Optometrí 34 Fig.27 Hllr el volumen del sólido que se obtiene cundo l región bjo l curv y = x en el intervlo [, 4] gir un vuelt complet sobre el eje x. V = π[f(x)] 2 = 4 πx = πx2 2 4 = 5π 2 Fórmul pr l longitud de un rco de curv Si y = f(x) es un curv suve en el intervlo [, b] (es decir f es continu en [, b]), el siguiente esquem informl nos d l longitud ds de un trozo muy pequeño de curv prtir de l conocid longitud s de un segmento. Entonces l longitud L del rco de curv sobre [, b] viene dd por ( ) 2 L = + = + [f (x)] 2 Hllr l longitud del rco de curv y = x 3/2 desde (, ) hst (2, 2 2). En este cso = 3 2 x/2 y ddo que l curv se extiende de x = x = 2 l longitud vendrá dd por L = x

7 Métodos Mtemáticos (Curso ) Grdo en Óptic y Optometrí 35 Pr evlur l integrl hcemos el cmbio de vrible u = x, du = 9 4 con este cmbio los límites de integrción (x =, x = 2) psn ser (u = 3/4, u = 22/4): L = /4 3/4 u /2 du = 8 22/4 27 u3/2 3/4 2, 09 Integrción numéric: Regl de Simpson Si no es posible encontrr un primitiv elementl de f, entonces l integrl f(x) no puede evlurse medinte el teorem fundmentl del cálculo. En tles csos, el vlor de l integrl puede proximrse por distintos procedimientos, siendo l Regl de Simpson uno de los más utilizdos por su sencillez y precisión. Supongmos conocid un tbl de n + puntos (x i, y i ) (siendo n pr), de l gráfic de un función f: x x 0 x x 2 x n y y 0 y y 2 y n Tomndo como extremos del intervlo x 0 = y x n = b, l Regl de Simpson estblece que ( ) b f(x) [y 0 + 4y + 2y 2 + 4y 3 + 2y y n 2 + 4y n + y n ] 3n A continución se proxim l integrl 2 x medinte l regl de Simpson usndo n = 0 subdivisiones. De est form los subintervlos tienen un nchur h b n = 2 = 0, 0 De mner que A prtir de l siguiente tbl h 3 = b 3n = 30

8 Métodos Mtemáticos (Curso ) Grdo en Óptic y Optometrí 36 se sigue que 2 x (20, 7945) = 0, Nótese que en este cso l función integrndo dmite un primitiv inmedit 2 x = ln x 2 = ln 2 = 0, L comprción de mbos resultdos d un ide de l bondd del método. Integrción de ecuciones diferenciles Un ecución diferencil de primer orden es un relción entre un vrible x, un función y(x) y su derivd y (x) y (x) = f(x, y). Por ejemplo ls siguientes expresiones constituyen ecuciones diferenciles de primer orden y = y, y = 2y 3y 2, y = x y Resolver (o integrr) l ecución diferencil es obtener tods ls funciones y(x) tles que l stisfcen, esto es, tles que y (x) = f(x, y(x)). Normlmente, result fácil verificr si l función y = y(x) es un posible solución de l ecución diferencil. Bst clculr l derivd de y(x) y demostrr que cundo y(x) y l función derivd y (x) se sustituyen en l ecución, l reducen un identidd en x. Es inmedito comprobr que y = e x y y = 2e x son soluciones de l ecución y = y. En relidd culquier función de l form y = ce x, donde c es un constnte rbitrri stisfce l ecución. A est fmili de funciones que depende de un constnte se l conoce como integrl generl de l ecución.

9 Métodos Mtemáticos (Curso ) Grdo en Óptic y Optometrí 37 El estudio de muchos fenómenos nturles (en Biologí, Químic, Economí, etc.) conduce ecuciones diferenciles de primer orden. L velocidd de desintegrción de un sustnci rdictiv es proporcionl l cntidd de sustnci presente. Designndo por x(t) l cntidd de sustnci en un instnte ddo l ecución diferencil que rige este proceso es: x (t) = kx(t) k > 0. Ecuciones con vribles seprbles Se llmn sí ls ecuciones que pueden llevrse l form A(y) = B(x) siendo su solución A(y) = B(x) + c, es decir el problem se reduce l cálculo de primitivs que y conocemos. Consideremos ls tres ecuciones siguientes: y = k, y = f(x), y = ky. En el primer cso = k = k = k + c y(x) = kx + c. En el segundo cso = f(x) = f(x) = f(x) + c. y(x) = f(x) + c En el tercer cso = ky y = k y = k +c ln y = kx+c y(x) = Ce kx. Alguns plicciones. Decimiento rdictivo Se sbe que l vid medi (el tiempo que trd un cntidd de un sustnci rdictiv en reducirse l mitd) del isótopo 4 C del crbono es de 5750 ños. Clculr el vlor de l constnte de desintegrción k socid. L ecución que rige ese proceso de descomposición es x (t) = kx(t), k > 0 cuy solución es x(t) = Ce kt. En ell prece l constnte de desintegrción k inherente l problem y l constnte C que proviene de l integrción de l ecución de primer orden. Est constnte de integrción tiene el siguiente significdo: si en el instnte inicil t = 0 hy un cntidd x 0 de sustnci tendrá que cumplirse que x 0 = x(0) = Ce k 0 = C,

10 Métodos Mtemáticos (Curso ) Grdo en Óptic y Optometrí 38 sí pues C es l cntidd inicil de sustnci x 0. Podemos escribir l solución de l ecución de decimiento rdictivo en l form x(t) = x 0 e kt. Pr clculr l constnte k pr el 4 C bst tener en cuent el dto de que su vid medi es 5750 ños, es decir, x 0 2 = x 0e 5750k e 5750k = 2 k = ln , Conocid est constnte k, si se quiere verigur l edd de un objeto rqueológico que contiene, por ejemplo, el 65, 6% de su 4 C inicil tenemos que 0, 656x 0 = x 0 e,2 0 4 t t = ln(0, 656) 3497 ños., Crecimiento poblcionl En l nturlez cundo un poblción de individuos es pequeñ y tiene comid y espcio suficiente, l velocidd de crecimiento de l poblción es proporcionl su tmño. Pero l ir creciendo l poblción sus componentes compiten por el espcio y por l comid. Hy estudios que indicn que el crecimiento de l poblción debe ser corregido por un fctor proporcionl l cudrdo de l poblción. Esto conduce un modelo básico en ecologí, l ecución logístic de Verhulst pr el crecimiento de poblciones: dt = kx( x) donde x = x(t) es l poblción en un tiempo t y k (constnte de crecimiento) y son constntes positivs. L poblción inicil es x 0 = x(0), y suponemos x 0 <. Podemos resolver l ecución por seprción de vribles y utilizr l descomposición en frcciones simples de donde = kdt x( x) x( x) = kdt ln x x = kt + C. ( / x + / ) = x Y plicndo exponenciles x x = Aekt. Si hcemos t = 0 obtenemos el vlor de l constnte de integrción A A = x 0 x 0 y llevndo este vlor l expresión nterior y despejndo x(t) se lleg finlmente x(t) = x 0 x 0 + ( x 0 )e kt. Vemos prtir de est solución que x(t) es un función estrictmente creciente pr t 0 y lim x(t) =. t + kdt

11 Métodos Mtemáticos (Curso ) Grdo en Óptic y Optometrí 39 Consecuentemente, represent l poblción máxim, nunc lcnzd. Ejercicios Clculr ls siguientes integrles x +, x 2 e x, e x e x +. 2 Hllr el áre de un círculo de rdio. 3 Hllr l longitud de un circunferenci de rdio. 4 Hllr el volumen de un esfer de rdio. 5 Clculr proximdmente l integrl 6 Demostrr que l ecución diferencil /3 0 sen x x. = 2 y x (x 0) es stisfech por l función y = Cx 2, donde C es un constnte. 7 Integrr l ecución y = y + b.

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